Développement en Série de Fourier

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1 F-IRIS-5.ex Développeme e Série de Fourier Développer e série de Fourier les focios de période T défiies aisi : a b { f impaire T = f = si ] ; { f paire T = f = si ; ] Faire das chaque cas ue représeaio graphique de la focio f. Après l avoir représeée graphiqueme sur rois périodes, développer e série de Fourier la focio de période T = défiie par : { f = si ] ; ] f = si ; Déduire de ce développeme e série de Fourier la valeur de : p= p p + 4 Soi la focio de période T =, défiie par : f = + si ; a Cosruire ue représeaio graphique de f. b Déermier le développeme de f e série de Fourier. Développer e série de Fourier la focio f de période T = IMPAIRE défiie par : f = si ; ] après l avoir représeée graphiqueme sur rois périodes. 5 Développer e série de Fourier la focio f de période T = PAIRE défiie par : f = si ; ] après l avoir représeée graphiqueme sur rois périodes. 6 f = si < < Soi f impaire de période T = elle que : f = si < < f = si < < Développer f e série de Fourier après l avoir représeée sur rois périodes. / L A TEX ε

2 F-IRIS-5.ex 7 Soi la focio f de période T = 4 défiie par : f = 4 pour : < < a Développer f e ue série de cosius e la prologea comme ue focio paire. b Développer f e ue série de sius e la prologea comme ue focio impaire. 8 Soi la focio f défiie par : f = si a Préciser sa parié. Doer sa période. b Représeer graphiqueme f. c Développer f e série de Fourier. 9 BTS Groupeme A Soi la focio f de période T = défiie sur l iervalle ; ] par : f = cos a Calculer la valeur moyee de f sur l iervalle b Calculer la valeur efficace de f sur le même iervalle. c Déermier le développeme e série de Fourier de f. ; ] d Calculer les quare premiers coefficies de ce développeme. / L A TEX ε

3 F-IRIS-5.ex Développeme e Série de Fourier Soluios Développer e série de Fourier les focios de période T défiies aisi : a { f impaire T = f = si ] ; b { f = si ; ] Faire das chaque cas ue représeaio graphique de la focio f. a f Comme la focio f es impaire, o a : a = ; a = e aussi ω = = Les focios f e si so impaires, doc : f si es paire b = = = f si d = si d si d = cos ] = b = e selo la parié : b k = b k+ = k + La série de Fourier S associée à la focio f es : b S = k= k + si k + = si + si + 5 si f Comme la focio f es paire, o a : b = e aussi ω = = Les focios f e cos so paires, doc : f cos es paire / L A TEX ε

4 F-IRIS-5.ex a = f d = d = ] = doc : a = va faire ue iégraio par parie : u = du = d dv = cosd v = si a = f cos d = cos d = si ] si d = cos ] = = a = e selo la parié : a k = a k+ = La série de Fourier S associée à la focio f es : S = f = k + cos k + = 4 k= 4 k + cos + 9 cos + 5 cos Après l avoir représeée graphiqueme sur rois périodes, développer e série de Fourier la focio de période T = défiie par : { f = si ] ; ] f = si ; Déduire de ce développeme e série de Fourier la valeur de : p= p p + f Comme la focio f es impaire, o a : a = ; a = e aussi ω = = Les focios f e si so impaires, doc : f si es paire va faire ue iégraio par parie : u = du = d dv = sid v = cos b = f si d = si d = cos ] cos d = si = a = La série de Fourier S associée à la focio f es : ] 4 / L A TEX ε

5 F-IRIS-5.ex S = = si = si + si + si + 4 si S = si = f = = = si + si + si + 4 si4 + 5 si = p = p + p= Doc o peu e déduire la somme de la série : p= p p + = 4 Soi la focio de période T =, défiie par : f = + si ; a Cosruire ue représeaio graphique de f. b Déermier le développeme de f e série de Fourier. f f Par parie : a = u = + dv = cosd f = , 8 + d = ] + = = 4 + du = + d v = si fois : u = + dv = sid a = + cos d = + cos d = + si ] + si d = + cos ] + cos d = ] 4 + si + = 4 + = 4 du = d v = cos 5 / L A TEX ε

6 F-IRIS-5.ex Par parie : u = + dv = sid du = + d v = cos fois : u = + dv = cosd b = + si d = + si d = + cos ] + + cos d = si ] = ] cos = = = 4 si d du = d v = si E résumé : a = 4 + a = 4 b = 4 La série de Fourier S associée à la focio f es : S = = 4 cos + 4 si 6 / L A TEX ε

7 F-IRIS-5.ex 4 Développer e série de Fourier la focio f de période T = IMPAIRE défiie par : f = si ; ] après l avoir représeée graphiqueme sur rois périodes. f f f = , 8 Aeio! ce so des arcs de paraboles. f = 4, 47 Comme la focio f es impaire, o a : a = ; a = e aussi ω = = Les focios f e si so impaires, doc : f si es paire Par parie : fois : u = + u = + dv = sid du = + d v = cos f si d = dv = cosd b = + si d = + cos ] + + cos d = + + si ] + si d = + cos ] 4 = du = d v = si b = 4 e selo la parié : b k = b k+ = 8 k + La série de Fourier S associée à la focio f es : S = f = 8 = si = 8 si + si + si / L A TEX ε

8 F-IRIS-5.ex 5 Développer e série de Fourier la focio f de période T = PAIRE défiie par : f = si ; ] après l avoir représeée graphiqueme sur rois périodes. f f Aeio! ce so des arcs de parabole. f = 4, 47 Remarque : Das ce cas la période de f es e réalié T = Comme la focio f es paire, o a : b = e aussi ω = = a = f d = ] + = + = 6 Les focios f e cos so paires, doc : f cos es paire Par parie : u = + du = + d dv = cosd v = si fois : u = + dv = sid a = + cos d = + si ] = + cos ] = ] si = = La série de Fourier S associée à la focio f es : + si d cos d S = f = cos = 6 cos + cos4 + si = du = d v = cos 8 / L A TEX ε

9 F-IRIS-5.ex 6 f = si < < Soi f impaire de période T = elle que : f = si < < f = si < < Développer f e série de Fourier après l avoir représeée sur rois périodes. f Remarque : Das ce cas la période de f es e réalié T = Comme la focio f es impaire, o a : a = a = e aussi ω = = b = f si d = si d + si d + si d = si d si d = cos ] cos ] = ] cos] cos = cos cos cos + cos 4 b = cos cos 4 La série de Fourier S associée à la focio f es : S = = cos 4 cos si 7 Soi la focio f de période T = 4 défiie par : f = 4 pour : < < a Développer f e ue série de cosius e la prologea comme ue focio paire. 9 / L A TEX ε

10 F-IRIS-5.ex b Développer f e ue série de sius e la prologea comme ue focio impaire. a Comme la focio f es paire, o a : b = e aussi ω = 4 = a = f d = d = ] = = 4 Les focios f e cos so paires, doc : f cos es paire Iégraio par parie : u = du = d dv = cos d v = si 4 cos d = 4 a = f cos 4 d = = ] 4 si si d = ] 4 cos = = cos d a = e selo la parié : a k = a k+ = k + La série de Fourier S associée à la focio f es : S = f = 4 + k + cos k + = 4 cos + cos k= / L A TEX ε

11 F-IRIS-5.ex b Comme la focio f es impaire, o a : a = a = e ω = 4 = Les focios f e si so impaires, doc : f si es paire Iégraio par parie : u = du = d dv = si d v = cos b = f si 4 d = 4 si d = si 4 d = ] 4 cos + cos d = 4 ] + 4 si = 4 4 b = La série de Fourier S associée à la focio f es : S = = si = si si + si... 8 Soi la focio f défiie par : f = si a Préciser sa parié. Doer sa période. b Représeer graphiqueme f. c Développer f e série de Fourier. a La focio f es paire e effe : f = si = si = f a : f + = si + = si + = si = f la période es T = f b / L A TEX ε

12 F-IRIS-5.ex c Comme la focio f es paire, o a : b = e aussi ω = a = si d = cos ] = = 4 = a = 4 si cos4 d = 4 si 4 + si 4 d = cos cos 4 ] = cos + + cos = = = = a = La série de Fourier S associée à la focio f es : S = f = 6 k= cos4 6 4 = 4 cos4 + cos8 5 + cos BTS Groupeme A Soi la focio f de période T = défiie sur l iervalle ; ] par : f = cos a Calculer la valeur moyee de f sur l iervalle b Calculer la valeur efficace de f sur le même iervalle. c Déermier le développeme e série de Fourier de f. ; ] d Calculer les quare premiers coefficies de ce développeme. a a = cos d = ] si = a = / L A TEX ε

13 F-IRIS-5.ex b fe = cos d = + cos d = + si ] 4 fe = = f e = + 4 c Comme la focio f es paire, o a : b = e aussi ω = a = cos cos d = 6 = si + + si + = si + + si + a = d S = f = + k= si + + si = cos + + cos d ] + si + si U pei effor de calcul perme d obeir le quare premières harmoiques : S = f = cos cos cos6 cos9 cos Compléme : Si o pose g = cos cos6 cos9 cos peu calculer, e uilisa la formule de Parseval, la valeur efficace de g e la comparer à celle de f calculée ci-dessus. g e, ; f e, ; ge fe, / L A TEX ε