Simplification d expressions contenant des valeurs absolues & applications

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1 Simplification d epressions contenant des valeurs absolues & applications Rappelons la définition de la valeur absolue : si 0 ( R ) si 0 En d autres termes, la valeur absolue d un réel positif est ce réel, la valeur absolue d un réel négatif est l opposé de ce réel Par eemple : 3 3, car 3 0 et 3 ( 3) 3, car 3 0 Une conséquence immédiate de la définition est la propriété essentielle de la valeur absolue : ( R ) 0 Lorsque vous rencontrez des epressions algébriques contenant des valeurs absolues, il est très souvent nécessaire d éliminer les valeurs absolues Pour cela, on discute toujours en utilisant la définition a) Nous commençons par étudier des epressions contenant une seule valeur absolue Par eemple : 4 si 4 0 c-àd si si 4 0 c-àd si Il est pratique de faire la simplification dans un tableau : On écrit l opposé de l epression entre là où elle est On écrit l epression entre où elle est + là

2 La ligne dans le tableau qui contient le signe de 4 car on connaît la : est en fait superflue Règle du signe d un binôme a +b du er degré ( a 0 ) : Le signe de a se trouve toujours à droite du zéro Dans la suite, on fera donc directement le tableau de simplification suivant : De même, par eemple pour simplifier 3, on obtient : Rappelons également la : Règle du signe d un trinôme a + b + c du e degré ( a 0 ) : Le signe de a est partout, sauf entre les racines Donc, par eemple, pour simplifier 6 7, on détermine d abord les racines du trinôme, qui sont simplification suivant : et 7, puis on obtient le tableau de Autre eemple : Eercice Ecrire sans valeur absolue à l aide d un tableau les epressions suivantes : a) 4 b) e) f) ( + 5) g) + 8 c) d) b) Lorsque une epression contient plusieurs valeurs absolues, il faut compter une ligne par valeur absolue dans le tableau Par eemple, soit la fonction : f ( ) 5 4 3,

3 définie sur R En combinant les deu premiers tableau ci-dessus, on obtient le tableau de simplification suivant : f ( ) Remarques : 5 ( + 4) ( 3 ) ( 4) ( 3 ) ( 4) ( 3) 9 7 a) Les valeurs et 3 de la re ligne du tableau sont parfois appelées valeurs critiques de f ( ) En effet, pour ces valeurs-là, l une ou l autre valeur absolue change d epression et donc aussi f ( ) b) On remarque que f ou f () 3 De même : f ( 3) ou f ( 3) On peut donc prendre soit l epression à gauche soit l epression à droite dans le tableau! (Ceci provient de raisons de continuité, que vous ne comprenez pas encore pour le moment Patience ) Eercice Ecrire sans valeur absolue à l aide d un tableau les fonctions suivantes : a) g( ) + 3 b) h( ) k c) (Attention au domaine ici!) 4 c) Applications Les tableau de simplification précédents servent dans beaucoup de situations ou interviennent des valeurs absolues : résolution d équations et d inéquations, représentation graphique de fonctions, calcul de limites Illustrons cela à l aide de l eemple précédent : si f ( ) si si 3 f est une fonction affine par morceau : son graphe est constitué de morceau de droites c-à-d de segments et de demi-droites :

4 y f Graphiquement on observe que l équation sont les abscisses des deu points algébriquement cette équation : f ( ) 5 a deu solutions Ce bleus sur la figure Résolvons er cas : Alors : 4 f Cette valeur étant bien, on l accepte comme solution e cas : 3 Alors : 8 f Cette valeur étant bien comprise entre et 3, on l accepte comme solution 3 e cas : 3 Alors : f Cette valeur doit être écartée car elle est < 3 Finalement : S { 4, 8 } 3 Pour les inéquations, on procède de façon analogue Eercice 3 Résoudre algébriquement l inéquation fonction précédente Réponse : f ( ) 5 où f est la er cas : Alors : 4 f S [ 3,] e cas : 3 Alors : 8 f S [, ] 3 e cas : 3 Alors : f Il est impossible d avoir à la fois 3 et 9 Donc : S 3 9

5 4 8 Ainsi : S S S S [ ] 3 3, Pour terminer, appliquons la simplification de f ( ) à un calcul de limites : lim ( 9 + 7) 8 + 7, lim ( 3) 3, + + Donc : De même : lim ( 3) 3 3 0, 3 3 lim ( 9 7) , Donc : 0 3 Eercice résolu 4 () Quel est le domaine de la fonction g :? + 3 () Ecrire g( ) sans valeur absolue sur son domaine (3) Déterminer limg( ), lim g( ) et interpréter graphiquement 7 Réponse () CE : ( ) + 3 ( ) et + 3 ( ) et et 7 Donc : D g R \{,7} () Simplifions d abord le dénominateur de g( ) : a b a b a b a b ou a b ( ) 7 3 ( ) 5 + 5( ) ( ) + 7 Donc :

6 + g( ) , + 7, si si 7 (3) lim g( ) lim lim 5( ) 5 lim g 7 7 ; 5 6 lim +, lim g lim, lim g( ) n'eiste pas 7 Interprétation graphique : La courbe représentative de g admet un trou en (, et une AV d équation 7 ) 5 Eercice résolu 5 Soit f ( ) () Quel est le domaine de la fonction f? () Etudier la parité de f (3) Ecrire f ( ) sans valeur absolue sur son domaine (4) Déterminer, et interpréter graphiquement Réponse () CE : 0 et Donc : Df R \{,} () f est une fonction paire, car : f f f D ( ) (3) Les valeurs critiques sont, 0 et Comme f est paire, il suffit de R + l étudier sur D où le tableau de simplification :

7 f ( ) 0 ( ) ( )( + ) + / ( ) ( )( + ) + (4) lim, + lim, C f admet un «saut» en l abscisse n'eiste pas Comme f est paire, on obtient les limites en - par symétrie du graphe :, C f admet un «saut» en, + l abscisse - n'eiste pas