CORDIC. COordinate Rotation DIgital Computer

Transcription

1 CORDIC COordinate Rotation DIgital Computer 1

2 Si vous voulez vous amuser Tout le matériel de cette présentation (ppt, fichiers Matlab, etc.) se trouve ici : ProfAEtudiants 1280 Projet I Inf Cordic 2

3 Historique 1959 Jack E. Volder 1971 Algorithme implanté dans la HP35 3

4 Convention Pour les grandeurs données sous forme cartésienne, nous considérerons indifféremment un nombre complexe z et son image vectorielle Oz. x z = x + j Oz = 4

5 Applications de Cordic Mode rotation (ou polaire -> cartésien) x + j = (x 0 + j 0 ) e jϕ (rotation simple) cos(ϕ) + j sin(ϕ) = (1 + j 0) e jϕ (calcul de sin et cos) On obtient : cos, sin et par extension tg Mode vectoriel (ou cartésien -> polaire) ϕ = arg(x + j ) et r = sqrt(x ) (calcul de r et ϕ) On obtient : r et arctg 5

6 Idée principale Pour les deux modes, Cordic se décompose en rotations successives. Exemple avec n=18 : n = 0 ϕ0 = atan(1) n = 1 ϕ1 = atan(1/2) n = 2 ϕ2 = atan(1/4) n = 16 ϕ17 = atan(1/2 16 ) n = 17 ϕ17 = atan(1/2 17 ) x 0 Rotation ± 45 o x 1 Rotation ± o x 2 Rotation ± o Rotation ± o x 17 Rotation ± o x 18 On a 2 18 angles possibles pour -99 o < γ < 99 o avec une résolution finale de ± o

7 Un peu de théorie 7

8 Mode rotation Rotation d un angle ϕ, formule matricielle. ( ϕ) sin ( ϕ) ( ϕ) cos( ϕ) xn+ 1 cos xn = sin n+ 1 n (x n+1, n+1 ) T ϕ (x n, n ) T x On met cos(ϕ) en évidence ( ϕ) xn+ 1 1 tg xn = cos( ϕ ) tg( ϕ) 1 n+ 1 n On exprime cos(ϕ) en fonction de tg(ϕ) ( ) ( ϕ) xn tg xn = 1 tg tg( ϕ) 1 2 n+ 1 + ϕ n Attention : ϕ ± π/2 8

9 Mode rotation Toute l astuce de Cordic se situe ici : on s arrange pour avoir les valeurs tg(ϕ n )= 2 -n pour n = 0 N tg 2 1; ; ; ;... arctg 2 45 ; ; ;7.125 ; n n o o o o ( ϕ n) = = ϕ n = ( ) = { } Par la suite, il faudra pouvoir effectuer des rotations positives et négatives. On tient compte de ce fait dans le signe de tg(ϕ n ). On pose σ = 1 pour une rotation positive et σ = -1 pour une rotation négative. On reprend la formule précédente avec ce principe. x 1 σ 2 n n+ 1 1 n = 2n n n+ 1 σ 2 1 n x

10 Mode rotation On développe la multiplication matricielle x 1 σ 2 n n+ 1 1 n = 2n n n+ 1 σ 2 1 n 1+ 2 x x 1 = K +σ 2 avec K = n+ 1 n n n n n 2n n 1 n x + n 1+ 2 x x n n n Les vecteurs et 2 sont orthogonaux. n σ xn Le facteur K n est un peu embêtant. Il faudra bien en tenir compte à un moment ou à un autre. Pour le moment on le néglige. L effet désagréable est qu avec cet «oubli», le module du vecteur augmente à chaque rotation. 10

11 Mode rotation, exemple Si on veut effectuer une rotation d un angle quelconque γ, on va décomposer γ en une combinaison de σ ϕ n et effectuer les rotations correspondantes. Illustrons ce principe par un exemple. On veut effectuer une rotation de γ = o degrés au vecteur (1 0) T. On note : o = 45 o o o o On devrait s en sortir avec 4 rotations : trois positives et une négative. 11

12 Mode rotation, exemple v 2 1 v 1 1 v o o 1 v 0 v 2 v 4 v 3 v o -14 o o

13 Mode rotation, exemple Itération 1 (γ 0 = o, ϕ 0 = 45 o ) γ > 0 σ= 1 γ =γ ϕ = x = 1 K = = o Itération 2 (γ 1 = o, ϕ 1 = o ) γ > 0 σ= 1 γ =γ ϕ = x = K = = o Itération 3 (γ 2 = o, ϕ 2 = o ) γ < 0 σ= 1 γ =γ +ϕ = x = K = = o Itération 4 (γ 3 = o, ϕ 3 = o ) γ > 0 σ= 1 γ =γ ϕ = x = K = = o 13 On s arrête car γ 4 = 0

14 Mode rotation, exemple On n a pas tenu compte des facteurs K n. Du coup, le module du vecteur est devenu plus grand à chaque itération. Pour une rotation, ce n est pas acceptable. On corrige les facteurs K n tous en même temps. K tot = K1 K2 K3 K4 = On reprend : ( γ) ( γ) xcorr x cos = K tot = = = corr sin 14

15 Mode rotation, exemple Ce facteur K= est toujours le même, quels que soient l angle γ et les valeurs σ n. Il ne dépend que du nombre d itérations (dans notre cas N=4). Ceci est dû au fait que les vecteurs additionnés sont toujours orthogonaux. Si on veut calculer sin et cos, on va s épargner la dernière multiplication en démarrant de manière intelligente. Au lieu de partir avec le vecteur (1 0) T, on va partir avec le vecteur ( ) T. Le slide suivant montre un exemple réel. Pour la rotation d un vecteur quelconque, on est obligé de multiplier par K au début de la rotation ou à la fin. 15

16 Mode rotation, exemple Itération 1 (γ 0 = o, ϕ 0 = 45 o ) γ > 0 σ= 1 γ =γ ϕ = x = 1 + = o Itération 2 (γ 1 = o, ϕ 1 = o ) γ > 0 σ= 1 γ =γ ϕ = x = + = o Itération 3 (γ 2 = o, ϕ 2 = o ) γ < 0 σ= 1 γ =γ +ϕ = x = = o Itération 4 (γ 3 = o, ϕ 3 = o ) γ > 0 σ= 1 γ =γ ϕ = x = + = o 16 - La dernière valeur x 4 est la valeur approchée du cosinus - La dernière valeur 4 est la valeur approchée du sinus

17 Mode rotation, exemple 17

18 Tableau Nombre d'itérations N Rotation ϕ n Correction K 1 45 deg deg deg deg deg deg deg deg deg deg deg deg deg deg deg deg deg deg On constate que K tend vers une limite lorsque N -> inf. Après 18 itérations, la précision d itération est de 4 millièmes de degré! Important : γ lim = ϕ n 99 deg Cela signifie qu une rotation plus grande que ±γ lim est impossible. En pratique, si γ > 90 deg, on effectue la rotation en deux phases.

19 Réalisation FPGA InternalAngleBitNb XYBitNb InternalXYBitNb ϕ 0 d 0 ϕ 1 d 1 ϕ 2 ϕ N-1 d N-1 d 2 XYBitNb x Analse γ>π/2 K correction x 0 0 γ γ 0 Rotation nb 1 x 1 1 γ 1 Rotation nb 2 x 2 2 γ 2 Rotation nb 3 Rotation nb N x N N Arrondi x AngleBitNb InternalAngleBitNb CORDIC, mode rotation, schéma d implantation FPGA 19

20 Mode vectoriel Le mode vectoriel permet de calculer arctg avec une grande précision. La manœuvre consiste à effectuer des rotations successives sur un vecteur jusqu à ce que sa partie imaginaire soit nulle : r + j 0 = (x 0 + j 0 ) e -jγ Lorsque ceci est terminé, on connaît γ qui correspond à l addition de tous les σ ϕ n successifs et on connaît r qui est la partie réelle du vecteur final. Si le module r n est pas recherché, on ne corrige pas K. 20

21 Mode vectoriel, exemple Illustrons le principe par un exemple. On aimerait connaître le module et la phase du vecteur j 21

22 Mode vectoriel, exemple 40 v 0-45 o 40 v 1 v o v o v -7.1 o 3 v 3 v 4 40 v

23 Mode vectoriel, exemple Itération 1 (γ 0 = 0 o, ϕ 0 = 45 o ) im(z ) > 0 σ= 1 γ =γ +ϕ = x = 1 = o Itération 2 (γ 1 = 45 o, ϕ 1 = o ) im(z ) > 0 σ= 1 γ =γ +ϕ = x = = o Itération 3 (γ 2 = o, ϕ 2 = o ) im(z ) < 0 σ= 1 γ =γ ϕ = x = + = o Itération 4 (γ 3 = o, ϕ 3 = o ) im(z ) > 0 σ= 1 γ =γ +ϕ = x = = o Il manque à l évidence quelques itérations pour être vraiment précis. On a un angle approché de o et un raon approché r = K 43.

24 Mode vectoriel, exemple Exemple avec N = 18 24

25 Mode vectoriel, limitation Comme pour le mode de rotation, le mode vectoriel comporte une limitation. Le vecteur doit être dans les quadrants Q1 et Q4 du plan cartésien. Q2 Q1 x Q3 Q4 Pour un vecteur situé dans Q2 ou Q3, l adaptation est facile. 25

26 Réalisation FPGA InternalAngleBitNb InternalXYBitNb ϕ 0 d 0 ϕ 1 d 1 ϕ 2 ϕ N-1 d N-1 x Analse de quadrant x 0 0 γ 0 = 0 Rotation nb 1 x 1 1 γ 1 Rotation nb 2 x 2 2 γ 2 Rotation nb 3 d 2 Rotation nb N x N ϕ N K Arrondi Arrondi Quadrant r ϕ XYBitNb q 0 (2 bits) InternalAngleBitNb z -1 z -1 z -1 z -1 z -1 AngleBitNb q CORDIC, mode vectoriel, schéma d implantation FPGA 26

27 DEMOS 27