Séquence 1. Suites numériques

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1 Séquece Suites umériques Objectifs de la séquece Recoaître des situatios faisat iterveir des suites géométriques ou des suites arithmético-géométriques. Modéliser ces situatios par des suites géométriques ou arithmético-géométriques. Utiliser de telles suites pour prévoir des évolutios (itérêts composés, populatio, etc.). Se méfier de la limite ituitive de certaies suites (voir les deux paradoxes). Sommaire. Pré-requis. Somme de termes cosécutifs d ue suite géométrique 3. Limite d ue suite géométrique de raiso strictemet positive 4. Suites arithmético-géométriques 5. Sythèse de la séquece 6. Exercices de sythèse Séquece MA0 Ced - Académie e lige

2 Pré-requis A Défiitio - Modes de costructio. Défiitio Ue suite de ombres réels est ue foctio défiie sur N (ou ue partie de N ) et à valeurs das R. Notatios Ue suite peut se oter u ou ( u ). Le terme de rag, oté u ou u( ), est l image de l etier aturel par la foctio u. Le terme u se lit "u" idice "" ou "u «èe»". Le terme u( ) se lit "u de ". Le premier terme de la suite (le plus souvet il s agit de u 0 ou de u ) est appelé terme iitial. Attetio : ( u ) désige ue suite alors que u désige u réel.. Modes de costructio Ue suite peut être défiie de maière explicite : le terme u est exprimé e foctio de. Ue suite peut être défiie par récurrece : o doe u terme (le plus souvet le terme iitial) et ue relatio défiissat chaque terme e foctio du terme précédet. Exercice Solutio Soit ( u ) la suite défiie par so terme gééral u = + (pour 0). Quelle est la foctio f associée à la suite ( u )? La suite ( u ) est-elle défiie explicitemet ou par récurrece? Calculer les termes u0, u, u3, u 0. La foctio f associée à la suite ( u ) est la foctio f défiie sur [ 0 ; + [ par f( x) = x x +. La suite ( u ) est défiie de maière explicite car u = f ( ) = +. O a :u0 = ; u= + = ; u3 = = 485 ; u 0 = 0 0+ = Séquece MA0 3 Ced - Académie e lige

3 Exercice Solutio Soit u la suite défiie par u = et, pour tout,u+ = 05, u +. Quelle est la foctio f associée à la suite u? La suite u est-elle défiie explicitemet ou par récurrece? Calculer les termes u, u3, u4. Peut-o calculer immédiatemet u 0? La foctio f associée à la suite u est la foctio f défiie sur R par f( x) = 05, x +. La suite u est défiie par récurrece car u+ = f( u) = 05, u +. O a : u = 05, u+ = 05, + = 3. u3 = 05, u+ = 05, 3+ = 35,. u4 = 05, u3+ = 05, 3, 5+ = 375,. O e peut pas immédiatemet calculer u 0 : pour le faire il faudrait, soit coaître u 0, soit coaître ue formule exprimat u + e foctio de. O motrera (voir chapitre 4, exercice 0) qu il est possible d exprimer u + e foctio de. B Ses de variatio Soit u ue suite défiie sur N. La suite u est croissate (resp. strictemet croissate) sur N si, pour tout N, u u+ ( resp. u < u+ ). La suite u est décroissate (resp. strictemet décroissate) sur N si, pour tout N, u u+ ( resp. u > u+ ). La suite u est costate sur N si, pour tout N, u+ = u. Si la suite u est croissate ou décroissate sur N o dit qu elle est mootoe sur N. Méthodes pour étudier le ses de variatio d ue suite u : das tous les cas o peut étudier le sige de la différece de deux termes cosécutifs, par exemple u+ u. das le cas où u est défiie de maière explicite par u = f( ), la suite u varie comme la foctio f sur [ 0 ; + [. Exercice Soit ( u ) la suite défiie par so terme gééral u = f ( ) = + (pour 0). Détermier, de deux méthodes, le ses de variatio de la suite ( u ). 4 Séquece MA0 Ced - Académie e lige

4 Solutio Méthode u+ u = ( + ) + ( + ) ( + ) = ( + ). O a + > 0, d où u+ u > 0. Méthode Sur[ 0 ; + [ la foctio f a pour foctio dérivée la foctio f ' défiie par f'( x) = x +. O a, pour tout x 0, x+ > 0 ce qui implique que la foctio f est croissate sur [ 0 ; + [. O trouve, par les deux méthodes, que la suite ( u ) est croissate sur N. Exercice Soit u la suite défiie par u 0 = et, pour tout, u = ( u ) + 3u. Détermier le ses de variatio de la suite u. Solutio O a, pour tout, ( ) = u u = ( u ) + u = ( u ) u + ( u + ). D où, pour tout, u u La suite u est décroissate sur N. Remarque 0. Das cet exemple o a doé u e foctio de u (et o u+ e foctio de u ). Ce est pas souvet aussi facile d étudier le ses de variatio d ue suite défiie par récurrece. C Suites arithmétiques. Défiitio (formule de récurrece) Ue suite u est arithmétique s il existe u réel r tel que, pour tout etier aturel, u+ = u + r. Comme u+ u = r, la variatio absolue etre deux termes cosécutifs est costate et égale à la raiso r. Séquece MA0 5 Ced - Académie e lige

5 . Formules explicites Soit u ue suite arithmétique de raiso r défiie sur N. O a alors u = u0+ r; u = u+ ( ) r. plus gééralemet, pour tout N et pour tout p N, u = up + ( p) r. 3. Ses de variatio Soit u ue suite arithmétique de raiso r défiie sur N. Si r > 0 alors la suite arithmétique u est strictemet croissate sur N. Si r < 0 alors la suite arithmétique u est strictemet décroissate sur N. Si r = 0 alors la suite arithmétique u est costate sur N. Exercice Solutio Soit ( u ) la suite défiie, pour 0, par so terme gééral u =. Motrer que la suite ( u ) est arithmétique ; doer so premier terme et sa raiso. Détermier le ses de variatio de la suite ( u ). O peut écrire, pour tout etier, u+ u = ( + ) ( ) =. La suite ( u ) est arithmétique, de premier terme u 0 = et de raiso r =. O a motré queu+ u =. D oùu+ u > 0. La suite ( u ) est (strictemet) croissate sur N. D Suites géométriques. Défiitio (formule de récurrece) Ue suite u est géométrique s il existe u réel q tel que, pour tout etier aturel, u+ = u q. E supposat que, pour tout N, u est o ul o obtiet u+ u u = + = q. Aisi la variatio relative etre deux termes u u cosécutifs est costate et égale à q. 6 Séquece MA0 Ced - Académie e lige

6 . Formules explicites Soit u ue suite géométrique défiie sur N et de raiso q. O a alors u = u q ; u = u q. 0 plus gééralemet, pour tout N et pour tout p N, p u = up q. 3. Ses de variatio Exercice Solutio O cosidère le cas particulier où, pour tout etier aturel, v = q avec q > 0. Si 0 < q < alors la suite géométrique défiie parv = q est strictemet décroissate sur N. Si < q alors la suite géométrique défiie parv = q est strictemet croissate sur N. Si q = alors la suite géométrique défiie parv = q est costate sur N. + 3 Soit ( u ) la suite défiie, pour, par so terme gééral u =. Motrer que la suite ( u ) est géométrique ; doer so premier terme et sa raiso. Détermier le ses de variatio de la suite ( u ). O peut écrire, pour tout etier, u = = u La suite ( u ) est géométrique, de premier termeu = et de raisoq = 3. + O a u u 3 u u u 3 3 = = = =. + + D où u+ u > 0. La suite ( u ) est (strictemet) croissate sur N. Séquece MA0 7 Ced - Académie e lige

7 Somme A de termes cosécutifs d ue suite géométrique Objectifs du chapitre Calculer les sommes + q+ q q et a+ aq+ aq aq. B Pour débuter Activité Le jeu télévisé Vicet a été sélectioé pour participer à u jeu télévisé. Chaque mois o lui verse, pedat ue durée maximale de douze mois, ue somme d arget dot le motat iitial est de 000 euros le premier mois. Le versemet augmete, sur le modèle des itérêts composés, de 3 % chaque mois. Aisi le e mois Vicet touchera 030 euros, etc. O désige par v le motat, exprimé e euros, versé à Vicet le -ième mois (aisi v = 000). Pour les questios et o arrodira, évetuellemet, au cetime d euro. Calculer la somme exacte que Vicet touchera le 3 e mois. Quelle est la ature de la suite v? Exprimer v e foctio de. Calculer la somme que Vicet touchera le derier mois. Vicet veut calculer la somme totale qu il a gagée durat ces mois. O pose S = v+ v v. Détermier la somme S par l ue des deux méthodes suivates : Méthode : Détermier, à la calculatrice, les termes v4, v5,..., v. Calculer la somme S, arrodie à l euro près. Méthode : Utiliser u tableur pour effectuer le calcul de S. Activité Filo de mierai L etreprise Iro SA exploite u filo de mierai de fer depuis 950. La première aée d extractio l etreprise a récupéré toes de fer. Cepedat depuis 950, e raiso des difficultés croissates d extractio et de l appauvrissemet du filo, les quatités extraites dimiuet de % par a. 8 Séquece MA0 Ced - Académie e lige

8 O appellet le ombre de toes extraites l aée (950 + ). O a doc T 0 = Les résultats serot arrodis à la toe. Justifier que T = puis calculer T et T 3. Exprimer T + e foctio de T. Quelle est la ature de la suite (T )? E déduire l expressio de T e foctio de. Quelle est la quatité extraite e 0? E 950, les géologues estimaiet que ce filo recelait de toes de métal. Détermier à l aide d u tableur e quelle aée le filo serait, théoriquemet, épuisé. C Cours Das tout ce qui suit o e cosidère que les suites géométriques dot le premier terme est o ul. E effet, si le premier terme était ul, tous les termes suivats seraiet uls et ceci quelle que soit la raiso q.. Formule doat + q+ q q Soit v la suite géométrique de er terme v 0 = et de raiso q. Le terme gééral v est défii par v = v0 q = q. Exprimos la somme des (+) premiers termes de cette suite e foctio de q et. Posos S = + q+ q q + q. + O a alors qs = q + q q + q + q. + O e déduit S qs = q d où ( ) + qs = q. q Si q o obtiet S = +. q Si q = o obtiet S = = +. ( + ) fois Formule à reteir q Si q alors + q+ q + + q = q Séquece MA0 9 Ced - Académie e lige

9 Exemple = = = = 4 8 =... 0 =, Somme de termes cosécutifs d ue suite géométrique Soit u la suite géométrique de er terme u 0 et de raiso q. Le terme gééral u est défii par u = u0 q. Posos S = u0 + u + u u + u. (Cette somme compred + termes). D où S = u0+ uq 0 + uq uq 0 + uq 0. S = u0( + q+ q q ). Si q alors S = u q + 0. q Si q = alors S = ( + ) u0. Formule à reteir + q Si q alors u0 + uq 0 + uq uq 0 = u0. q Remarque Que deviet cette formule si le premier terme est pas u 0, mais u? Soit S = u + u + u + + u = u + uq+ uq + + uq 3 ( ) = q S = u + q+ q q u q.. Il vaut mieux reteir la formule suivate qui est valable que le premier terme soit u0, u, u, etc. Formule à reteir S représete la somme de termes cosécutifs d ue suite géométrique. ombre de termes er q Si q alors S = terme q. 0 Séquece MA0 Ced - Académie e lige

10 Exemple Solutio Soit ( v ) ue suite géométrique de er terme v et de raiso q > 0. O doe v = etv 4 3 =. 9 Calculer la raiso de la suite aisi que la somme des 0 premiers termes. O a v3 = v q v d où q = = =. Aisi q = v ou q = 3. Comme q > 0 o trouve q = 3. Calculos S = v + v + q v + + v = v q = 4 3 D où S = 0 3 4, soit S = 0, = 4 3. Exemple 3 Soit ( u ) la suite défiie, pour 0, par u = +. u O défiit alors, pour 0, la suite ( v ) par v =. Motrer que la suite ( u ) est arithmétique. Doer so premier terme et sa raiso r. Motrer que la suite ( v ) est géométrique. Doer so premier terme et sa raiso q. Calculer la somme des 0 premiers termes de la suite ( v ). Solutio O a u+ u = [ + ( + )] ( + ) =. La suite ( u ) est arithmétique de er terme u 0 = et de raiso r =. u 0 D après la défiitio o a v0 = =. O peut écrire v = + = = =. 4 E posat q = 4 o obtiet v v q = 0 ce qui prouve que la suite ( v ) est ue suite géométrique de er terme v 0 = et de raiso q = 4. Séquece MA0 Ced - Académie e lige

11 Calculos S = v + v + q v + + v = v q = 4 0 = 3 4. D où S = 0 3, soit S = 0, D Exercices d appretissage Exercice Ue balle élastique est lâchée d ue hauteur de m au-dessus du sol. À chaque rebod, la balle remote aux 9 de la hauteur atteite précédemmet. 0 Pour etier supérieur ou égal à, o désige par h la hauteur, e cetimètres, atteite à l issue du -ième rebod. O pose h 0 = 00. Calculer h et h. Exprimer h + e foctio de h et e déduire la ature de la suite h. E déduire l expressio de h e foctio de. Détermier le ses de variatio de la suite h. E déduire à partir de combie de rebods la balle demeurera-t-elle à mois de 0 cetimètres du sol. La balle rebodit 0 fois sur le sol. Calculer la distace totale parcourue par la balle depuis le lâcher jusqu au momet où elle touche le sol pour la dixième fois (arrodir au cm près). Exercice Le coseil muicipal d ue statio touristique de motage a décidé de faire équiper ue falaise afi de créer u site d escalade. L équipemet doit se faire depuis le pied de la falaise. Ue etreprise spécialisée das ce gere de chatier a été cotactée et a evoyé u devis que l o se propose d étudier. Devis de l etreprise Le premier mètre équipé coûte 50, puis chaque mètre supplémetaire équipé coûte 5 % de plus que le mètre précédet (50 pour équiper ue falaise de u mètre, ,50 = 0,50 pour équiper ue falaise de deux mètres, ,5 + 55,5 = 57,65 pour ue falaise de trois mètres, etc.). Séquece MA0 Ced - Académie e lige

12 O appelle u le prix du -ième mètre équipé et S le prix de l équipemet d ue falaise de mètres de hauteur. Exprimer u, puis S, e foctio de. Calculer le prix à payer pour équiper ue falaise de 50 mètres de hauteur. O arrodira le prix à l euro près. Le coseil muicipal a décidé d accorder u budget de pour équiper ce site. Calculer la hauteur de la falaise qui peut être équipée avec cette somme (arrodir au mètre près). Exercice 3 Exercice 4 Éora voudrait partir faire du ski durat le mois de mars, mais comme elle a pas assez d arget elle demade à so grad-père de l aider. Pour ue semaie de ski il lui faudrait ue somme de 000 euros. Elle lui demade doc de verser, chaque jour du mois de février (o bissextile), ue certaie somme d arget : cetime d euro le er février, cetimes d euro le février, 4 cetimes d euro le 3 février, etc. (la somme versée double d u jour au jour suivat). Le grad-père accepte volotiers. Combie le grad-père devra-t-il verser le 0 février? Calculer la somme totale que possèdera Éora à cette date. Éora peut-elle partir au ski avec cette somme? Détermier à partir de quelle date la somme versée à Éora lui permettra de partir au ski. Calculer la somme totale que devrait verser le grad-père durat ce mois de février. Qu e pesez-vous? Afi d acquérir et d améager ue boutique du cetre ville, u ivestisseur décide de cotracter u emprut d u motat de euros auprès de sa baque. Sa baque lui propose de rembourser ce prêt e 7 versemets répartis sur 7 as. Le premier remboursemet auel, oté b, serait d u motat de euros. Les remboursemets suivats seraiet e augmetatio de % par rapport au remboursemet précédet. O ote b le remboursemet fait l aée (avec 7) et par S la somme totale versée au bout de aées. Calculer b et b 3. Préciser la ature de la suite ( b ). Exprimer b, puis S, e foctio de. Calculer le motat total, arrodi à l euro, remboursé par l acquéreur. Séquece MA0 3 Ced - Académie e lige

13 3 Limite A d ue suite géométrique de raiso strictemet positive Objectifs du chapitre Détermier, suivat les valeurs de q, le comportemet de q lorsque deviet " aussi grad" que l o veut. Détermier, suivat les valeurs de v 0 et de q, le comportemet de v = v 0 q lorsque deviet " aussi grad" que l o veut. Coaître les limites à l ifii des suites u = q et v = v 0 q. Calculer la limite de la somme de termes cosécutifs d ue suite géométrique. B Pour débuter Activité 3 Marché des télécommuicatios Das u pays, deux sociétés A et B se partaget le marché des télécommuicatios. Le er javier 00 les cliets ot souscrit, soit auprès de A, soit auprès de B, u cotrat d u a au terme duquel ils étaiet libres à ouveau de choisir A ou B. E 00, la société A déteait 90 % du marché et la société B, qui veait de se lacer, 0 %. O estime que, chaque aée, 0 % de la clietèle de A chage pour B alors que 30 % de la clietèle de B chage pour A. O cosidère ue populatio de 000 cliets de l aée 00. Aisi, 900 étaiet cliets de la société A et 00 cliets de la société B. O veut étudier l évolutio de cette populatio les aées suivates. O ote a le ombre de cliets de A l aée (00 + ) et b le ombre de cliets de B l aée (00 + ). Vérifier que a = 750 et calculer a. La suite ( a ) est-elle géométrique? Établir que a+ = 08, a , ( a). E déduire que a+ = 0, 5a Cojecturer, à l aide de la calculatrice, le ses de variatio de la suite ( a ). Lorsque l etier deviet de plus e plus grad le terme a semble se rapprocher d ue valeur, otée l. Cojecturer la valeur de l. Que peut-o peser des parts de marché des deux sociétés à moye terme? O peut facilemet obteir les termes a, a, a3, a4, a5, etc. sur ue calculatrice. 4 Séquece MA0 Ced - Académie e lige

14 À l aide de la touche rép sur ue TI 8 Stats.fr Faire : 900 etrer puis 0,5 rép etrer etrer etrer a 0 a a À l aide de la touche As sur ue Casio Graph5+ Faire : 900 EXE puis 0,5 As EXE EXE EXE C Cours. Limite de q, avec q > 0, lorsque ted vers plus l ifii Le tableau suivat idique les valeurs de q 0 0. pour dix valeurs de q et pour Le cas q = est évidet car, pour tout 0, =. O cojecture que, pour 0 < q <, les valeurs de q se rapprochet de 0 lorsque augmete idéfiimet. O dit das ce cas que la limite de la suite ( q ) est égale à 0 et o ote lim q = 0. + O cojecture que, pour < q, les valeurs de q devieet de plus e plus grades lorsque augmete idéfiimet. O dit das ce cas que la limite de la suite ( q ) est égale à + et o ote lim q =+. + Séquece MA0 5 Ced - Académie e lige

15 Si pour q =, o est pas covaicu du résultat o peut, sur sa calculatrice, doer à de grades valeurs. Aisi, = 3 780, 6...;, = , 5..., etc. O admet les cojectures précédetes ce qui ous doe les résultats suivats : Raiso q Limite Covergece 0 < q < lim q = 0. + q = lim q =. + q > La suite ( q ) La suite ( q ) est covergete. est covergete. lim q =+. + La suite ( q ) est divergete. Remarque Quad o demade de calculer ue limite de suite c est TOU- JOURS das le cas où +. Défiitio Ue suite est dite covergete si elle admet ue limite fiie lorsque +. Ue suite qui est pas covergete est dite divergete. Exemple 4 Solutio Calculer les limites des suites géométriques ( q ) pour les valeurs suivates de q : q =,0 ; q = 0,99 ; q =,00 ; q = 0,999. Comme <,0 o a lim 0, =+. + De même <,00 d où lim, 00 =+. + Comme 0,99 < o a lim 099, = 0. + De même 0,999 < d où lim 0, 999 = 0. + Remarque La suite ( u ) défiie par so terme gééral u = ( ) est ue suite géométrique de raiso égative q =. O obtiet u0 =, u=, u =, u3, u4 = et u5 =. Pour pair o a u = et pour impair o a u =. Cette suite, dite " alterée", admet aucue limite lorsque +. Elle est divergete. 6 Séquece MA0 Ced - Académie e lige

16 . Limite de la somme S =+ q+ q q q O sait que, pour q, S = + q+ q + + q = q + Si 0 < q < alors lim q = 0 d où lim S =. + + q + Si < q alors lim q =+ d où lim S = Propriété Si 0 < q < alors lim ( + q+ q q ) =. + q ( ) =+ + Si q > alors lim + q+ q Exemple 5 lim = = et lim ( +, +, +, , ) =+. + Remarque La suite de terme gééral est ue suite croissate 4 8 ayat ue limite fiie. 3 La suite de terme gééral +, +, +, , est ue suite croissate ayat ue limite ifiie. 3. Limite d ue suite géométrique de raiso q > 0 Exemple 6 Détermier, e utilisat ue calculatrice, les limites des quatre suites géométriques suivates défiies, pour 0, par leur terme gééral : a = 56 0,79 ; b = 9,3 ; u = 3 0,9 ; v = 0, 3,3. Séquece MA0 7 Ced - Académie e lige

17 Solutio Voici des copies d écra de TI-8 : O obtiet les mêmes résultats sur ue Casio Graph 5+ O peut ecore predre des exposats plus grads si l o a quelques doutes. O obtiet : lim 56 0,79 = 0 ; lim 9,3 = ; lim 3 0,9 = 0 ; lim 0, 3,3 =+. + Soit ( u ) ue suite géométrique défiie par u = u0 q avec u0 0et q > 0. Les limites de la suite ( u ) sot doées das le tableau suivat : Limites de u q 0 0 < q < lim uq 0 = 0. + q = lim uq 0 = u0. + q > u 0 > 0 lim uq 0 =+. + u 0 < 0 lim uq 0 = Limite de la somme S = u0+ u0q+ u0q u q 0 (pour q ) Soit S la somme défiie par S = u + uq+ uq uq O peut écrire S = u0( + q+ q q ). Coaissat la limite de la somme + q+ q q o e déduit celle de S. 8 Séquece MA0 Ced - Académie e lige

18 Propriété u Si 0 < q < alors lim ( u0+ u0q+ u0q u q ) = q Si q > alors lim ( u0+ u0q+ u0q u0 q ) = (le sige devat + l ifii est celui de u 0 ). Le cas le plus importat à reteir est celui où 0 < q <. De maière plus géérale o peut reteir le résultat suivat : Si 0 < q < alors la limite l d ue somme de termes cosécutifs d ue er terme suite géométrique est l = raiso. Exemple 7 O repred les quatre suites géométriques de l exemple 6 défiies, pour 0, par leur terme gééral : a = 56 0,79 ; b = 9,3 ; u = 3 0,9 ; v = 0,3,3. Détermier, pour chacue de ces suites, la limite de la somme des premiers termes lorsque +. Solutio Suite er terme Raiso Limite ( a ) a 0 = 56 q = 0,79 et 0 < 0,79 < = = 0, 79 0, 3 ( b ) b 0 = 9 q =,3 et <,3 ( u ) u 0 = 3 q = 0,9 et 0 < 0,9 < 3 = = 0, 9 009, 3 ( v ) v 0 = 0,3 q =,3 et <, Paradoxes Prélimiaire Posos u = (pour > 0) et v = S et R défiies par : (pour 0 ). Cosidéros les sommes Séquece MA0 9 Ced - Académie e lige

19 S = u+ u+ u3+ u4 + + u = ; 3 4 R = v0+ v+ v+ v3+ + v = O a vu, das l exemple 5 de ce chapitre, que lim R =. + U tableur ous permet d obteir S 50 = 4,499 ; S 00 = 5,87 ; S 000 = 7,485 ; S = 9, 094 La suite ( S ) est ue suite (o géométrique) croissate. Que peut-o peser de la limite de la suite ( S )? A priori ce est pas évidet et ce e sot pas les résultats précédets qui peuvet ous permettre de coclure. O peut se dire que la suite va admettre ue limite fiie (laquelle?) ou se dire que la suite va tedre vers +. O admet que la répose est +. U paradoxe de Zéo d Élée (eviro 490 ; 430) tedat à prouver que " tout mouvemet est impossible". Achille et ue tortue fot la course ; Achille va 0 fois plus vite que la tortue. Au temps t = 0 la tortue a 000 mètres d avace. O suppose que pedat ue uité de temps Achille parcourt 000 mètres et la tortue 00 mètres. Au temps t = Achille a parcouru La tortue a parcouru t = 000 m 00 m t = + 0 ( ) m (00 + 0) m t = + + ( ) m ( ) m 0 00 t = ( ) m ( ,) m Le ombre d uités de temps qu il faut à Achille pour rattraper la tortue est égal à Les distaces à parcourir devieet de plus e plus petites mais chacue d elles demade u temps fii pour être parcourue. Zéo d Élée affirmait que la somme d u ombre ifii d itervalles de temps fiis e pouvait être qu ifiie : aisi Achille e rattraperait jamais la tortue! 0 Séquece MA0 Ced - Académie e lige

20 Pourtat, e toute logique (???), Achille doit pouvoir rattraper la tortue. E effet, au temps t =, Achille a parcouru 000 m alors que la tortue a parcouru que 00 m. Comme elle avait que 000 m d avace elle aurait doc 800 m de retard sur Achille : ceci ous motre qu etre les temps t = et t = Achille a doublé la tortue. Calculos le momet où Achille rattrape la tortue. Posos S = Aisi S est la somme de (+) 0 termes cosécutifs d ue suite géométrique dot le er terme est et la raiso q = 0. 0 D après ce qui précède o a lim S = =. + 9 a rattrapé la tortue. 0 Au temps t = S =Achille Calculos les distaces parcourues pedat ce temps t = 0 9 = +. 9 Achille a parcouru m et la tortue a parcouru = 9 m. Comme la tortue avait 000 m d avace au début de la course, Achille et la tortue se retrouvet bie au même poit après u temps t = 0 9. O peut visualiser sur u schéma les positios d Achille et de la tortue pour quelques valeurs de t. t = 0 A Achille T Tortue t = A T t = + 0 t = + 9 t = A A T T T A 000 m Séquece MA0 Ced - Académie e lige

21 Paradoxe e géométrie A ABC est isocèle et rectagle e B ; o doe AB = BC = ; o e déduit que AC =. C B A A A F G D E C B C B C Étape Étape Étape 3 B Étape Nombre de gradis [AC] est partagé e... segmets Logueur de la lige brisée CA 4 L L est la somme des logueurs de 5 segmets L = CD + DE + EF + FG + GA 4 8 L L est la somme des logueurs de 9 segmets L 3 L 3 est la somme des logueurs de 7 segmets + L L est la somme des logueurs de + + segmets Séquece MA0 Ced - Académie e lige

22 O cotiue idéfiimet à doubler le ombre de gradis (ou tout du mois o peut l imagier) pour obteir ue suite de logueurs L, L, L 3,..., L,... La suite (L ) semble avoir, ituitivemet, pour limite la logueur AC qui est celle de l hypotéuse. Questio Répose A-t-o raiso de peser que lim L = AC =? Si o, quelle serait la limite de la suite(l + )? Calculos L = =. 4 4 O peut observer qu à chaque étape Remarque À chaque étape la lige brisée a pour logueur la somme des logueurs des côtés de l agle droit. Pour tout o a L = CB + BA. la somme des logueurs des segmets horizotaux est égale à ; la somme des logueurs des segmets verticaux est égale à. Aisi, pour tout, o a L = ce qui ous doe lim L =. + D Exercices d appretissage Exercice 5 Calculer les limites des suites ( u),( v),( w ) par : + u = v w = = + 3 ; ; défiies pour tout etier aturel Exercice 6 Calculer la raiso positive q d ue suite géométrique ( u ) sachat que : u = 8 et lim u+ u u = 0. + Exercice 7 + Soit ( u ) la suite défiie, pour 0, par u = S u u u 3 = Calculer S et S puis la limite de la suite ( S ). et ( S ) la suite défiie par Exercice 8 3 Soit ( u ) la suite défiie, pour 0, par u = +. Motrer que la suite ( u ) est géométrique : o doera so er terme et sa raiso q. Détermier lim u. Calculer la somme R = u5+ u u36. + Détermier la limite de la suite ( S ) défiie par S = u5+ u u. Séquece MA0 3 Ced - Académie e lige

23 4 Suites A arithméticogéométriques Objectifs du chapitre Étude de suites défiies par ue relatio de récurrece de la forme u+ = au + b. Utiliser des suites géométriques auxiliaires permettat d étudier ces suites. B Pour débuter Activité 4 Aboemet à u magazie Soit ( u ) la suite défiie par u 0 = 8 et, pour tout etier aturel, u+ = 085, u + 8,. Sur ue feuille de papier millimétré costruire u repère orthoormé (uité cm), où l axe des ordoées est placé à gauche de la feuille. a) Das ce repère, tracer les droites d équatios respectives y = 0,85x +,8 et y = x. b) Das ce repère, placer u 0 sur l axe des abscisses puis, e utilisat les droites précédemmet tracées, costruire sur le même axe u, u et u 3. (O laissera apparets les traits de costructio). c) À l aide du graphique, cojecturer la limite de la suite ( u ). Soit ( v ) la suite défiie, pour tout etier aturel, par v = u. a) Démotrer que ( v ) est ue suite géométrique dot o précisera le premier terme et la raiso. b) Exprimer, pour tout etier aturel, v e foctio de. E déduire que, pour tout etier aturel, u = 4 085,. c) Doer le ses de variatio de la suite ( v ). E déduire celui de la suite ( u ). d) Détermier la limite de la suite ( u ). U magazie, vedu uiquemet par aboemet, avait aboés e Séquece MA0 Ced - Académie e lige

24 O a costaté que il y a 800 ouveaux aboés chaque aée ; d ue aée sur l autre, 5 % des aboés e se réaboet pas. a) Motrer que cette situatio peut être modélisée par la suite ( u ) où u désige le ombre de milliers d aboés e (00 + ). b) E utilisat la questio b), doer ue estimatio du ombre d aboés e 06. Activité 5 Évolutio de populatio Au er javier 005, ue ville e pleie expasio avait ue populatio de habitats. U bureau d étude fait l hypothèse qu à partir du er javier 005 : le ombre d habitats de la ville augmete chaque aée de 5 % du fait des aissaces et des décès ; du fait des mouvemets migratoires, persoes supplémetaires vieet s istaller chaque aée das cette ville. Pour tout etier aturel, o ote u le ombre d habitats de cette ville au er javier de l aée O a doc u 0 = Calculer u et u. La suite u est-elle arithmétique? géométrique? Justifier que, pour tout etier aturel, u+ =, 05u Pour tout etier aturel o pose v = u a) Calculer v 0. b) Motrer que ( v ) N est ue suite géométrique dot o précisera le premier terme et la raiso. c) Exprimerv e foctio de. E déduire que u = (, 05) O utilise le modèle théorique que l o viet d étudier. a) Quel sera le ombre d habitats de cette ville au er javier 00? b) Détermier le ses de variatio de la suite u. c) À partir de quelle aée la populatio de cette ville dépassera-t-elle habitats? C Cours. Défiitio d ue suite arithméticogéométrique O coaît, depuis la classe de re ES, les suites arithmétiques et les suites géométriques. La plupart des suites e sot i arithmétiques, i géométriques. Parmi ces suites il e existe qui, pour passer d u terme au terme suivat, associet la Séquece MA0 5 Ced - Académie e lige

25 multiplicatio par ue costate (comme pour ue suite géométrique) à l additio d u ombre (comme pour ue suite arithmétique) : ce sot les suites arithmético-géométriques. De telles suites servet, etre autres, à modéliser des flux de populatio (voir activité 5) ou à modéliser certais placemets. La relatio de récurrece des suites ( u ) défiies das les activités 4 et 5 est de la forme u+ = au + b. Défiitio Ue suite ( u ) défiie par u terme et ue relatio de récurrece de la forme u+ = au + b est ue suite arithmético-géométrique. Cas particuliers pour a = 0 la suite est costate ; pour a = la suite est arithmétique de raiso r = b ; pour b = 0 la suite est géométrique de raiso q = a. Remarque Das la pratique o aura le plus souvet a > 0. Exemple 8 Solutio Les suites suivates sot défiies par ue relatio de récurrece. Dire si elles sot arithmético-géométriques ou pas. u = + 0, 5 u ; v + = 3 v + ; w+ = w 5, ; t+ +, t =. La suite ( u ) est arithmético-géométrique (a = 0,5 et b = ). La suite ( v ) est pas arithmético-géométrique. La suite ( w ) est pas arithmético-géométrique. La suite ( t ) est arithmético-géométrique (a =, et b = ).. Étude d ue suite arithmético-géométrique Soit ( u ) ue suite arithmético-géométrique défiie par la doée de u 0 (ou d u autre terme) et par la relatio u+ = au + b. O suppose de plus que : a 0, a et b 0. O défiit ue suite auxiliaire ( v ) par v = u α de telle maière que la suite ( v ) soit géométrique. O démotre que la suite ( v ) est géométrique e prouvat que v+ = qv. O exprime le terme v e foctio de. O e déduit l expressio de u e foctio de. 6 Séquece MA0 Ced - Académie e lige

26 Si le er terme est v 0 o obtiet v = v0 q d où u = α +v0 q. Si 0 < q < alors lim u = α. + Remarque Le ombre α peut être égatif (voir exercice ). Exemple 9 Das l activité 4, a = 0,85 d où lim u =. + Das l activité 5, a =,05 d où lim u =+. + D Exercice 9 Exercices d appretissage u0 = 4 O cosidère la suite ( u ) défiie par. u + = 5, u Calculer les termes u et u. La suite ( u ) est-elle arithmétique? géométrique? O défiit la suite ( v ) par v =u. a) Exprimer v + e foctio de v et e déduire que la suite ( v ) est ue suite géométrique de raiso q =,5. b) Exprimer v, puis u, e foctio de. c) Détermier la limite de la suite ( u ). Exercice 0 Soit ( u ) la suite défiie par u = et, pour tout, u+ = u +. Détermier, à la calculatrice, les valeurs u, u3 et u 4. Ue représetatio graphique des termes de la suite est doée sur la figure suivate : Les deux droites représetées ot pour équatios respectives y = x et y = x +. La calculatrice idique la relatio de récurrece sous la forme u () = 0,5u ( ) +. Cette relatio est vraie si. Cojecturer le ses de variatio de la suite ( u ) aisi que sa limite. O cosidère la suite ( v ) défiie, pour, par v = 4 u. a) Motrer que la suite ( v ) est ue suite géométrique dot o doera la raiso et le premier terme. Séquece MA0 7 Ced - Académie e lige

27 b) Exprimer v e foctio de et e déduire u e foctio de. c) Quelle est la limite de la suite ( u )? Exercice Exercice Disposat d u capital de euros u ivestisseur étudie les offres de deux baques différetes. La baque A propose u placemet à itérêts composés au taux auel de 3,5 %. La baque B propose u placemet à itérêts composés au taux auel de % du capital. Les itérêts obteus sot augmetés d ue prime auelle de 70 euros itégrée au capital. Aisi, les itérêts et la prime produiset des itérêts pour l aée suivate. Partie A Étude de l offre de la baque A O ote, pour etier aturel, a le capital e euros de l ivestisseur au début de l aée. Aisi, a 0 = et a = Quelle est la ature de la suite a? Exprimer a e foctio de. Calculer le capital dispoible au début de l aée 0. Partie B Étude de l offre de la baque B O ote, pour etier aturel, b le capital e euros de l ivestisseur au début de l aée. Aisi, b 0 = et b = La suite b est-elle arithmétique? géométrique? Justifier que, pour tout etier aturel, b + =,0 b +70. Pour tout etier aturel o pose u = b a) Calculer u 0. b) Démotrer que la suite u est géométrique et préciser sa raiso. c) Exprimer u e foctio de et e déduire que b = 8 500, Calculer le capital dispoible au début de l aée 0. L ivestisseur décide de placer so capital jusqu au début de l aée 0. Détermier, parmi les deux baques A et B, celle qui propose l offre la plus itéressate. U magasi de logiciels de jeux décide de lacer la commercialisatio d u ouveau produit. Pour cela, il plaifie sur trois as ses objectifs trimestriels de prix de vete e se basat sur la loi de l offre et de la demade. Le ombre état u etier aturel, o désige par v l idice du prix de vete lors du -ième trimestre. L idice de départ est oté v 0. O a v 0 = 00 et v+ = 4 v O pose, pour 0, u = v α. a) Détermier la valeur de α pour que la suite u soit géométrique de raiso q = 4 5. Calculer u 0. b) Exprimer u e foctio de, puis v e foctio de. O désige par d l idice de la demade lors du -ième trimestre Sachat que d = v 7 7, calculer d 0 et exprimer d e foctio de. Calculer les valeurs des deux idices au bout des trois as (arrodir à l uité). 8 Séquece MA0 Ced - Académie e lige

28 5 Sythèse de la séquece Somme de termes cosécutifs d ue suite géométrique Si q Si q = = + q q q... q. q + q u0 + u0q + u0q u0q = u0. q S est la somme de termes cosécutifs d ue suite géométrique. q S = ombre de termes er terme. q + q + q q = +. u0 + u0q + u0q u0q = ( +) u0. 0 < q < q > Limite d ue suite géométrique de raiso q > 0. ( ) ( a aq aq aq ) lim q = 0. lim + q + q q =. + + q a lim aq = 0. lim =. + + q La limite l er terme d ue somme de termes cosécutifs d ue suite géométrique est l = raiso. ( ) ( a aq aq aq ) lim q =+. lim + q + q + + q = lim aq =. + Le sige devat est celui de a. lim =. + Le sige devat est celui de a. Suite arithmético-géométrique Si u+ = au + b la suite ( u ) est dite arithmético-géométrique. O défiit ue suite auxiliaire géométrique ( v ) e posat v = u α. O exprime v, puis u, e foctio de. Séquece MA0 9 Ced - Académie e lige

29 6 Exercices de sythèse Exercice I Le ombre d arbres d ue forêt, e milliers d uités, est modélisé par la suite u où u désige le ombre d arbres, e milliers, au cours de l aée (00 + ). E 00, la forêt possède arbres. Afi d etreteir cette forêt vieillissate, u orgaisme régioal d etretie des forêts décide d abattre chaque aée 5 % des arbres existats et de replater arbres. Motrer que la situatio peut être modélisée par u 0 = 50 et, pour tout etier aturel, par la relatio : u + = 0,95 u + 3. O cosidère la suite v défiie pour tout etier aturel par v = 60 u. a) Motrer que la suite v est ue suite géométrique de raiso 0,95. b) Calculer v 0. Détermier l expressio de v e foctio de. c) Démotrer que, pour tout etier aturel, u = 60 0 (0,95). Détermier le ombre d arbres de la forêt e 05. O doera ue valeur approchée arrodie à l uité. a) Vérifier que, pour tout etier aturel, o a l égalité u+ u = 05, ( 095, ). b) E déduire la mootoie de la suite u. Détermier l aée à partir de laquelle le ombre d arbres de la forêt aura dépassé de 0 % le ombre d arbres de la forêt e 00. Détermier la limite de la suite u. Doer ue iterprétatio du résultat. Exercice II Mosieur Magot a placé 000 le 3 décembre 0 sur so livret bacaire, à itérêts composés au taux auel de 3,5 % (ce qui sigifie que, chaque aée, les itérêts sot ajoutés au capital et produiset à leur tour des itérêts). À partir de l aée suivate, il prévoit de placer, chaque 3 décembre, 700 supplémetaires sur ce livret. O désige par C le capital, exprimé e euros, dispoible le er javier de l aée (03 + ), où est u etier aturel. Aisi, o a : C 0 = 000. a) Calculer le capital dispoible le er javier 04. b) Établir, pour tout etier aturel, ue relatio etre C + et C. Pour tout etier aturel o pose : u = C a) Démotrer que la suite ( u ) est ue suite géométrique dot o détermiera la raiso. 30 Séquece MA0 Ced - Académie e lige

30 b) Exprimer u e foctio de. c) E déduire que, pour tout etier aturel, o a : C = 000 (, 035) d) Calculer le capital dispoible le er javier 08 (o arrodira le résultat à l euro près). Le premier javier 08, Mosieur Magot retirera alors le capital dispoible de la baque pour fiacer u voyage dot le coût (supposé fixe) est de Il paiera cette somme e 4 mesualités qui serot 4 termes cosécutifs d ue suite arithmétique de raiso 800. Calculer le motat de chacue de ces 4 mesualités. Exercice III U salarié remarque qu il lui reste, chaque mois, 500 euros de so salaire mesuel. Il décide doc, e 0, de réaliser ue éparge " prudete" de la faço suivate : Le 8 de chaque mois, il verse 50 % du solde de so compte courat sur u pla d éparge. Le solde du compte courat est ul le 8 décembre 0. Le 8 javier 0, le solde de so compte courat est : S = 500 ; il verse doc la somme e = 50 sur so pla d éparge et laisse 50 sur so compte courat. Le 8 février 0, le solde S est égal à 750 : c est-à-dire 50 restat, plus 500 d écoomies mesuelles. Il verse doc e = 375 sur so pla d éparge. Calculer e 3 et e 4, versemets respectifs de so compte courat à so pla d éparge le 8 mars et le 8 avril. O désige pare le motat théorique du versemet du compte courat au pla d éparge le 8 du -ième mois qui suit le mois de décembre 0. O a doc e + = 05, ( e +500). Pour tout ombre etier aturel o ul, o défiit la suite v par v = 500 e. a) Démotrer que la suite v est géométrique de raiso 0,5 et de premier terme v = 50. b) E déduire l expressio de v e foctio de. c) Calculer S = v + v v. a) Exprimer e e foctio de. b) Trouver le motat C de la somme capitalisée sur le pla d éparge au 9 décembre 0. Exercice IV U carré de côté est divisé e 9 carrés égaux comme idiqué sur les figures. O colorie le carré cetral (étape ). Les huit carrés restats sot esuite divisés e 9 carrés égaux et coloriés selo le même procédé (étape ). Séquece MA0 3 Ced - Académie e lige

31 À l étape 3 chacu des 7 petits carrés o coloriés est à so tour divisé e 9 carrés égaux et o colorie le carré cetral de chacu des 7 carrés. O désige par c le ombre de ouveaux carrés coloriés à l étape. Aisi c =. Calculer cet c3. O admet que la suite c est géométrique. Doer so er terme et sa raiso. Exprimerc e foctio de. O désige par S le ombre total de carrés coloriés à l issue de l étape. a) Doer les valeurs de S, S et S. La suite S est-elle géométrique? 3 b) Exprimer S e foctio de. c) À partir de quelle étape a-t-o S 000? S ? d) Quelle est la limite de la suite S? O voudrait savoir, e cotiuat le procédé idéfiimet, quelle serait la limite évetuelle de l aire du domaie colorié. E désigat par a l aire de tout le domaie colorié à l issue de l étape o a 8 7 a = et a 9 = + = Doer ue idée ituitive de la limite de la suite a. C = Étape Étape 3 Séquece MA0 Ced - Académie e lige