Cours de Structures en béton

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1 Cours de Structures en béton Chapitre 8 LES SECTION SOUMISES À LA TORSION Section 8.1 Les bases du calcul Les causes de la torsion Les types de torsion Quelques exemples d illustration La torsion de St-Venant ou torsion uniforme Quelques calculs de sections en torsion uniforme La torsion non uniforme Le comportement des sections à la torsion Le principe du dimensionnement La modélisation en treillis spatial Version Les causes de la torsion Des sollicitation de torsion apparaissent: -1- de par la non symétrie du système porteur de par la courbure imposée par la géométrie 3-3- de par la dissymétrie des charges appliquées Flexion Torsion

2 8.1.2 Les types de torsion On distingue 2 types de torsion: La torsion d équilibre La torsion d équilibre est nécessaire pour assurer le transfert des forces, en respectant les conditions d équilibre du système statique La torsion de compatibilité Petite question : Quelle est l allure du diagramme des moments de flexion? La torsion de compatibilité n apparaît que dans les systèmes hyperstatiques, chaque fois qu une rotation angulaire est empêchée. De cette entrave résulte un moment de torsion Réf: TGC 7 Prof. R. Walther Quelques exemples d illustration Quelques exemples pour illustrer la torsion de compatibilité: Le cas d un cadre spatial double Par continuité, la poutre CE est encastrée dans la poutre BD au point C. La valeur du moment d encastrement Mc dépend de la rigidité de l assemblage des 2 poutres et donc de la rigidité de torsion GK de la poutre BD. En béton armé, cette rigidité varie en fonction de la fissuration. A la rupture, on peut imaginer une perte de rigidité qui fait apparaître une rotule au point C, tout en satisfaisant aux conditions d équilibre du système statique. Même si l encastrement en C n est pas nécessaire pour assurer l équilibre, on prendra garde à la fissuration qui précède la formation de la rotule plastique. B A C F D E Mc Armature pour contrôler la fissuration

3 8.1.3 Quelques exemples d illustration Quelques exemples pour illustrer la torsion de compatibilité: Le cas d une grille de poutre (modélisation d une dalle) comportement réel Comportement idéalisé en tout point on a mxy = 0 L L La continuité introduite par l assemblage rigide du grillage transforme la rotation de flexion de la poutre P1 en une rotation de torsion de la poutre P La torsion de St-Venant ou torsion uniforme Ce type de torsion se développe dans les sections fermées. La torsion uniforme provoque une rotation d ensemble de la section, en conservant pratiquement sa forme initiale. Seules des contraintes de cisaillement apparaissent dans les parois La transmission du moment de torsion au travers de la section se fait sous la forme d un flux de cisaillement de valeur constante. Ce flux est le produit de la contrainte de cisaillement et de l épaisseur de la paroi

4 8.1.5 Quelques calculs de sections en torsion uniforme Le cas d une section circulaire pleine Pour toutes les sections Le cas d une section rectangulaire pleine K = Réf: EPFL, cours Prof. Frey Mécanique des matériaux Quelques calculs de sections en torsion uniforme Le cas d une section circulaire creuse Pour les sections creuses fermées, la contrainte tangentielle τ est constante sur l épaisseur et se dirige suivant la tangente à la ligne moyenne Le cas d une section rectangulaire creuse Principe applicable à toute section creuse Réf: EPFL, cours Prof. Frey Mécanique des matériaux

5 8.1.6 La torsion non uniforme La transmission du moment de torsion dans une section ouverte engendre simultanément des contraintes de cisaillement et des contraintes normales = + Moment de torsion Torsion uniforme T 1 Torsion non uniforme T 2 Due à la flexion des ailes Le moment de torsion est équilibré par T1 qui provient de la torsion pure du profilé T2 qui résulte du flux de cisaillement lié à la flexion des ailes. Cette flexion provoque un gauchissement de la section ( la section ne reste pas plane) Le comportement des section à la torsion En réalité, les deux types de torsion apparaissent quelle que soit la géométrie de la section. Toutefois: pour les sections fermées, la torsion uniforme est prédominante T 1 pour les sections ouvertes, la torsion non uniforme est prépondérante T 2

6 8.1.8 Les principes du dimensionnement Avant fissuration, on peut suivre l augmentation des contraintes principales de traction et de compression qui résultent du moment de torsion appliqué sur la section Après fissuration, lorsque les contraintes principales de traction dépassent la résistance du béton, des fissures apparaissent sous une inclinaison de 45 o Trajectoire des contraintes principales de compression Trajectoire des contraintes principales de traction Le dimensionnement d une section en béton armé soumise à la torsion s effectue de manière identique à l effort tranchant, par la création d un treillis spatial idéalisé. La section transversale est découpée en éléments de parois sur chacun desquels est appliqué un flux de cisaillement La modélisation en treillis spatial 1/5 La vérification d une section soumise à la torsion implique: - Le dimensionnement des étriers nécessaires à la reprise des forces de traction - La vérification des bielles de béton comprimées - le calcul de l armature longitudinale supplémentaire Le noyau ne contribue que faiblement à la résistance à la torsion Les étriers servent à reprendre l effort de traction provenant des contraintes principales de traction. Ils permettent de conserver les dimensions de la section transversale Les armatures longitudinales assure la continuité de la section et évite la dislocation des sections Réf: TGC 7 Prof. R. Walther

7 8.1.9 La modélisation en treillis spatial 2/5 Les étriers sont en traction Les étriers sont soumis à un flux de cisaillement et doivent être fermés Les étriers doivent être ancrés correctement à leur extrémité Les bielles de béton sont comprimées Les barres longitudinales doivent être ancrés correctement à leur extrémité Les armatures longitudinales sont en traction La modélisation en treillis spatial 3/5 zi est le bras de levier des forces longitudinales dans l élément de paroi i Fti est la résultante des forces longitudinales de traction sous l effet de la torsion, pour la paroi I α est l angle d inclinaison formé par les bielles de béton comprimé. Cet angle est identique sur tout le pourtour de la section

8 8.1.9 La modélisation en treillis spatial 4/5 Effort dans les membrures La modélisation en treillis spatial 5/5 Sollicitation d un étrier Effort dans les bielles de béton comprimées