Equation de la Chaleur en Axisymétrique & en 3D

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1 P.-Y. Lagée, Equation de la Chaleu en Axi & en 3D Equation de la Chaleu en Axisymétique & en 3D Dans ce chapite nous faisons un bilan d énegie pou établi l équation de la chaleu en axisymétique. On pouait faie de même en sphéique. On pésente aussi l équation de la chaleu en 3D finale avec ses conditions aux limites. Equation de la chaleu pou un milieu axi symétique. Bilan pou un milieu axi symétique Un milieu axi symétique possède une symétie de évolution autou d un axe pivilégié. On utilise les coodonnées polaies (, θ, z), mais seule la vaiable est utile. L invaiance pa otation fait que la tempéatue ne dépend pas de θ et l invaiance pa tanslation le long de l axe fait que z n est pas utile. + d q() q( + d) Figue : Bilan su une tanche cylindique élémentaie. Su l anneau fixe epésenté su la figue ici, pa unité de longueu en z, on a: pou la consevation de l énegie, une quantité ρe(, t)2πd dans l anneau d épaisseu d de ayon et de suface 2πd. Il y a un flux entant en qui est q(, t), ce flux ente à gauche, donc il contibue pou q(, t)(2πd) à l augmentation de e Il y a un flux sotant en + d qui est q( + d, t)2π( + d)d, il est -5 bis.-

2 su une suface plus gande, ce flux sot à doite, donc il contibue pou q( + d, t)2π( + d)d et diminue l énegie s il y a céation de e, avec un taux disons c (), il faut compte c ()2πd en plus. Au total, et pa définition de la déivée en : ( + d)q( + d, t) = q() d (q(, t)) +..., donc ρc p t T (, t)(2πd) = (q)d(2πd) + c(, t)(2πd) soit ρc p T (, t) = t (q) + c(, t) Puis en mettant la loi de Fouie: q = k T.2 Equation de la chaleu pou un milieu axi symétique L équation de la chaleu devient: ρc p T (, t) = t ( k T ) + c (, t) Nous allons voi quelques exemples en stationnaie..3 Exemples de ésolution stationnaie.3. Tuyau à tempéatues imposées i) cas standad Soit un tuyau de ayon intéieue et de ayon extéieu 2, à l intéieu il y a un fluide qui impose sa tempéatue T, l extéieu impose sa tempéatue T 2, il n y abien sû pas de souce de chaleu dans la paoi. 0 = d ( d d donc dt/d = A, et T = Aln + B ln T = (T 2 T ) ln( 2 / ) + T ln 2 T 2 ln ln( 2 / ) -5 bis.2-

3 ou encoe on calcule le flux Le poblème est ésolu. T = T + (T 2 T ) ln(/ ) ln( 2 / ) q = k(t 2 T ) ln( 2 / ) ii) cas standad Le flux total en pou un tonçon de longeu L est puisque la suface est 2πL: qs = q2πl soit, pou tout : qs = 2πLk(T T 2 ) ln( 2 / ). Le flux est bien consevé. La ésistance themique est donc pa définition R t = (T T 2 ) qs = ln( 2/ ) 2πLk. La ésistance themique axisymétique est donc difféente du cas 2D plan R t = ln( 2/ ) 2πLk. iii) cas d une paoi tès mince On véifie ensuite que si 2 est petit pa appot à, le tuyau se compote comme un mu. Posons, = + x avec x << et 2 = e, 0 < x < e. On a alos: ln() = ln + x/ +... et ln( 2 / ) = h/ +... donc la tempéatue devient: T = e [(T 2 T )(ln + x/ +...) + T ln + et / T 2 ln )] +... soit T = e [(T 2 T )x/ + et / ] +... on etouve bien la dépendance linéaie en tempéatue au taves de la paoi fine: T = (T 2 T ) x e + T +...de même q = k (T 2 T ). e -5 bis.3-

4 De même, la ésistance themique est donc ln( 2 / ) 2πLk = ln( + ( 2 )/ ) 2πLk = ln( + e/ ) 2πLk donc si l épaisseu est petite, comme ln( + ε) ε, la ésistance devient à peu pès: e k(2π L) soit la ésistance d un mu plan de même suface. Retenons que si le ayon de coubue d une paoi est bien plus gand que son épaisseu, la paoi se compote comme un mu plan..3.2 Tuyau tempéatue imposée/ flux imposé On peux aussi imagine les conditions suivantes: T = T en et un flux q = q 2 en 2. 0 = d ( d d donc dt/d = A, et T = Aln + B, soit T = Aln + B, calcul du flux q 2 = ka/ 2. ln(/ ) T = T q 2 2. k.3.3 Tuyau tempéatue imposée/ coefficient d échange On peux aussi imagine les conditions suivantes: T = T en et un flux de convection q = h(t 2 T ) su le ayon extene en 2. 0 = d ( d d donc dt/d = A, et T = Aln + B, soit T = Aln + B, la tempéatue en 2 sea telle que T 2 = Aln 2 +B, mais en plus, le q 2 = ka/ 2 = h(t 2 T ). Donc l égalité des flux (en fait consevation de q2π) donne k(t T 2 )/(ln( / 2 )) = (h 2 )(T 2 T ) donc T 2 = T +(h 2 ln( / 2 )/k)t +h 2 ln( / 2 )/k et q 2 = k(t T ) ln(/ ) T = T q 2 2. k +h 2 /k(log( 2 / )) 2 (log( / 2 )) et -5 bis.4-

5 .3.4 Assemblages Résistances Axi On se donne un tuyau, en son cente cicule un fluide à la tempéatue T int à l extéieu il est baigné pa un aute fluide de tempéatue T ext. Soient h int et h ext le coefficients d échange à l intéieu et à l extéieu. Ce tuyau de ayon intéieu et extéieu 5 est constitué 4 matéiaux difféents de conductivité k k 2 k 3 et k 4. Nous allons calcule les tempéatue T i aux ayons i (i =, 2, 3, 4, 5). T ext T T 2 T 3 T 4 T 5 T ext T int T int 2πR Lh int ln( 2 ) 2πLk ln( 3 2 ) 2πLk 2 ln( 4 3 ) 2πLk 3 ln( 5 4 ) 2πLk 4 2πR 5 Lh ext Résistances équivalentes Figue 2: Tuyau constitué de plusieus pelues de matéiaux difféents modélisé pa des ésistances... Nous venons de voi que le flux est consevé, et qu ente ente deux points i et i + de tempéatue T i et T i+ le flux est consevé q i S i = q i+ S i+ (on note qs le flux qui cicule). Soit R i la ésistance ente ces deux points, on a donc q i S i = T i T i+ et R i = ln( i+/ i ). R i 2πLk Nous pouvons donc assemble les ésistances themiques. Su le dessin, on en a mis 6! Il y a d abod la ésistance (/inductance) de convection à l intéieu du cylinde R int = 2πR Lh int puis de de tempéatue T au ayon 2 à la tempéatue T 2 on a la ésistance R = ln( 2 ) 2πLk puis etc on a une suite des ésistances des difféentes pelues, R 2, R 3 qui se temine pa -5 bis.5-

6 R 4 et pa le ayon extéieu 5, de tempéatue T 5 et enfin pa la convection extéieue, on a une ésistance R ext = 2πR 5 Lh ext qui passe ensuite à la tempéatue T ext au loin. La ésistance totale est: R tot = ln( + ) ln( + 2 ) ln( + 3 ) ln( + 4 ) + 2πR Lh int 2πLk 2πLk 2 2πLk 3 2πLk 4 Comme on connaît T ext et T int on a le flux total qs = (T ext T int )/R tot on peut ensuite calcule la suite des tempéatues.3.5 Céation volumique T = T int + R int R tot (T ext T int ) T 2 = T + R R tot (T ext T int ) T 3 = T 2 + R 2 R tot (T ext T int ) T 4 = T 3 + R 3 R tot (T ext T int ) T 5 = T + R 4 R tot (T ext T int ) 2πR 5 Lh ext On pouait examine le cas du fil électique avec poduction de chaleu pa effet Joule, soit J le tau de céation de chaleu pa effet Joule... d ( + J d d donc la tempéatue est maximale au cente T = T s J 3 6k. Il s agit aussi du poblème du cayon de matéiau adioactif dans le coeu de la centale..4 Rayon citique d isolation On se doute que si on ajoute de plus en plus d isolant conte un mu, moins on aua de tansfet themique. En fait, pou les cylindes ce n est pas vai! Penons un cylinde de ayon extéieu maintenu à la tempéatue T, on -5 bis.6-

7 P.-Y. Lagée, Equation On peux de aussi la imagine Chaleu en lesaxi conditions suivantes: T = T en 0 = d ( k dt q = ) q 2 en 2. d d.3.2 donc dt/d Tuyau= tempéatue A, et T = Aln imposée/ + B, soit flux T imposé = Aln + B, calcul du flux 0 = d ( d d On q 2 peux = ka/ aussi 2. imagine les conditions suivantes: donc dt/d T = T= en A, et et T = unaln flux + B, soit T ln(/ ) = Aln + B, ca q = q 2 en 2. T = T q 2 2 q 2 = ka/ k Equation. 2. de la Chaleu en Axi & en 3D.3.3 Fil électique 0 = d ( ln(/ ) T = T q 2 2. k met un isolant ensuite d jusqu à d un ayon 2, l ensemble est ensuite efoidi donc pa convection. Soit T la tempéatue au loin. Le flux qui sot est : On pouait dt/d = examine A, et T le = cas Aln du+ filb, électique soit T.3.3 avec = Aln poduction Fil + électique B, calcul de chaleu du flux pa q 2 effet = ka/ Joule etc... qs = T T avec R isol = Log( 2/ ), R conv = R isol + R conv ln(/ On pouait ) examine le cas du fil électique avec poduction de 2πLk 2πh 2 L T = T q 2 2 effet. k Joule... etc... Si on cheche le maximum, on voit que qs passe pa un maximum (soit d(qs)/d 2 = 0) pou 2 2 πlk 2πh2 2L = 0, soit pou 2 = c avec:.4 Rayon citique d isolation.3.3 Fil électique On se doute que si on ajoute de plus en plus.4d isolant Rayon c = k conte citique un mu, d isolation moins On pouait examine le cas du fil électique avec poduction de chaleu pa on aua de tansfet themique. En fait, pou les cylindes h ce n est pas vai! effet Joule... etc... On se doute que si on ajoute de plus en plus d isolant conte un Penons un cylinde depou ayon lesextéieu ayons inféieus maintenu à cette àvaleu, la tempéatue isole le tuyau T, augmente on on aua de tansfet themique. En fait, lepou les cylindes ce n met un isolant ensuite tansfet jusqu à themique! un ayon 2, l ensemble est ensuite efoidi Penons un cylinde de ayon extéieu maintenu à la tempé pa convection. Soit T infty la tempéatue au loin. Le flux qui sot est :.4 Rayon citique d isolation met un isolant ensuite jusqu à un ayon 2, l ensemble est ens qs = T T avec R isol = Log( pa 2/ convection. ) Soit T la tempéatue au loin. Le flux qui so On se doute que si on ajoute de plus en plus d isolant, conte R conv = un mu, moins on aua de tansfet R isol + themique. R conv En fait, pou 2πLk les cylindes ce n est 2πh pas 2 Lvai! qs = T T avec R Penons Si on cheche un cylinde le maximum, de ayon extéieu on voit que maintenu qs passe à pa la tempéatue un maximum T, (soit on isol = Log( 2/ ), R conv = R isol + R conv 2πLk 2 met d(qs)/d un isolant 2 = 0) ensuite pou jusqu à 2 2 πlk un ayon 2πh2 2L = 0, 2, soit l ensemble pou 2 = est ensuite c avec: efoidi pa convection. Soit T infty la tempéatue au Si loin. on cheche Le fluxlequi maximum, sot est : on voit que qs passe pa un ma c = k d(qs)/d 2 = 0) pou qs = T T avec R h. 2/ c isol = Log( 2 2 πlk 2πh2 2 2/ ) L = 0, soit pou 2 = c ave, R conv = R isol + R conv 2πLk 2πh 2 L c = k T pou les ayons Figue inféieus 3: Leàflux cette passevaleu, pa un maximum isole le ( tuyau augmente le h. T 2/ c Log(k/ /h) ) fonction de + Si tansfet on cheche themique! le maximum, on voit que qs passe pa un maximum 2πLk 2πkL l épaisseu (soit d(qs)/d 2 = 0) pou 2 2 πlk 2 h/k 2πh2 2L = 0, soit pou les 2 = ayons c avec: inféieus à cette valeu, isole le tuyau tansfet themique! flux En patique, pou c = k de l eau chaude dans un tuyau avec un efoidissement pa convection natuelle h. 2/ pa c de l ai, on a h 5W/m 2 K, pou un matéiau isolant dont k 0.05W/mK, cela donne un ayon citique de cm. En convection focée, le ayon seait plus petit. On peut donc isole sans se pose pou les ayons inféieus à cette valeu, isole le tuyau augmente le de questions les tuyaux d eau chaude. tansfet themique! En evanche, pou un fil électique, le ayon du plastique est plus petit que l épaisseu citique L isolant augmente donc le tansfet themique du fil. -5 bis.7-

8 2 Fome 3D 2. Fome généale globale Les équations fondamentales peuvent ête en toute généalité écites sous la fome: vaiation tempoelle = teme de flux + céation intéieue d eρdv = q d s + dv dt ρe est la quantité qui est consevée, ici l énegie massique. q est le flux de chaleu est le teme souce volumique de céation d énegie. Nous allons écie cette équation sous fome locale, pou cela examinons l intégale de flux: q d s Si on s intéesse à un petit volume dxdydz, cette quantité est en fait: o, pa développement limité q x (x, y, z)dydz + q x (x + dx, y, z)dydz q y (x, y, z)dxdz + q y (x, y + dy, z)dxdz q z (x, y, z)dydx + q z (x, y, z + dz)dydx. q x (x, y, z)dydz + q x (x + dx, y, z)dydz = dx q x dydz +... x q y (x, y, z)dydz + q y (x, y + dy, z)dydz = dy q y dxdz +... x q x (x, y, z)dydz + q z (x, y, z + dz)dydz = dz q z dydx +... x Soit dv = dxdydz, l intégale du flux devient qui est aussi On en déduit que ( q x x + q y x + q z x )dxdydx +... div( q ) = q = ( q x x + q y x + q z x ) q d s = c est le théoème de Geen Ostogadski. ( q )dxdydz -5 bis.8-

9 2.2 Fome locale L expession du flux de chaleu pa la loi de Fouie en 3D: q = k T on écit aussi q = k gadt L équation de la chaleu en 3D s écit donc: compte tenu de la loi de Fouie: ρc p t T (x, t) = q + ρc p t T = soit losque le milieu est homogène: ( k ) T +. ρc p t T = k 2 T +. soit sous fome développée: ρc p t T = k ( 2 x 2 T + 2 y 2 T + 2 z 2 T ) + on écit aussi l équation de la chaleu avec le Laplacien que l on note ρc p T = k T +. t conditions aux limites (su chaque potion de paoi) : OU - tempéatue paiétale imposée ( Conditions de pemièe espèce ): T = T p OU - flux paiétal imposé ( Conditions de seconde espèce ): k T n p = φ p OU - flux paiétal elié à la tempéatue paiétale et à la tempéatue extéieue pa le coefficient d échange ( Conditions de toisième espèce ): k T n p = h(t p T ext ). -5 bis.9-

10 3 Conclusion Nous avons établi l équation locale de la chaleu D (x), en axi (x, ) et en 3D (x, y, z) (on pouait le faie en sphéique). Nous avons pésenté des solutions stationnaies à tempéatue ou flux imposé ou coefficient d échange. 4 Réféences Y. Çengel (998) Heat tansfet, a pactical appoach, Mc Gaw Hill. J. Cabol (89) Tansfets de chaleu, tome les pincipes, collection technologies, Masson P.-Y. Lagée, Equation de la chaleu en Axi & en 3D, Cous MECAVENIR/EPU 2008 J.F. Sacadua (993) Initiation aux tanfets themiques, Lavoisie Tec & Doc. themique Tous les ouvages dans une bibliothèque. Consulte aussi lagee/cours/mecavenir le cous complet de themique de P.-Y. Lagée. -5bis.0- vesion Mach, 200