BAC BLANC FÉVRIER 2013 STG

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1 BAC BLANC FÉVRIER 2013 STG Exercice 1 4 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples(qcm). Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est correcte. Relever sur la copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n est demandée. Une réponse juste rapporte 1 point; une réponse fausse enlève 0,25 point et l absence de réponse ne rapporte ni n enlève de point. Si le total des points est négatif, la note attribuée à l exercice est ramenée à 0. Le tableau ci-dessous retrace, sur une douzaine d années, l évolution de la consommation moyenne de pain, en kilogrammeparpersonneet par an,en France. Rang i Annéex i Consommation de pain en kg par personney i 58,7 58,2 57,6 53,6 53,6 53,7 51,7 Le nuage de pointsest l ensemble des points M i de coordonnées(x i ; y i ) pouri variant de 1 à Le pointmoyen G a pour coordonnées: a. (2002; 53,6) b. (2002; 56) c. (2002; 55,3) 2. La droite (M 3 M 5 ) a pour équation : a. y =x+2057,6 b. y = x+2057,6 c. y = x+2055 Source : INSEE 3. La droite d ajustement affine de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés, avec les coefficients arrondis au dixième, est : a. y = 0,6x+1272 b. y =0,6x+1270,8 c. y = 0,6x+1270,8 4. En 1970, la consommationmoyennede pain était de 80,6kg parpersonnepar an. Entre1970 et 2008, la consommation (à 1 pour cent près) : a. a diminué de 36% b. a diminué de 56% c. a diminué de 29% Exercice 2 5 points Le tableau ci-dessous retrace, sur une dizaine d années, l évolution de la consommation moyenne de yaourts, en kg par personneet paran, en France. Année Consommation de yaourts en kg par personne Partie A : Traitement des données Tous les résultats demandés seront arrondis au dixième 19,4 19, ,6 21,8 Source : INSEE 1/7

2 1. Retrouver la consommation de yaourts, en kg par personne, en 2002, sachant qu elle a augmenté de 2,5% entre 2000 et ( Augmenter de 2, 5% c est multiplier par 1+ 2,5 ) =1,025. La consommation en 2002 est donc :19,9 1,025=20,4 (arrondi au dixème) 2. Calculer le taux d évolution entre 1998 et taux= conso 2008 conso 1998 = 21,8 19,4 =0,124 conso ,4 Le taux d évolution est de 12,4%. 3. En déduire le taux d évolution annuel moyen entre 1998 et De 1998 à 2008 il y a au10 évolutions. On cherche t tel que 1+ t ( = 1+ 12,4 ) ,012 donc t =1,2% Partie B :Étuded unmodèle ( 1+ t ) 10 =1+ 12,4 On décide de modéliser la consommation annuelle de yaourts, à partir de 1998, à l aide d une suite géométrique (u n ) de raison1,012. Pourtoutentiernaturel n,u n désignelaconsommationthéoriquedeyaourtsl année1998+n.ainsiu 0 vaut 19,4. 1. Que vaut u 1? u 1 =u 0 1,012=19,4 1,012=19,63 2. En annexe, le tableau est un extrait d une feuille de calcul obtenue à l aide d un tableur. Le format d affichage est un format numérique à une décimale. (a) Donner une formule qui, entrée dans la cellule D3, permet, par recopie vers le bas, d obtenir le contenudes cellules dela plaged3 : D13, sans utiliser la colonnec. La formule est =D2*1,012 autre possibilité : =$D2*1,1012 (b) Compléter la colonne D. voir tableau :c est la valeur de u 1 3. (a) Exprimer u n en fonctionde n. (u n ) est une suite géométrique de raison 1,012 et de premier terme u 0 = 19,4, donc u n =1,012 n 19,4. (b) EndéduireunenouvelleformuleàentrerdansE2pouravoir,aprèsrecopieverslebas,lestermes dela suite (u n ) dansla plagee2 :E13. La formule est =19,4Ĉ2 ou bien =$D$2Ĉ2 4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. D après ce modèle, à partir de quelle année la consommation de yaourts dépassera-t-elle 25 kg par personne? On cherchela valeur de n telle queu n 25. Ontrouve n=22car u 22 =25,22. Doncc est en 2020 que la consommation de yaourts dépassera 25 kg par personne Exercice 3 5 points Un propriétaire de camping désire aménager son terrain avec des bungalows et des mobil-homes. Latailledesonterrainluiimposeunmaximumde50installations.Ilpeutloger6personnesparbungalow et 4 personnes par mobil-home. L infrastructure du camping ne l autorise pas à dépasser le nombre de 240 clients par semaine. On notera x le nombre de bungalows et y le nombre de mobil-homes que le propriétaire désire installer. 2/7

3 1. Décrire par un système d inéquations les contraintes du problème en justifiant vos affirmations. x et y sont des entiers car ils représentent un nombre d installations. 50 installations maximum donc :x+y clients maximum par semaine : le nombre de personnes logées dans les bungalows est 6x, le nombrede personnes logées dansles mobil-home est 4y, donc il faut 6x+4y Justifier que le système demandé est équivalent au système (S) suivant : (S) x 0 y 0 y x+50 y 1,5x+60 oùxetysont des nombresentiers. x+y 50 y 50 x 6x+4y 240 4y 240 6x y 240 6x y x y 60 1,5x. Sur le graphique donné en annexe, on a tracé dans un repère orthogonal, les droites (d 1 ) et (d 2 ) d équations respectives y = x+50et y = 1,5x+60. Déterminer graphiquement, en hachurant la partie du plan qui ne convient pas, l ensemble des points M du plan dontles coordonnées(x ; y) vérifient le système (S). Voir graphique : mettez des couleurs ou des indications indiquant pourquoi vous hachurez telle ou telle zone! 3. Préciser en justifiant si le propriétaire peut installer sur son terrain et louer : (a) 10 bungalows et 35 mobil-homes? oui : le point A(10;35) est dansla zonedes solutions (b) 30 bungalows et 20 mobil-homes? non:le point B(30;20) n est pasdans la zonedes solutions. 4. Un bungalow se loue 500 la semaine et un mobil-home 400 la semaine. Soit R le revenu hebdomadaire que recevra le propriétaire. (a) Exprimer Ren fonctionde x et y. x locations de bungalow rapportent 500x et y locations de mobil-home rapportent 400. Donc R=500x+400y. (b) Déterminer une équation de la droite(d) correspondant à un revenu hebdomadaire de , puis tracer cette droite sur le graphique. 500x+400y = y = x y = x y =30 1,25x. 400 Pour tracer la droite : 2pointssuffisent (0;30) et (20;5) parexemple. (c) En justifiant la démarche, déterminer graphiquement le couple (x ; y) qui permet d obtenir un revenu hebdomadaire maximum. On cherche la parallèle à (d) ayant la plus grandeordonnée à l originepossible tout en ayant au moinsun point dans la zonedes solutions. Onlit (x;y)=(20;30). (d) Préciser combien d installations de chaque type doit acquérir le propriétaire pour obtenir le revenu maximum. Calculer alors ce revenu. Le propriétaire peut donc construire 20 bungalows et 30 mobil-home pour un revenu hebdomadairede = Exercice 4 6 points La courbec tracéeci-dessous est la courbereprésentative d une fonction f définie sur ]0 ; + [. 3/7

4 3 2 C 1 O La droitetracée en pointillés est la tangente àc au pointd abscisse 1. Partie A Dans cette partie, il est demandé de répondre aux différentes questions par lecture graphique. Aucun calcul n est donc attendu. 1. Donner le nombrede solutions de l équation f (x)=0. La courbe représentative def coupe2foisl axe des abscisses : il y a doncdeux solutions. 2. Résoudre l équation f (x)=0. Si la dérivée est nulle, la tangente à la courbe est parallèle à l axe des abscisses; cela se produit pour x =2, donc f (x)=0 x=2. 3. Déterminer f (1). Le nombre dérivé représente le coefficient directeur de la tangente à la courbe. La tangente àc au point d abscisse 1est dessinée. On lit lecoefficient directeur : 2. Donc f (1)= 2. Partie B En fait, la fonctionf est définie sur ]0; + [ par: f (x)=2x 2 4ln(x). 1. Montrerque : f (x)= 2(x 2) pourtout x >0. x f (x)=2x 2 4ln(x) doncu (x)=2et v (x)= 1 est de la formeu(x) 4 v(x) avec u(x)=2x 2et x v(x)=ln(x). d oùf (x)=2 4 1 x = 2x 4 = 2(x 2). x x 2. En déduire le tableau devariation def. On indiquera la valeur exacte du minimum. x le minimum est atteint pour x = 2 et vaut signe dex f (2)=2 4ln(2) signe de x + + signe de f (x) 0 + variations de f 2 4ln(2) On noteraα la solution de l équation f (x)=0appartenant à l intervalle [3; + [. 4/7

5 Déterminer un encadrement de α à 10 2 prèspuis à 10 3 près. Á l aide de la calculatrice on trouve:α=3,52 à 1 2 prèset α =3,512 à 10 3 près. Partie C Soit Cla fonction définie sur l intervalle [1; 6] par: C(x)=x 2 +2x 4xln(x). Une entreprise fabrique des boitiers de télécommande plastiques. Lorsque l entreprise fabrique x milliers deboitiers parjour,lecoût moyendeproductiond un boitier est égal à C(x) :(x est comprisentre1millier et 6 milliers). Lecoût moyenest exprimé en euros. 1. Montrerque C (x)=2x 2 4ln(x) où C désigne la fonctiondérivée de Csur [1; 6]. Cherchons la dérivée de g(x) = 4xln(x) : c est le produit de u(x) = 4x et v(x) = ln(x). On sait que u (x) = 4etv (x) = 1 x. Donc g (x) = u (x)v(x)+ g (x)=4ln(x)+4. Onsait que la dérivée de h(x)=x 2 +2x est h (x)= 2x+2. On en déduit que C (x) = 2x+2 (4ln(x)+4) = 2x 2 4ln(x). u(x)v (x)=4 ln(x)+4x 1 x. 2. À l aide de l étude faite dansla partieb,déterminer le signe de C (x) sur [1;6] puisétablir le tableau de variation de Csur l intervalle [1; 6]. On remarqueque C (x)=f (x). Onen déduit le tableau de variations de C: x 1 α 6 signe de C (x)=signe de f (x) variations de C 3 C(α) 3. En déduire lenombredeboitiers àproduireparjour pourquelecoût deproductiond un boitier soit minimum. On donnera une valeur approchée du résultat à un boitier près. Le coût de production est minimal pour α =3,512 milliers de boîtiers, soit 3512 boîtiers 5/7

6 N o d anonymat ANNEXE Àrendre aveclacopie 1 Année Exercice 2 A B C D E Consommation moyenne en kg par personne ,4 0 19, , ,9 2 19, , , , , , ,6 8 21, , , , ,1 n u n Exercice 3 6/7

7 nombre de personnes nombre de bungalow A C nombre de constructions Nombre de bungal x nombre de mobil-homes B 7/7