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1 Unversté de Cergy-Pontose THESE Dscplne : Géne cvl Présentée par : Salma HASSANI-MANAI Pour obtenr le grade de DOCTEUR DE L UNIVERSITE DE CERGY-PONTOISE Sujet : ETUDE ET MODELISATION DE LA STABILITE DES STRUCTURES ELANCEES EN BETON ARME Soutenue le 1 décembre 003, devant le jury composé de : Rchard CABRILLAC, Professeur à l Unversté de Cergy-Pontose Co-drecteur de thèse Rose Mare COURTADE Professeur à l Unversté Claude Bernard de Lyon Présdent Hélène DUMONTET Professeur à l Unversté de Cergy-Pontose Co-drecteur de thèse Raoul FRANÇOIS Professeur à l INSA de TOULOUSE Rapporteur Laurent PROSLIER Professeur à l Unversté PARIS X Nanterre Rapporteur Sophe ORTOLA Maître de Conférences à l Unversté de Cergy-Pontose Examnateur Traval réalsé au Laboratore de Modélsaton Matéraux et Structures UMR CNRS 7143 Unversté Perre et Mare cure / Unversté de Cergy-Pontose

2 Table des matères 1 Modélsaton du Flambement des Structures Elastques Introducton 9 1. Équatons d équlbre Notatons Tenseur des déformatons Interprétaton undmensonnelle 1 a) Grandes déformatons et grands déplacements 13 b) Pettes déformatons et grands déplacements 13 c) Pettes déformatons et petts déplacements Tenseur des contrantes Lo de comportement 14 a) Lo de comportement d'un corps hyperélastque 15 b) Lo de comportement d'un corps élastque lnéare Équatons du problème d'équlbre Stablté de l équlbre Notatons Formulaton du crtère de stablté Expresson du crtère de stablté en grands déplacements Implémentaton numérque d un problème d équlbre en grandes transformatons Formulaton varatonnelle du problème d équlbre Dscrétsaton du problème par la méthode des éléments fns Méthode de résoluton en non-lnéare géométrque Méthode de résoluton en non-lnéare matérel Étude numérque de la stablté d un équlbre Dscrétsaton du crtère de stablté Tratement de la stablté en pettes perturbatons Tratement de la stablté en grands déplacements concluson 9 1

3 Étude de la stablté des poutres élancées en béton armé 31.1 Introducton 31. Équatons des poutres élancées élastques 3..1 Notatons 3.. Cnématque et déformatons Efforts généralsés Los de comportement des poutres homogènes Équatons d'équlbre d'une poutre dans une confguraton ntermédare Crtère de stablté 37.3 Modélsaton du comportement du béton armé Comportement du béton Comportement de l'acer Processus d homogénésaton Comportement homogène équvalent du béton armé 43.4 Approche ncrémentale de la stablté des poutres élancées en béton armé Détermnaton tératve des déformatons réelles des poutres en béton armé Actualsaton des caractérstques géométrques et mécanques Actualsaton des confguratons déformées Analyse de la stablté des confguratons ntermédares 50.5 Concluson 5 3 Mse en œuvre numérque et valdatons Introducton Implémentaton numérque du logcel Présentaton générale Calcul élastque lnéare Tratement de la non-lnéarté matérelle Tratement de la non-lnéarté géométrque Tratement de la stablté Les fonctonnaltés du logcel développé 68

4 3.3 Valdatons du logcel développé Poutres élastques lnéares homogènes Poutres en béton armé Confrontaton avec les résultats des tables de Feassel Confrontaton avec des résultats expérmentaux Tests de sensblté aux caractérstques physques des poutres 76 a) Influence de l élancement géométrque 77 b) Influence de l excentrcté 78 c) Influence de la résstance à la compresson du béton 78 d) Influence de la poston des acers 79 e) Blan Concluson 81 4 Applcaton à l analyse de la stablté de structures usuelles en béton armé Introducton Stablté de poteau Caractérstques du poteau Smulatons numérques et confrontatons Sensblté aux paramètres de smulaton numérque 90 a) Influence des pas de chargement 90 b) Influence du mallage 93 c) Influence de la prse en compte de la non-lnéarté matérelle Stablté de portque Caractérstques du portque Smulatons numérques et confrontatons Valdaton du processus de remallage Stablté de cadre Caractérstques du cadre Smulatons numérques et confrontatons Concluson 114 Concluson générale 117 3

5 Bblographe 10 Annexe 1 18 Annexe

6 Introducton Introducton L objectf de ce traval est l étude du flambement des éléments élancés en béton armé usuellement présents dans les structures Géne Cvl avec l élaboraton, à cet effet, d une modélsaton adaptée et le développement d un outl numérque fable. Auparavant jusqu aux années soxante, les normes présentaent des règles de dmensonnement et de vérfcaton se fondant sur le concept de contrante admssble. Les contrantes étaent alors calculées aux sectons les plus sollctées et le dmensonnement état jugé satsfasant dès que les dtes contrantes étaent nféreures à une valeur admssble prédétermnée. Celle-c état obtenue en dvsant la contrante, correspondant le plus souvent à la lmte élastque du matérau, par un coeffcent de sécurté appropré qu état dfférent selon le mode de rune, l utlsaton de la structure ou le type d actons. Cette technque s est avérée crtquable car elle postule un comportement élastque lnéare fragle des matéraux consttutfs de la structure. En effet, la plupart des matéraux présentent un comportement ductle qu peut être exploté avant que la structure n attegne son maxmum de capacté portante. De plus, pluseurs matéraux, et en partculer le béton, présentent un comportement non lnéare en phase élastque. La consdératon du comportement non lnéare des matéraux ou/et de leur phase plastque condut à une approche plus réalste que le calcul en contrante admssble et permet généralement un dmensonnement plus fable et plus économque des structures. Parm les matéraux couramment utlsés dans la constructon, le béton armé est un de ceux dont le comportement est le plus complexe. Celu-c est, en effet, composé de deux matéraux élastoplastques à comportement dfférents : le béton présentant une fable résstance à la tracton et un comportement non lnéare en compresson en phase élastque et l acer présentant un comportement symétrque en tracton et en compresson avec une phase élastque lnéare. Par alleurs, en plus du comportement unlatéral et de la non-lnéarté matérelle du béton un autre type de non-lnéarté est à consdérer dans le dmensonnement au flambement des structures élancées en béton armé : la non-lnéarté géométrque due aux grands déplacements. En effet ces derners engendrent des effets du second ordre qu se 5

7 Introducton tradusent par l apparton de flèches mportantes générant des moments de flexon préjudcables pour la stablté des structures. En fat, la possblté de pouvor procéder à une analyse de stablté prenant en compte les deux types de non-lnéarté et le caractère unlatéral du comportement du béton dans les codes de calcul par éléments fns permet d une part, d analyser la structure comme un tout plutôt que de vérfer ndépendamment les éléments structuraux qu la consttuent, et d autre part de smuler numérquement le comportement de la structure lorsque la théore ou les règles de dmensonnement font défaut pour le cas rencontré. C est dans cette optque qu est née l dée de développer un outl numérque permettant de répondre à ces besons et suffsamment général pour smuler la stablté des dverses structures rencontrées en géne cvl. Pour cela, nous avons été amenés à enrchr un code de calcul par élément fns, en l occurrence SYSTUS utlsé en bureaux d études, par des modules spécfques de tratement de stablté des structures élancées en béton armé. La complexté du comportement de ce derner empêche en effet, d utlser la procédure d analyse de stablté propre au code de calcul et oblge à mettre en place une stratége de modélsaton du flambement prenant en compte en plus de la non-lnéarté géométrque, le comportement non lnéare et unlatéral du béton. En effet s dans une secton fléche en béton armé la contrante de tracton dépasse la contrante lmte de tracton du béton, celu-c est usuellement consdéré fssuré. De ce fat, cette parte de la secton n a plus aucune radeur et l nerte totale de la secton se trouve dmnuée. Pour des structures en béton armé soumses au flambement l est classque, dans les bureaux d études, de fare le calcul en tros étapes, pour dfférents pas de chargement successfs : - calcul des efforts et de la déformée à l ade d un logcel de calcul de structures, - calcul des contrantes dans les sectons et des nertes effcaces restantes avec un autre logcel spécfque de calcul de sectons en béton armé, - retour au calcul des efforts et de la déformée avec les nouvelles nertes sur la structure déformée du pas de charge précédent. Cette procédure n est généralement pas automatsée et le calcul des déformées ne tent pas compte du comportement du béton armé. L mplémentaton numérque effectuée au cours de ce traval a perms d automatser le calcul précédent en couplant au code de calcul de structures SYSTUS un programme de calcul de sectons en béton armé évaluant la déformée réelle à chaque pas de chargement ans que les nertes effcaces. Les méthodologes proposées au cours de cette étude ont donc perms de créer, dans le code de calcul SYSTUS, une procédure d analyse de flambement prenant en compte le comportement du béton armé. Ces méthodologes sont lées aux possbltés d mplémentaton dans le code de calcul. 6

8 Introducton Le mémore est organsé de la façon suvante : Les aspects théorques lés au flambement des structures élastques, sont fourns au chaptre 1 à savor : - les équatons régssant l équlbre et la stablté des structures élastques notamment dans le cas des grands déplacements, - les prncpes de dscrétsaton de ces équatons en vue de la smulaton numérque du flambement. Le passage aux structures élancées en béton armé est présenté au chaptre dans le cadre d une descrpton Lagrangenne actualsée. Le chox de cette approche est mposé par l utlsaton du code de calcul par éléments fns SYSTUS dans lequel sera mplémentée la méthode de calcul élaborée. Les équatons générales sont formulées en prenant en compte la non-lnéarté matérelle due au comportement du béton et la nonlnéarté géométrque due aux grands déplacements. Un processus ncrémental d analyse de stablté d équlbre donne leu à un crtère de stablté basé sur le moment du second ordre. Le chaptre 3 comporte deux partes. Dans la premère est présentée la stratége numérque adoptée ans que les outls numérques utlsés pour mplémenter la méthode de calcul, présentée au chaptre, dans le code de calcul par éléments fns SYSTUS. La seconde est dédée à la valdaton de l outl numérque proposé. Celle-c consste, d une part à confronter les résultats des méthodes explctes et expérmentales, et d autre part à analyser la sensblté à certans paramètres géométrques et mécanques. Dans le chaptre 4, l applcaton de l outl développé consste à smuler le comportement jusqu à la rune de structures Géne Cvl telles que poteaux, portques et cadres en béton armé. Dans chaque cas, les résultats de smulaton sont confrontés à des résultats numérques et expérmentaux ssus de la bblographe. Enfn une concluson générale tre le blan de ce traval en termes d effcacté et de fablté du modèle numérque ms en œuvre et présente également quelques perspectves de développement lées à l approche utlsée. 7

9 Chaptre 1 Modélsaton du flambement des structures élastques Modélsaton du Flambement des Structures Elastques Introducton 9 1. Équatons d équlbre Notatons Tenseur des déformatons Interprétaton undmensonnelle 1 a) Grandes déformatons et grands déplacements 13 b) Pettes déformatons et grands déplacements 13 c) Pettes déformatons et petts déplacements Tenseur des contrantes Lo de comportement 14 a) Lo de comportement d'un corps hyperélastque 15 b) Lo de comportement d'un corps élastque lnéare Équatons du problème d'équlbre Stablté de l équlbre Notatons Formulaton du crtère de stablté Expresson du crtère de stablté en grands déplacements Implémentaton numérque d un problème d équlbre en grandes transformatons Formulaton varatonnelle du problème d équlbre Dscrétsaton du problème par la méthode des éléments fns Méthode de résoluton en non-lnéare géométrque Méthode de résoluton en non-lnéare matérel Étude numérque de la stablté d un équlbre Dscrétsaton du crtère de stablté Tratement de la stablté en pettes perturbatons Tratement de la stablté en grands déplacements concluson 9 8

10 Chaptre 1 Modélsaton du flambement des structures élastques Modélsaton du Flambement des Structures Elastques 1.1 Introducton L'étude du flambement des structures en béton armé que nous nous proposons d aborder dans ce traval, nécesste de résoudre des problèmes présentant deux types de non-lnéarté : une non-lnéarté géométrque due aux grands déplacements générés par le flambement et une non-lnéarté matérelle résultant des relatons contrantesdéformatons non-lnéares de part le comportement du matérau consttutf. Cette dernère est due à la présence du matérau béton dont le comportement est non-lnéare. L objectf de ce premer chaptre est d ntrodure l ensemble des équatons régssant l équlbre et la stablté de structures trdmensonnelles homogènes élastques soumses à des grands déplacements. Des remarques sur la non-lnéarté matérelle apparassent au cours de certans paragraphes, mas sa prse en compte effectve n ntervent d une manère détallée qu au chaptre suvant pour des structures en béton armé undmensonnelles. Les prncpes de dscrétsaton des équatons présentées en vue d une smulaton numérque du flambement sont ntroduts. Ils seront reprs dans les chaptres suvants pour des structures élancées en béton armé. 1. Équatons d équlbre Dfférentes descrptons peuvent être adoptées, Lagrangenne, Eulérenne, corotatonnelle, pour repérer un pont de la structure au cours de sa déformaton. Nous adoptons c une descrpton Lagrangenne, le système de coordonnées se rapportant à la confguraton ntale, non déformée, nvarante dans le temps [Ger96]. Dans une descrpton Eulérenne, le système de coordonnées est attaché à la confguraton déformée [DUV90]. Dans une descrpton corotatonnelle, la confguraton de référence est celle du solde en mouvement de corps rgde [CHA91]. Nous donnons au paragraphe suvant quelques notatons classques avant de rappeler les équatons fondamentales de l équlbre d un corps élastque. 9

11 Chaptre 1 Modélsaton du flambement des structures élastques 1..1 Notatons Consdérons un corps élastque soums au cours du temps à une certane déformaton mesurée à partr de sa confguraton ntale C 0, Fgure 1.1. e r u Γ u f ( X, t) C 0 C Γ F F e r 1 e r 3 Fgure Confguratons non déformée et déformée On convent de noter : V 0 le volume occupé par ce corps dans sa confguraton ntale C 0, V t le volume occupé par le corps dans sa confguraton déformée C à l nstant t, [X 1,X,X 3 ] les coordonnées Lagrangennes d'un pont du corps rapportées à un repère r v r cartésen orthonormé O, e, e, ) de la confguraton non déformée C 0, ( 1 e3 u r ( X, t) le déplacement observé en un pont de V t dont les composantes sont (u 1,u,u 3 ) r v r dans le repère O, e, e, ), ( 1 e3 Γ u la parte de nuls, V 0, frontère de V 0, où les déplacements de la structure sont 10

12 Chaptre 1 Modélsaton du flambement des structures élastques Γ F la porton de V 0 soumse à des efforts surfacques F, f ( X, t) la densté d efforts volumques applquée. La conventon de sommaton sur les ndces répétés sera adoptée dans la sute de ce chaptre. 1.. Tenseur des déformatons A un nstant donné, le tenseur des déformatons en chaque pont du corps, rapporté à la confguraton ntale C 0, est défn par le tenseur de Green-Lagrange E [Ger95] qu a pour composantes : 1 u u j u m um E = + + j ( X, t) (1. 1) X j X X X j Le tenseur symétrque du second ordre E s exprme classquement par la somme de deux tenseurs : Ej = ε + η (1. ) j j où ε est la parte lnéare du tenseur E : 1 u u j ε = + j (1. 3) X j X et η est la parte quadratque du tenseur E tradusant la non-lnéarté géométrque : 1 um um η = j (1. 4) X X j 11

13 Chaptre 1 Modélsaton du flambement des structures élastques 1..3 Interprétaton undmensonnelle Une nterprétaton de ces dfférents termes du tenseur de Green-Lagrange peut se fare sur l'exemple undmensonnel d'une barre artculée dans le plan O, e r 1, e v ), Fgure 1.. ( v e r o u(x) v(x) e r 1 Fgure 1. - Déformatons : exemple de la barre Notons u(x) et v(x) les composantes du champ de déplacement dans ce plan : r u r r = u(x)e + v(x) (1. 5) 1 e D après (1.1), la déformaton longtudnale a pour expresson : du 1 du 1 dv E XX = + +, (1. 6) dx dx dx où du représente l'allongement selon la drecton e r dx 1 et dv la rotaton dans le plan de la dx barre. L'expresson de la déformaton (1.6) se smplfe selon l'ordre de grandeur de ses termes. Ans on peut dstnguer les cas des grandes déformatons ou des pettes déformatons. Dans ce derner cas, les déplacements peuvent être petts ou grands. Selon les dfférents cas étudés, les déformatons peuvent être smplfées comme sut : 1

14 Chaptre 1 Modélsaton du flambement des structures élastques a) Grandes déformatons et grands déplacements Ce cas correspond à une rotaton dv et une déformaton axale du mportantes. dx dx La déformaton E xx est alors donnée par l'expresson (1.6), aucun terme ne pouvant être néglgé. b) Pettes déformatons et grands déplacements rotatons: Lorsque la déformaton axale du reste pette par rapport aux termes de dx 1 dx du << et dx du << dx dv la déformaton peut alors être approchée par : du dx 1 dv dx E XX = + (1. 7) c) Pettes déformatons et petts déplacements Lorsque la déformaton axale et la rotaton restent pettes : 1 dx du << et dx dv << 1 les termes quadratques sont néglgés, et on retrouve l'expresson classque des déformatons lnéarsées : E du = ε XX (1. 8) dx XX = On dt alors que la structure est étudée en Hypothèse des Pettes Perturbatons (H.P.P.) Dans ce traval, les structures que nous étuderons par la sute seront soumses à de grands déplacements et de grandes rotatons, les déformatons restant pettes. 13

15 Chaptre 1 Modélsaton du flambement des structures élastques 1..4 Tenseur des contrantes L écrture des équatons d équlbre en varables Lagrangennes ntrodut naturellement un tenseur des contrantes, appelé premer tenseur des contrantes de Pola-Krchhoff, noté σˆ, défn par la relaton : t ˆ = σ G (1. 9) σ ρ 0 ρ où ρ désgne la masse volumque du mleu à l état ntal, ρ la masse volumque à 0 l nstant t et σ le tenseur des contrantes de Cauchy. Le tenseur G représente l nverse du tenseur gradent de la déformaton F défn par : F = I + grad X r u (1.10) t où I est le tenseur dentté d ordre et G désgne la transposée de ce tenseur. Le premer tenseur de Pola Krchhof ne s exprmant pas totalement dans le repère ntal, l est usuel d ntrodure le second tenseur des contrantes de Pola-Krchhoff, noté S [Ger96], et relé au tenseur des contrantes de Cauchy σ, représentant les efforts nternes au mleu, par la relaton : S ρ 0 ρ t = GσG (1.11) Ce tenseur est totalement défn dans le repère de Lagrange et est symétrque Lo de comportement Le formalsme de la thermodynamque [LEM85] permet de reler classquement le second tenseur de Pola-Krchhoff S au tenseur des déformatons de Green-Lagrange E par : S = w(e) (E) = ρ (1.1) E g 0 14

16 Chaptre 1 Modélsaton du flambement des structures élastques où w(e) est la densté d'énerge nterne de déformaton. a) Lo de comportement d'un corps hyperélastque Dans le cas d un matérau de comportement hyperélastque [CIA86], l énerge nterne w s'exprme en foncton des nvarants I 1, I, I 3 du tenseur de Green-Lagrange E [SAL88] : w E) = w( I, I, ) (1. 13) ( I 1 3 avec : I 1 = tre, I 1 tr = E, I = 1 tre La relaton générale (1.1) s'écrt alors: 3 ( ) S = γ + + γ + (1. 14) 1 γ E E 0 E 0 1 avec γ = w 0 I, 1 γ = w, 1 I γ = w. I 3 b) Lo de comportement d'un corps élastque lnéare S le matérau présente un comportement élastque lnéare, l ne subsste dans la relaton (1.14) que les termes du premer ordre en déformatons : = γ 1 + E (1. 15) S γ 0 1 Cette lo de comportement caractérse les matéraux dts de Sant-Venant-Krchhoff, qualfés de modèles non-lnéares les plus smples [CIA86]. En ntrodusant un tenseur d'élastcté du quatrème ordre H, la lo (1.15) s écrt encore : S = S + HE (1. 16) où S représente le tenseur de contrantes ntales. Lorsque l'état ntal est un état naturel, c'est à dre non contrant, le tenseur S est nul. Et l'équaton (1.16) se rédut à : 15

17 Chaptre 1 Modélsaton du flambement des structures élastques S = HE (1. 17) L énerge nterne spécfque w assocée à ce comportement est alors une forme quadratque des déformatons : w ( E) = 1 HEE (1. 18) Lorsque le matérau est sotrope, le tenseur H n est foncton que de deux coeffcents ndépendants : H = H( λ, µ ), (1. 19) où λ et µ sont les coeffcents de Lamé [DUV90] Équatons du problème d'équlbre Dans le cadre de cette approche Lagrangenne, les équatons d'équlbre d'un solde déformable s'écrvent [Ger96] : u S + S + f = 0 j jm X sur V 0 (1. 0) X j m A ces équatons d équlbre (1.0) et à la lo de comportement (1.16) pour des matéraux 0 de Sant-Venant-Krchhoff, l convent d ajouter les condtons aux lmtes sur V le bord du domane V 0 non déformé : u j n F j S + S = j m X sur Γ (1. 1) F m u = 0 sur Γ u où n r désgne la normale untare extéreure au domane V 0. 16

18 Chaptre 1 Modélsaton du flambement des structures élastques 1.3 Stablté de l équlbre Nous nous proposons mantenant d étuder la stablté de la confguraton d équlbre d un corps élastque dont les équatons (1.16, 1.19, 1.0) vennent d être rappelées. Cette confguraton d'équlbre peut être qualfée de stable, nstable ou ndfférente [FRE94]. Ces dfférents états peuvent s llustrer en termes de déplacements : s le corps est légèrement écarté de sa confguraton d'équlbre, sot l y revent (équlbre stable), sot l s'écarte d'avantage (équlbre nstable), sot l reste écarté (équlbre ndfférent). Cette dfférentaton peut également se tradure en terme d'énerge potentelle. Lorsqu'on soumet le corps à une varaton de déplacements, l énerge potentelle sot augmente (équlbre stable), sot dmnue (équlbre nstable), sot ne vare pas (équlbre ndfférent). Nous complétons au paragraphe suvant les notatons ntrodutes avant de donner les dfférentes formulatons mathématques de ces crtères de stablté Notatons Sot donc une structure décrte dans sa confguraton ntale C 0. Pour étuder la stablté de sa confguraton d'équlbre C, nous ntrodusons une pette perturbaton de * cet équlbre à travers un déplacement α u r * où α est un paramètre très pett et u r un déplacement cnématquement admssble mposé [COM95], Fgure 1.3. e r C 0 u r C αu* C * e r 1 e r 3 Fgure Confguraton perturbée 17

19 Chaptre 1 Modélsaton du flambement des structures élastques On convent de désgner par C * la confguraton occupée par la structure après cette perturbaton. Le champ de déplacement total à l'état perturbé est donc donné par : r U r r * = u + αu (1. ) où u r est le champ de déplacements assocé à la confguraton d équlbre C. L'énerge potentelle totale assocée à la confguraton d équlbre C, notée π, se défnt comme la somme de l'énerge élastque nterne w ntrodute en (1.1) et du traval des forces extéreures w donné par : ext w ext = V f u dv Fu ds 0 Γ F (1. 3) Pour une structure élastque lnéare, cette énerge potentelle a pour expresson : π ( u r ) = 1 V kl H je E dv f u dv Fu ds kl j 0 0 V Γ F (1. 4) 1.3. Formulaton du crtère de stablté Comme nous l avons défn précédemment, le crtère de stablté d'une structure peut être énergétque et s'exprmer en foncton de l'accrossement de l'énerge potentelle totale entre une confguraton perturbée C * et la confguraton d équlbre étudée C. Cet accrossement d'énerge potentelle totale est noté : r r* r π = π( u + αu ) π( u) (1. 5) Le paramètre α étant pett, l énerge potentelle après perturbaton peut se développer à l'ade de la formule de Taylor sous la forme : r r * r π * 1 π * * 3 π ( u + αu ) = π ( u) + α u + α u u j + 0( α ) u u u j +... (1. 6) 18

20 Chaptre 1 Modélsaton du flambement des structures élastques Ans, l accrossement d'énerge potentelle π s écrt : 1 3 π = αδ π + α δ π + 0( α ) (1. 7) où δ 1 π et δ π désgnent les varatons premère et seconde de l énerge potentelle. La confguraton C étant une confguraton d équlbre du corps, la varaton premère de l énerge potentelle s annule : 1 δ π = 0 (1. 8) et l accrossement de l énerge potentelle lors de la perturbaton se rédut à : 3 π = α δ π + O( α ) (1. 9) Le crtère de stablté énergétque ne porte donc que sur le sgne de la varaton seconde de l'énerge potentelle : δ π > 0 : équlbre stable, δ π < 0 : équlbre nstable, δ π = 0 : équlbre ndfférent. Nous allons mantenant explcter ce crtère énergétque dans les cas d une structure soumse à de grands déplacements, pus à des petts déplacements Expresson du crtère de stablté en grands déplacements Afn d explcter la varaton d énerge (1.9), l faut tout d abord détaller l expresson du tenseur de Green-Lagrange E en foncton du champ de déplacements total U r. D après la défnton (1.1), ce tenseur se développe en pussance de α sous la forme : E 0 I j ( u α u * ) = E j + αe j + α + E (1. 30) II j où les tenseurs E 0, E I et E II sont défns par les relatons : 19

21 Chaptre 1 Modélsaton du flambement des structures élastques E 0 j = 1 ( D u + D u + Du D u ) (1. 31) j j k j k * * * * E I j = ( Du j D u Du D u k Du kd u ) j k j j k (1. 3) * * E II j = 1 D u kd u k ) (1. 33) j et où D représente la dérvée partelle par rapport à la varable Lagrangenne X. Compte-tenu de ces développements et de la lo de comportement (1.16), le second tenseur de Polla-Krchhoff S assocé à la perturbaton C* peut s écrre : S( u * * 0 I II + α u ) = HE( u + αu ) = S + αs + α S, (1. 34) où les tenseurs S 0, S I et S II sont donnés par : 0 0 S = HE, I I S = HE et II II S = HE. L ensemble de ces développements permet d écrre l'expresson de l'énerge potentelle après perturbaton (1.5) sous la forme : r r π ( u + αu * ) = 1 0 V S 0 j E 0 j dv 0 V + 0 I * α S E dv f u dv j j F u 0 0 V V ΓF f u dv * ds ΓF F u ds α H kl E I E I II + j kl j + Sj Ej dv + O( α ) (1. 35) 0 V Ans, par dentfcaton avec l expresson (1.7), la varaton seconde de l'énerge potentelle δ π s'écrt : δ π = 0 V 1 H kl j E I kl E I j + S 0 j E II j dv (1. 36) 0

22 Chaptre 1 Modélsaton du flambement des structures élastques Cette quantté, qu dot rester postve pour que le corps élastque sot en équlbre stable, se décompose donc en deux termes : le premer tradusant la non-lnéarté géométrque apportée par les termes quadratques du tenseur des déformatons E I (1.31) et le second l apport des contrantes ntales S 0 avant perturbaton. Remarque : lorsque les déplacements et déformatons restent petts (H.P.P.), l'expresson de la varaton seconde de l énerge δ π se rédut à : avec : 0 V ( H kl I I 0 0 jε klε j S ε ) dv 1 δ π = + j j (1. 37) * * ε I j = ( Du j D u ) j 1 + et II j Du kd u j k 1 * * ε = (1. 38) 1.4 Implémentaton numérque d un problème d équlbre en grandes transformatons Nous nous proposons dans cette parte de rappeler quelques méthodes numérques de résoluton des problèmes d équlbre en grands déplacements [GRA97]. Une fos la formulaton varatonnelle rappelée, des méthodes de résoluton par éléments fns seront envsagées pour trater les non-lnéartés géométrques seules dans un premer temps, pus couplées aux non-lnéartés matérelles dans un second temps Formulaton varatonnelle du problème d équlbre Le déplacement d une structure élastque en équlbre, rég par les équatons présentées au 1., est soluton du problème varatonnel [CIA86] suvant : Trouver u U r ad tel que 0 V H kl j E kl r r ( u) E ( v) j dv = 0 V f v dv + Γ F v ds, v U r ad, (1. 39) F 1

23 Chaptre 1 Modélsaton du flambement des structures élastques où U ad est l espace des champs cnématquement admssbles défn par : U ad r r r { v réguler v = 0 sur Γ } = / u En ntrodusant la décomposton (1.) du tenseur de Green-Lagrange E en partes lnéare ε et quadratque η, cette formulaton varatonnelle se réécrt : Trouver 0 V u U r tel que, v U r ad : ad H kl j r r r r r r r r [ ε kl ( u) ε j ( v) + ε kl ( u) ηj ( v) + η kl ( u) ε j ( v) + η kl ( u) ηj ( v) ] dv = f vdv + F vds V 0 Γ F (1. 40) En vue de l mplémentaton numérque, cette formulaton varatonnelle en déplacements est ensute dscrétsée par la méthode des éléments fns Dscrétsaton du problème par la méthode des éléments fns Nous ne présentons pas c en détal la méthode des éléments fns, on pourra consulter les ouvrages spécalsés [BAT91], [LUC96], [ZIE77]. Le prncpe de cette méthode est de dscrétser la structure étudée et de ramener la recherche des déplacements u r ( x, y, z) soluton du problème (1.39) au calcul des valeurs des déplacements aux nœuds du mallage {u n } telles que : { u x, y, z) } N{ } ( =, (1. 41) u n où N désgne la matrce d'nterpolaton et { u n } le vecteur des nconnues nodales. Le tenseur des déformatons E est relé aux déplacements nodaux par la matrce de dérvaton des fonctons d'nterpolaton notée B : E = B {u n } (1. 4)

24 Chaptre 1 Modélsaton du flambement des structures élastques Compte-tenu de (1.), cette relaton peut-être décomposée en une parte lnéare ε et une parte non-lnéare η telles que : ε = B l { u n } et B nl { u n } η = (1. 43) où B l est la parte lnéare de B et B nl la parte non-lnéare. En njectant ces dscrétsatons dans la formulaton varatonnelle (1.39), on obtent alors la formulaton dscrète suvante : Trouver {u n } cnématquement admssble tel que : N t t t t t { v } ( B HB + B HB + B HB + B HB ) dv { u }= n e= 1 T l N t P t t { v } fdv + N Fds n e= 1 e= 1 T T l l nl nl l nl N (1. 44) {v n } cnématquement admssble, où N désgne le nombre total d éléments du mallage et P le nombre d éléments en contact avec la frontère Γ où les efforts sont mposés. F nl n Cette formulaton condut au système matrcel suvant : [ K K ]{ } = F + nl n l u (1. 45) où K l est la matrce de rgdté lnéare : = N l e= 1 T t l K B HB dv, (1. 46) l K nl est la matrce de rgdté non-lnéare : t t t ( B HB + B HB + B HB ) l ln ln ln ln l K dv (1. 47) = N nl e= 1 T et F le vecteur des efforts nodaux mposés : 3

25 Chaptre 1 Modélsaton du flambement des structures élastques N t N f + e= 1 T e= 1 T P t F = dv N Fds (1. 48) La détermnaton des déplacements nodaux d une structure soumse à de grands déplacements nécesste donc la résoluton du système d équatons non-lnéares (1.47). Dans le cas d une structure soumse à de petts déplacements, ce système devent lnéare, la matrce se rédusant à la matrce K l Méthode de résoluton en non-lnéare géométrque Les méthodes numérques classquement utlsées pour la résoluton de système d équatons non-lnéares sont des méthodes tératves. Le prncpe de ces méthodes consste à approcher la soluton par la résoluton d une successon de problèmes auxlares lnéares. Ces méthodes sont dtes d tératons lnéares [CUR93], [DHA84] La résoluton drecte du système (1.45) est remplacée par la recherche tératve du champ {u n } qu annulera le vecteur résdu R défn par : R ({ }) [ K + K ]{ u } F u. (1. 49) n = l nl n Ce vecteur résdu peut s nterpréter comme la dfférence entre les efforts ntéreurs et les efforts extéreurs mposés. } n Notons { u une approxmaton supposée connue de la soluton à l'tératon. La méthode consste alors à rechercher la soluton { n} ({ u } ) 0 n = + u à l tératon +1 telle que : R (1. 50) Ce système non-lnéare est lnéarsé en développant en sére de Taylor le vecteur résdu R au vosnage { u n} dont chacune des composantes s exprme alors par : + 1 R j R j ({ un} ) = R j ({ un} ) + ({ un} ) uk + O( u ), 1 j N n, (1. 51) u k où u k représente la k ème composante de l'ncrément de soluton { u} = { u } { u } N n le nombre total des nœuds. n n n et 4

26 Chaptre 1 Modélsaton du flambement des structures élastques Le système non-lnéare (1.50) est alors approché par le système lnéare suvant : Trouver { u } + 1 K tel que : n { u} = F K { u } +1 (1. 5) n n où K désgne la matrce tangente apparassant dans le développement (1.50), de composantes : K jk k ({ u } ) R j = n. (1. 53) u Partant d une valeur { u n} 0 fxée par l utlsateur, le processus tératf de résoluton est poursuv jusqu à la convergence caractérsée par le crtère d arrêt suvant : +1 ({ } ) < ξ R (1. 54) u n +1 ( ) u n où la précson ξ et la norme { } R sont choses par l utlsateur. D autres chox de matrce tangente K sont possbles et condusent à dfférentes méthodes de résolutons spécfques [CUR93] Méthode de résoluton en non-lnéare matérel Lorsque le matérau présente de plus un comportement non-lnéare, la lo de comportement (1.1) relant S à E s écrt sous la forme générale : ( ) H(E E S E = ) (1. 55) Le comportement varant avec les déformatons engendrées dans le matérau, la résoluton numérque du système (1.45) nécesste de prendre en compte les chargements extéreurs de manère ncrémentale. L algorthme tératf décrt au paragraphe précédent est donc nséré dans une boucle sur les ncréments de charge mposés. Pour chaque ncrément m, le comportement non-lnéare est approché grâce à un développement en séres : 5

27 Chaptre 1 Modélsaton du flambement des structures élastques ( E ) = S ( E ) + ( E ) E O ( E ) S + m+ 1 m m m+ 1 m+ 1 E S en une relaton lnéare de la forme : (1. 56) S = H E (1. 57) où H représente la matrce tangente du comportement et S et E les accrossements de contrantes et déformatons sur l ncrément de chargement étudé. La dscrétsaton sut alors le processus présenté au paragraphe 1.4. dans lequel la matrce de comportement H est remplacée par sa lnéarsaton H. 1.5 Étude numérque de la stablté d un équlbre Nous nous proposons de présenter mantenant les méthodes numérques utlsées classquement pour s'assurer de la stablté d'une structure. Ces méthodes dffèrent selon que la structure est soumse à de petts déplacements ou à de grands déplacements Dscrétsaton du crtère de stablté Le formalsme de dscrétsaton présenté pour l étude de l équlbre est mantenant applqué pour l analyse de la stablté, le champ de déplacements u r étant désormas connu. Comme on l a vu au paragraphe 1.3.3, cette analyse porte sur la varaton seconde de l énerge potentelle (1.36). La dscrétsaton de cette expresson nécesste de compléter les notatons ntrodutes précédemment. Notant { u * n} les composantes nodales du champ de perturbaton u *, le tenseur des déformatons E I défnt par (1.3.) peut s écrre formellement sous la forme matrcelle : [ B C u) ]{ u * } I E l + ( n = (1. 58) où le champ u r apparassant dans la parte C de la matrce de dérvaton est désormas connu. Le tenseur des déformatons E II est, quant à lu, relé aux composantes nodales de * u r par : 6

28 Chaptre 1 Modélsaton du flambement des structures élastques { u } D{ u * } B { u * } II T E D * n n = nl n = (1. 59) La varaton seconde de l énerge potentelle se dscrétse alors sous la forme [COM95]: ({ }) { * t u = u } K { u * } δ π (1. 60) n n n où K * se décompose en : ( u) (u) K * K + K + K l nl σ = (1. 61) avec la matrce de rgdté lnéare : = N l e= 1 T t l K B HB dv (1. 6) l la parte non-lnéare dépendant du champ u r soluton de l équlbre, N t t t ( B HC( u) + C( u) HC( u) + C( u) l ) l K ( u) = HB dv (1. 63) nl e= 1 T et la matrce de rgdté des contrantes ntales : N t 0 K σ ( u) = D HE Ddv (1. 64) e= 1 T Cette dernère matrce, dans un calcul ncrémental, tent compte de l'état de contrante de l'ncrément précédent Tratement de la stablté en pettes perturbatons à : Dans le cas des pettes perturbatons, la matrce K * ntrodute en (1.60) se rédut 7

29 Chaptre 1 Modélsaton du flambement des structures élastques K = K + K l σ (u) (1. 65) où K vérfe : σ N r t 0 r 0 1 K σ ( u) = D Hε ( u) D dv avec ε j = ( D u j + D j u ) e= 1 T La stablté de l équlbre est assurée s la quantté π { u } postve. t ( ) = { u } { u } * δ reste n * K n n L étude de cette stablté est menée à travers la recherche de l état crtque caractérsé par [SON95]: ({ }) { * t u = u } K { u * } = { u * } δ π (1. 66) n n n 0 n { } F En pratque, une fos la soluton du système lnéare K l u = détermnée, l est possble, à partr de (1.63), de calculer le terme K l ntervenant dans la matrce K * du problème de stablté. Pour détermner l état crtque défn par (1.65), on procède alors à un accrossement de charge F qu va engendrer, du fat de la lnéarté de K σ une nouvelle matrce K * caractérstque de la stablté [GAL84] : K * [ K + λ K ( u) ] = (1. 67) l σ On est amené alors à rechercher les valeurs crtques du multplcateur λ qu vérfent : [ + K ]{ u } { } * = u * K λ (1. 68) l σ n 0 n Ces valeurs crtques sont donc fournes par la résoluton d un problème aux valeurs propres. La méthode numérque des pussances nverses, par exemple, peut être utlsée pour cette recherche de valeurs propres [CIA90]. A la plus pette d entre elles λ mn correspond la charge crtque d nstablté F c = λ mn F Tratement de la stablté en grands déplacements Lorsque la structure étudée est soumse à de grands déplacements, l étude de l équlbre est menée par ncréments successfs de charge λ F (cf ), l état déformé, pour un ncrément de charge donné, étant défn par rapport à l état d équlbre 8

30 Chaptre 1 Modélsaton du flambement des structures élastques de l ncrément précédent. Pour chaque ncrément de charge λ F, l faut vérfer que la poston ntermédare d équlbre trouvée est stable [SON00]. Comme précédemment, la détermnaton de l état crtque (1.66) assocé à l ncrément de charge λ F se ramène à la résoluton d un problème aux valeurs propres [KLA8]: r r [ + K u) + K ( u) ]{ u } { } * * n = u l nl ( σ 0 n K λ (1. 69) L étude de la stablté de chacun des équlbres ntermédares permet de construre pont par pont la courbe λ = λ (µ). La valeur de λ correspondant à λ = 1 donne l ntensté du chargement crtque F c = µ F. 1.6 concluson Le chaptre trate de l aspect théorque de la stablté des structures élastques trdmensonnelles homogènes. Les équatons qu régssent le problème d équlbre d une structure soumses à de grands déplacements sont tout d abord écrtes en adoptant une descrpton Lagrangenne. Les tenseurs de déformaton de Green Lagrange et de contrantes, le tenseur de Pola-Krchof, assocés à cette descrpton sont naturellement ntroduts dans l écrture de ces équatons. L analyse de la stablté d une confguraton d équlbre est ensute présentée par une approche énergétque. Un crtère de stablté basé sur l accrossement de l énerge potentelle totale est formulé sur le sgne de la varaton seconde de l énerge. En vue de la résoluton numérque du problème d équlbre, la formulaton varatonnelle de celu-c est rappelée pus dscrétsée par la méthode des éléments fns. La démarche d une méthode de résoluton est présentée tout d abord dans le cas d une structure élastque lnéare soumse à de grands déplacements, pus dans un second temps la prse en compte de la non lnéarté matérelle est ntrodute. L approche numérque de la stablté d un état d équlbre est enfn présentée. Les valeurs de chargement sont soluton d un problème aux valeurs propres. Ces aspects théorques présentés dans le cadre général de l élastcté trdmensonnelle vont être applqués et reformulés au chaptre suvant, dans le cas partculer des structures élancées en béton armé. 9

31 Chaptre Etude de la stablté des poutres élancées en béton armé Étude de la stablté des poutres élancées en béton armé 31.1 Introducton 31. Équatons des poutres élancées élastques 3..1 Notatons 3.. Cnématque et déformatons Efforts généralsés Los de comportement des poutres homogènes Équatons d'équlbre d'une poutre dans une confguraton ntermédare Crtère de stablté 37.3 Modélsaton du comportement du béton armé Comportement du béton Comportement de l'acer Processus d homogénésaton Comportement homogène équvalent du béton armé 43.4 Approche ncrémentale de la stablté des poutres élancées en béton armé Détermnaton tératve des déformatons réelles des poutres en béton armé Actualsaton des caractérstques géométrques et mécanques Actualsaton des confguratons déformées Analyse de la stablté des confguratons ntermédares 50.5 Concluson 5 30

32 Chaptre Etude de la stablté des poutres élancées en béton armé Étude de la stablté des poutres élancées en béton armé.1 Introducton Nous nous ntéressons dans ce chaptre au flambement des structures élancées en béton armé. L'analyse du flambement de ces structures condut à prendre en compte la non-lnéarté matérelle due au comportement du béton [HOF95] et, comme nous l'avons vu au premer chaptre, la non-lnéarté géométrque due aux grands déplacements que subssent les poutres en flambement [HER74]. Ce tratement des deux non-lnéartés peut être effectué à l ade de dfférentes descrptons [CHA91]. L approche peut être, par exemple, Lagrangenne totale, comme présentée au chaptre 1, les varables cnématques et statques étant exprmées par rapport à la confguraton ntale non déformée [BAZ91]. La descrpton Lagrangenne Actualsée est une approche ncrémentale qu permet d exprmer les varables cnématques et statques par rapport à la confguraton déformée antéreure [GHA98]. C est la descrpton que nous avons chose et que nous reprendrons dans la sute de ce chaptre. Le chox de cette approche ans que celu de l ensemble de la démarche proposée dans ce mémore sont lés aux possbltés d mplémentaton dans le code de calcul par éléments fns Systus. La confguraton antéreure peut auss être approchée à l ade d une poston ntermédare résultant d un mouvement de corps rgde [PAC96]. Il s agt alors d une descrpton Lagrangenne Actualsée Approchée ou Corotatonnelle [AOU98]. La confguraton de référence étant alors une poston ntermédare résultant d un mouvement de corps rgde. Dans le cadre de l approche Lagrangenne Actualsée retenue c, nous présentons tout d abord les équatons générales pour des structures élancées homogènes de comportement lnéare. Dans un second temps, on établt les los de comportement équvalentes pour des poutres hétérogènes dont l un des matéraux consttutfs possède un comportement non-lnéare. En pratque on utlsera la lo réglementare parabole rectangle pour le comportement du béton [PRA95], mas la démarche proposée s'adapte à d'autres types de los de comportement non-lnéares. Enfn, le processus ncrémental d analyse de la stablté de structures élancées en béton armé est décrt en dernère parte. 31

33 Chaptre Etude de la stablté des poutres élancées en béton armé Le chargement est mposé par ncréments successfs et l analyse repose sur une successon d étapes, elles-mêmes menées de façon tératve. Pour chaque pas de chargement, cette analyse comporte la détermnaton des déformatons réelles par un algorthme de Newton-Raphson, l actualsaton des caractérstques géométrques et mécanques [BOU97], l actualsaton des confguratons déformées ntermédares, ans que l étude de leur stablté à travers un processus tératf sur les moments dts du second ordre.. Équatons des poutres élancées élastques Dans ce paragraphe, nous présentons les équatons nécessares à l étude d un problème de flambement de poutres homogènes élastques lnéares sotropes dans une descrpton Lagrangenne Actualsée...1 Notatons Consdérons une structure élancée élastque de longueur L. Notant h la plus grande des dmensons transversales de cette structure, l équlbre peut être étudé à l ade d une théore de poutres s les dmensons de la structure et son rayon de courbure r vérfent les condtons suvantes : 1 30 L h 1 5 r et 5 h b L h G r Fgure. 1 - Notatons géométrques d'une poutre 3

34 Chaptre Etude de la stablté des poutres élancées en béton armé Sous ces hypothèses, la structure élancée est alors modélsée par sa lgne moyenne L passant par l ensemble des centres de gravté G des sectons drotes (Σ), dont les ares seront notées A, fgure.1. Dans la sute, nous allons utlser la théore des poutres drotes à plan moyen x r Oy r, chargées dans leur plan. L abscsse curvlgne le long de L sera alors confondue avec la premère varable d espace x... Cnématque et déformatons L approche que nous avons retenue pour l étude du flambement de poutres de comportement non-lnéare est une descrpton Lagrangenne Actualsée. Les déformatons des structures sont approchées de manère tératve, chaque ncrément étant étudé sous l hypothèse des pettes perturbatons par rapport à la confguraton antéreure. Sous ces hypothèses, le tenseur des déformatons de Green-Lagrange E et le second tenseur de Pola-Krchhoff S ntroduts au chaptre 1 sont assmlés au tenseur des déformatons lnéarsées ε et au tenseur des contrantes de Cauchy σ [CHA 91]. La cnématque chose classquement pour décrre le comportement des poutres en flexon composée est la suvante : u u u x y z = = = u( x) yθ ( x) v( x) 0 (. 1) où u x et u y sont les composantes du déplacement suvant la tangente à la lgne moyenne x r et la normale à la lgne moyenne y r. u(x), v(x) et θ(x) représentent respectvement les translatons et la rotaton au centre de gravté G de la secton drote d abscsse x. Conformément à la descrpton Lagrangenne Actualsée adoptée, les varables spatales (x, y, z) sont défnes par rapport à la confguraton d équlbre antéreure. Les seules composantes non nulles du tenseur des déformatons lnéarsées sont les déformatons longtudnale et de csallement qu ont pour expressons : du dθ ε xx = ( x) y ( x) (.) dx dx 33

35 Chaptre Etude de la stablté des poutres élancées en béton armé 1 dv ε xy= ( x) θ ( x) (.3) dx..3 Efforts généralsés Les efforts relatfs à une secton drote ( ) d abscsse x sont obtenus par ntégraton du vecteur contrante de Cauchy σ ( n r ) sur la secton. Comme nous nous lmtons c à l étude des poutres à plan moyen chargée dans leur plan, les composantes de la résultante se rédusent à l'effort normal N(x) suvant x r, l'effort tranchant V y (x) suvant y r, et le moment résultant au centre de gravté G de la secton n a qu une composante non nulle suvant z r : M z (x) le moment fléchssant, fgure.. V y N G x M z ( ) y Fgure. - Efforts généralsés dans une secton drote de poutre à plan moyen chargée dans son plan Ces efforts s écrvent donc : N( x ) = A( x ) σ ( x, y,z )dσ, V ( x ) = τ ( x, y,z ) dσ, (. 4) y y A( x ) M z ( x ) = A( x ) yσ ( x, y,z ) dσ. où σ et τ y sont les composantes normale et tangentelle du vecteur contrante σ ( n r ). 34

36 Chaptre Etude de la stablté des poutres élancées en béton armé..4 Los de comportement des poutres homogènes Les los de comportement des poutres homogènes sotropes sont obtenues en ntégrant la lo de Hooke dans les défntons des efforts généralsés (.4). On trouve alors pour l effort normal, l effort tranchant et le moment fléchssant les relatons suvantes : du( x) N( x) = EA( x) dx dv( x) Vy ( x) = GA( x) θ ( x) dx dθ ( x) M z ( x) = EI z ( x) dx (. 5) où E désgne le module d Young du matérau consttutf, G le module de csallement et I z (x) le moment quadratque par rapport à l axe O v z de la secton drote. Ces relatons supposent, de façon usuelle, que les poutres étudées présentent une symétre de leur géométre par rapport à l axe. On omettra dans la sute, par souc d allégement des notatons, les ndces y et z...5 Équatons d'équlbre d'une poutre dans une confguraton ntermédare Nous consdérons une poutre unformément chargée par une densté p r r = py. Nous allons décrre les équatons d'équlbre de cette poutre dans une confguraton ntermédare déformée [TIM66]. Sot un pett tronçon de longueur nfntésmale dx en équlbre sous l acton des efforts de cohéson et de la densté de charge p : 35

37 Chaptre Etude de la stablté des poutres élancées en béton armé p (M+dM) x N M (N+dN) y (V+dV) Fgure. 3 - Équlbre d'un élément dx de la déformée ntale L équlbre de ce tronçon condut aux équatons suvantes : dn dx V d M dx = = = 0 dm dv + N dx dx d v p + N dx (. 6) La seconde équaton de ce système peut s écrre encore sous la forme : V d = ( M Nv) (. 7) dx mettant ans en évdence un terme lé à la non-lnéarté géométrque qualfé de moment du second ordre : M nl = N.v (. 8) Le système d équlbre c-dessus correspond donc au système d équatons classques des poutres en H.P.P., le moment fléchssant total étant c décomposé en deux partes, le moment fléchssant usuel lnéare M ln et un moment addtf non-lnéare du second ordre M nl : 36

38 Chaptre Etude de la stablté des poutres élancées en béton armé d dx dn dx V ( M + M ) ln nl = = = d dx 0 ( M + M ) ln p nl (. 9) En pratque, la dscrétsaton par éléments fns des équatons d équlbre (.9) et de la lo de comportement (.5) condut à la résoluton d un système matrcel non-lnéare de la forme (1.45) : [ K K ] { } = F + nl n l u (. 10) Le procédé de résoluton ncrémentale de ce système sera décrt au paragraphe Crtère de stablté Le crtère retenu c pour tester la stablté des poutres porte sur le moment fléchssant généré dans les structures, moment que l on a décomposé sous la forme : M ( x) = M ( x) M ( x) (. 11) ln + nl où le second membre comporte deux termes du fat de la non-lnéarté géométrque. Le premer M ln est la parte du moment fléchssant total correspondant au chargement ntalement donné. Le second M nl est la parte résultant de la prse en compte des confguratons antéreures, et donc, des termes de grandes rotatons lées à l étude du problème de flambement. On a donc : M ( x) = M ln ( x) N( x) v( x) (. 1) C est sur ce derner terme que nous avons chos de tester la stablté de l équlbre attent pusqu l fat apparaître explctement les flèches v(x) générées. La convergence de l'ntensté des moments non-lnéares, dts du second ordre, vers une valeur fne atteste de la stablté de la poston d équlbre ntermédare étudée [MOR75]. Une llustraton du rôle de ce moment non-lnéare M nl apparaît dans la recherche des charges ultmes des poutres homogènes de comportement élastque lnéare sotrope en pettes déformatons. La lo de comportement retenue dans ce cadre est : 37

39 Chaptre Etude de la stablté des poutres élancées en béton armé d v( x) M ( x) = EI( x) (. 13) dx où la rotaton de la secton drote θ(x) est assmlée à la dérvée premère de la flèche v(x). Dans le cas d une poutre présentant un défaut géométrque ntal v 0 (x) et soumse à des efforts de compresson F, la flèche v(x) vérfe alors l équaton dfférentelle suvante : d v( x) EI dx = Fv ( x) Fv( x) (. 14) 0 S la courbure ntale est un arc de snusoïde, la résoluton de cette équaton est explcte et condut à : F.v 0 ( x ) v( x ) = (. 15) F F cr π EI où Fcr = est la charge crtque d Euler. Le moment fléchssant dans la poutre L s exprme également en foncton de cette charge crtque par : 1 1 M( x ) = Fv0 ( x ) = M ln( x ) (. 16) 1 F 1 F Fcr Fcr 1 Le terme s appelle facteur d amplfcaton du second ordre. On remarque sur 1 F F cr cette formule que le moment fléchssant M(x) devent nfn lorsque la charge de compresson F s approche de la charge crtque d Euler F cr. On remarquera également que le moment fléchssant total M(x) peut auss s écrre sous la forme : F M ( x) = M ln ( x) + M nl ( x) = M ln ( x) + M ln ( x) (. 17) F F cr mettant en évdence le rôle de la parte non-lnéare M nl dans le crtère de stablté. 38

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