Corrigé : Notions de fonctions et Théorèmes classiques

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1 Corrigé : Notions de fonctions et Théorèmes classiques Exercice 1 On considère la fonction f définie par : f (x) = 5x Calculer l'image de 3 par f. L'image de 3 par f est donnée par f ( 3). Comme f (x) = 5x + 1, f ( 3) = 5 ( 3) + 1 = = 16. Conclusion : L'image de 3 par f est Calculer l'antécédent de 4 par f. Calculer l'antécédent de 4 par f revient à chercher la valeur de x telle que f (x) = 4. On doit donc résoudre l'équation : 5x + 1 = 4. Dans ce cas, 5x = 4 1 = 3. 3 Par conséquent, x = 5 = 0,6. Conclusion : L'antécédent de 4 par f est 0,6. Exercice 2 La copie d'écran ci-dessous montre le travail qu'a effectué Camille à l'aide d'un tableur à propos des fonctions g et h définies par : g (x) = 5x² + x 7 et h (x) = 2x 7 1. Donner un nombre qui a pour image 1 par la fonction g. D'après le tableau, un nombre qui a pour image 1 par la fonction g est Écrire les calculs montrant que : g ( 2) = 11. Comme g (x) = 5x² + x 7, alors g ( 2) = 5 ( 2)² + ( 2) 7 = = = 20 9 = Quelle formule Camille a-t-elle saisie dans la cellule B3? Dans la cellule B3, Camille a saisi la formule "=2*B1 7". 4. a) Déduire du tableau une solution de l'équation 5x² + x 7 = 2x 7. Pour que x soit une solution de 5x² + x 7 = 2x 7, il faut que les résultats des lignes 2 et 3 soient identiques. Or, on a deux résultats égaux à 7. Cela se produit pour x = 0. Ainsi, une solution de l'équation 5x² + x 7 = 2x 7 est 0. b) Cette équation a-t-elle une autre solution que celle trouvée grâce au tableur? Résoudre l'équation 5x² + x 7 = 2x 7 revient à résoudre 5x² + x = 2x (On a ajouté 7 aux deux membres). ou encore : 5x² x = 0 (En enlevant 2x aux deux membres). Après factorisation, cela donne : x(5x 1) = 0. Il y a donc bien une autre valeur de x qui peut annuler ce produit : il s'agit de = 1 1 = 0. Par conséquent, il y a une autre solution que celle trouvée grâce au tableur. ou 0,2. En effet :

2 Exercice 3 Une usine de Moorea fabrique du jus de fruits. Soit C une fonction qui, à une quantité de jus fabriquée en litre(s) associe le coût de fabrication en Franc (Franc Pacifique utilisé en Polynésie Française). On a représenté ci-dessous la fonction C pour une quantité de jus comprise entre 0 et 130 litres. À l'aide du graphique ci-dessus, répondre aux questions suivantes : 1. a) Donner le coût de fabrication de 100 litres de jus. D'après les traits de lecture noirs, le coût de fabrication de 100 litres de jus s'élève à 400 F. b) Pour quelle(s) quantité(s) de jus, le coût de fabrication est-il supérieur à 550 F? D'après les traits de lecture rouges, le coût de fabrication est supérieur à 550 F lorsqu'on fabrique entre 0 et 65 litres de jus environ. 2. a) Donner l'image de 85 par la fonction C. D'après les traits de lecture verts, l'image de 85 par la fonction C est environ 450. b) Lire C(75). D'après les traits de lecture bleus, C(75) est légèrement inférieur à 500. c) Donner le(s) antécédent(s) de 600 par la fonction C. D'après les traits de lecture jaunes, les antécédents de 600 par la fonction C sont 0 et 55 environ.

3 Exercice 4 Pour son anniversaire, Julien a reçu un coffret de tir à l'arc. Il tire une flèche. La trajectoire de la pointe de cette flèche est représentée ci-dessous. La courbe donne la hauteur en mètres en fonction de la distance horizontale en mètres parcourue par la flèche. 1. Dans cette partie, les réponses seront données grâce à des lectures graphiques. Vous ferez une phrase réponse sur votre copie. a. De quelle hauteur la flèche est-elle tirée? La flèche est tirée à 1 m de haut. b. À quelle distance de Julien la flèche retombe-t-elle au sol? Elle retombe à 10 m de Julien. c. Quelle est la hauteur maximale atteinte par la flèche? La flèche atteint une hauteur maximale d'environ 3 mètres. 2. La courbe ci-dessus représente la fonction f définie par f (x) = 0,1x² + 0,9x + 1. a. Calculer f (4) et f (5). f (4) = 0,1 4² + 0, = 0, , = 1,6 + 3,6 + 1 = = 3. f (5) = 0,1 5² + 0, = 0, , = 2,5 + 4,5 + 1 = = 3. b. La flèche s'élève-t-elle à plus de 3 m de hauteur? La flèche ne peut pas rester à 3 m de hauteur tout en s'éloignant de Julien de 1 mètre : elle ne peut pas rester à l'horizontal... Elle est donc à 3 mètres de hauteur lorsqu'elle est à 4 mètres de Julien, puis elle monte encore un peu et redesend enfin à 3mètres lorsqu'elle se trouve à 5 mètres de Julien. Pour preuve, calculons par exemple f (4,5). f (4,5) = 0,1 4,5² + 0,9 4,5 + 1 = 0,1 20,25 + 0,9 4,5 + 1 = 2, , = 3,025 > 3

4 Exercice 5 1. Le graphique ci-dessous donne le niveau de bruit (en décibels) d'une tondeuse à gazon en marche, en fonction de la distance (en mètres) entre la tondeuse et l'endroit où s'effectue la mesure. En utilisant ce graphique, répondre aux deux questions suivantes. Laissez visibles vos traits de construction. a) Quel est le niveau de bruit à une distance de 100 mètres de la tondeuse? À 100 mètres de la tondeuse, le niveau de bruit est de 45 décibels. (tracés orange) b) À quelle distance de la tondeuse se trouve-t-on quand le niveau de bruit est égal à 60 décibels? Si le niveau de bruit est à 60 décibels, c'est que l'on se trouve à environ 23 mètres de la tondeuse. (tracés verts) 2. Voici les graphiques obtenus pour deux machines très bruyantes d'une usine. Dans l'usine, le port d'un casque antibruit est obligatoire à partir d'un même niveau de bruit. Pour la machine A, il est obligatoire quand on se trouve à moins de 5 mètres de la machine. En utilisant ces graphiques, déterminer cette distance pour la machine B. Le tracé violet indique que, en ce trouvant à moins de 5 m de la machine A, le niveau sonore est supérieur à 88 décibels. Le tracé rose indique lui, qu'avec ce même niveau de bruit, on se trouve à environ 6,5 mètres de la machine B.

5 Exercice 6 La copie d'écran ci-dessous montre le travail effectué par Léa pour étudier trois fonctions f, g et h telles que : f (x) = x² + 3x 7 g (x) = 4x + 5 h est une fonction dela forme ax + b dont Léa a oublié d'écrire l'expression dans la cellule A4. 1. Donner un nombre qui a pour image 7 par la fonction f. Un nombre qui a pour image 7 par f est 0 (tracé rouge). 2. Vérifier à l'aide d'un calcul détaillé que f (6) = 47. f (6) = 6² = = 54 7 = Expliquer pourquoi le tableau permet de donner une solution de l'équation : x² + 3x 7 = 4x + 5. Quelle est cette solution? Résoudre l'équation x² + 3x 7 = 4x + 5 correspond à trouver une valeur de x telle que f (x) = g (x). Or le tracé vert montre que f (x) = g (x) = 21 pour x = 4 (donné en E1). 4. À l'aide du tableau, retrouver l'expression algébrique h(x) de la fonction h. On voit que h (0) = 5 ce qui signifie que a 0 + b = 5 ou bien encore que b = 5. De plus h (2) = 1 ce qui s'écrit : a = 1 d'où 2a = 4 et donne a = 2. Ainsi h (x) = 2x + 5. Exercice 7 Vrai ou Faux - Justifier vos réponses Affirmation 1 : 0 a un seul antécédent par la fonction qui à tout nombre x associe 3x + 5. Trouver l'antécédent de 0 par la fonction x 3x + 5 revient à résoudre 3x + 5 = 0 Cela donne 3x = 5 et finalement x = 0,6. Il n'y a donc bien qu'un seul antécédent de 0 par cette fonction, qui est 0,6. L'affirmation est vraie. Affirmation 2 : Le quadrilatère ci-contre est un trapèze. (On rappelle qu'un trapèze est un quadrilatère ayant deux côtés opposés parallèles.) Les points D, I, B d'une part et A, I, C d'autre part sont alignés dans le même ordre. De plus, DI IB = = 1,

6 et IA IC = = 1,5 On remarque que DI IB = IA =1,5. L'égalité du théorème de Thalès étant vérifiée, les droites (AD) et (BC) sont IC parallèles et donc le quadrilatère ABCD est bien un trapèze. L'affirmation est vraie. Exercice 8 Dans la figure ci-contre, qui n'est pas à l'échelle : les points D, P et A sont alignés ; les points K, H et A sont alignés ; DA = 60 cm ; DK = 11 cm ; DP = 45 cm. 1. Calculer KA au millimètre près. Dans le triangle DKA rectangle en K, d'après le théorème de Pythagore, on a : DA² = DK² + KA² 60² = 11² + KA² = KA² KA² = = KA = cm au mm près. 2. Calculer HP. Les droites (PD) et (KH) sont sécantes en A et (PH) // (DK). D'après le théorème de Thalès, on a : AP AD = AH AK = PH DK d'où = AH = HP 11(60 45) On en déduit : HP = = 2,75 cm Exercice 9 Un marionnettiste doit faire un spectacle sur le thème de l'ombre. Pour cela, il a besoin que sa marionnette de 30 cm ait une ombre de 1,2 m. La source de lumière C est située à 8 m de la toile (AB). La marionnette est représentée par le segment [DE]. 1. Démontrer que les droites (AB) et (DE) sont parallèles. (AB) et (DE) sont toutes les deux perpendiculaires à la même droite (BC), elles sont donc parallèles entre elles. 2. Calculer EC pour savoir où il doit placer sa marionnette.

7 Les droites (BE) et (AD) sont sécantes en C et (AB) // (DE) d'après la question 1. Donc le théorème de Thalès permet d'écrire : CE CB = CD CA = DE AB d'où CE 8 = CD CA = 0,3 8 0,3. On en déduit : CE = 1,2 1,2 = 2 m. Le marionnettiste doit placer sa marionnette à 2 mètres de la source de lumière pour qu'elle ait une ombre de 1,2m sur la toile. Exercice 10 Les droites (TP) et (YG) sont sécantes en I. On donne les longueurs : IP = 5 cm ; IG = 7 cm ; IY = 1,4 cm ; YT = 0,8 cm et TI = 1 cm. 1. Montrer que les droites (PG) et (YT) sont parallèles. Les points P, I, T d'une part et les points G, I, Y d'autre part sont alignés dans le même ordre. De plus, IP TI = 5 1 = 5 et On remarque que IP TI = IG IY sont parallèles. IG IY = 7 1,4 = 5 = 5. L'égalité du théorème de Thalès est vérifiée et donc les droites (GP) et (YT) 2. Calculer le périmètre du triangle IGP. Périmètre (IGP) = IG + IP + PG. Calculons PG : Les droites (TP) et (GY) sont sécantes en I et d'après la question 1, (PG) // (YT). Le théorème de Thalès nous IP donne donc les égalités suivantes : TI = IG IY = PG PG c'est-à-dire : 5 = donc PG = 5 0,8 = 4 cm. YT 0,8 On peut donc reprendre le calcul précédent : Périmètre (IGP) = IG + IP + PG = = 16 cm. Exercice 11 Un maçon veut vérifier que deux murs sont bien perpendiculaires. Pour cela, il marque un point A à 60 cm du point O et un point B à 80 cm du point O. Il mesure alors la distance AB et il trouve 1 mètre. Prouver que les murs sont bien perpendiculaires.

8 Le côté le plus long du triangle AOB est [AB] et AB² = 1² = 1 Par ailleurs, AO² + OB² = 0,6² + 0,8² = 0,36 + 0,64 = 1. On remarque donc que AB² = AO² + OB². L'égalité du théorème de Pythagore étant vérifiée, le triangle AOB est rectangle en O et les murs sont donc bien perpendiculaires. Exercice 12 À Pise vers après J.C. (Problème attribué à Léonard de Pise, dit Fibonacci, mathématicien italien du moyenâge). Une lance, longue de 20 pieds*, est posée verticalement le long d'une tour considérée comme perpendiculaire au sol. Si on éloigne l'extrémité de la lance qui repose sur le sol de 12 pieds de la tour, de combien descend l'autre extrémité de la lance le long du mur? * Un pied est une unité de mesure anglo-saxonne valant environ 30 cm. La tour étant supposée perpendiculaire au sol, le triangle formé sur le dessin est rectangle. On peut donc y appliquer le théorème de Pythagore : 20² = 12² + x² où x est la longueur de la lance moins h. 400 = x² et donc x² = 256 Ainsi x = 256 = 16 pieds. La lance descend de 4 pieds (20 16) ce qui représente 1,2 m (4 0,3 m).