FACULTÉ DES SCIENCES LMD : 1 IÈRE ANNÉE DE L INGÉNIEUR. e II. Chapitre. I. Rappel sur le. Champ

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1 ACULTÉ D CINC D L INGÉNIUR CTION TRON COUN LD LD : IÈR ANNÉ Cous Phsque : lectcté et gnétsme Chte e II Chm et Potentel lectque I Rel su le chm et otentel gvttonnel Chm Il est ben étbl qu'une msse m, stuée à une dstnce du cente de l tee, est soumse à une foce coesondnt à son ods Cette foce est donnée : m P k u (k 667 I) Il est ossble uss, d'éce cette même foce, sous l fome: P m g u P m n ntodusntt le vecteu chm de gvtton g 5

2 donné : k g u Ce vecteu déct l'étt gvttonnel de chque ont de l'esce ndéendmment de l msse m qu eut ête lcée u g Potentel Une msse m, stuée en un ont dns le chm de esnteu teeste, ossède une énege otentelle Une foce déve d'un otentel s le tvl w de cette foce est ndéendnt du chemn suv w B A dl ( x A, A, z A ) ( xb, B, z B ) C'est le cs du ods d'un cos P L'énege otentelle gvttonnelle P se clcule : d P dw P dl m m k u dl k d m k + cte que l'on eut l'éce mu vec U k + cte' ( otentel) L elton ente g et U est donnée : du g dl ou encoe g du dl c'est à de g gdu II Chm et Potentel céés des chges électques II Chge onctuelle unque Consdéons une chge onctuelle Q mmoble, dns son vosnge, toute chge q subt une foce : 6

3 Q q k u ( lo de Coulomb) Les chges euvent ête ostves ou négtves Deux chges ostves (ou négtves) se eoussent, deux msses s'ttent, ce qu exlque l dfféence de sgne ot à l lo de Newton Comme dns le cs du hénomène de gvtton, nous ouvons smltude défn les gndeus suvntes: oce électque: Q q k u q q + q - q + q - Q> Q> Q< Q< Chm électque, Potentel électque: q + V> > q - V> < q + V< < q - V< > Q> Q> Q< Q< Q k u q Q V k + cte qv Remque Q Le vecteu chm électque k u est défn comme l foce gssnt su l chge unté lcée en un ont 7

4 Q Le otentel électque V k + cte est défn comme l'énege d'une chge unté lcée en un ont II Cs de deux chges onctuelles (Pnce de sueoston) Consdéons le cs de deux chges onctuelles fxes q et q gssnt su une tosème chge q L'cton conjuguée de q et q su q est l somme des ctons de q et q gssnt séément + q q k u q( + ) q q q + k u Le chm céé en un ont deux chges onctuelles est l somme des deux chms et céés chcune des chges q et q q (-) q (+) q (-) q (+) u u q(+) Comoston des foces Comoston des chms Le otentel en se clcule en ddtonnnt les otentels céés en ce ont chcune des chges q et q : VV + V Une chge q lcée en ossède une énege otentelle qvq(v + V ) II3 Génélston Cs de n chges onctuelles q, q, q 3, q n n q Le chm se clcule : k u Le otentel est donné : V n q k + cte Cs d'une dstbuton contnue de chges étes en sufce ou en folume cs d'une sufce s dq σ ds (densté suefcelle de chge), los: 8

5 ds k σ u V k σ ds cs d'un volume + c dq s ρ dv dv k ρ u v (densté volumque de chge), los: V dv k ρ + cte v II4 Pssge du chm u otentel et du otentel u chm A chque ont de l'esce (x,, z) sont ssocés deux fonctons, l'une vectoelle et l'ute scle, qu emettent de déce l'esce électque: Le chm ( x,, z) ; le otentel V V ( x,, z) On st que: dv dl x dx + d + z dz cel emet de clcule V à t du chm dv x dx + d + z dz P dentfcton: x,, x z z On éct séément: gd V II5 xemle de clcul de chm et de otentel électque Chm et otentel céé cconféence unfomément électsé ot une chge q unfomément éte, vec une densté lnéqueλ, su une cconféence de cente O et de on Un élément dl de cconféence 9

6 d kdq k λ dl x + en son de l sméte su o le chm totl céé l cconféence d d et d d cosθ cosθ ( x + ) / O dl x π k λ dl k λ π ( + ) 3 / ( + ) 3 / on st que q λ π los, k q ( + ) 3 / gd V + j + k x z ou, une seule comosnte dv d V dv d k d k + d 3 / 3 / ( ) ( + ) V k q V + cte / ( + ) Chm et otentel céé un dsque ccule unfomément électsé Chm Un élément de sufce d, centé en P, ote chge: dq σ ds d d Cet élément de sufce céé u ont, stué su l'xe, Un chm d donné : d 4πε σ ds Ce chm est oté P, ms le chm totl, P α O R son de sméte, est oté O n conséquence:

7 d d cosα ot une couonne ccule comse ente les cecles de on x et x+dx et otnt l chge: dq σ π x dx d d Cette chge consttue un chm: d d σ π x dx k cosα σ ε x dx ( x + ) 3 / 4πε σ π x dx α dx x O On obtent, en sommnt d ou toutes les vleus de x comses ente O et R R x R σ x dx σ ( + ) / σ x ε ( + ) 3 / x ε ε x R d Cs tcule ( ) / R + σ le ont est u cente du cecle: ε R, le dsque devent un ln de dmenson nfne et quelque sot l oston de, le chm et constnt : σ ε Potentel L couonne cée en un otentel : C'est à de : x R V k x σ π x dx ( x + ) dq dv k σ ε Il est ossble d'en dédue le chm : x R [( x + ) ] / σ x ( R + ) / dv σ ( ) / d ε R + ε [ ] /

8 III Dôle électque III Défnton Il est consttué l'ngement de deux chges onctuelles égles de sgnes dfféents Le moment électque dole est défn : q -q +q Cette étude tculèe est justfée, c on enconte ce cs de fgue dns cetnes molécules (x: HCl, H O, CO, etc ) + - H Cl + - C O oment dole de cetnes molécules oles olécule - O + H H + (Cm) HCl 3,43 3 HB,6 3 HI,6 3 CO,4 3 H O 6, 3 H 5,3 3 O 5,3 3 NH 3 5, 3 C H 5 OH 3,6 3 +

9 III Potentel et Chm céés un dôle à gnde dstnce Le otentel u ont dû u dôle s'éct: q q V k kq l dstnce est gnde ot à, on eut éce: cosθ et et l'on u: -q cosθ cosθ cosθ V kq k q k ( q) - θ +q Le chm est donné : dv dl On fe les clculs en coodonnées oles A ende en consdéton que le gdent d'une foncton f s'exme : n coodonnées ctésennes: f f f gd f + j + k x z n coodonnées oles: gd f Il vent θ f e f + e θ θ dl d dl dl θ dθ f + k z θ -q +q dv dl dv ( d + θ dθ ) dv d + dθ θ 3

10 P dentfcton, on u: θ V θ Postons tculèes: cosθ k θ k cosθ 3 k snθ 3 θ k ( θ π ) 3 θ -q +q k ( θ ) 3 IV lux du chm électque: Théoème de Guss IV Reésentton d'une sufce On décomose () en élément d tès etts; chque élément d est eésenté un vecteu d : lqué su d de gndeu d dgé selon l nomle u ln d d d' su une decton bte qu se consevée ou tous les éléments de Ans : d IV Angle solde Angle dns le ln b : longueu de l'c b ' b' α est ndéendnt de ' u mxmum : [ α ] dn : d π α π O b ' ' b' 4

11 Angle solde P nloge vec ce qu écède, on défnt l'ngle solde Ω comme nt ou mesue l sufce nteétée su l shèe de on unté [ Ω ] stédn: st u cosα Ω Pou une sufce d'oentton nomle: Ω ( α ) Cette défnton condut u ésultt suvnt : u α 4π ou tout l'esce : Ω 4π st Une clotte shéque de cente O de on une sufce telle que : Ω l ngle solde est ett : Ω ot une sufce s unt, utou de, su le même ngle solde Ω, et dont le ln ft un ngle θ vec celu de d, on θ Ω θ IV 3 lux du vecteu chm électosttque d d ' On elle flux de à tves d, élément de, l quntté scle ostve ou négtve : Φ d Le flux totl de à tves est l ntégle su toute l sufce : Remque Φ dφ d Dns le cs génél, ve d une sufce élémente à l ute 5

12 IV 4 Théoème de Guss Le flux du chm électque à tves une sufce femée entount des chges q est : d : eésente l somme lgébque des chges ntéeues IV Alctons xecce Clcule le chm électque céé une chge onctuelle q en un ont dstnt de ot à celle c xecce tude le chm électque céé une chge dstbuée unfomément su un ln nfn σ est l densté suefcelle de cette chge xecce 3 tude le chm électque céé une dstbuton shéque de chges On end en consdéton le cs d une shèe de on et de chge totle Q l dstbuton de chge est sot suefcelle (σcte) ou volumque (ρcte) xecce 4 On défnt tos shèes concentques de ons, «b» et «c», tels que <b<c L shèe de on est chgée en sufce vec une étton sufcque constnte «σ» Le volume coms ente les shèes de ons «b» et «c» est chgé en volume vec une étton volumque constnte «ρ» Clcule le chm électque céé en tout ont de l esce en foncton du on ( vnt de à l nfn) Tce l llue de en foncton de Rq : on end 3σ ρ ou tout l execce 3 b ρ c b σ 6