COMPOSITION DE MATHEMATIQUES

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1 Première L COMPOSITION DE MATHEMATIQUES Mai 2008 Durée de l épreuve : 1 h 30 Le candidat doit traiter les 2 exercices La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des justifications entreront pour une part importante dans l appréciation des copies. L usage de la calculatrice est autorisé. Le sujet comporte 4 pages, y compris celle-ci. 1

2 Exercice 1 : Etude la clientèle d un site Internet (12 points) Un site de vente aux enchères sur Internet désire réaliser une étude statistique de sa clientèle. Les responsables de l étude utilisent un échantillon de clients, parmi les plus réguliers du site. Partie A La première question concerne l âge des clients considérés. Les résultats sont donnés par l histogramme ci-dessous. 1. Compléter, sans justifier, le tableau figurant en annexe. 2. A l aide de la calculatrice, déterminer (on arrondira les résultats au dixième) : a) L âge moyen m des clients du site de vente aux enchères. b) L écart-type σ de la série des âges des clients 3. Peut-on estimer que le pourcentage des individus qui ont un âge appartenant à la plage [m - σ ;m + σ] est supérieur ou égal à 75 %? Partie B La seconde question posée aux clients porte sur la durée moyenne de connexion en minute durant une période d une semaine. 1. L étude a montré que la série des durées moyennes de connexion suit une loi de Gauss de moyenne µ 83,5 et d écart-type s 26,6. a) Déterminer la plage de normalité à 95 % de cette série. b) A combien peut-on estimer le nombre de clients dont la durée moyenne de connexion par semaine est située en dehors de cette plage? 2. Pour cette série, le premier quartile Q 1 est 65, la médiane Me est 85 et le troisième quartile Q 3 est 100. a) Quel est le nombre minimum de clients dont la durée moyenne de connexion par semaine sur le site est inférieure ou égale à 65 minutes? b) Les responsables du site espéraient qu au moins personnes, se connecteraient en moyenne 1 heure et 40 minutes ou plus par semaine. Cet objectif est-il atteint? 2

3 Exercice 2 : alpinisme (8 points) La carte présente le trajet aller-retour que projette d effectuer un groupe d alpinistes. Le but de la randonnée est de gravir le sommet S. Le premier jour, ils se donnent rendez-vous au point D, départ d un téléphérique qui les conduit au point A. Ils décident ensuite de gagner à pied le refuge R où ils passeront la nuit. Ils prévoient pour le lendemain de faire l ascension de R à S, puis le retour direct à pied de S à D. On rapporte l espace à un repère orthonormal d origine O, dont l axe Ouest-Est est celui des abscisses, l axe Sud-Nord est celui des ordonnées, l axe des côtes (ou altitudes) n étant pas représenté. Des lignes de niveau, dont l altitude est indiquée en mètres, permettent d imaginer le relief. Par exemple, le point S a pour coordonnées (7000 ; 3000 ; 3800) 1. a) Quelles sont les coordonnées des points D et A? b) Calculer la différence d altitude (appelée dénivelée) entre D et A. c) Le téléphérique met 10 minutes pour aller de D à A. Calculer sa dénivelée moyenne (en mètres par heure) 2. On désire calculer la longueur du câble du téléphérique (supposé tendu). Pour cela, on pourra s aider du parallélépipède rectangle représenté, le point A étant situé à la verticale du point A, à la même altitude que D. Utiliser deux fois de suite le théorème de Pythagore pour démontrer que la longueur DA est, au mètre près, égale à mètres. 3. Les alpinistes quittent le téléphérique en A et se dirigent vers le refuge R. Donner les coordonnées du point B le plus bas du trajet de A à R. 4. Le lendemain, pour des raisons de sécurité, les alpinistes doivent quitter le refuge très tôt de façon à arriver au sommet S au plus tard à 10 heures. Ils prévoient d accéder à S en s élevant, en moyenne d une altitude de 200 mètres par heure. A quelle heure doivent-ils quitter le refuge R? 5. Ayant atteint comme prévu le sommet à 10 heures, ils s apprêtent à redescendre en perdant en moyenne 300 mètres d altitude par heure. A quelle heure seront-ils au point D? (Donner la réponse en heures et minutes). 3

4 Annexe NOM : Prénom : Tableau de l exercice 1 Classe Centre de la effectif Fréquence (en %) classe [13 ;18[ [18 ;20[ [20 ;25[ 22,5 [25 ;30[ 27,5 32 [30 ;35[ 32,5 18,6 [35 ;45[ 40 7,4 [45 ;55[ 1,9 [55 ;70[ 1 Total

5 CORRECTION Exercice 1 : Etude la clientèle d un site Internet (12 points) Un site de vente aux enchères sur Internet désire réaliser une étude statistique de sa clientèle. Les responsables de l étude utilisent un échantillon de clients, parmi les plus réguliers du site. Partie A La première question concerne l âge des clients considérés. Les résultats sont donnés par l histogramme ci-dessous. 1. Compléter, sans justifier, le tableau figurant en annexe. classe Centre de la classe effectif Fréquence (en %) [13 ;18[ 15, ,9% [18 ;20[ ,0% [20 ;25[ 22, ,2% [25 ;30[ 27, ,0% [30 ;35[ 32, ,6% [35 ;45[ ,4% [45 ;55[ ,9% [55 ;70[ 62,5 31 1,0% total

6 CORRECTION 2. A l aide de la calculatrice, déterminer sans justifier (on arrondira les résultats au dixième) : a) L âge moyen m des clients du site de vente aux enchères. b) L écart-type σ de la série des âges des clients classe Centre de la classe effectif Fréquence (en %) ni xi ni(xi - m)² [13 ;18[ 15, ,9% ,5495 [18 ;20[ ,0% ,3588 [20 ;25[ 22, ,2% 18337, ,68 [25 ;30[ 27, ,0% 26372,5 8, [30 ;35[ 32, ,6% 18167, ,6842 [35 ;45[ ,4% ,0592 [45 ;55[ ,9% ,684 [55 ;70[ 62,5 31 1,0% 1937, ,2444 total ,16 Moyenne 27, variance 57, écart-type 7, m-signa 20, m+sigma 35, m 27,6 et σ 7,6 3. Peut-on estimer que le pourcentage des individus qui ont un âge appartenant à la plage [m - σ ;m + σ] est supérieur ou égal à 75 %? Partie B [m - σ ;m + σ] [20 ;35,2] Pourcentage des individus ayant un âge appartenant à la plage [20 ;35,2] ,8 %. Le pourcentage calculé est bien supérieur à 75%. La seconde question posée aux clients porte sur la durée moyenne de connexion en minute durant une période d une semaine. 1. L étude a montré que la série des durées moyennes de connexion suit une loi de Gauss de moyenne µ 83,5 et d écart-type s 26,6. a) Déterminer la plage de normalité à 95 % de cette série. b) A combien peut-on estimer le nombre de clients dont la durée moyenne de connexion par semaine est située en dehors de cette plage? a) I 95% = [µ - 2s ; µ + 2s] = [30,3 ;136,7] b) 5% de clients sont situés en dehors de cette plage : soit = 150 personnes

7 CORRECTION 2. Pour cette série, le premier quartile Q 1 est 65, la médiane Me est 85 et le troisième quartile Q 3 est 100. a) Quel est le nombre minimum de clients dont la durée moyenne de connexion par semaine sur le site est inférieure ou égale à 65 minutes? b) Les responsables du site espéraient qu au moins personnes, se connecteraient en moyenne 1 heure et 40 minutes ou plus par semaine. Cet objectif est-il atteint? a) Le premier quartile correspond à 25% de l effectif total = 750 clients se connectent moins de 65 minutes par semaine. 4 b) 1 h 40 min = 100 min. Ce qui correspond au troisième quartile ; soit 75% de l effectif total. 750 personnes se connectent en moyenne 1 heure 40 minutes ou plus par semaine. L objectif de 1000 personnes n est donc pas atteint. Exercice 2 : alpinisme (8 points) La carte présente le trajet aller-retour que projette d effectuer un groupe d alpinistes. Le but de la randonnée est de gravir le sommet S. Le premier jour, ils se donnent rendez-vous au point D, départ d un téléphérique qui les conduit au point A. Ils décident ensuite de gagner à pied le refuge R où ils passeront la nuit. Ils prévoient pour le lendemain de faire l ascension de R à S, puis le retour direct à pied de S à D. On rapporte l espace à un repère orthonormal d origine O, dont l axe Ouest-Est est celui des abscisses, l axe Sud-Nord est celui des ordonnées, l axe des côtes (ou altitudes) n étant pas représenté. Des lignes de niveau, dont l altitude est indiquée en mètres, permettent d imaginer le relief. Par exemple, le point S a pour coordonnées (7000 ; 3000 ; 3800) 1. a) Quelles sont les coordonnées des points D et A? b) Calculer la différence d altitude (appelée dénivelée) entre D et A. c) Le téléphérique met 10 minutes pour aller de D à A. Calculer sa dénivelée moyenne (en mètres par heure) 7

8 CORRECTION a) D(500 ;2500 ;2200) A(2000 ;500 ;3200) b) Dénivelée entre D et A : = 1000 m c) 1000 m en 10 minutes Soit 6000 m par heure 2. On désire calculer la longueur du câble du téléphérique (supposé tendu). Pour cela, on pourra s aider du parallélépipède rectangle représenté, le point A étant situé à la verticale du point A, à la même altitude que D. Utiliser deux fois de suite le théorème de Pythagore pour démontrer que la longueur DA est, au mètre près, égale à mètres. Dans le triangle DCA rectangle en C, on applique le théorème de Pythagore : DA ² = DC² + A C² Soit DA ² = 2000² ² = = 2500² Soit DA = 2500 Dans le triangle DAA rectangle en A, on applique le théorème de Pythagore : DA² = DA ² + AA ² Soit DA² = 2500² ² = Soit DA = mètres 3. Les alpinistes quittent le téléphérique en A et se dirigent vers le refuge R. Donner les coordonnées du point B le plus bas du trajet de A à R. B(4500 ;1000 ;2600) 4. Le lendemain, pour des raisons de sécurité, les alpinistes doivent quitter le refuge très tôt de façon à arriver au sommet S au plus tard à 10 heures. Ils prévoient d accéder à S en s élevant, en moyenne d une altitude de 200 mètres par heure. A quelle heure doivent-ils quitter le refuge R? Dénivelée entre R et S : = mètres A raison de 200 mètres par heure, ils mettront 5 heures pour atteindre le sommet. Ils doivent quitter le refuge à 5 heures. 5. Ayant atteint comme prévu le sommet à 10 heures, ils s apprêtent à redescendre en perdant en moyenne 300 mètres d altitude par heure. A quelle heure seront-ils au point D? (Donner la réponse en heures et minutes). Dénivelée entre S et D : = mètres A raison de 300 mètres par heure, ils mettront : 1600 Soit 5 heures et 20 minutes. Ils seront au point D à 15 heures et 20 minutes. 300 = 16 3 =