TP-cours n 7 : Câble coaxial

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1 TP-cours n 7 : Câble coaial Matériel disponible : Câble coaial enroulé de 100m, GBF Centrad, adaptateurs BNC-banane, boite à décade de résistances. I Équation de propagation dans le câble coaial I.1 Introduction Les câbles coaiau (ou ligne bifiliaire) sont couramment utilisés dans la vie de tous les jours (câble d antenne de télévision, internet par le câble, liaison borne Wi-Fi/antenne...) et en travau pratiques. La structure particulière du câble coaial est représentée ci-contre : le conducteur central, appelé l âme est un cylindre conducteur en cuivre ; le conducteur etérieur est constitué d un tresse de fils en cuivre très fins où d une feuille de métal enroulée ; l espace entre les deu conducteurs est comblé par un matériau diélectrique isolant de permittivité relative ɛ r et de perméabilité relative µ r ; la gaine etérieur protectrice est également en matériau isolant. Les deu parties conductrices permettent l aller et le retour du courant. Le signal arrive par le cœur et re-part par la tresse. L intérêt de ce type de câble par rapport à deu simples fils mis en parallèles est double : le champ magnétique généré par les courants à l etérieur du câble est nul et la tresse eterne agit comme une cage de Faraday pour le cœur ce qui atténue fortement les perturbations par d éventuels champs etérieurs. Lorsque du courant alternatif circule dans les conducteur, il est à l origine d un champ magnétique dans l espace intersticiel isolant. Ce champ magnétique possède, à priori, un flu non nul à travers le circuit : un câble coaial va posséder une inductance propre linéique λ non nulle. De façon similaire, la structure géométrique particulière constitué de deu conducteur en vis-à-vis correspond à une structure de type condensateur : un câble coaial va posséder une capacité linéique γ non nulle. On peut montrer que λ = µ ( ) 0µ r D 2π ln et γ = 2πɛ 0ɛ r ( ) où d est le diamètre de l âme et D le diamètre de la tresse. d D ln d Les câbles coaiau de longueur L = 100 m dont on dispose possèdent une inductance linéique λ = 3, H.m 1 et une capacité linéique γ = 5, F.m 1. I.2 Modèle électrique à constantes réparties Pour décrire le comportement du câble, on utilise un modèle dit à constantes réparties. On considère un élément de câble compris entre les abscisses et + d. Ce tronçon de câble possède : une inductance dl = λd proportionnelle à sa longueur, une capacité dc = γd On représente le circuit équivalent à ce tronçon de câble par le schéma électrique suivant : λd i (, t) i ( + d, t) u(, t) γd u( + d, t) où la branche du haut correspond à la tresse, la branche du bas correspond à l âme, l inductance propre est le long de la tresse et la capacité est entre les deu conducteurs. Remarque : le fait de considérer que le courant peut ne pas être le même en des points d abscisse et + d semble entrer en contradiction avec l ARQS, nous verrons qu il n en est rien. D. Manuel 1 Lycée Jean Dautet

2 1. Eprimer la loi des mailles et la loi des nœuds au circuit électrique du schéma. 2. Effectuer un développement limité au premier ordre des grandeurs u( + d, t) et i ( + d, t) pour établir les u (, t) = λ (, t) deu relations de couplage (, t) = γ u (, t) 3. Découpler ces équations en dérivant la première par rapport à t et la seconde par rapport à et obtenir une équation d onde bien connue vérifiée par i. 4. Comment s eprime la célérité v de l onde dans le câble en fonction de λ et γ? Vérifier l homogénéité de la relation. Et en fonction de la célérité de la lumière dans le vide c, de ɛ 0 et de µ 0? 5. Quelle est la distance caractéristique des variations spatiales de u et i si l on suppose que les variations temporelles sont à pulsation ω? Que penser alors de l ARQS que l on utilise un travau pratiques avec les câbles coaiau? I.3 Aspect énergétique 6. Donner l epression de l énergie magnétique de L contenue dans le tronçon de longueur d. En déduire que l énergie magnétique linéique s eprime e L = 1 2 γi 2 (, t). 7. Montrer de même que l énergie électrique linéique s eprime e C = 1 2 γu2 (, t). 8. On note P (, t) = u(, t)i (, t) la puissance que la partie du câble à gauche de transfère à la partie du câble à droite de. Montrer que (e L + e C ) = P II Réfleion en bout de ligne : grandeurs couplées et impédance caractéristique Nous avons obtenus deu équations de couplage entre u(, t) et i (, t) : les variations spatiales de l une sont reliées au variations temporelles de l autre et inversement. C est une caractéristique générale : dans tous les phénomènes propagatifs nous pourrons faire apparaitre de telles grandeurs physiques couplées. II.1 Retour sur la corde vibrante Dans le cas du câble coaial, les grandeurs couplées apparaissent naturellement, c est un peu moins vrai pour la corde vibrante. 2 y (T α) Si l on réécrit l équation obtenue par le PFD µ l = sous la forme v y = 1 ( T y ), on obtient une 2 µ l première équation de couplage entre v y et T y. La deuième équation provient de l approimation d ordre 1 T y = y T 0 sinα T 0 ainsi ( T y ) y y v y = T 0 = T 0 = T 0. Il y a donc une analogie parfaite entre les deu phénomènes = 1 u ( T y ) = 1 v y i (, t) v y (, t) λ u = 1 µ l u(, t) T y (, t) v y ( T y ) γ 1/T 0 = T γ 0 λ µ l II.2 Impédance caractéristique de la ligne On suppose pour commencer que la solution de l équation de propagation sur i (, t) est de la forme OPP + : i (, t) = f ( t ) c. 9. Utiliser les équations de couplage pour eprimer u (, t) en fonction de f puis réintégrer cette équation pour eprimer u(, t) sous la forme u(, t) = 1 γc f ( t ) c + ϕ() où ϕ() est une constante d intégration indépendante de t. D. Manuel 2 Lycée Jean Dautet

3 10. Réinjecter cette solution dans la deuième équation de couplage et montrer que ϕ() = 0. λ La relation de proportionnalité u(, t) = γ i (, t) définit l impédance caractéristique de la ligne Z λ c = γ 11. Calculer la valeur numérique de Z c avec les données trouvées précédemment. 12. Montrer que la relation vérifiée par une OPP - i (, t) = f ( t + ) c est du type u(, t) = Zc i (, t). ( Dans le cas général i (, t) = f t ) ( + g t + ) ( donc u(, t) = Z c f t ) ( Z c g t + ). c c c c II.3 Comportement en bout de ligne - adaptation d impédance Le câble coaial est un élément physique de taille finie et après avoir mis bout-à-bout un grand nombre de tronçons de longueur d, on arrive au bout du câble en = L. Au bout du câble, il est possible de brancher divers composants d impédances Z variables : on peut laisser le bout du câble ouvert, ce qui correspond à une impédance Z = + ; on peut au contraire brancher relier l âme et la tresse par un fil, ce qui correspond à une impédance Z = 0 ; enfin, il est possible de brancher une résistance variable donc Z = R. i (0, t) i (L, t) u(0, t) Z u(l, t) De manière générale dans la suite, nous noterons i (, t) = i i t c + ir t + c où l OPP + ii sera appelée onde incidente et l OPP - i r sera appelée onde réfléchie. De même on notera u(, t) = u i t c + ur t + c. On définit les coefficients de réfleion en amplitude : pour le courant, r i = i r (L, t) i i (L, t) et pour la tension, r u = u r (L, t) u i (L, t). 13. Comment sont reliées les grandeurs u(l, t) et i (L, t) du fait de la présence de l impédance terminale Z? 14. Utiliser la définition de l impédance caractéristique pour eprimer le coefficient de réfleion en courant r i. 15. En déduire que le coefficient de réfleion en tension vaut r u = Z Z c Z + Z c. Que vaut-il pour les différentes impédance citées plus haut? Ce résultat est très général et est transposable à tous les phénomènes ondulatoires. Lorsque le coefficient de réfleion est nul, l onde incidente est totalement absorbé par l impédance terminale et il n y a pas d onde réfléchie : on parle d adaptation d impédance. On définit ensuite un coefficient de réfleion énergétique, défini par R = < P r > < P i > et qui fait intervenir les puissance moyennes de l onde incidente et de l onde réfléchie. On montre que ce coefficient est également relié au impédances de sorte que R = Z Z c 2 Z + Z c 2. II.4 Mise en série de plusieurs câbles : onde transmise De manière encore plus générale, on peut considérer que le premier câble d impédance caractéristique Z 1 est relié à un deuième câble d impédance caractéristique Z 2 (qui peut être identique où non). Dans ce cas, il peut eister une onde réfléchie si Z 2 Z 1 ainsi qu une onde transmise si Z 2 +. On écrit i 1 = i i + i r, u 1 = u i + u r, i 2 = i t et u 2 = u t où l indice t indique l onde transmise. Les relations de continuité { ii (L, t) + i r (L, t) = i t (L, t) en = L imposent u i (L, t) + u r (L, t) = u t (L, t) 16. Montrer que l on obtient r u = u r = Z 2 Z 1 = r i, t u = u t = 2Z 2 et t i = i t = 2Z 1. Que dire de ces u i Z 2 + Z 1 u i Z 2 + Z 1 i i Z 2 + Z 1 valeurs? D. Manuel 3 Lycée Jean Dautet

4 On peut ensuite définir un coefficient de transmission énergétique, défini par T = < P t > < P i >. On montre que ce coefficient est relié au impédances par T = 4Re(Z 2Z1 ) Z 1 + Z 2 2. Les deu coefficients sont reliés par la relation R + T = 1 qui correspond à la conservation de l énergie! III Dispersion et absorption : étude de l atténuation On observe epérimentalement que l impulsion réfléchie est d amplitude plus faible que l impulsion émise et cela même dans le cas idéal où r u = 1 : il eiste un phénomène dissipatif non pris en compte. On va dont raffiner le modèle à constantes réparties pour tenir compte de la résistance : i (, t) λd r d i ( + d, t) u(, t) γd g d u( + d, t) où on introduit la résistance r d du tronçon due au caractère imparfait du conducteur (résistance de l âme et de la tresse) en série avec l inductance ainsi que la conductance g d du tronçon due au caractère non parfait de l isolant (entre l âme et la tresse) en parallèle du condensateur. 17. Ré-écrire la loi des mailles et les loi des nœuds en tenant compte des modifications. u 18. Mettre les équations de couplage sous la forme + λ + r i = 0 + γ u + g u = 0 En dérivant la première par rapport à et la seconde par rapport à t, on obtient l équation d onde sur u : 2 u 2 = u λγ 2 + (g λ + r γ) u 2 + r g u = 0. Il ne s agit plus de l équation de d Alembert mais d une équation plus compliquée faisant intervenir en plus la dérivée première de u ainsi que la fonction u elle-même. Il s agit toujours d une équation différentielle linéaire ce qui va nous permettre d utiliser les méthodes de superposition. On va chercher des solutions du type OPPHC u(, t) = u 0 epi (ωt k(ω)+ϕ) où le vecteur d onde k(ω) dépend à priori de ω et peut être complee. On le décomposera en k(ω) = k 1 (ω)+ik 2 (ω). La solution réelle correspondante sera alors de la forme u(, t) = u 0 e k 2(ω) cos(ωt k 1 (ω) + ϕ) qui est une onde amortie (si k 2 k 1 < 0) dont le coefficient d amortissement k 2 (ω) et le vecteur d onde k 1 (ω) dépendent à priori de la pulsation. 19. Injecter la forme de la solution dans l équation d onde et obtenir l équation de dispersion k 2 ω2 + iω(λg + γr ) + r g = 0. c2 20. Simplifier cette équation dans les conditions de Heaviside (r γ = g λ) et montrer que dans ce cas k = ± ω ( r ) 1 i. c λω Dans ce cas, le câble est absorbant (k 1 k 2 < 0) mais n est pas dispersif car k 2 ne dépend pas de ω et la célérité de l onde non plus. La célérité n est pas modifiée et vaut toujours c = 1/ λγ et on fait apparaitre la distance caractéristique d atténuation δ = 1 k 2 = Z c r. Dans ces conditions, un OPP quelconque sera de la forme u(, t) = e /δ f (t /c). D. Manuel 4 Lycée Jean Dautet

5 Travail epérimental Montage : Régler le GBF centrad pour qu il émette un signal créneau, d amplitude comprise entre 0 et 10 V à la fréquence f = 300 khz. Régler le duty du créneau sur 10% : le signal ressemble à une impulsion de largeur T /10 qui se répète tous les T. Relier le GBF avec un petit câble coaial sur un branchement en T. Relier le câble de 100 m à un autre bout et relier le dernier bout à l oscilloscope. Brancher l adaptateur BNC-banane à l autre bout du câble coaial long. 1. Caractéristique de l onde progressive : Mesurer la capacité totale du fil au capacimètre et en déduire sa capacité linéique γ. Évaluer les diamètres de l âme et de la tresse puis en déduire un ordre de grandeur de la permittivité relative ɛ r de l isolant. Mesurer la célérité de l impulsion. L onde effectue un aller-retour dans le câble. Comparer au résultat théorique. 2. Réfleion et adaptation d impédance : Observer le comportement de l onde réfléchie en fonction de l impédance connectée en bout de câble : circuit ouvert, fil, résistance. Trouver la valeur de l impédance qui atténue le plus l onde réfléchie. Comparer à la valeur théorique. 3. Atténuation de l onde réfléchie : Mesurer l amplitude de l onde réfléchie dans le cas où le circuit est ouvert, la comparer à l amplitude émise et en déduire la valeur de la longueur d atténuation δ. Remonter à la valeur de r, la résistance linéique du câble coaial. D. Manuel 5 Lycée Jean Dautet