ARBRES. Etiquettes / Arbre ordinaire : A = (N,P) - N ensemble des nœuds - P relation binaire «parent de» - r N la racine

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1 ARBRES Arbre ordinire : A = (N,P) - N ensemble des nœuds - P reltion binire «prent de» - r N l rcine x N un seul chemin de r vers x r = y o P y P y... P y n = x 0 r n ps de prent x N - { r } x exctement un prent 5 Étiquette : N E Etiquettes / + + b.. E T Arbre syntxique, rbre d exécution c + b b F F E T F F F E T T T F F F F F F Arbre d nlyse, pour une grmmire ( + b) / ( c ( + b ) + b ) 5

2 Arbre de décision 5? 3? 7?? 4? 6? 8?? =3? =4? =5? =6? =7? =8? =? =? =? 53 Arbre qurtique si imge toute noire si imge toute blnche sinon

3 Arbres lexicogrphiques Arcs (A) = { (x,y) / x prent de y } Étiquette : Arcs (A) E f s l o i r e i n i n o n r s ε, 0,, 00, 0, 0,, o o o o o o o. 55 huteur 3 Terminologie rcine nœud interne niveu brnche 0 nœud externe, 3, 4 enfnts de 3, 4 frères de, 3, 7 ncêtres de 7 7,, 0 descendnts de 7 56

4 Arbre A = Λ rbre vide ou (r, {A,..., A k } ) A = Λ { ou A Définitions récursives r A... r élément, A,..., A k rbres A k Nœuds (A) = {r} ( Nœuds (A i ) ) unions disjointes { Arbre plnire A = Λ rbre vide ou (r, A,..., A k ) 3 3 Condition nlogue 57 Niveux A rbre x nœud de A niveu A (x) = distnce de x à l rcine { niveu A (x) = 0 si x = rcine(a) + niveu (prent (x) ) sinon

5 Huteurs A rbre x nœud de A h A (x) = distnce de x à son plus lointin descendnt qui est un nœud externe { h A (x) = 0 si x nœud externe h(a) = h A (rcine(a)) + mx { h A (e) e enfnt de x } sinon h A (8) = 0 h A (7) = h A (3) = h(a) = h A () = Sous-rbres A rbre x nœud de A Arbre A (x) = sous-rbre de A qui rcine x h A (x) = h( Arbre A (x) ) A = Arbre A ( rcine(a) ) Arbre A () Arbre A (7) Arbre A (8) 0 60

6 Prcours Fonction : rbre liste de ses nœuds rbre vide liste vide Utile pour l explortion des rbres Deux types : prcours en profondeur préfixe, suffixe, symétrique prcours brnche près brnche prcours en lrgeur ou hiérrchique prcours niveu près niveu 6 Prcours en en profondeur Arbre non vide A = (r, A, A,, A k ) Prcours préfixe P(A) = (r).p(a ).....P(A k ) (,, 5, 6, 3, 7,, 0, 4, 8) Prcours suffixe S(A) = S(A ).....S(A k ).(r) (5, 6,,, 0, 7, 3, 8, 4, ) Prcours symétrique (ou interne) I(A) = I(A ).(r).i(a ).....I(A k ) (5,, 6,,, 7, 0, 3, 8, 4) 0 6

7 Expressions rithmétiques Arbre syntxique de! + b c d! + / - d b c Prcours préfixe Prcours suffixe +! / - b c d! b c - d / + Prcours symétrique (priorités et prenthèses) (!) + ((b - c) / d) 63 Rencontres 0 Prcours préfixe = première rencontre (,, 5, 6, 3, 7,, 0, 4, 8) Prcours Suffixe = dernière rencontre (5, 6,,, 0, 7, 3, 8, 4, ) Prcours Symétrique = deuxième rencontre (5,, 6,,, 7, 0, 3, 8, 4) 64

8 Prcours en en lrgeur Arbre non vide A = (r, A, A,, A k ) Prcours hiérrchique H(A) = (r, x,, x i, x i+,... x j, x j+,..., x n ) nœuds de niveu 0,,,... 0 (,, 3, 4, 5, 6, 7, 8,, 0) 65 Type rbre Ensemble Arbres plnires de nœuds étiquetés Opértions Arbre-vide : fi rbre Rcine : rbre fi nœud Enfnts : rbre fi liste d rbres Cons : nœud x liste d rbres fi rbre Vide : rbre fi booléen Elt : nœud fi élément Axiomes principux Rcine(A) et Enfnts(A) définis ssi A non vide Rcine (Cons(r, L)) = r Enfnts(Cons(r, L)) = L 66

9 Représenttion de l reltion P tble des prents Implémenttion Avntges représenttion simple prcours fciles vers l rcine économique en mémoire Inconvénients ccès difficiles ux nœuds depuis l rcine tble des prents P 67 Implémenttion (suite) Représenttion des listes de sous-rbres pr chînge Avntges ccès fciles depuis l rcine correspond à l définition récursive Inconvénients prcours difficiles vers l rcine 0 reltivement gourmnd en mémoire Deux types de pointeurs Arbre souvent identifié à l dresse de s rcine (comme pour un tbleu en C)... 68

10 Fonction Préfixe fonction Préfixe (A rbre) : liste de nœuds ; début si A = rbre vide lors retour (suite vide) sinon { L ( Rcine (A) ) ; pour B premier u dernier élément de Enfnts(A) fire L L. Préfixe(B) ; retour ( L ) ; } fin Temps d exécution : O(n) sur un rbre à n nœuds représenté pr pointeurs 6 Fonction suffixe fonction Suffixe (A rbre) : liste de nœuds ; début si A = rbre vide lors retour (suite vide) sinon { L ( ) ; pour B premier u dernier élément de Enfnts(A) fire L L. Suffixe(B) ; L L. (rcine(a) ) ; retour ( L ) ; } fin Temps d exécution : O(n) sur un rbre à n nœuds représenté pr pointeurs 70

11 Fonction Préfixe itértive fonction Préfixe (A rbre) : liste de nœuds ; début L ( ) ; Pile Empiler( Pile-vide, A ) ; tnt que non Vide( Pile ) fire { A sommet ( Pile ) ; Pile Dépiler ( Pile ) ; si A non vide lors { L L. (rcine(a ) ) ; pour B dernier u premier élément de Enfnts(A ) fire Pile Empiler ( Pile, B ) ; } } retour ( L ) ; fin Temps d exécution O(n) comme version récursive si, en plus, bonne implémenttion de l pile 7 Exemple sommet Pile Liste L = (,, 5, 6,. 7

12 Fonction Niveux fonction Niveux (A rbre) : liste de nœuds ; début L ( ) ; File Enfiler( File-vide, A ) ; tnt que non Vide( File ) fire { A tête ( File ) ; File Enlever ( File ) ; si A non vide lors { L L. (rcine(a ) ) ; pour B premier u dernier élément de Enfnts(A ) fire File Ajouter ( File, B ) ; } } retour ( L ) ; fin Temps d exécution O(n) si bonne implémenttion de l file ps de version récursive 73 Exemple tête File Liste L = (,,. 74

13 Arbres k-ires Arbre k-ire : tout nœud possède k sous-rbres (vides ou non), k fixé A = Λ rbre vide ou { (r, A,..., A k ) r élément, A,..., A k rbres k-ires Nœuds (A) = {r} ( Nœuds (A i ) ) unions disjointes Arbre k-ire complet : tout nœud interne possède k enfnts Arbres binires Arbre binire : tout nœud possède deux sous-rbres (vides ou non) A = Λ rbre vide ou { (r, G, D ) r élément, G, D rbres binires Arbre binire complet : tout nœud interne possède deux enfnts Nœuds (A) = {r} Nœuds (G ) Nœuds (D ) unions disjointes

14 Ensemble Arbres binires étiquetés Opértions Arbre-vide : fi rbre Rcine : rbre fi nœud Guche, Droit : rbre fi rbre Cons : nœud x rbre x rbre fi rbre Elt : nœud fi élément Vide : rbre fi booléen Implémenttions pr pointeurs ou curseurs Elt Type rbre binire Elt g d g Guche d Droit 77 Binristion 0 Implémenttion des rbres plnires 3 0 Lien premier enfnt Lien frère droit Un seul type de pointeur

15 Arbres feuillus Arbre binire feuillus (complets) : deux types de nœuds, internes ou feuilles -- tout nœud interne possède deux enfnts ; -- toute feuille est un nœud externe. A = ( f ) f de type feuille { (r, G, D ) r de type interne, G, D rbre binires feuillus Nœuds (A) = {r} Nœuds (G ) Nœuds (D ) unions disjointes Nœuds internes :,, 3, 4, 5, 6 Feuilles : 7, 8,, 0,,, Tille des rbres feuillus Arbre feuillu : nombre de feuilles = nombre de nœuds internes + Récurrence sur le nombre de nœuds de l rbre A : - si un seul nœud, c est une feuille ; propriété stisfite. - sinon, il existe un nœud interne dont les enfnts sont des feuilles, i.e. un sous-rbre (x, g, d) où g, d sont des feuilles. Soit B obtenu de A en remplçnt (x, g, d) pr une feuille f. B est un rbre feuillu de plus petite tille ; pr récurrence l églité est stisfite sur B ; donc ussi sur A qui possède un nœud interne et une feuille de plus. CQFD. Arbre feuillu :.m + nœuds 80

16 Mesures des rbres binires Arbre binire, huteur h et n nœuds Arbre plein i nœuds u niveu i n = h+ - Arbre filiforme nœud pr niveu n = h + Arbre binire h + n h+ - log (n + ) - h n - 8 Bijection Arbres binires à n nœuds «rbres binires complets à.n+ nœuds

17 Autre bijection Arbres plnires à n+ nœuds «rbres binires à n nœuds binristion redressement C n = nombre d rbres binires complets à n feuilles { C = 0, C = 0 n C = C C n n i n i i = n i feuilles Série génértrice : s( t ) = C n t s( t) = s( t) 4t = 4 + t s( t) = n n n / (/ -)...( / -n+ ) ( ) 4 t! t n n 0 n Énumértion n-i feuilles C n n ( )! = n = n n n!( n )! nombres de ctln 84

18 Compression texte source t Lecture nombres d occurrences des lettres Clcul d'un code texte z code C Décodge texte t texte t code C Codge texte compressé z 85 Codes Préfixes C {0,}* C code préfixe ssi u,v C et u préfixe de v u = v ucun mot de C n est un préfixe d un utre mot de C { 00,0,0, } { 0,0, } b c d b c code ASCII 0* décodge unique et séquentiel de x C* (vec C = 0*)

19 { 00,0,0, } b c d { 0,0, } b c 0* Bijection 0 0 b c b c d 0 0 Code préfixe mot du code Arbre binire nœud externe 87 Compression sttistique Codge des crctères en fonction de leur fréquence t = b r c d b r 5 fois 0 b fois 0 0 c fois 0 d fois r fois b 0 r 0 c d Texte codé z = bits (si on ne compte ps le code) contre x 8 en ASCII Décodge b r c d b r 88

20 Arbres pondérés t texte initil, z texte compressé p() = nombre d occurrences de dns t h() = mot du code ssocié à z = A p ( ). h ( ) Problème : connissnt p : A N - {0} clculer h : A { 0, }* tel que Problème équivlent : - h(a) est un code préfixe et - Σ p(). h() miniml déterminer un A rbre binire feuillu (complet) dont les feuilles sont les lettres de A, vec p : Feuilles(A) N - {0}, tel que Poids(A) = Σ p(f).niveu(f) est miniml f feuille de A 8 Arbres de de Huffmn Arbre pondéré : A rbre binire feuillu (complet) dont les feuilles sont les lettres de A p : Feuilles(A) N - {0} Poids(A) = Σ p(f).niveu(f) f feuille de A A rbre de Huffmn (pour p) si Poids(A) miniml b r c d Poids(A) = longueur du texte compressé = 5 x + x 3 + x 3 + x 3 + x 3 = 3 0

21 Exemple (suite) Trois rbres de Huffmn (Poids = 3) b r c d b d c r b r c d Poids = 8 Poids = 5 b r c d b d c r Propriétés A rbre pondéré pour p : A N - {0} ; A = Feuilles(A) - A rbre de Huffmn A rbre binire complet - A rbre de Huffmn et crd A > Alors, à une permuttion des feuilles près, A possède un sous-rbre (x, f, g) où f, g sont des feuilles telles que p(f), p(g) minimux f x g 3 - Soit B obtenu de A en y remplçnt (x, f, g) pr l feuille y ; soit q : Feuilles(B) N - {0} définie pr q(y) = p(f) + p(g) { q(u) = p(u) pour u y y Alors, A rbre de Huffmn pour p ssi B rbre de Huffmn pour q Preuve : cr Poids(A) = Poids(B) + p(f) + p(g)

22 Algorithme de de Huffmn p : A N - {0} rbre élémentire X = (x ), pour chque lettre A fonction Huffmn (lphbet A, fonction p) début L (X A ) ; tnt que L > fire { B, C rbres de L vec p(b), p(c) minimux ; Y (nouveu-nœud, B, C) ; p(y) p(b) + p(c) ; remplcer B et C dns L pr Y ; } retour l unique rbre de L ; fin 3 Exemple 5 b r c d b 0 0 r 0 c 0 d Arbre de Huffmn Code de Huffmn 4

23 Implémenttion 3 4 b r c p g d 5 Tble de tille.crd A - Clcul : tri en temps O(crd A x log crd A) construction de l rbre en O(crd A) d b r c d 4 6 5