Projections et Perspective

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1 Points principau: Projections et Perspective Transformation e projection Volume e visualisation Moule 6 2 Étapes pour la visualisation 3D Sstème e Cooronnées e Moélisation (SCM) Sstème e Cooronnées u Dispositif (SCD) Sstème e Cooronnées e l Univers (SCU) Fenêtre Sstème e Cooronnées e la Caméra (SCC) projection (en perspective) écrêtage transformations 3D Plan e projection u SCC Étapes pour la visualisation 3D Transformations affines triimensionnelles Transformation e projection Projection parallèle Projection e la perspective Transformation e la fenêtre vers la fenêtre affichage Tracés es primitives transformations 2D 3 4 Log 75 - Infographie

2 Projections Comment voons-nous nous le mone? Sous classes e projections Implémentation matricielle 5 6 Projections Projections géomg ométriques 2D centre e projection plan e vue projecteurs Les projections es objets sont formées par les intersections e lignes appelées projecteurs avec un plan appelé plan e vue ou plan e projection. Les projecteurs sont es lignes partant un point arbitrairement appelé centre e projection (CP), en traversant chaque point un objet. Si les projecteurs sont es lignes roites, et que le plan e projection est plat, la projection est une projection géométrique 2D. 7 8 Log 75 - Infographie 2

3 Projections géomg ométriques 2D Projections Parallèles les Si le centre e projection (CP) est localisé à un point fini e l espace triimensionnel, le résultat est une projection en perspective. Si le CP est localisé à l infini, tous les projecteurs sont parallèles et le résultat est une projection parallèle. Plan e projection projecteurs projection e l objet DP objet projeté 9 Projections en Perspective Projection géomg ométrique 2D : Sous classes Plan e projection centre e projection projecteurs projection e l objet objet projeté Projections parallèles Orthographique Haut, côté, evant Aonométrique Trimétrique, Dimétrique, Isométrique, Oblique Cavalier, Cabinet, etc. Projections en perspective Un point, eu points, trois points 2 Log 75 - Infographie 3

4 Projections parallèles les Projection orthographique parallèle le Moins réaliste; peut être utilisée pour es mesures eactes Les lignes parallèles restent parallèles Deu tpes, épenant e la relation entre DP et la normale u plan e projection: orthographique et oblique plan e projection projecteurs projection e l objet DP objet projeté 4 Projection orthographique parallèle le DP est perpeniculaire au plan e projection Vues e evant, en haut, et e côté : plan e projection normal au aes es cooronnées Projection orthographique aonométrique : le plan e projection n est pas perpeniculaire au aes es cooronnés, onc plusieurs facettes e l objet sont montrées en même temps. 5 Projection orthographique parallèle le (vue e evant, en haut, et e côté) c Vue en haut Vue e côté Vue e evant 6 Log 75 - Infographie 4

5 Projection orthographique parallèle le ans la forme matricielle Vues e evant, en haut et e côté : la projection est faite sur un es plans perpeniculaires au aes es cooronnées en mettant une es cooronnées u point à. Projection orthographique parallèle le (Projection aonométrique ) Le vecteur normal u plan e projection n est parallèle à aucun es aes P [ ] P [ ] P [ ] Les projecteurs sont parallèles au vecteur normal u plan e projection 8 Projection orthographique parallèle le (Projection isométrique ) Projection orthographique parallèle le (Projection imètrique ) La projection est obtenue par l alignement u vecteur e projection (DP) avec la iagonale u cube. Le plan e projection coupe chaque ae es cooronnées à la même istance e l origine. 9 Eemple e projection imètrique. 2 Log 75 - Infographie 5

6 Projections aonométriques ans la forme matricielle Construite en manipulant l objet, en utilisant es rotations et es translations. Après cela, la projection sur un es plans cooronnées est appliquée au points. [ ] [ ] [ T-] [ R ][ R ] Eemple: Étue u cas e la projection isométrique 2 plan e projection placé à l origine pour simplifier Projection orthographique parallèle le Projection aonométrique et isométrique Vecteur normal aligné avec la iagonale u cube 23 Comment faire la projection? Problème ifficile. Comment le simplifier? Choisissons un plan que nous connaissons; le plan XY, par eemple. Si nous projetons l objet sur le plan XY tout ce que nous evons faire est e mettre la cooronnée Z égale à éro. Comment faire en utilisant une matrice? 24 Log 75 - Infographie 6

7 P [ ] Projection orthographique parallèle le ans la forme matricielle Vues e evant, en haut et e côté : la projection est faite sur un es plans perpeniculaires au aes es cooronnées en mettant une es cooronnées u point à. [ P ] P [ ] 25 Avons nous besoin es cooronnées homogènes ans ce problème? Le plan passe par l origine, alors il n a pas e translation. Donc, nous n avons pas besoin e cooronnées homogènes ans ce cas. Cepenant, si le plan ne passe pas par l origine es cooronnées homogènes seront nécessaires à cause es translations. La matrice e projection sur le plan XY est alors réuite à : P [ ] 26 Alors, comment? Le plan e projection n est pas le plan XY!! Comment forcer le plan e projection à être le plan XY? Nous tournons la scène entière (en incluant le plan) jusqu à ce que le vecteur normal u plan e projection soit aligné avec l ae Z. Mais comment faire cela? Faire coïncier la projection u plan e projection avec le plan es XY. Rotation autour e Y. ) Premièrement faire tourner la scène autour e l ae Y Log 75 - Infographie 7

8 Faire coïncier la projection u plan e projection avec le plan es XY. Rotation autour e X. L 3 Mais comment trouver les angles? L α L 2 2) Alors la scène tourne autour e l ae e X L 2 Fig. A L L 3 α L 2 L 29 3 Avons nous besoin es angles? En fait, la matrice seulement possèe le cosinus et le sinus es angles. Alors, nous avons besoin es angles uniquement pour calculer le cosinus et le sinus es angles. Une fois que nous les avons calculés nous pouvons les introuire ans la matrice corresponante Mais attention. La rotation autour e Y se fait ans le sens es aiguilles une montre, alors que la rotation autour e X se fait ans le sens contraire es aiguilles une montre 3 X : cos Y : sin Rotation autour es aes cooronnées ans le sens contraire au aiguilles une montre α α cos sin α α sin cos sin cos α α α α cos sin Z : cos Y : sin α α α α sin cos α α sin α cos α 32 Log 75 - Infographie 8

9 Projections Aonométriques ans la forme matricielle Construite en manipulant l objet, en utilisant es rotations et es translations. Après cela, la projection sur un es plans perpeniculaires au aes es cooronnées est appliquée au points. [ ] [ ] [ T-] [ R ][ R ] Dans ce cas nous n avons ni translations ni perspective 33 Projection isométrique : Solution cos α 2/ 3 6/3 sin α / 3 3/3 cos α / 2 2/2 sin α / 2 2/2 2/2 2/2 2/2 6/6 2/6 R 6/3 3/3 6/3 3/3 2/2 2/2 3/3 6/3 2/2 6/6 2/6 2/2 6/6 2/6 M 6/3 3/3 2/2 6/6 2/6 2/2 6/6 6/3 2/2 6/6 34 Projections Aonométriques : Conclusion Une attention spéciale oit être onnée à l orre es rotations; Si la transformation s arrête ans la matrice e projection sur le plan XY, les cooronnées 2D résultantes sont relatives à un nouveau sstème e cooronnées ont le plan XY coïncie avec le plan e projection; on peut le voir comme si le sstème e cooronnées tourne aussi. Pour obtenir leurs cooronnées 3D corresponantes ans le sstème e cooronnées précéent, toutes les transformations inverses oivent être multipliées ans l orre inverse après la matrice e projection. 35 Projecteurs Projections Obliques plan e projection Projection e l objet DP Objet projeté 36 Log 75 - Infographie 9

10 Projections Obliques Projection Cavalière Direction e la projection n est pas perpeniculaire au plan e projection DP coupe le plan e projection en faisant un angle oblique avec celui-ci. Une projection cavalière est obtenue quan l angle est e 45º. Pour une projection cabinet l angle est e 63.43º. La matrice e projection est une combinaison e transformations étirement et e projection orthographique Projection Cabinet Projection orthographique 3D sur un plan utilisant es vecteurs N * P + * p N * P P (P N * + * ) N * 2 N * N * P pas normalisé P (,, ) N p P P 2 4 P 3 Log 75 - Infographie

11 Projection oblique 3D sur un plan utilisant es vecteurs ( P N * + ) V v N * V P P + V (P N * +) N * V N * et V pas normalisés P(,,) V v N * P P 2 4 P 3 P Point e fuite Projection en Perspective Point e fuite horion 42 Projection en Perspective Réaliste: La taille e la projection un objet varie inversement avec sa istance e CP ; Inutile pour maintenir la forme et les mesures eactes ; La projection e n importe quel ensemble e lignes parallèles non parallèles au plan e projection convergent vers un point e fuite. Catégorisé par le nombre e points e fuite principau 43 p p Calcul une perspective e point e fuite unique p - + où r / -r+ (,,) p Plan e projection -+ point projeté CP 44 Log 75 - Infographie

12 p p Calcul une perspective e point e fuite unique p - + où r / -r+ (,,) p -+ Plan e projection point projeté CP Calcul une perspective e point e fuite unique Représentation en forme matricielle:,, r / -r+ -r+ [ ] [ ] ' ' ' -r -r + -r + -r + [ -r + ] Perspective e point e fuite unique Perspective e point e fuite unique plan e projection P(,,) Point e projection P(,,) CP CP 2 CP Distance focale Log 75 - Infographie 2

13 Contrôle e la perspective Projection en perspective Plus est large, plus la projection ten vers une projection parallèle, où la profoneur a un petit effet ans les points projetés et moins e sensation ans la perspective obtenue. Plus est petit, plus la projection iverge e la projection parallèle. La profoneur a une influence consiérable sur les points projetés à la limite e créer es effets e perspective eagérés. CP 49 5 Projection en Perspective point e fuite Forme matricielle e la projection en perspective Une transformation affine est une combinaison e transformations linéaires. Pour les transformations affines, la ernière colonne e transformation matricielle générale 44 est [ ] T. Si la ernière colonne est e la forme [-p -q -r ] T, la transformation en perspective bilinéaire est éfinie Log 75 - Infographie

14 Centre e projection et point e fuite Le point avec les cooronnées [ /r] est le centre e projection. Le point avec les cooronnées [ -/r] est le point e fuite. Les transformations en perspective e eupoints et trois-points ont respectivement 2 et 3 paires e centres e projection et e points e fuite. [ ' ' ' ] [ ] Perspective e point e fuite unique r+ -r r + [ r + ] Perspective e eu points e fuite Perspective e trois points e fuite [ ' ' ' ] [ ] -qr+ -q -r -qr + [ -qr + ] [ ' ' ' ] [ ] -pq r + -pq r + -p -q -r [ -pq r + ] Log 75 - Infographie 4

15 Projection en perspective e trois points e fuite. Trois centres e projections: sur l ae e [/p ], sur l ae e [ /q ], et sur l ae e [ /r]. Trois points e fuite : sur l ae e [-/p ], sur l ae e [ -/q ], et sur l ae e [ -/r]. Projections : Sommaire Projection géométrique plane projection parallèle : DP (Direction e Projection) Orthographique et Oblique Projection en perspective : CP (Centre e Projection) Projections e point e fuite unique, e eu points et e trois points Volume e visualisation Volume e visualisation Limite la portion u mone qui est écrêtée et projetée sur le plan e projection. Perspective : pramie semi-infinie avec sommet au CP et bors passants par les coins e la fenêtre. Le volume e visualisation oit être fini afin e limiter le nombre e primitives projetées sur le volume e visualisation. Plans écrêtage frontal et arrière Log 75 - Infographie 5

16 Visualisation 3D : Sommaire Les projections géométriques planes peuvent être ivisées en eu classes: parallèle et perspective Les projections en 3D transforment es points 3D ans es points 2D sur un plan e projection. La matrice e transformation 4 4 ans la ernière colonne est utilisée pour les projections en perspective. Le volume e visualisation 3D limite la portion u mone qui oit être écrêtée et projetée sur le plan e projection. Eercice 6. En utilisant la projection parallèle, projete le point (,5,) sur le plan éfini par les points (4,,), (,3,) et (,,). Premièrement utiliser la méthoe es vecteurs, puis étermine les matrices 3D et 2D. Utilise la formule: N * P P (P N * + * ) N * Solution e l eercice l 6. Points P, P 2 et P 3 stockés ans cet orre Pas e normale. On oit la calculer. N (P 3 - P 2 ) (P - P 2 ) * N * P P 2 P 3 63 Solution e eercice 6. : ruses u prouit vectoriel P, P 2, et P 3 sont par convention stockés ans l orre inverse au aiguilles une montre. Pourquoi? Il permet e savoir que le prouit vectoriel est N (P 3 - P 2 ) (P - P 2 ) et P pas (P - P 2 ) (P 3 - P 2 ) P 2 Dans le prouit vectoriel aitionne tous les termes et multiplie chacun eu par (-) r+c, r et c sont le rang et la colonne e i, j et k P 3 64 Log 75 - Infographie 6

17 Solution e l eercice l 6. P (4,,), P 2 (,3,), P 3 (,,) N (P 3 - P 2 ) (P - P 2 ) * -3 N i i j -3 k j + -3 k * N (3, 4, 2), avec norme N * * 2 * P 3 N * 2 P N * ( ) 33 (P N * + * )/ N * 2 29/ V N * (29/) (873/, 64/, 3492/) P (, 5, ) V (24/, 7/, 69/) 65 Eercice 6. -Solution matricielle θ ϕ Cette configuration forme eu triangles rectangles: et 5-2-; Le sinus et cosinus es angles e rotation peuvent être éuits u iagramme sur la gauche. 66 Eercice 6.- Solution matricielle 3 4 cos ϕ sin ϕ cos θ sin θ R Eercice 6.- Solution matricielle La matrice e projection en 3D peut être résumée par la matrice P ci-essous, la transformation matricielle finale est M. M P Τ (le plan ne passe pas par l origine, + * 2) Τ 4 4 P Log 75 - Infographie

18 Eercice 6.- Solution matricielle En multipliant la matrice e projection sur le plan XY par la première matrice e gauche (comme suggéré avant) on obtient le résultat suivant : P Eercice 6.- Solution matricielle Pour la translation on peut utiliser n importe quel point u plan éfini tel que (,,), alors: Τ Τ M Eercice 6.- Solution matricielle Nous multiplierons alors, en premier la matrice T + comme suggéré précéemment : Τ Eercice 6.- Solution matricielle On copie simplement la valeur ans la position corresponante comme montré ci-essous. Après nous multiplierons les eu «granes» matrices avant e multiplier T : M Log 75 - Infographie 8

19 Eercice 6.- Solution matricielle Eercice 6.- Solution matricielle Maintenant on multiplie T M M En multipliant les points (,5, ) par M, nous obtenons les points projetés ci-après: P [ 5 ] M P Eercice 6. Solution en 2D La matrice e projection 2D peut être résumée par la matrice M 2 ci-essous. M Eercice 6. Solution en 2D En multipliant la matrice e projection sur le plan XY en premier par la matrice e gauche (comme suggéré avant) nous obtenons le résultat suivant: M Log 75 - Infographie 9

20 Eercice 6. Solution en 2D En multipliant le point (,5, ) par M 2, nous obtenons le point projeté suivant : M P 2 [ 5 ] M 2 P Log 75 - Infographie 2