Jacobiennes modulaires non hyperelliptiques de dimension 3

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1 Jacobiennes modulaires non hyperelliptiques de dimension 3 Roger Oyono University of Waterloo Séminaire de Théorie des nombres, Limoges 2007

2 Jacobiennes modulaires de dimension 3 1 Courbes non hyperelliptiques Transformations de Shioda 2 3 Variétés abeliennes définies sur C Théorème de Torelli en dimension 3 Jacobiennes modulaires de dimension 3

3 Transformations de Shioda Jacobiennes modulaires de dimension 3 1 Courbes non hyperelliptiques Transformations de Shioda 2 3 Variétés abeliennes définies sur C Théorème de Torelli en dimension 3 Jacobiennes modulaires de dimension 3

4 Transformations de Shioda Soit k un corps algébriquement clos, C une courbe algébrique complète définie sur k et g := g(c) le genre de C. Une courbe hyperelliptique C est une courbe algébrique admettant un morphisme C P 1 de degré 2. Équation explicite Toute courbe hyperelliptique C admet un modèle (affine) donné sous la forme y 2 + h(x)y = f(x) avec deg(f) {2g + 2,2g + 1} et deg(h) g.

5 Transformations de Shioda Soit k un corps algébriquement clos, C une courbe algébrique complète définie sur k et g := g(c) le genre de C. Une courbe hyperelliptique C est une courbe algébrique admettant un morphisme C P 1 de degré 2. Équation explicite Toute courbe hyperelliptique C admet un modèle (affine) donné sous la forme y 2 + h(x)y = f(x) avec deg(f) {2g + 2,2g + 1} et deg(h) g.

6 Transformations de Shioda Une courbe non hyperelliptique C est une courbe algébrique n admettant pas de morphisme C P 1 de degré 2. Plongement canonique Soit {ω 1,,ω g } une base de Ω 1 (C). La courbe C est non hyperelliptique si et seulement si le morphisme canonique ϕ : C P g 1 P ϕ(p) := (ω 1 (P),...,ω g (P)), est un plongement. Dans ce cas, ϕ(c) est une courbe de degré 2g 2.

7 Transformations de Shioda Une courbe non hyperelliptique C est une courbe algébrique n admettant pas de morphisme C P 1 de degré 2. Plongement canonique Soit {ω 1,,ω g } une base de Ω 1 (C). La courbe C est non hyperelliptique si et seulement si le morphisme canonique ϕ : C P g 1 P ϕ(p) := (ω 1 (P),...,ω g (P)), est un plongement. Dans ce cas, ϕ(c) est une courbe de degré 2g 2.

8 Transformations de Shioda Propriétés des courbes de genre g(c) = 3 ϕ(c) est une quartique plane non singulière, Toute quartique plane non singulière est l image du plongement canonique d une courbe non hyperelliptique de genre 3. Si char(k) 2, la courbe C admet alors 28 bitangentes. Si char(k) 2,3, la courbe C admet alors 24 points de Weierstrass (avec multiplicité). Il existe un système complet d invariants ternaires pour les quartiques planes non singulières (Dixmier-Ohno).

9 Transformations de Shioda Théorème (Shioda) Soit k un corps de char(k) 3, C/k une quartique de genre 3 admettant un point d inflection ordinaire ξ définie sur k. Il existe alors un système de coordonnées (x,y,z) de P 2 t.q. C,ξ sont donnés par C : 0 = y 3 z + y(p 0 z 3 + p 1 z 2 x + x 3 ) + q 0 z 4 + q 1 z 3 x + q 2 z 2 x 2 + q 3 zx 3 + q 4 x 4 De plus, le paramètre ξ = (0 : 1 : 0), T ξ : z = 0. λ = (p 0,p 1,q 0,q 1,q 2,q 3,q 4 ) k 7 admet un représentant unique pour la relation d équivalence λ = (p i,q j ) λ = (p i,q j ) p i = u 6 2i p i, q j = u 9 2j q j, (i = 0,1, j = 0,1,,4) où u 0.

10 Jacobiennes modulaires de dimension 3 1 Courbes non hyperelliptiques Transformations de Shioda 2 3 Variétés abeliennes définies sur C Théorème de Torelli en dimension 3 Jacobiennes modulaires de dimension 3

11 Sous groupe de Hecke de niveau N: {( ) } a b Γ 0 (N) := SL 2 (Z) c 0 mod N c d Γ 0 (N) agit sur l extension H := H Q { } du demi plan de Poincaré H := {τ C Im(τ) > 0} via ( ) a b z az + b c d cz + d. La courbe modulaire X 0 (N) est définie par Γ 0 (N) \ H =: X 0 (N).

12 Le C-espace vectoriel S 2 (N) des cusp forms de poids 2 vérifie: S 2 (N) Ω 1 (X 0 (N)). Les cusp forms admettent un développement de Fourier: f(τ) := n=1 a n q n,q := e 2πiτ, a n C, où f 0 a n = 0 pour 0 n [SL 2 Z) : Γ 0 (N)] k/12. L algèbre de Hecke induit une action sur S 2 (N) ainsi que sur J 0 (N).

13 L espace vectoriel S new 2 (N) des formes nouvelles est le complément orthogonale de S old 2 (N) := g(dτ) g(τ) S 2 (M) avec M N,M N,d N M. relatif au produit scalaire de Petersson. Il existe une base unique de S new 2 (N) constituée de vecteurs propres (eigenforms) relatifs à tous les opérateurs de Hecke T p t.q. gcd(p,n) = 1.

14 Théorème Shimura (1973): Il existe une sous variété abelienne Q-simple A f de J new 0 (N) associé à la eigenform f = n=1 a nq n S new 2 (N) t.q. dim A f = [K f,q], K f := Q(a n ). Rélation de Eichler-Shimura: Le pôlynome caractéristique χ Tp de l opérateur de Hecke T p vérifie: #A f (F p ) = χ Tp (p + 1). A /Q est une variété abelienne modulaire de niveau N si τ /Q : J 0 (N) A.

15 Théorème Shimura (1973): Il existe une sous variété abelienne Q-simple A f de J new 0 (N) associé à la eigenform f = n=1 a nq n S new 2 (N) t.q. dim A f = [K f,q], K f := Q(a n ). Rélation de Eichler-Shimura: Le pôlynome caractéristique χ Tp de l opérateur de Hecke T p vérifie: #A f (F p ) = χ Tp (p + 1). A /Q est une variété abelienne modulaire de niveau N si τ /Q : J 0 (N) A.

16 C /Q est une courbe modulaire de niveau N si π /Q : X 0 (N) C. X 0 (N) π C

17 C /Q est une courbe modulaire de niveau N si π /Q : X 0 (N) C. J 0 (N) π J(C) X 0 (N) π C

18 C /Q est une courbe modulaire de niveau N si π /Q : X 0 (N) C. Dans ce cas, J(C) est modulaire de niveau N, et on a J 0 (N) π J(C) X 0 (N) π C

19 C /Q est une courbe modulaire de niveau N si π /Q : X 0 (N) C. Dans ce cas, J(C) est modulaire de niveau N, et on a J 0 (N) π J(C) X 0 (N) π C

20 C /Q est une courbe modulaire de niveau N si π /Q : X 0 (N) C. Dans ce cas, J(C) est modulaire de niveau N, et on a J 0 (N) π J(C) X 0 (N) C La réciproque n est en genéral pas vraie.

21 C /Q est une courbe modulaire de niveau N si π /Q : X 0 (N) C. Dans ce cas, J(C) est modulaire de niveau N, et on a J 0 (N) π J(C) X 0 (N) C La réciproque n est en genéral pas vraie.

22 C /Q est une courbe modulaire de niveau N si X 0 (N) π /Q C

23 C /Q est une courbe modulaire de niveau N si J 0 (N) π J(C) X 0 (N) π C

24 C /Q est une courbe modulaire nouvelle de niveau N si J 0 (N) π J(C) J 0 (N) new X 0 (N) π C

25 C /Q est une courbe modulaire nouvelle de niveau N si J 0 (N) J(C) J 0 (N) new X 0 (N) π C Alors π Ω 1 new dq (C) S 2 (N) q

26 C /Q est une courbe modulaire nouvelle de niveau N si J 0 (N) J(C) J 0 (N) new X 0 (N) π C Alors π Ω 1 new dq (C) S 2 (N) q

27 Notation Soit g Z 0, et M C g = {courbes modulaires de genre g} / Q, M C new g = {[C] M C g C est nouvelle}. Théorème (g = 1, Wiles et. al.) M C 1 = M C new 1 = {courbes elliptiques définies sur Q} / Q. #M C 1 = #M C new 1 =. Théorème (Baker et. al.) Soit g 2 un entier. M C new g est alors fini et calculable.

30 Courbes non hyperelliptiques Soient C /Q une courbe non hyperelliptique de genre g 3, et Ω 1 (C) = ω 1,...,ω g C. Le plongement canonique est alors défini par i : C P g 1 : z [ω 1 (z) : : ω g (z)] où i(c) est une courbe projective, non singulière, de degré 2g 2.

31 Exemple: g = 3 Algorithme g = 3 (en collaboration avec Enrique González) INPUT: f 1,...,f n New N t.q. dima = 3, A = A f1 A fn. Étape 1: Déterminer une base intégrale {h 1,...,h 3 } de Ω 1 (A) t.q. en utilisant l élimination de Gauss. Étape 2: Plongement canonique: h 1 = q+ O(q 2 ) h 2 = q 2 + O(q 3 ) h 3 = O(q 3 ) x = h 1 y = h 2 z = h 3

32 Algorithme (cont.) Étape 3: Calculer s il existe F(X,Y,Z) = i+j+k=4 a ijk X i Y j Z k Q[X,Y,Z] t.q. F(x,y,z) = O(q c N ), c N = 4 3 [SL 2(Z) : Γ 0 (N)], Étape 4: Si C : F(X,Y,Z) = 0 est lisse et de genre 3 alors C est une courbe modulaire non hyperelliptique de niveau N t.q. J(C) Q A. OUTPUT: C : F(X,Y,Z) = 0 (où ERREUR).

33 C : F(x,y,z) = 0 C A 97 : x 3 z x 2 y 2 5x 2 z 2 + xy 3 + xy 2 z + 3xyz 2 + 6xz 3 3y 2 z 2 yz 3 2z 4 = 0 C B 109 : x 3 z 2x 2 yz x 2 z 2 xy 3 + 6xy 2 z 6xyz 2 + 3xz 3 + y 4 6y 3 z + 10y 2 z 2 5yz 3 = 0 C C 113 : x 3 z x 2 y 2 4x 2 z 2 + xy 3 + 2xy 2 z + 6xz 3 y 3 z 3y 2 z 2 + yz 3 3z 4 = 0 C A 127 : x 3 z x 2 y 2 3x 2 z 2 + xy 3 xyz 2 + 4xz 3 + 2y 3 z 3y 2 z 2 + 3yz 3 2z 4 = 0 C B 139 : x 3 z x 2 y 2 2x 2 z 2 + xy 3 2xy 2 z + 2xyz 2 + xz 3 + y 4 2y 3 z + 4y 2 z 2 3yz 3 = 0 C A 149 : x 3 z x 2 y 2 3x 2 z 2 + xy 3 + 3xy 2 z 2xyz 2 + 2xz 3 y 4 y 2 z 2 + yz 3 = courbes m. n-hyper. à Jacobiennes Q-simples.. C855 L : x 3 z x 2 z 2 xy 3 + 3xyz 2 3xz 3 + 2y 3 z 3y 2 z 2 + 3yz 3 = 0 C D 1175 : x 3 z x 2 y 2 + x 2 z 2 + xy 3 2xy 2 z + 2xyz 2 xz 3 + y 4 2y 3 z + y 2 z 2 + yz 3 = 0 C P 1215 : x 3 z xy 3 + 3xyz 2 + 5xz 3 6y 2 z 2 3yz 3 + z 4 = 0.

34 Comment calculer une base de S 2 (C) si C est une courbe modulaire non-nouvelle? Lemma Soit π : X 0 (N) C un Q-morphisme non constant. L espace vectoriel S 2 (C) admet une base B invariante sous l action de Gal( Q/Q) et formée de cusp forms où M N, f S new 2 (M) et c d K f. h(q) = c d f(q d ) d N M

35 Exemple: J 0 (178) Q A (1) f 1 A (1) f 2 A (2) f 3 A (3) f 4 (B (1) g 1 ) 2 (B (1) g 2 ) 2 (B (5) g 3 ) 2. Soit A f3,g 2 := A (2) f 3 B (1) g 2 f 3 (q) = q + q q 2 + aq 3 + q 4 + ( 2a 3)q 5 + O(q 6 ) S new 2 (178) g 2 (q) = q q 2 q 3 q 4 q 5 + O(q 6 ) S new 2 (89) où K f3 = Q(a) avec a 2 + 2a 1 = 0. Soit S 2 (A f3 ) = f 31,f 32 t.q. f 31 (q) = q q 2 + q 4 3q 5 2q 7 q 8 2q 9 + O(q 10 ) f 32 (q) = q 3 2q 5 q 6 2q 9 + O(q 10 ) Alors F(f 31 (q),f 32 (q),g 2 (q) + 2g 2 (q 2 )) = 0, où C : F = 0 est la quartique lisse et plane définie par F(x,y,z) = x 4 8x 3 y + 38x 2 y 2 2x 2 z 2 24xy 3 8xyz 2 7y 4 + 6y 2 z 2 + z 4.

36 Variétés abeliennes définies sur C Théorème de Torelli en dimension 3 Jacobiennes modulaires de dimension 3 Jacobiennes modulaires de dimension 3 1 Courbes non hyperelliptiques Transformations de Shioda 2 3 Variétés abeliennes définies sur C Théorème de Torelli en dimension 3 Jacobiennes modulaires de dimension 3

37 Variétés abeliennes définies sur C Théorème de Torelli en dimension 3 Jacobiennes modulaires de dimension 3 Toute variété abelienne (de dimension g) définie sur C est à un tore C g /Λ sur lequel est défini une forme de Riemann E. Exemple: Une forme de Riemann définie sur la courbe elliptique E(C) C/(Z + iz) est donnée par E(x + iy,x + iy ) := x y y x. A = C g /Λ est principallement polarisée (p.p.), s il existe une base {λ 1,,λ 2g } du reseau Λ telle que ( 0 Eg (E(λ i,λ j )) = E g 0 Dans ce cas: A C g /(Z g + ΩZ g ) avec Ω H g. Les Jacobiennes sont des variétés abeliennes p.p. )

38 Variétés abeliennes définies sur C Théorème de Torelli en dimension 3 Jacobiennes modulaires de dimension 3 Théorème Une v.a.p.p. et absolument simple A de dimension g 3 est isomorphe à la Jacobienne d une courbe de genre g. Théorème (Torelli (1957)) Jac(C 1 ) Jac(C 2 ) (comme v.a.p.p.) C 1 C 2. Remarque Il existe des courbes non isomorphes C et C admettant, comme v.a. (sans polarisation), des Jacobiennes isomorphes ( Howe, Rotger,...).

39 Variétés abeliennes définies sur C Théorème de Torelli en dimension 3 Jacobiennes modulaires de dimension 3 (Theta)-caractéristiques (paires / impaires) [ δ ε] Une caractéristique est un vecteur de la forme m = t.q. δ,ε Z g mod 2Z g. La caractéristique m est impaire (resp. paire) ssi δ ε T 1 mod 2 (resp. δ ε T 0 mod 2). Le nombre de caractéristiques impaires est de 2 g 1 (2 g 1); celui des caractéristiques paires de 2 g 1 (2 g + 1). Fonctions theta de Riemann: ϑ(z,ω) = exp(πi(nωn t + 2nz)). n Z g { A[2] = z m = 1 2 Ωδt + 1 [ ] 2 εt δ m = t.q. δ,ε Z ε g mod 2Z }. g [ ( ) ( ) δ πi ϑ (0,Ω) := exp ε] 4 δωδt + πiδ εt 1 ϑ 2 2 Ωδt + εt 2,Ω

40 Variétés abeliennes définies sur C Théorème de Torelli en dimension 3 Jacobiennes modulaires de dimension 3 Pour une v.a.p.p. et absolument simple A = C 3 /(Z 3 + ΩZ 3 ) il existe une courbe C t.q. A Jac(C). La courbe C est hyperelliptique exactement une ϑ- constante paire de Jac(C) s annulle. Pour une quartique de genre 3: Les points impaires de 2-torsion de Jac(C) correspondent aux classes de diviseurs [P 1 + P 2 (P 1 + P 2 )] provenant des bitangentes de C. But: À partir d une v.a.p.p. A = C 3 /(Z 3 + ΩZ 3 ), déterminer l équation d une courbe C t.q. Jac(C) C A. Théorème de Torelli (hyperelliptique) Modèle de Rosenhain utilisant les ϑ-constantes paires (Weng). Modèle symmétrique utilisant les dérivées des ϑ-fonctions évaluées aux points impaires de 2-torsion (Guardia).

41 Variétés abeliennes définies sur C Théorème de Torelli en dimension 3 Jacobiennes modulaires de dimension 3 Pour une v.a.p.p. et absolument simple A = C 3 /(Z 3 + ΩZ 3 ) il existe une courbe C t.q. A Jac(C). La courbe C est hyperelliptique exactement une ϑ- constante paire de Jac(C) s annulle. Pour une quartique de genre 3: Les points impaires de 2-torsion de Jac(C) correspondent aux classes de diviseurs [P 1 + P 2 (P 1 + P 2 )] provenant des bitangentes de C. But: À partir d une v.a.p.p. A = C 3 /(Z 3 + ΩZ 3 ), déterminer l équation d une courbe C t.q. Jac(C) C A. Théorème de Torelli (hyperelliptique) Modèle de Rosenhain utilisant les ϑ-constantes paires (Weng). Modèle symmétrique utilisant les dérivées des ϑ-fonctions évaluées aux points impaires de 2-torsion (Guardia).

42 Variétés abeliennes définies sur C Théorème de Torelli en dimension 3 Jacobiennes modulaires de dimension 3 Un ensemble de caractéristiques S := ([ε i ]) i=1,...,7 est appelé système complet si: Toute caractéristique impaire est de la forme [ε i ] ou [ε i ] + [ε j ], i j, et, Toute caractéristique paire est de la forme [0] ou [ε i ] + [ε j ] + [ε k ], (i,j,k distincts). Exemple [ ε 1 = [ ε 5 = ] ] [ ε 2 = [ ε 6 = ] ] [ ε 3 = [ ε 7 = ] ]. [ ε 4 = ]

43 Variétés abeliennes définies sur C Théorème de Torelli en dimension 3 Jacobiennes modulaires de dimension 3 Un système d Aronhold est un ensemble de 7 bitangentes provenant des bitangentes associées aux points de 2-torsion d un système complet. Théorème (Riemann (1898)) Pour le système canonique d Aronhold (β i ) i=1,...,7 il existe une quartique C de genre 3 admettant ces (β i ) i=1,...,7 comme bitangentes: xv1 + yv 2 + zv 3 = 0, Les fonctions linéaires v 1,v 2,v 3 sont explicitement calculables. Théorème (Lehavi (2002)) Toute quartique plane de genre 3 est uniquement déterminée (à isomorphismes près) par un système d Aronhold (β i ) i=1,,7.

44 Variétés abeliennes définies sur C Théorème de Torelli en dimension 3 Jacobiennes modulaires de dimension 3 Un système d Aronhold est un ensemble de 7 bitangentes provenant des bitangentes associées aux points de 2-torsion d un système complet. Théorème (Riemann (1898)) Pour le système canonique d Aronhold (β i ) i=1,...,7 il existe une quartique C de genre 3 admettant ces (β i ) i=1,...,7 comme bitangentes: xv1 + yv 2 + zv 3 = 0, Les fonctions linéaires v 1,v 2,v 3 sont explicitement calculables. Théorème (Lehavi (2002)) Toute quartique plane de genre 3 est uniquement déterminée (à isomorphismes près) par un système d Aronhold (β i ) i=1,,7.

45 Variétés abeliennes définies sur C Théorème de Torelli en dimension 3 Jacobiennes modulaires de dimension 3 Soit Jac(C) C 3 /(Ω 1 Z 3 + Ω 2 Z 3 ), telle que Ω := Ω 2 Ω 1 1 H 3. Comment calculer les bitangentes de C? Les bitangentes (β i ) i=1,...,7 associées au système complet ([ε i ]) i=1,...,7 sont données par ( ϑ (ε i ), ϑ (ε i ), ϑ ) (ε i ) z 1 z 2 z 3 Ω 1 1 Z X Y = 0.

46 Variétés abeliennes définies sur C Théorème de Torelli en dimension 3 Jacobiennes modulaires de dimension 3 Algorithme (Torelli en dimension 3) INPUT: A = C 3 /(Z 3 + ΩZ 3 ) p.p. et absolument simple. OUTPUT: Une quartique C de genre 3 t.q. A C Jac(C). Étape 1: Déterminer les 36 ϑ-constantes paires afin de décider si A Jac(N H 3 (C)). Étape 2: Déterminer les dérivées des ϑ-fonctions évaluées aux points impaires de 2-torsion z εi (ε i S can ) et déterminer les 7 bitangentes β i associées. Étape 3: Détermniner le modèle de Riemann associé au système d Aronhold (β i ).

47 Variétés abeliennes définies sur C Théorème de Torelli en dimension 3 Jacobiennes modulaires de dimension 3 Théorème (Hida, Wang) Soient A f une v.a.p.p. et modulaire, (Z ) Ω 1,f := ω(f σ j ) C g g, w i i,j=1,...,g (Z ) Ω 2,f := ω(f σ j ) C g g. w i i=g+1,...,2g j=1,...,g La matrice de période Ω f de A f est donnée par Ω f = Ω 1 1,f Ω 2,f.

48 Variétés abeliennes définies sur C Théorème de Torelli en dimension 3 Jacobiennes modulaires de dimension 3 Exemple Soit f S new 2 (7 73) la eigenform f = q + aq 2 + 2q 3 + (a 2 2)q 4 + ( a + 1)q 5 + 2aq 6 + O(q 7 ), avec a 3 5a + 1 = 0. A f C Jac(C f ) où C f est la quartique de genre 3 définie par avec C f : (xv 1 + yv 2 zv 3 ) 2 = 4xyv 1 v 2, v 1 = ( i)x + ( i)y + ( i)z, v 2 = ( i)x ( i)y ( i)z, v 3 = ( i)x ( i)y ( i)z.

49 Variétés abeliennes définies sur C Théorème de Torelli en dimension 3 Jacobiennes modulaires de dimension 3 Exemple (cont.) Après des transformations de Shioda on obtient un modèle C f : 0 = y 3 z + y(x xz z 3 ) +x x 3 z x 2 z xz z 4 défini sur un corps de nombres réel K. Les invariants de Dixmier de C f sont Q-rationnels : i = , 14 i = i 3 = i 4 = i 5 = i 6 = , , , ,

50 Variétés abeliennes définies sur C Théorème de Torelli en dimension 3 Jacobiennes modulaires de dimension 3 Pour N < 4000 : #A f 3334 # p.p. A f 79 #A f Jac(H 3 (C)) 12 #A f Jac(N H 3 (C)) 67 Les équations obtenues sont définies sur Q. Cependant: Les invariants de Dixmier des C f sont tous définis sur Q. Nous sommes capables de calculer des modèles Q-rationnels si les courbes C f admettent des points de Weierstrass Q-rationnels.