EPREUVE COMMUNE DE TIPE PARTIE D

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1 EPREUVE COMMUNE DE TIPE PARTIE D TITRE : MODELISATION DU SYSTEME ARTERIEL Tems de réaration : 2 h 15 Tems de résentation devant le jury : 1 minutes Entretien avec le jury : 1 minutes GUIDE POUR LE CANDIDAT : Le dossier ci-joint comorte : 13ages - Document rincial : 13ages Travail suggéré au candidat : arès avoir résumé brièvement le dossier, le candidat ourra ar exemle : - Préciser les limites des différents modèles qui justifient leur évolution - Estimer les erreurs de ces modèles ar raort au système hysiologique CONSEIL GENERAUX POUR LA PREPARATION DE L EPREUVE : Lisez le dossier en entier dans un tems raisonnable Réservez du tems our réarer l exosé devant le jury Vous ouvez écrire sur le résent dossier, le surligner, le découer mais tout sera à remettre au jury en fin d oral. En fin de réaration, rassemblez et ordonnez soigneusement TOUS les documents (transarents, etc.) dont vous comtez vous servir endant l oral, ainsi que le dossier, les transarents et les brouillons utilisés endant la réaration. En entrant dans la salle d'oral, vous devez être rêts à débuter votre exosé. A la fin de l'oral, vous devez remettre au jury le résent dossier, les transarents et les brouillons utilisés our cette artie de l'oral, ainsi que TOUS les transarents et autres documents résentés endant votre restation.

2 Dans le domaine cardiovasculaire, afin de ouvoir remlacer certains comosants vasculaires qui sont déficients (valves cardiaques ou artères) ar des rothèses de remlacement, il est nécessaire de ouvoir quantifier les ressions et les débits sanguins qui vont transiter dans ces organes. Ces données vont servir à dimensionner les comosants de remlacement our qu ils uissent résister aux différentes contraintes imosées ar l environnement d imlantation. Les modèles mathématiques ou hysiques du système circulatoire ont été beaucou étudiés deuis 19, dans le but surtout de mieux comrendre la réonse dynamique du système à l éjection cardiaque. Les roriétés mécaniques et géométriques des vaisseaux influencent en effet beaucou la distribution des vitesses et des ressions ainsi que la forme des ondes qui se roagent dans le système. Il s agit là d une hydraulique instationnaire (flux ulsé) conduisant à des structures d écoulement souvent très différentes de celles qu on observe habituellement en régime stationnaire (as de variation des aramètres de l écoulement ar raort au tems). Par ailleurs l intervention du tems dans les équations de la mécanqiue des fluides rend leur résolution toujours très difficile. L étude attentive de la dynamique du sang (hémodynamique) eut conduite à une meilleure comréhension du fonctionenment cardiovasculaire, mais la comlexité des hénomènes mis en jeu a incité les chercheurs à les étudier à l aide de modèles simlifiés chacun mettant l accent sur tel ou tel asect du roblème. Le système circulatoire comorte trois domaines qui ont des rôles hysiologiques sécifiques - Le système artériel - Le système caillaire (lit caillaire) our les échanges biologiques - Le domaine veineux our le drainage sanguin et dont les caractéristiques mécaniques, géométriques, et hydrauliques sont différentes. Bien que dans certains modèles, c'est le système circulatoire en entier qui est ris en comte, nous orterons notre attention sur la mécanique artérielle. Les modèles d étude actuellement utilisés se rattachent aux tyes suivants : Modèles à aramètres globaux Soit en écoulement ermanent (résistance ure) Soit en écoulement ériodique (Windkessel) Modèles à aramètres réartis Soit en écoulement ermanent (Poiseuille) Soit en écoulement ériodique (linéaire et non linéaire) Nous ne résenterons dans le cadre de ce texte que les modèles à aramètres globaux de façon détaillée. Les modèles à aramètres réartis ne seront décrits que dans leur rincie. 1

3 35 1. Modèles à aramètres globaux 4 Dans de tels modèles on considère un lit vasculaire et on étudie la relation entre le débit sanguin et la différence de ression entre l entrée artérielle et la sortie veineuse, le lit étant schématisé soit ar un seul soit un certain nombre d éléments mécaniques ou hydrauliques Modèle à écoulement ermanent (résistance ure) La descrition hydrodynamique la lus simle assimile l écoulement sanguin réel à celui d un mouvement ermanent dans un réseau de conduites élastiques (Fig. 1) entre un réservoir à haute ression Pa (ression artérielle moyenne) et un réservoir basse ression Pv (ression veineuse moyenne). Pour chaque lit vasculaire traversé ar le débit moyen Qv on eut définir le raort : comme étant celui d une résistance. R = a q v v Fig. 1 Modèle schématique d un lit vasculaire 55 6 Dans une telle définition, les valeurs a, v et q v sont des valeurs moyennes temorelles et le débit q v est suosé le même à l entrée et à la sortie de la voie sanguine (as de fuites) ; R est donc une résistance moyenne, forme la lus simle our caractériser les erformances d un lit vasculaire. Ceendant on constate que si l on étudie exérimentalement les variations de q v en fonction de a - v (valeurs moyennes), on ne trouve généralement as une loi linéaire (ce qui signifie que R n est as constant) mais une courbe dont la concavité est tournée vers l axe des q v (Fig.2). 2

4 Fig. 2 Caractéristiques débit-ression de divers réseaux circulatoires 65 7 R décroît donc quand q v augmente. Cette constatation eut donner lieu à lusieurs exlications telles que : - Variation du diamètre des vaisseaux avec le changement de ression transmurale (ression qui s exerce sur la aroi des vaisseaux), - Variation des roriétés des arois vasculaires - Redistribution de l écoulement sanguin avec l augmentation du débit (le nombre de caillaires erfusés augmente avec q v ) - Pertes de charges singulières non rises en comte dans le modèle En fait, même dans un réseau de conduites rigides avec un écoulement ermanent, le débit q v traversant le réseau n est as roortionnel à la chute de ression. Ceci est dû aux ertes de charge singulières et aux interactions hydrauliques entre les différents éléments du réseau, lesquelles sont d ailleurs très mal connues même dans les structures géométriques simles. Pour un tel réseau, est généralement une fonction quadratique de q v de la forme suivante : 2 = Aq + Bq (1) v v où A et B déendent de la forme géométrique du réseau ; le terme Aq v est attribué aux ertes 2 de charge ar viscosité (A est roortionnel à la viscosité µ), le terme Bq v est attribué aux ertes ar inertie. La rerésentation grahique de cette formule donne une courbe dont la concavité est dirigée du côté de l'axe des ressions, contrairement à ce qu'on observe dans le cas du système circulatoire (Fig. 2). Dans le cas d'un réseau où les conduites sont déformables, sans doute ourrait-on adoter une formule du tye (1) en accordant à A et B des variations convenables 3

5 tenant comte ar exemle des modifications des diamètres des vaisseaux sous l'action de la ression, mais ces modifications ne sont as simles à déterminer. On eut noter que selon Lighthill et Fitzgerald, et dans le cas d'un réseau caillaire, la 9 relation ression-débit, tend vers une loi de la forme 1/ 2 = quand tend vers Kq v zéro: une telle loi va d'ailleurs dans le même sens que celle qu'on a déjà signalée à roos des caillaires sanguins, à savoir qu en raison de la déformabilité des globules, la résistance hydraulique diminue quand le débit augmente Modèles à écoulement ériodique (Windkessel) Le rôle joué ar l'élasticité des artères avait été erçu dès 1733 ar Stehen Hales qui comarait cet effet à celui des cloches à air utilisées alors dans les omes à incendie our régulariser le débit d'eau ulsatoire fourni ar les omes alternatives actionnées à la main. Cette analogie a été rerise lus tard ar d'autres auteurs, mais c'est surtout Otto Franck qui, en 1899 en fournit une théorie quantitative fondée sur la notion connue sous le nom d effet «Windkessel». Le modèle est constitué ar une chambre d'accumulation élastique lacée dans un conduit rigide comortant un claet du côté amont, un résistance hydraulique de Poiseuille R du côté aval. La chambre d'accumulation eut être une enceinte rigide contenant un liquide et emrisonnant un certain volume d'air (Fig. 3a) où une enceinte à aroi élastique et leine de liquide (Fig. 3b) 11 a) Cloche à air b) Chambre élastique c)analogie électrique Fig. 3 Modèles «Windkessel» Ce modèle rerésente, sous une forme très schématique, le système artériel, où le claet joue le rôle de valve cardiaque, la chambre élastique le rôle des gros vaisseaux artériels, la résistance hydraulique le rôle résistif des artérioles et des caillaires. 4

6 L'écoulement y est ériodique. Quand le claet est ouvert (systole) le flux issu du ventricule s'accumule our une artie dans la chambre élastique, s'échae our l'autre artie ar la résistance hydraulique. Quand le claet est fermé (diastole) le flux accumulé dans la chambre s'échae à son tour ar la résistance hydraulique. Etude de la diastole (claet fermé = relâchement du muscle cardiaque) Commençons ar étudier l'écoulement diastolique (le muscle cardiaque se relâche our se remlir de sang avant de se contracter) qui est le lus simle. Avec les notations de la figure 3 où V est le volume de liquide de la chambre et sa ression, on eut définir la comliance C de la chambre ar la relation : dv C = d uisque q v1 = la loi de conservation du débit nous donne l équation dv dt + q = v 2 En suosant la comliance C constante et en aliquant la loi de Poiseuille our la résistance hydraulique on écrit : = Rq v 2 13 d'où il vient : d RC + = (2) dt L'intégration de cette équation différentielle est immédiate, on obtient : t RC (3) = e 135 P est la ression de la chambre, au début de la durée diastolique (fin de la systole). La quantité : τ = RC = d est une constante de tems, caractéristique du modèle. dt 5 5

7 14 L'exression (3) montre que la ression de la chambre décroît exonentiellement endant la durée de la diastole, jusqu'à la valeur 1 qui en marque la fin au tems t On observe facilement que lus τ est faible, lus raide est la décroissance de la ression. On a sensiblement : τ = t Log Il faut noter que l'équation différentielle (2) est d'un tye identique à celle qu'on trouve en électricité quand on étudie la décharge d'un condensateur de caacité C dans une résistance électrique R. Ceci fournit une analogie électrique articulièrement intéressante, où la tension électrique U aux bornes du condensateur est l'analogue de la ression de la chambre, et le courant i 2 qui traverse la résistance électrique est l'analogue du débit q v2 qui traverse la résistance de Poiseuille. Comme cela a déjà été dit, la caacité et la résistance du système artériel sont sous la déendance de la ression, et à cet effet euvent être étudiés à l'aide du modèle «Windkessel» en considérant les ressions moyennes. En général C et R augmentent quand cette ression moyenne diminue, ce qui entraîne une augmentation de la constante de tems τ, donc une lus lente décroissance de la courbe de ression diastolique. 1 1 Etude de la systole (claet ouvert) Quand le claet est ouvert, le flux sanguin fait irrution dans le système hydraulique avec le débit q v1 fonction du tems. En se reortant aux figures 3.a ou 3.b, la loi de conservation du débit s'écrit maintenant q d RC Rq dv = + q dt v1 v2 v1 dt + = (4) Cette équation différentielle est analogue à (2), mais elle contient un second membre qu'il faut exliciter our ouvoir l'intégrer. 6

8 Dans une remière aroche, on eut admettre que q v = C ste = A endant la durée t o de la systole. En notant que = l au début de la systole l'intégration nous donne, avec τ = RC : 17 = RA + ( RA) e τ La ression croît exonentiellement à artir de la valeur l (our t = ). A la fin de la systole qui dure le tems t o, on doit retrouver la valeur o définie récédemment et qui marque le début de la diastole (Fig.4.2). On a donc 1 t = RA + ( 1 RA) e t τ 175 En reortant sur le même grahique l'évolution des ressions durant ces deux hases (Fig.4.3), on obtient une courbe ériodique oscillant entre les ressions extrêmes l et o, et constituée ar des arcs d'exonentielles, la ériode étant En combinant ces équations on trouve : T = t o +t 1 18 RA 1 e = 1 e t / τ T / τ 1 RA t 1 e = 1 e / τ T / τ Fig. 4.1 Claet fermé Fig. 4.2 Claet ouvert 4.3 Effet Windkessel 7

9 A l'échelle R rès, cette courbe nous donne également le débit q v2, uisqu'on a q v2 = R Ces équations montrent que, our des durées t o et t l données, c'est la constante de tems τ = RC qui règle l'amlitude o - l de l'oscillation, amlitude d'autant lus faible que τ est lus grand : à la limite, si τ tend vers l'infini, la ression dans la chambre ne varie lus ( o = I ) et le débit q v2 est constant. Inversement si τ tend vers zéro, la ression dans la chambre subit des variations entre et RA, le débit q v2 étant à chaque instant égal à q v1, donc subissant les mêmes variations brusques de à A et inversement (Fig. 5). Là encore les variations de sont exactement roortionnelles à celles de q v2. τ croissant 2 25 Fig. 5 -Etude de l'effet Windkessel : influence de la constante de tems τ = RC sur les variations de la ression dans la chambre et sur le débit q v2=/r. Comme our la diastole, on eut construire un modèle analogique électrique simle our étudier la systole : l'équation (4) corresond en effet, à celle qu'on établit en électricité our étudier le circuit électrique de la figure 3c quand l'interruteur I est fermé et est arcouru ar le courant i l (analogue de q v1 ). On eut aliquer ces résultats à un cas hysiologique. Pour un sujet de 2 à 24 ans, la comliance C = dv/d de l'aorte est environ de : C =,32 cm 3 /mm Hg = 6,3 1-9 m 3 /Pa, our un débit sanguin q v = 1-4 m 3 /s (6 litres ar minute) s'écoulant sous la différence de ression moyenne = 93 mm Hg = 1265 Pa (ression artérielle 8

10 moyenne 1 mm Hg, ression veineuse 7 mm Hg), la résistance hydraulique du système circulatoire est : R 125 = = = 4 q 1 v 1, Pasm Fig. 6 Enregistrement hysiologique et modélisation En admettant que la chambr e élastique se limite à l'aorte, on trouve comme constante de tems du système τ = RC = 1,265 x 6,3 1-1 =,76 s. Pour une fréquence cardiaque de 7 ar minute donc T = 6/7=,86s et un tems systolique t o =,33 s (donc t 1 =,53 s), le volume de sang éjecté ar systole est q v xt =,86 x 1-4 = m 3 en,33 s ce qui corresond à un débit moyen A= /,33= m 3 /s On en déduit : t / τ,76 e 1 e = RA = 1, = 853 Pa = 62, 7 mmhg T / τ,86 e 1,76 e 1,33 t / τ 1 e 1 1/1, 543 = RA = 33 = 1713Pa = 126mmHg T / τ 1 e 1 1/ 3,1 9

11 Ces valeurs de l et o sont comtées au-dessus de la ression veineuse, donc ar ra ort à la ressio n atmo s hérique, elles d oivent donc être majorées de 7 mm de Hg. Si on se reorte à la figure (6) l'éjection systolique corresond à la courbe CGXF, comrenant une art rinciale de flux sortant du ventricule CGX et une faible art de reflux XF. Il est certain que l'aroximation faite dans le calcul récédent : de remlacer cette courbe de débit hysiologique ar une courbe rectangulaire d'amlitude A, est très aroximative et il n'est as étonnant que la courbe de ression hysiologique durant l'éjection soit nettement différente de celle d'un arc d'exonentielle comme nous l'avons calculée. En revanche, le débit ventriculaire étant nul endant la hase diastolique, la décroissance exonentielle de la ression aortique roosée dans la modélisation ar effet "Windkessel" ressemble assez bien à ce qu'on observe en hysiologie et cette similitude est d'autant meilleure que la durée diastolique est lus grande. Généralisation Le système vasculaire entier, ou seulement celui d'un membre ou d'un organe, euvent être rerésentés ar des modèles Windkessel, qu'on s'est ingénié à erfectionner en multiliant les chambres, les conduits, les résistances, our arocher le lus ossible le comortement de celui qu'on observe hysiologiquement. Dans chaque cas, il est facile de construire l'équivalent électrique en resectant les analogies suivantes que nous justifierons lus loin : entre une résistance de Poiseuille et une résistance électrique : 8π µ L R1 = 2 S entre un conduit hydraulique, sans frottement et une self induction électrique : L = ρ / 1 L S entre une chambre élastique cylindrique et une caacité électrique : C SL( h + 1) = E(2h + 1) L est la longueur et S la section droite du conduit (ou de la chambre), E est le module d'young du matériau élastique constituant la aroi de la chambre 1 1

12 (grandeur rerésentative des liens entre les efforts aliqués à la aroi et les déformations de cette aroi, dans le domaines élastique, c'est-à-dire lorsque les déformations sont réversibles) et h le raort rayon/éaisseur de la aroi de la chambre, ρ et µ sont resectivement la masse volumique et la viscosité du fluide intérieur. Les figures 7 et 8, rerésentent ainsi deux modèles Windkessel et les équivalents électriques corresondants. Par exemle on envoie en A une tension électrique analogue au signal de ression hysiologique et on ajuste les différents éléments électriques de manière que la tension électrique recueillie en B soit la lus roche ossible du signal de ression hysiologique corresondant. Les intensités mesurées sont alors les analogies des débits sanguins. Plus on met d éléments électriques, lus grande est la récision du résultat. Fig. 7 Modèle Windkessel à quatre éléments 27 Fig. 8 Modèle Windkessel du tronc aortique à set éléments 11

13 275 Ainsi on a construit un modèle de l'arbre artériel systémique avec 121 éléments, mais en général un nombre modéré d'éléments suffit our obtenir une rerésentation satisfaisante Modèle à aramètres réartis On eut essayer de bâtir un modèle circulatoire lus roche de la réalité que les récédents en calculant les erformances d'un réseau hydraulique dont chaque élément a une longueur, un diamètre, une éaisseur de aroi et une élasticité donnés. Connaissant les roriétés rhéologiques (comortement de l écoulement) du sang on eut alors déterminer la loi d'écoulement dans chaque élément en fonction des ressions d'entrée et de sortie corresondantes, et de la ression transmurale. Convenablement assemblés selon la réalité hysiologique, ces éléments euvent constituer un modèle géométrique du lit vasculaire qu'on eut étudier en resectant les règles générales d'étude des réseaux, et qui sont à chaque noeud du réseau: égalité des ressions conservation du débit En écoulement ermanent, on obtient ainsi un système d'équations à résoudre dont la solution ermet de déterminer le débit global q v qui traverse le réseau quand on lui alique une différence de ression donnée et ar suite de calculer la résistance hydraulique globale R du réseau. Ce modèle eut être testé ar comaraison avec les résultats exérimentaux obtenus avec le lit vasculaire réel. Convenablement construit, il ermettrait d'étudier les changements de résistance consécutifs à des altérations du réseau ou à des modifications connues des aramètres géométriques ou mécaniques qui le constituent. En fait ces idées théoriques n'ont as été aliquées dans toute leur étendue logique et ce our lusieurs raisons : 1 ) Les caractéristiques géométriques des divers conduits du lit vasculaire sont difficiles à connaître (on ne sait les déterminer que d'une manière statistique). Même si on était en mesure de les connaître en détail, l'extrême multilicité des éléments qui constituent le lit, la comlexité géométrique de leurs agencements, conduiraient à un réseau comrenant un très grand nombre d'éléments et ar suite à 12

14 un très grand nombre d'équations dont la résolution exigerait des moyens de calculs tro considérables. 2 ) Les roriétés rhéologiques du sang, notamment dans les etits vaisseaux sont mal connues et font aaraître des hénomènes comlexes : au niveau des caillaires, la relation ression-débit est encore en discussion. 3 ) La division d'un écoulement en deux ou lusieurs branches, ou le regrouement de deux écoulements en un seul, introduisent des articularités qui ne sont as toujours bien analysées en hydraulique. 4 ) Les roriétés rhéologiques des arois vasculaires sont difficiles à connaître car elles sont variables dans le tems et l'esace. Pour toutes ces raisons, il n'est as ossible de construire un modèle hysique semblable au système circulatoire au sens rigoureux du terme. On doit se contenter de modèles simlifiés lus ou moins arochés. 13