INF242 Travaux Pratiques n 7 Logique propositionnelle

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1 INF242 Travaux Pratiques n 7 Logique propositionnelle Avril 2006 Comme compte rendu, on répondra aux questions posées. Ce TP a pour but de vous faire résoudre des problèmes de logique. Pour cette résolution, on peut utiliser un logiciel de simplification de formules logiques, mais ce pas obligatoire. Ce logiciel est une calculette dédiée à la logique. Cette calculette est activée sous Unix par la commande bddc. Une invite est alors affichée permettant d'exécuter des commandes dont help, qui donne la liste des commandes syntax, qui indique la grammaire des expressions. quit, pour quitter la calculette Si vous écrivez une formule suivie d'un point virgule, la formule est automatiquement transformée en une somme de monômes équivalente. Pour vous familiariser avec ce logiciel, tapez les entrées suivantes et observez les réponses : >>0+a;réponse :a >>0.a; réponse : 0 >>p => p réponse : 1 >>p => p réponse : p La calculette transforme une formule en une somme de produits équivalente. Si la formule est valide (égale à 1), elle donne 1. Si la formule est contradictoire (égale à 0), elle donne 0. Les connectives sont notées ainsi : négation disjonction + conjonction. équivalence = implication => Les priorités des connectives sont celles du cours. Les identificateurs se divisent en 2 catégories, que le logiciel appelle les variables et les arguments. Une variable est un identificateur auquel on a affecté une formule au cours d'une session. Par exemple l'instruction suivante : >>A:=a.b; affecte la formule a.b à la variable A. Dès qu'un identificateur est affecté, il devient une variable jusqu'à la fin de la session. On peut connaître le statut des identificateurs par la commande list. 1

2 On peut employer une variable dans une formule : >>c.a; réponse : c.a.b On peut modifier plusieurs fois la valeur d'une variable. Pour éviter les confusions, on conseille d'écrire en majuscules les variables et en minuscules les arguments. 1) Validité, insatisfaisabilité et réalisations Q1 Classer les formules suivantes en 3 catégories : valide insatisfaisable satisfaisable mais non valide Pour chaque formule de la dernière catégorie, donner une assignation qui rend la formule vraie et une qui la rend fausse. a. a (a => (b => c)) => (a. b => c) ((a = b) = c) ((a => b).(b => c)) => (a => c) (a => (b => c)) => ((a => b) => c) (a = (b = c)) = ((a = b) = c) (a. b => c) = ((a => c) + (b => c)) (a + b => c) = ((a => c). (b => c)) (a + b => c) = ((a => c) + (b => c)) a. (a+b) = a a + a. b = a a. ( b)+b = a+b (a + b).( a + b) = b (a + b).( a + c) => b. c Voici une méthode pour trouver des assignations qui sont contre modèles d'une formule : Affecter la formule à une variable >>A:=p. (q+r); réponse A:=p. q + p. r Simplifier A >> A réponse p + q. r Chaque monôme du résultat peut alors se traduire par une réalisation qui donne la valeur 1 à la formule A donc 0 à la formule A : le monôme p se traduit par la réalisation p = 0 le monôme q. r se traduit par la réalisation q = 0, r = 0. 2

3 2) Étude de la notion de conséquence. Rappel : H1, H2 ont pour conséquence C (ce qu'on note H1, H2 = C) si et seulement si = ((H1.H2) => C) Q2. Les raisonnements suivants sont ils corrects? Lorsqu'ils ne le sont pas, donnez une assignation qui donnent la valeur 1 aux hypothèses et 0 à la conclusion. p, (p => q) = q? (p + q), (p => r), (q => r) = r? (a + b + c + d),(a => e), (b => e), (c => e), (d = > e) = e? a. a = (a + b).(b+ c).(c+ d).(d+e)? a => b, a => b, a = (a + b).(b+ c).(c+ d).(d+e)? (a1+b1).(a2+b2).(a3+b3).(a4+b4) = a1.a2.a3.a4 + b1.b2.b3.b4? p11.p21.p31+p12.p22.p32+p13.p23.p33 = (p11+p12+p13).(p21+p22+p23).(p31+p32+p33)? (p11+p12+p13).(p21+p22+p23).(p31+p32+p33) = p11.p21.p31+p12.p22.p32+p13.p23.p33? 3) Satisfaisabilité Q3. Pour chaque ensemble de formules, indiquer s'il est insatisfaisable. Dans le cas contraire, donner une assignation qui en est modèle. (p+q), (p => q), q (p => q), (q => r), (r => p) (p => q), (q => r), (r => p), p + s, s Histoire d'un crime Un crime a été commis. Il y a 3 suspects, André, Claude et Bernard. André déclare : Bernard est coupable et Claude est innocent Bernard déclare : Si André est coupable alors Claude l'est aussi Claude déclare : Je suis innocent mais l'un des deux autres est coupable. Indiquez si ces témoignages sont ou ne sont pas contradictoires, autrement dit indiquez si l'ensemble des témoignages est satisfaisable. Q4. Dans ce cas, qui est le coupable? 3

4 4) Devinettes logiques (Extrait de "Le livre qui rend fou" de Smullyan) Un roi organise une épreuve pour ses prisonniers. Les prisonniers doivent choisir entre deux cellules : chacune des cellules contient un tigre ou une princesse (il peut y avoir un tigre et une princesse, deux tigres ou deux princesses). Il affiche des inscriptions sur la porte des deux cellules : un prisonnier qui choisit une cellule avec une princesse est libéré et celui qui choisit une cellule avec un tigre est dévoré. Première épreuve Sur la cellule 1, le roi affiche : il y a une princesse dans cette cellule et un tigre dans l'autre. Sur la cellule 2, le roi affiche : il y a une princesse dans une cellule et il y a un tigre dans une cellule. Le roi ajoute qu'une des affiches dit la vérité et que l'autre ment. Q5. Quelle cellule doit choisir le prisonnier (pour ne pas être dévoré)? Indications : coder par p1 le fait qu'il y a une princesse dans la cellule 1. ( p1) signifie qu'il y a un tigre dans la cellule 1. Soit A1 et A2 les formules correspondant aux deux affiches. Le fait que l'une mente et que l'autre dise la vérité, peut être exprimé par (A1 <> A2). Cette opération est aussi appelée le ou exclusif. Deuxième épreuve Sur la cellule 1, le roi affiche : une au moins des 2 cellules contient une princesse. Sur la cellule 2, le roi affiche : il y a un tigre dans l'autre cellule. Le roi ajoute que les deux affiches sont toutes les deux vraies ou toutes les deux fausses. Q6. Quelle cellule doit choisir le prisonnier (pour ne pas être dévoré)? Troisième épreuve Le roi déclare aussi que les deux affiches sont toutes les deux vraies ou toutes les deux fausses. Sur la cellule 1, le roi affiche : il y a un tigre dans cette cellule ou une princesse dans l'autre. Sur la cellule 2, le roi affiche : il y a une princesse dans l'autre. Q7. Que contiennent chacune des deux cellules? Quatrième épreuve Le roi déclare que l'affiche de la cellule 1 dit la vérité si la cellule 1 contient une princesse et qu'elle ment si elle contient un tigre. Pour la cellule 2, il dit que c'est l'inverse, si elle contient une princesse, l'affiche de la cellule 2 ment et si elle contient un tigre elle dit la vérité. Sur la cellule 1, le roi affiche : les 2 cellules contiennent des princesses. Sur la cellule 2, le roi affiche : les 2 cellules contiennent des princesses. Q8. Que doit faire le prisonnier? 4

5 Cinquième épreuve Les mêmes règles s'appliquent, seules les affiches changent. Sur la cellule 1, le roi affiche : une cellule au moins contient une princesse Sur la cellule 2, le roi affiche : l'autre cellule contient une princesse. Q9. Que doit faire le prisonnier? Sixième épreuve Les mêmes règles s'appliquent, seules les affiches changent. Sur la cellule 1, le roi affiche : choisis n'importe quelle cellule, ça n'a pas d'importance (il y a deux tigres ou deux princesses) Sur la cellule 2, le roi affiche : il y a une princesse dans l'autre cellule Q10. Que doit faire le prisonnier? V Menteurs et véridiques Une île contient des habitants dont le genre est menteur (un menteur ment toujours) véridique (un véridique ne ment jamais) 3 habitants A, B, C tiennent les discours suivants A : je suis véridique B : C a dit un jour qu'il était menteur C : B est menteur Q11. Que peut on dire du genre de A, B, C VI Le club écossais Il existe en Écosse un club très fermé qui obéit aux règles suivantes : Tout membre non écossais porte des chaussettes rouges Tout membre porte un kilt ou ne porte pas de chaussettes rouges Les membres mariés ne sortent pas le dimanche Un membre sort le dimanche si et seulement si il est écossais Tout membre qui porte un kilt est écossais et marié Tout membre écossais porte un kilt Q12. Montrer que ce club est si fermé qu'il ne peut accepter personne 5

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