Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10

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1 PCSI - 4/5 Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices

2 Chap Et s il ne fallait retenir que si points? 5. Comment faire un DL en un point quelconque? On se ramène en par un changement de variable. 6. Les développements limités usuels. Les développements limités sont non seulement à savoir mais aussi (voire surtout à savoir retrouver rapidement. Entre parenthèse une méthode pour les retrouver. e = n n! + o(n (Taylor-Young cos( = n ( n! (n! + o(n+ ( et cos( = Re(e i. Savoir si une fonction f est équivalente, dominée ou négligeable par rapport à une fonction g en a. Pour cela, il faut regarder d abord si l une des deu fonctions ne s annule pas sur un voisinage de a privé de a. Si c est le cas (supposons que ce soit g, il faut déterminer la limite du quotient f/g : Si f( g( + alors g = o(f en a. Si f( a g( alors f = o(g en a. a Si f( f( alors f g en a. Si b alors f b.g en a. g( a g( a. Savoir trouver l équivalent d une epression. Pour cela, il faut retenir plusieurs points : a L équivalent d un produit est le produit des équivalents b L équivalent du somme n est en général pas la somme des équivalents. Si l on cherche l équivalent de f + g, on peut : regarder si f = o(g (ou g = o(f. Dans ce cas f + g g regarder si f a.g avec a. Dans ce cas f + g ( + ag revenir au définitions avec les ε. Cette méthode étant la plus efficace, puisqu elle généralise les deu précédentes. c On ne peut pas appliquer une fonction quelconque au deu membres d une équivalence (i.e. si f g cela n entraîne pas (toujours que h o f h o g. Cependant on a quelques résultats : f g = f α g α pour tout α de R f g et lim a f( = ou + = ln(f ln(g f g a = e f( e g( les epressions précédentes sont vraies uniquement si elles ont un sens. Ainsi, par eemple, la deuième n est vraie que si les fonctions considérées sont strictement positives. d On peut effectuer des changements de variables. Ainsi si f g en a et h( b a alors f o h g o h en b. 3. Les opérations sur les DL. Pour trouver le DL d une somme, d un produit, d une composée, d un quotient, il suffit de faire la même opération sur les DL sauf pour le quotient. Bien vérifier quand on fait le DL d une composée f o g que g( =, sinon on s y ramène. La propriété reste valable aussi pour la dérivée à condition que la fonction soit C n. 4. Comment faire le DL d un quotient? Pour le quotient on met la fraction sous la forme v v ou ±u avec u une fonction vérifiant u( = et on effectue la composée de u avec f( = ou f( = ± et le produit par v. ±u ± 3 sin( = 3 n ( n 3! (n +! + o(n+ ( et sin( = Im(e i 4 ch( = +! n (n! + o(n+ ( et ch( = P aire(e 5 sh( = + 3 3! n+ (n +! + o(n+ ( et sh( = Imp(e 6 7 = n + o( n (Suite géométrique + = ( n n + o( n (6 et 8 ( + α = + α α.(α... (α n + n + o( n n! (Généralisation Newton (n 3 + = ( n n + o( n (8 et α = (n = (n ( n n + o( n (8 et α = (n ln( + = Arctan( = Arcsin( = Arccos( = π Arcsin( ( n n n + o(n ( n n+ n + + o(n+.3...(n n+.4...(n n + + o(n+ (7 et intégration (7, et intégr. (, et intégr.

3 Chap Chap Plan du cours Questions de cours I / Notions préliminaires / Les trois outils / Caractérisation avec les limites / Eemples / Propriétés / Zoom sur les propriétés de l équivalence / Les croissances comparées II. Eemples et application / Equivalents usuels / Application : calcul de limites / Application : signe local d une fonction / Application 3 : asymptote et position III / Définition en / Unicité du DL / DL vs continuité/dérivabilité / DL et équivalent IV. Méthodes d obtention de DL / Taylor-Young / Somme de DL / Produit de DL / Composition de DL / Quotient de DL / dérivation de DL / intégration de DL / DL en point quelconque / Quelques applications Donner la définition de fonctions dominées, négligeables et équivalentes. Pour chaque cas vous donnerez un eemple.. Énoncer le théorème des croissances comparée en +. En déduire que ln(. 3. Soient f et g deu applications strictement positives sur R. Montrer que si la limite de f en vaut + ou + et si f g alors ln(f ln(g. Donner un contre-eemple montrant que la première hypothèse est nécessaire. 4. Montrer que le premier terme non nul du DL n ( de f est un équivalent de f en. (III 5. Donner les DL n ( de ep, cos, sin, ch, sh et rappeler une méthode pour le trouver. (IV 6. Donner les DL n ( de ( + α, 7. Donner les DL n ( de +, + et une méthode pour le trouver. (I (I (I (IV, +, et rappeler une méthode pour le trouver. (IV + 8. Donner le DL n ( de ln( +, ln( et rappeler la méthode pour le trouver. (IV 9. Donner le DL n+ ( de Arctan, Arccos, Arcsin et rappeler la méthode pour le trouver.. Donner une fonction admettant un DL ( et n étant pas C au voisinage de. Eiste-t-il des fonctions admettant un DL ( et n étant pas C?. Donner une fonction dérivable en admettant un DL n ( et telle que f n admette pas de DL n ( (n. (IV (IV (IV

4 Chap Chap Eercices types Eercices Eercice - Obtention d équivalents. Donner un équivalent de : a ln( en b e sin( en c arctan( π en + d esin(ln( en "Ce qui est affirmé sans preuve, peut être nié sans preuve." Euclide Eercice - Attention au compositions de DL. Déterminer le DL 3 ( de f dans chacun des cas suivants : a cos(sin( b Eercice 3 - DL en dehors de. + e c ln( + e d e cos( Déterminer le DL 3 ( de f dans chacun des cas suivants : ( π a Dl 3 (e de ln b DL de tan 4 Eercice 3 - DL et asymptotes. Donner une équation de l asymptote de f en + ainsi que la position relative de l asymptote par rapport à la courbe. ( a f( = sin b + ln( + Eercice 3 - DL de tan de plusieurs manières. Méthode. En utilisant la formule de Taylor-Young, effectuer un DL 3 ( de tan. Vous remarquerez que cette méthode est assez pénible pour des ordres assez grand et est donc à proscrire. Méthode. En utilisant que tan( = sin( effectuer un DL( à l ordre 5 de tan. cos( Méthode 3. Méthode de la fonction réciproque. a Rappeler le DL de Arctan( b En déduire le DL 7 ( de tan( Méthode 4. Méthode de l équation différentielle. a Montrer que tan vérifie l équation différentielle y = + y. b Posons tan( = + a 3 + b 5 + c 7 + o( 8. En déduire en fonction de a, b et c les DL 7 ( de tan ( et + tan (. c En déduire les valeurs de a, b et c. Eercice. Vrai - Fau Déterminer si les propositions suivantes sont vraies ou fausses :. Au voisinage de, on a : = o( 6.. Au voisinage de a, on a o(f + o(f = o(f. 3. Si f g au voisinage de a alors f g = o(g. 4. Si lim f( = lim g( alors f g. a a a 5. sin( tan(. 6. ln(. 7. ln(. 8. Si f( = + o( et g( = + o( en alors f g est négligeable devant. 9. +o( = + o(. Si pour tout n de N, le DL n ( de f ne contient que des termes paires alors f est fonction paire.. Si f admet un DL n ( alors f admet un DL n (.. Si f admet un DL ( alors f est dérivable en. 3. Si f admet un DL ( alors f est deu fois dérivable en. 4. Soit f dans C (R, R. Si f admet un DL n ( alors f admet un DL n (. 5. Soit f dans C (R, R. Si f admet un DL n ( alors f admet un DL n+ (. 6. Deu fonctions ayant les mêmes DL n ( pour tout n de N sont égales.

5 R Eercice. Déterminer les limites des fonctions suivantes : Niveau. lim ln(sin(. lim +.Arctan(e 3. lim + (Arctan( π Eercice 3. e 4 4. lim + ln(. Quel lien logique eiste-t-il entre les affirmations suivantes, au voisinage de :. f(. f( + 3. f( + 3. Quel lien logique eiste-t-il entre les affirmations suivantes, au voisinage de + :. f( ln(. f( = ln( + ε( 3. f( = ln( + B( où ε( et B( est borné au voisinage de +. + Eercice 4. Effectuer les DL des fonctions suivantes :. f ( = + cos( en à l ordre. f ( = cos(sin( en à l ordre 3 sin( 3. f 3 ( = en sur ]; ε[ à l ordre sin( 4. f 4 ( = ln( en e à l ordre 3 5. f 5 ( = tan( en π 4 à l ordre 6. f 6 ( = en à l ordre 4 sin( 7. f 7 ( = arcsin( en à l ordre 5 8. f 8 ( = e en à l ordre 5 9. f 9 ( = ( + en à l ordre 4. f ( = e sin( en à l ordre 3. f ( = cos( en π à l ordre 4 Eercice 5. Déterminer la limite quand tend vers + de : Eercice 6.. e + ln (. e e + 3. e 3 ln ( 4. ln ( / ( e 5. e 6. / 7. ln ( ln (e 3 ln ( e + 3 e + ln ( 3. ( e 3 + / ln (. ( + 3. e ln ( 4. e ln (ln ( Déterminer la limite quand tend vers de : Eercice 7.. α ln ( avec α >. ln ( + / ln ( / ln ( e / ln ( ln ( + 7. ln ( + + e / ln (e. e / ( + Déterminer les limites des fonctions suivantes :. lim f ( = + e lim f 3( = π 5. lim f 5 ( = e cos( tan(. ln(tan( lim ( = ( + e 4. lim f 4 ( = ( e Argth( 6. lim f 6 ( = sin 7. lim e + f 7( = (ln( ln( e 8. lim + f 8( = sin ( π ( π 3

6 Eercice 8. Trouver des équivalents des fonctions suivantes :. f( = e sin(ln( en. f( = ln(tan( en π 4 c Eercice 4. Soit f la fonction de R dans R définie par f( = sin( si et f( =. On admet que f est C. Trouver f 9 ( et f (. Eercice 9. Dans chacun des cas suivants, trouver une droite asymptote à la courbe en + et étudier la position de courbe par rapport à cette asymptote.. f( = +. f( = sin( ln( + ( + Eercice 5. Soient a et b des nombres réels positifs. Trouver la limite en + de la fonction : ( a + b c Eercice. Soit P un polynôme sur R. Montrer que si deg(p n et si P = o( n alors P =. Eercice. Etudier les branches infinies de C f avec :. f( = ( +.e. f( = + 3. f( = + sin( Eercice. Déterminer la limite quand tend vers de :. ( ln (. ln ( ln ( 3. ln ( ln ( ( Eercice 6. Soit f la fonction de R dans R définie par f( = (e n. Calculer f k ( pour k n. Eercice 7. Il y a n personnes dans ma chaine d amis (n 3, donc n + personnes avec moi. Chaque jour, chaque personne envoie un message à une autre personne.. Combien y a-t-il d envois différents?. Combien y a-t-il d envois possibles pour que je reçoive eactement messages. 3. Quelle est la probabilité de ce dernier événement? 4. Quelle est la limite de cette probabilité quand n tend vers +. Niveau 3 c Eercice 8. c Eercice 3. Niveau. Déterminer un DL ( de Arctan( + t. (. En déduire un DL 4 ( de Arctan sin( Considérons le polynôme P t (X = X 5 + X 3 + X + t.. Montrer que le polynôme P t admet une unique racine sur R. On note f(t cette racine. Le but de l eercice est de trouver un DL 3 ( de f(t.. Montrer que la fonction t f(t est impaire. 3. Montrer que lim t f(t =. On pourra dans un premier temps démontrer l inéquation t f(t pour t. 4. Montrer que f(t t en et que f(t + t t 3. En déduire le DL 3 ( de f(t. 4 5

7 Eercice 9.. Justifier l eistence d une unique fonction f de classe C de R + dans R + telle que R +, f(e f ( = On pourra considérer la fonction g : t t.e t de R + dans R +.. Préciser le DL 5 ( de f 3. Calculer lim f(, puis donner un équivalent simple de f( en +. + Chap Quelques eercices corrigés R Eercice. Déterminer les limites des fonctions suivantes :. lim ln(sin(. lim +.Arctan(e 3. lim + (Arctan( π e 4 4. lim + ln( On a sin(. La limite de ces deu fonctions étant + en +, on peut appliquer le logarithme. On obtient donc ln(sin( ln( et f tend vers quand tend vers par croissances comparées.. Artan( en, donc Arctan(e e en. Ainsi f ( e en et tend donc vers par croissances comparées. 3. En posant X = et en utilisant : R +, arctan + arctan = π on a : lim (Arctan( π + ( = lim Arctan X + X X π = lim arctan X X + X = La dernière égalité étant obtenue en utilisant arctan X X en. 4. On posant a = e 8, on obtient : lim + e 4 ln( a = lim + ln( a = lim +. a ln( Comme a >, par croissances comparées, la limite est +. 6

8 Chap Devoir maison Problème - Quand il faut aller à l ordre 7... Soient f et g des applications C (cad infiniment dérivables de R dans R, impaires et équivalentes à en. Partie I. Equivalent de f o g - g o f.. Justifier l eistence de réels a, a, b, b, c et c tels que :. Montrer que : { f( = + a 3 + b 5 + c 7 + o( 7 g( = + a 3 + b 5 + c 7 + o( 7 f o g( = + (a + a 3 + (b + b + 3a a 5 + (c + c + 3a b + 3a a + 5b a 7 + o( 7 On veillera à justifier que la composition de DL est ici possible. 3. En déduire sans calcul un DL 7 ( de g o f puis déterminer un DL 7 ( de f o g g o f. 4. Donner un équivalent de f o g g o f en. Partie II. Un eemple.. Rappeler ou retrouver le DL 7 ( de Arctan, puis en utilisant la formule de la question I.., en déduire que : tan( = o( 7. Calculer un équivalent de h( = tan(sin( sin(tan( en. En déduire le signe de h au voisinage de.

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