BREVET BLANC MATHÉMATIQUES AVRIL 2012 CORRECTION

Transcription

1 BREVET BLANC MATHÉMATIQUES AVRIL 202 CORRECTION Barème présentation : point de présentation générale (propreté, clarté de l'écriture), 0,5 points pour l'orthographe (uniquement si trop de fautes simples), 0,5 points pour les phrases réponse/conclusion, 0,5 points pour énoncer correctement le théorème de Thalès, 0,5 points pour énoncer correctement la réciproque du théorème de Thalès, 0,5 points pour énoncer correctement le théorème de Pythagore, 0,5 points pour une tentative d'explication des diviseurs communs. PARTIE NUMÉRIQUE Exercice : Barème : 6 points L expression développée de (7x 5) 2 est : L image de 5 par la 49x x 2 70x+25 49x fonction f telle que f (x) = 3x +2 est : La notation scientifique de 0, , est : , Le nombre est égal à : L expression factorisée de (x + ) 2-9 est : Quels sont les nombres premiers entre eux? (x - 2) (x + 4) 774 et 338 x 2 + 2x 8 63 et 44 (x - 8) (x + 0) 035 et

2 Exercice 2 : Barème : 3 points Choisir un nombre entier positif Élever ce nombre au carré Ajouter 3 au résultat obtenu Puis, multiplier par 2 le résultat obtenu Soustraire 6 au résultat précédent Enfin, prendre la moitié du dernier résultat Écrire le résultat final a b. Si le résultat du programme était 36, le nombre choisi par Sophie serait x x 2 x ( x 2 +3) 2( x 2 +3) 6 (2(x 2 +3) 6) réduction : = (2x2 +6 6) = 2x =x2 Le programme simplifié en une seule étape devient donc (2 (x 2 +3) 6) 2 Choisir un nombre entier positif Élever ce nombre au carré Exercice 3 : Barème : 3 points. a b Division euclidienne de a par b reste = 55 x = 3 x Le PGCD de 86 et 55 est le dernier reste non nul : 3 ou Méthode euclidienne : a) Le nombre de colis qu'il pourra réaliser divise 86 et 55 et doit être le plus grand possible, c'est donc le PGCD de 86 et 55 : 3 86 b) Il y aura 3 =6 55 pralines et 3 =5 chocolats dans chaque colis.

3 Exercice : Barème : 3 points PARTIE GÉOMÉTRIQUE (2 points) Simon joue avec son cerf-volant au bord de la plage. La ficelle est déroulée au maximum et elle est tendue, elle mesure 50 m. S : position de Simon C : position du cerf-volant SC = 50m. SCH est un triangle rectangle en H donc sin( ĤSC)= CH SC sin(80 )= CH 50 CH =50 sin (80 ) 49m(arrondi au m près) 2. Il a tort, appelons C' la nouvelle position du cerf-volant ; on a : SC'H' est un triangle rectangle en H' donc sin( Ĥ'SC')= C ' H ' SC ' sin(40 )= C ' H ' 50 C ' H '=50 sin(40 ) 32m(arrondi au m près) D [C ' H ' ] donc HD = CH - CD HD m(arrondi au m près)

4 Exercice 2 : Barème : 3,5 points Les longueurs sont données en centimètres. On sait que les droites (BD) et (CE) sont parallèles. On donne OB = ; OC = 0,8 ; OD = 6 et CE = 5,. La figure n'est pas en vraie grandeur, il n'est pas demandé de la reproduire.. Calculer OE puis BD. Deux droites (BC) et (DE) se coupent en O, et les droites (BD) et (CE) sont parallèles. Donc selon le théorème de Thalès, on a : OB OC = OD OE = BD CE 0,8 = 6 OE OE= 6 0,8 0,8 = 6 OE = BD 5, 0,8 = BD 5, BD= 5, 0,8 OE=9 BD=3,4 2. On donne OG = 2,4 et OF = 2. Démontrer que (GF) et (BD) sont parallèles. Deux droites (GB) et (FD) se coupent en O, OG D'une part, OB = 2,4 = = 3 OF D'autre part, OD = 2 6 = OG donc 3 OB = OF OD De plus, les points F,O,D et les points G, O, B sont alignés et dans le même ordre, Alors selon la réciproque du théorème de Thalès, les droites (GF) et (BD) sont parallèles.

5 Exercice 3 : Barème : 5,5 points La figure ci-contre n'est pas en vraie grandeur. On ne demande pas de la reproduire. SABC est une pyramide telle que : la base ABC est un triangle rectangle en B, AC = 5,2 cm et BC = 2 cm, la hauteur [SB] de la pyramide mesure 3 cm. On rappelle que la formule de calcul du volume d'une pyramide est : Volume= 3 aire de la base hauteur associée.. Construire un patron en vraie grandeur de la pyramide SABC. 2. Montrer que : AB = 4,8 cm. Dans le triangle ABC rectangle en B, selon le théorème de Pythagore : AC² = AB²+BC² 5,2²=AB² +2² AB² =5,2² 2² AB² =23,04 AB= 23,04 AB=4,8 cm 3. Calculer le volume de la pyramide SABC en cm 3. V SABC = aire de la base hauteur associée 3 4,8 2 = ( 3) 3 2 4,8 2 3 = 3 2 = 4,8 cm3. le volume de la pyramide SABC est de 4,8 cm On coupe la pyramide SABC par un plan parallèle à sa base pour obtenir une pyramide SA'B'C' telle que SB' =,5 cm. Calculer le volume de la pyramide SA'B'C' en cm 3. La pyramide SA'B'C' est une réduction de la pyramide SABC (car elle résulte d'une section par un plan parallèle à la base.) Coefficient de réduction k= SB ' SB =,5 3 = 2 V SA'B'C' = k 3 x V SABC = ( 2 ) 3 4,8 = 4,8 8 V SA'B'C' = 0,6 cm 3 Le volume de la pyramide SA'B'C' est de 0,6 cm 3.

6 PROBLÈME (2 points) PARTIE A Une compagnie de transport maritime met à disposition deux bateaux appelés CatamaranExpress et FerryVogue pour une traversée inter-îles de 7 kilomètres.. Le premier départ de CatamaranExpress est à 5 h 45 min pour une arrivée à 6 h 5min. Calculer sa vitesse moyenne en km/h. vitesse= distance durée = 7km (6h5min 5h45min) = 7km 30min =7km 2 7 km = =34 km/h 2 h h La vitesse moyenne du CatamaranExpress est de 34 km/h. (,5 points) 2. La vitesse moyenne de FerryVogue est de 20 km/h. À quelle heure est prévue son arrivée s il quitte le quai à 6 h? vitesse= distance durée= distance donc vitesse = 7km durée 20 km = 7 km h =0,85h=0,85 60min=5 min 20 km h Si FerryVogue quitte le quai à 6 h, l'heure prévue d'arrivée est 6 h 5 min. (,5 points) PARTIE B On donne en document annexe les représentations graphiques C et C 2 de deux fonctions. L une d entre elles est la représentation graphique d une fonction affine g définie par : g (x) = 000x À l aide du graphique, répondre aux questions suivantes en faisant apparaître les tracés nécessaires à la lecture graphique.. Les coordonnées du point E sont E ( 7 ; 2000 ) (0,5 points) 2. Quelles sont les abscisses des points d intersection des deux représentations graphiques? Les abscisses des points d intersection sont 3 et Laquelle de ces représentations est celle de g? Justifier. C2 est la représentation graphique de g, car c'est la seule a être une représentation graphique d'une fonction affine ( droite ne passant pas forcement par l'origine ). OU l'ordonnée à l'origine de la fonction g est 6000, et C2 passe par le point (0;6000) 4. Quelle est l image de 2 par la fonction g? Vérifier la réponse par un calcul. Par lecture graphique, l'image de 2 par la fonction g est Vérification : g( x)=000 x+6000 g (2)= g (2)= g (2)= Quel est l antécédent de par la fonction g? Retrouver ce résultat en résolvant une équation. Par lecture graphique, l'antécédent de par la fonction g est 9. g( x)=000 x =000 x =000 x 9000=000 x =000 x (,5 points) 000 x=9 Par résolution d'équation,l'antécédent de par la fonction g est 9.

7 PARTIE C La compagnie de transport maritime propose trois tarifs pour un voyage quel que soit le bateau choisi : Tarif M: on paie euros chaque voyage. Tarif N: on paie une carte mensuelle à euros auquel s ajoute 000 euros pour chaque voyage. Tarif P : on paie euros par voyage jusqu au septième voyage puis on effectue gratuitement les autres traversées jusqu à la fin du mois.. Les prix à payer en fonction du nombre de voyages, avec deux de ces tarifs, sont représentés par les courbes C etc 2. Indiquer sur votre copie pour chaque courbe, le tarif associé. (Aucune justification attendue) La courbe C représente le tarif P et la courbe C2 représente le tarif N 2. Sur le document annexe (à rendre avec la copie) où figurent C etc 2, construire la représentation graphique de la fonction f définie par : f : x 2500x. (2 points) 3. Par lecture graphique et en faisant apparaître les tracés utiles sur le document annexe ci-dessous, trouver pour combien de voyages le tarif N est plus avantageux que les deux autres. Le tarif N est plus avantageux que le tarif M si on achète plus de 4 voyages. Et le tarif N est plus avantageux que le tarif P si on achète moins de 5 voyages. Annexe : Tarif M Tarif N Tarif P