b) Exprimer B à l aide des événements A n et en déduire la probabilité de B Exercice 1.4. Inégalité de Bonferroni.
|
|
- Jean-Christophe Moreau
- il y a 8 ans
- Total affichages :
Transcription
1 MP 205/6 Feuille d exercices - Probabilités généralités). Univers, généralités Exercice.. Langage des probabilités. Soit Ω, A) un espace probabilisable. Soit A n ) n N une famille d événements et A, B, C des événements. À l aide des opérations ensemblistes :, et complémentaire, écrire les événements suivants :. l un au moins des événements A, B, C est réalisé. 2. un et un seul des événements A, B, C est réalisé. 3. Tous les événements A n ) n N se réalisent. 4. B n = pour tout k n, A k est réalisé. Montrer que B n ) n est une suite monotone d événements a. 5. C n = il existe k n tel que A k se réalise. Montrer que C n ) n est une suite monotone d événements. 6. Tous les événements A n se réalisent à partir d un certain rang. 7. Un nombre fini d événements A n se réalisent. 8. Une infinité d événements A n se réalisent. Exercice.2. [Prélever un échantillon] On dispose d une urne contenant N boules de k couleurs : N de couleur c, N 2 de couleur c 2,..., N k de couleur c k et N + +N k = N. On tire n boules et on cherche la probabilité p d obtenir exactement n boules de couleur c, n 2 boules de couleur c 2,..., n k boules de couleur c k avec n = n + + n k. Déterminer p dans le cas d un tirage simultané, dans le cas de tirages successifs avec remise, dans le cas de tirages successifs sans remise. Comparer avec le premier cas. Exercice.3. Propriétés d une probabilité P. Soit Ω, A, P ) un espace probabilisé et A n ) n N est une suite d événements.. Si pour tout n, A n est négligeable, montrer que n N A n est négligeable. 2. Si pour tout n, A n est presque sûr, montrer que n N A n est presque sûr. a. On dit qu une suite d événements B n ) n N est croissante si pour tout n, B n B n+. On dit que la suite est décroissante si pour tout n, B n+ B n. On dit que la suite est monotone si elle est croissante ou décroissante. 3. On effectue une suite infinie de lancers de pile ou face avec une pièce équilibrée. On introduit les événements F n : le lancer n n donne Face, A m,n : on ne tire que des faces entre les lancers n + et m, A n : on ne tire que des faces à partir du n ième lancer et B l événement la suite infinie de lancers ne contient qu un nombre fini de pile. a) A l aide d opérations ensemblistes écrire l événement : A n,m pour n < m à l aide des événements F k. Donner P A n,m ) et en déduire P A n ). b) Exprimer B à l aide des événements A n et en déduire la probabilité de B Exercice.4. Inégalité de Bonferroni.. Soit A...A n ) une famille finie d événements. Montrer que P n A k ) n P A k) n m P A n A m ) b 2. Application : soit A i ) i I une famille dénombrable d événements tels que pour tout i j l événement A i A j est négligeable. Démontrer que i P A i) = P i A i ) Exercice.5. Inégalités de Fatou Soit A n ) n N une suite d événements d un même espace probabilisé. On note A = A n et B = A n. p N n p p N n p. Justifier que A et B sont des événements. À quelle condition simple sur la suite d événements A n ) n N l événement A sera-t-il réalisé? Même question pour B. 2. Montrer les inégalités P A) lim inf P A n) c et lim sup P A n ) P B) p + n p p + Exercice.6. Lemme de Borel-Cantelli loi du 0 ou ). Soit A n ) n N une suite d événements et B = A k ) B correspond à n 0 l événement une infinité d événements A n se réalisent ).. On suppose que la série P A n ) est convergente. Montrer que l événement B est de probabilité nulle. d lemme de Borel Cantelli faible) 2. On suppose que la famille A n ) n est indépendante et que la série P A n ) est divergente. On va montrer que P B) =. a) Montrer que pour tout x 0, x e x. b) On pose pour n N, C n = A k. Montrer que P C n ) = 0 pour tout n. e k=n c) En déduire que B est un événement presque sûr. lemme de Borel Cantelli fort) f b. récurrence c. En notant B p = A n montrer que la suite B p ) est une suite monotone d événements préciser n p la monotonie) et en déduire P A) = lim p P B p ) ; constater ensuite que pour k p, on a B p A k passer aux proba puis à l inf, puis à la limite. Même démarche pour minorer P B). d. Utiliser, pour tout n, B k n A k). e. Écrire, pour p n, C p k=n A k et utiliser l indépendance des A k, puis l inégalité précédente. f. Montrer que B est presque impossible, B = n 0 C n) k n n p
2 3. Justifier que dans une suite infinie de lancers de pièces lancers indépendants), il y aura presque sûrement une infinité de piles, mais aussi il y aura presque sûrement une infinité de fois des séries de 0 piles à la suite. g Justifier aussi qu un singe éternel) tapant indéfiniment au hasard sur un clavier, tapera presque sûrement les œuvres complètes de Shakespeare sans erreur et ce même une infinité de fois). 2 Pour débuter Exercice 2.. Une urne contient n boules numérotées de à n. On sort les boules une à une de l urne. Quelle est la probabilité que les boules numérotées, 2 et 3 sortent successivement et dans cet ordre? Quelle est la probabilité que les boules numérotées, 2 et 3 sortent dans cet ordre mais pas forcément successivement? Exercice 2.2. n urnes U, U 2,, U n contiennent chacune trois boules. Toutes les boules sont blanches, sauf une qui est noire. On ne sait pas dans quelle urne se trouve la boule noire. On tire sans remise deux boules de U.. Quelle est la probabilité que les deux boules tirées soient blanches? 2. Sachant que les deux boules tirées sont blanches : a) quelle est la probabilité que U contienne la boule noire? b) quelle est la probabilité que U 2 contienne la boule noire? Exercice 2.3. On dispose de N + urnes U 0, U,, U N. L urne U k contient k boules blanches et N k boules noires. On tire une boule de l une de ces urnes choisie au hasard.. Quelle est la probabilité que la boule tirée soit blanche? 2. Sachant que la boule tirée est blanche, quelle est la probabilité de l avoir tirée de l urne U N? Exercice 2.4. On dispose de deux urnes : l urne U contient boule blanche et 4 boules noires, l urne V contient 3 boules blanches et 2 boules noires. Dans l une de ces urnes choisie au hasard, on effectue une série de n n 2) tirages d une boule avec remise tous les tirages ayant lieu dans la même urne). Soit pour i [[, n]], A i l événement la i ème boule tirée est blanche. g. Introduire pour tout n : A n l événement les lancers n, n +,, n + 9 donnent des piles et utiliser le lemme de Borel Cantelli à la suite A, A, A 2, ).. Calculer P A ) et P A 2 ). A et A 2 sont-ils indépendants? 2. Calculer P A A 2 A p ) pour p [[, n]]. 3. Sachant que les n ) premiers tirages donnent chacun une boule blanche, quelle est la probabilité d obtenir une boule blanche supplémentaire au tirage suivant? 4. Sachant que les n boules tirées sont blanches, quelle est la probabilité de les avoir tiré dans U? Exercice 2.5. Problème des anniversaires et des coïncidences. Une urne contient M jetons numérotés de à M. On tire successivement n jetons en remettant chaque fois le jeton tiré et en brassant bien. Montrer que la probabilité qu aucun jeton ne soit tiré plus d une fois vaut p = M ) 2 M ) n M ). 2. Dans une classe de n étudiants quelle est la probabilité p n qu au moins deux étudiants aient leur anniversaire le même jour on suppose qu aucun n est né un 29 février et évidemment que n 365). Application numérique : écrire un programme renvoyant le nombre d élèves à partir duquel on a p n /2 a.n. p et p Exercice 2.6. On considère une suite infinies lancers indépendants d une pièce pour laquelle la probabilité d obtenir Pile est p et la probabilité d obtenir Face est q = p. p ]0, [). On notera P k l événement : le k ème lancer donne Pile.. On note pour i N T i l événement le premier Pile est apparu au i ème lancer et T 0 l événement Pile n apparaît jamais. Exprimer T i à l aide des événements P k. En déduire les probabilités des événements T i pour i N. 2. Soit, pour n 2, l événement E n = la séquence PF apparaît pour la première fois aux lancers n et n. Déterminer P E n ) 3. On introduit les événements C = la première séquence PP apparaît avant la première séquence FF et pour n 2 C n = la première séquence PP apparaît pour la première fois aux lancers n et n, et il n y a pas eu avant de séquence FF. a) Représenter la situation à l aide d un arbre de probabilité. b) Un exemple : décomposer C 4 en événements simples et déterminer P C 4 ). b) Calculer P C 2n ) et P C 2n+ ). En déduire P C). 3 Crible Exercice 3.. Fonctions indicatrices et formule du crible 2
3 Étant donné un ensemble Ω et{ A une partie de Ω, on note χ A la fonction indicatrice si x A de A, i.e. χ A : Ω {0, }, x 0 si x A. Vérifier les propriétés suivantes où A, B, A i pour i =..n, désignent des parties de Ω) : a) A B χ A χ B ; b) χ Ā = χ A ; c) χ A B = χ A.χ B ; d) exprimer aussi χ A B à l aide de χ A, χ B et de χ A B ; 2. Déduire des propriétés b et c que : χ A A 2 A n = n i= χ A i ). ; En déduire en développant que n χ A A 2 A n = χ Ai χ Ai2 + + i <i 2 < <i k n i= χ Ai i <i 2 n χ Ai χ Ai2 χ Aik + + ) n χ A χ A2 χ An 3. On suppose désormais que Ω est un ensemble fini. En utilisant que carda) = x Ω χ Ax), démontrer que carda A 2 A n ) = n k= 4. En utilisant que P A) = Eχ A ), montrer que P A A 2 A n ) = n k= i <i 2 < <i k n i <i 2< <i k n card A i A i2 A ik ) P A i A i2 A ik ) Exercice 3.2. Application de la formule du crible n livres sont rangés sur le rayon d une bibliothèque. On les enlève pour épousseter l étagère puis on les replace au hasard. Quelle est la probabilité. que le ième livre retrouve sa place? 2. que le ième livre et le jème livre retrouvent leur place? 3. que chacun retrouve sa place? 4. qu aucun ne retrouve sa place? Donner une valeur approchée de ce nombre pour n grand autrement dit, déterminer la limite quand n tend vers l infini de cette probabilité). Exercice 3.3. [Des livres sur une étagère et du dénombrement] Dans une bibliothèque, n livres sont exposés sur une étagère rectiligne et répartis au hasard. Parmi ces n livres k sont du même auteur A, les autres étant d auteurs tous différents. Calculer la probabilité que les k livres de A se retrouvent côte à côte. 4 Conditionnement et formules Exercice 4.. On cherche un parapluie qui, avec la probabilité p, 0 p ) se 7 trouve dans l un quelconque des 7 étages d un immeuble. On a exploré en vain les 6 premiers étages. Quelle est la probabilité α p que le parapluie se trouve dans l immeuble? Interpréter la valeur α /2. Exercice 4.2. Un laboratoire fabrique un alcootest et les essais montrent que : 2% des personnes contrôlées sont en état d ébriété ; 95 fois sur 00 l alcootest a donné un résultat positif alors que la personne était en état d ébriété ; 98 fois sur 00 l alcootest a donné un résultat négatif alors que la personne n était pas en état d ébriété.. On essaie l appareil sur une personne et l on constate que le résultat est positif. Quelle est la probabilité que cette personne soit en état d ébriété? 2. On essaie l appareil sur une personne et l on constate que le résultat est négatif. Quelle est la probabilité que cette personne soit en fait en état d ébriété? 3. Déterminer la probabilité que le résultat donné par l appareil soit faux. Exercice 4.3. On suppose que p est un réel fixé de [0, ] qui représente la probabilité qu un billet de 00 euros soit faux. On dispose d un détecteur de faux billets imparfait qui allume une lumière qui est soit bleue lorsqu il considère que le billet testé est vrai, soit rouge lorsqu il considère que le billet testé est faux. On note F : Le billet testé est faux, et B : La lumière qui s allume est bleue. On note P B F ) = α et P B F ) = β, et on suppose dans tout l exercice que α + β >.. Montrer que : P B) = β p α+β En déduire que α p β. 2. Montrer que la probabilité que le détecteur valide un faux billet est : α)β p) pα+β ). Exercice 4.4. Une urne contient b boules blanches et r boules rouges. On tire n boules en remettant la boule après tirage si elle est rouge et en ne la remettant pas si elle est blanche. Calculer la probabilité d obtenir exactement une boule blanche. On introduira les événements R k resp. B k ) la boule obtenue au tirage n k est rouge resp. blanche). Exercice 4.5. Un pion évolue sur 3 cases A, B, C. À l instant t = 0, il est en A. Puis, il se déplace de façon aléatoire sur les cases en respectant les règles suivantes pour n N) : s il est en A ou B au temps t = n, il va au temps t = n + sur l une des deux autres cases avec équiprobabilité. 3
4 s il est en C au temps t = n, il y reste. La case C est dite absorbante). On note pour n N) A n resp. B n et C n ) l événement À l instant t = n, le pion est sur la case A resp. sur les cases B et C). On pose enfin a n = P A n ), b n = P B n ) et c n = P C n ). a) Trouver une relation de récurrence entre a n, b n, c n et a n+, b n+, c n+. b) Calculer c n puis lim N + c N et interpréter le résultat. Exercice 4.6. On considère n menteurs I,..., I n. I reçoit une information sous forme de OUI ou NON et la transmet à I 2 qui la transmet à I 3 ainsi de suite jusqu à I n qui l annonce au monde. Chacun d eux transmet ce qu il a entendu avec la probabilité p 0 < p < ) et son contraire avec probabilité q = p et les réponses des n personnes sont indépendantes. On note A i l événement I i transmet l information initiale et p i = P A i ). Que valent, pour i [[2, n]], P A i A i ) et P A i A i )? déterminer une relation de récurrence entre p i et p i. En déduire la probabilité que l information soit fidèlement transmise. Que se passe t-il si n tend vers l infini? Exercice 4.7. [Urne de Polya] Une urne contient initialement r boules rouges et b boules blanches. On effectue des tirages successifs d une boule, en remettant après chaque tirage la boule tirée dans l urne avec en plus c > 0 boules de la même couleur. On note R n l événement la n ième boule tirée est rouge. On note P r,b la probabilité sur l univers correspondant à l expérience.. Quelle est la probabilité que la première boule tirée soit rouge sachant que la deuxième est blanche? 2. Comparer P r,b R n R ) et P r+c,b R n ). Exprimer de façon similaire P r,b R n R ). Démontrer que pour tout n, P r,b R n ) = r indication : récurrence sur n). r + b Exercice 4.8. [Loi de succession de Laplace] On dispose de N + urnes numérotées de 0 à N. L urne numéro k contient k boules rouges et N k boules blanches. On choisit une urne au hasard. Sans connaître son numéro on tire successivement n + boules avec remise. On introduit les événements A n : les n premières boules tirées sont rouges B n+ : la boule n n + est rouge U i : le tirage s effectue dans l urne U i. Calculer la probabilité de A n. 2. Calculer la probabilité que le n + ) ème tirage donne encore une boule rouge sachant qu au cours des n premiers tirages seules des boules rouges ont été tirées. 3. a) On note pour N et p entiers positifs, S N,p = N k= kp. Démontrer que pour p N fixé, on a S N,p N p+ quand N +. p + b) Calculer la limite de la probabilité calculée à la question 2 quand N tend vers l infini. Exercice 4.9. On effectue une suite de lancers d une pièce équilibrée. Pour tout k N, on désigne par p k la probabilité qu au cours des k premiers lancers, le résultat Pile n ait pas été obtenu trois fois de suite.. Calculer p, p 2 et p 3. Dans la suite, on pose p 0 =. 2. On note F k resp. P k ) les événements Face resp. Pile) au lancer k et S k : au rang k on n a toujours pas obtenu 3 Piles consécutifs. Montrer que p k = P F S k ), p k 2 = P P F 2 S k ). 3. Montrer que, pour tout entier k supérieur ou égal à 3, on a : p k = 2 p k + 4 p k p k 3. Indication : on pourra justifier que si k 3 on a : S k F P F 2 ) P P 2 F 3 ) et conditionner par rapport aux résultats des premiers tirages. 4. Montrer que P = 8X 3 4X 2 2X a une seule racine réelle dans ]0, [ et deux racines complexes conjuguées : z, z. Montrer que f z ) 0 et en déduire z <. 5. En déduire la convergence et la limite de la suite p k ) k N. Que vaut P k 3 S k)? En déduire qu observer une suite de trois Piles dans une série infinie de lancers est un événement presque-sûr. Exercice 4.0. Avec l aide d un arbre de probabilité. Trois joueurs de tennis A, B et C s affrontent au cours d une rencontre organisée de la façon suivante : deux joueurs disputent un set. Le joueur restant sur la touche affrontera le gagnant au prochain set. La rencontre s achève dès qu un joueur remporte successivement deux sets : il est alors déclaré vainqueur de la rencontre. Les hypothèses sont les suivantes : A, B, C sont de force égale. A et B jouent le premier set. Quelles sont les probabilités que A gagne la rencontre, B gagne la rencontre, C gagne la rencontre? Exercice 4.. Tournoi.Une infinité de joueurs, A, A 2,..., A n... participe à un tournoi de pile ou face équilibré. A affronte A 2 puis le vainqueur A 3 etc...le jeu s arrête lorsqu un joueur a gagné 3 parties successives. Ce joueur est alors déclaré vainqueur. Soit q n la probabilité que le joueur A n participe et p n celle qu il gagne. a) Quelle est la relation entre p n et q n? h b) Montrer que la suite q n ) vérifie à partir du rang 5 la recurrence d ordre 2, q n = 2 q n + 4 q i n 2 puis calculer q n indication : on commencera par démontrer que le premier adversaire de A n est forcément l un des deux précédents c) Calculer n p n comment interpréter ce résultat? h. p n = /8q n i. Si A n entre en jeu, son adversaire est le joueur n ou n 2 car sinon cela implique au moins 3 victoires consécutives auparavant. Si E n est l événement le joueur n joue, on a E n = [E n n ) ième jeu gagné par le joueur n )] [E n 2 n 2) et n ) ième jeux gagnés par le joueur n 2)] passer aux probabilités composées. 4
5 Exercice 4.2. La ruine du joueur Un joueur effectue une série de paris indépendants). À chaque pari, il gagne euro avec la probabilité p p ]0, [) et perd euro avec la probabilité q := p. Le jeu prend fin quand le joueur est ruiné ou quand il a accumulé N euros N fixé, N 3). On note u k la probabilité qu a le joueur d être ruiné quand il possède k euros au départ. ) On suppose p 2. a) Calculer u 0 et u N. b) Montrer que u k = pu k+ + p)u k. j c) En déduire que u k = q/p)k q/p) N q/p) N. k d) Que se passe t-il quand N +? l Commentez. e) Montrer que le jeu s arrête presque sûrement. 2) Étudier le cas p = 2. 5 Indépendance Exercice 5.. On considère l ensemble des familles à n 2 enfants. On note A l événement la famille est constituée d enfants des deux sexes et B l événement la famille est constituée de garçons et d au plus une fille. Montrer que P A) = 2 et P B) = n+ n 2. Que vaut P A B)? En déduire que n A et B ne sont pas indépendants sauf dans le cas n = 3. Exercice 5.3. [Fonction d Euler]. On choisit au hasard un des nombres entiers, 2,..., n tous les choix étant équiprobables. Soit p un entier naturel non nul et n. Soit A p l événement le nombre choisi est divisible par p. Calculer P A p ) lorsque p divise n. 2. Montrer que si p, p 2,..., p k sont des diviseurs premiers de n distincts, les événements A pi, A pi2,..., A pik sont indépendants. 3. On appelle fonction indicatrice d Euler la fonction ϕ définie sur N dont la valeur ϕn) est égale au nombre d entiers de [[, n]] premiers avec n. Montrer que ϕn) = n ) p p premier,p n Exercice 5.4. Montrer que si A et B sont deux événements indépendants tels que A implique B alors on a : P B) = ou P A) = 0. Montrer que si A est indépendant de lui même alors P A) = 0 ou P A) =. Exercice 5.5. On suppose que A est indépendant de B C et de B C, B est indépendant de C A et C A, et C indépendant de A B et A B. En outre on suppose que P A), P B), P C) sont strictement positives. Montrer que A, B, C) sont mutuellement indépendants. Même question en supposant seulement A est indépendant de B C et de B C, B est indépendant de C A, et C indépendant de A B. Exercice 5.2. Un livre contient quatre erreurs notées e i, i =..4. On effectue n 2 relectures, indépendantes les unes des autres. À chaque relecture, une faute non corrigée est corrigée avec la probabilité 3.. Soit i [[, 4]]. Quelle est la probabilité que la i ème faute ne soit pas corrigée à l issue des n relectures? 2. Comment faut-il choisir n, c est-à-dire combien faut-il proposer de relectures pour que la probabilité qu il ne subsiste aucune erreur dans le livre dépasse 0, 9? 3. Traiter la même question en supposant le nombre d erreurs X aléatoire et uniformément réparti sur {0,, 2, 3, 4}. 4. En réalité on ne sait pas combien de fautes contient le livre. À partir de deux lectures faites par deux correcteurs différents proposer une estimation du nombre K de fautes que contient le livre. j. On pourra utiliser le résultat du premier pari. k. On remarquera que les racines de l équation caractéristique associée à la suite récurrente linéaire admet pour racines et q p. l. Distinguer deux cas : p < /2 et p > /2. 5
Probabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 août 2015 Enoncés 1 Proailités sur un univers fini Evènements et langage ensemliste A quelle condition sur (a,, c, d) ]0, 1[ 4 existe-t-il une proailité P sur
Plus en détailFeuille d exercices 2 : Espaces probabilisés
Feuille d exercices 2 : Espaces probabilisés Cours de Licence 2 Année 07/08 1 Espaces de probabilité Exercice 1.1 (Une inégalité). Montrer que P (A B) min(p (A), P (B)) Exercice 1.2 (Alphabet). On a un
Plus en détailTravaux dirigés d introduction aux Probabilités
Travaux dirigés d introduction aux Probabilités - Dénombrement - - Probabilités Élémentaires - - Variables Aléatoires Discrètes - - Variables Aléatoires Continues - 1 - Dénombrement - Exercice 1 Combien
Plus en détailExercices sur le chapitre «Probabilités»
Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2014-2015 1 Pour démarrer Exercices sur le chapitre «Probabilités» Exercice 1 (Modélisation d un dé non cubique) On considère un parallélépipède rectangle de
Plus en détailProbabilités conditionnelles Loi binomiale
Exercices 23 juillet 2014 Probabilités conditionnelles Loi binomiale Équiprobabilité et variable aléatoire Exercice 1 Une urne contient 5 boules indiscernables, 3 rouges et 2 vertes. On tire au hasard
Plus en détailI. Cas de l équiprobabilité
I. Cas de l équiprobabilité Enoncé : On lance deux dés. L un est noir et l autre est blanc. Calculer les probabilités suivantes : A «Obtenir exactement un as» «Obtenir au moins un as» C «Obtenir au plus
Plus en détailCoefficients binomiaux
Probabilités L2 Exercices Chapitre 2 Coefficients binomiaux 1 ( ) On appelle chemin une suite de segments de longueur 1, dirigés soit vers le haut, soit vers la droite 1 Dénombrer tous les chemins allant
Plus en détailArbre de probabilité(afrique) Univers - Evénement
Arbre de probabilité(afrique) Univers - Evénement Exercice 1 Donner l univers Ω de l expérience aléatoire consistant à tirer deux boules simultanément d une urne qui en contient 10 numérotés puis à lancer
Plus en détailProbabilités. Une urne contient 3 billes vertes et 5 billes rouges toutes indiscernables au toucher.
Lycée Jean Bart PCSI Année 2013-2014 17 février 2014 Probabilités Probabilités basiques Exercice 1. Vous savez bien qu un octet est une suite de huit chiffres pris dans l ensemble {0; 1}. Par exemple 01001110
Plus en détailPROBABILITÉS CONDITIONNELLES
PROBABILITÉS CONDITIONNELLES A.FORMONS DES COUPLES Pour la fête de l école, les élèves de CE 2 ont préparé une danse qui s exécute par couples : un garçon, une fille. La maîtresse doit faire des essais
Plus en détailLes probabilités. Chapitre 18. Tester ses connaissances
Chapitre 18 Les probabilités OBJECTIFS DU CHAPITRE Calculer la probabilité d événements Tester ses connaissances 1. Expériences aléatoires Voici trois expériences : - Expérience (1) : on lance une pièce
Plus en détailP1 : Corrigés des exercices
P1 : Corrigés des exercices I Exercices du I I.2.a. Poker : Ω est ( l ensemble ) des parties à 5 éléments de l ensemble E des 52 cartes. Cardinal : 5 I.2.b. Bridge : Ω est ( l ensemble ) des parties à
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailProbabilités. Rappel : trois exemples. Exemple 2 : On dispose d un dé truqué. On sait que : p(1) = p(2) =1/6 ; p(3) = 1/3 p(4) = p(5) =1/12
Probabilités. I - Rappel : trois exemples. Exemple 1 : Dans une classe de 25 élèves, il y a 16 filles. Tous les élèves sont blonds ou bruns. Parmi les filles, 6 sont blondes. Parmi les garçons, 3 sont
Plus en détail1. Déterminer l ensemble U ( univers des possibles) et l ensemble E ( événement) pour les situations suivantes.
Corrigé du Prétest 1. Déterminer l ensemble U ( univers des possibles) et l ensemble E ( événement) pour les situations suivantes. a) Obtenir un nombre inférieur à 3 lors du lancer d un dé. U= { 1, 2,
Plus en détailProbabilité. Table des matières. 1 Loi de probabilité 2 1.1 Conditions préalables... 2 1.2 Définitions... 2 1.3 Loi équirépartie...
1 Probabilité Table des matières 1 Loi de probabilité 2 1.1 Conditions préalables........................... 2 1.2 Définitions................................. 2 1.3 Loi équirépartie..............................
Plus en détailProbabilités. I Petits rappels sur le vocabulaire des ensembles 2 I.1 Définitions... 2 I.2 Propriétés... 2
Probabilités Table des matières I Petits rappels sur le vocabulaire des ensembles 2 I.1 s................................................... 2 I.2 Propriétés...................................................
Plus en détail9 5 2 5 Espaces probabilisés
BCPST2 9 5 2 5 Espaces probabilisés I Mise en place du cadre A) Tribu Soit Ω un ensemble. On dit qu'un sous ensemble T de P(Ω) est une tribu si et seulement si : Ω T. T est stable par complémentaire, c'est-à-dire
Plus en détailUniversité Paris 8 Introduction aux probabilités 2014 2015 Licence Informatique Exercices Ph. Guillot. 1 Ensemble fondamental loi de probabilité
Université Paris 8 Introduction aux probabilités 2014 2015 Licence Informatique Exercices Ph. Guillot 1 Ensemble fondamental loi de probabilité Exercice 1. On dispose de deux boîtes. La première contient
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailLicence MASS 2000-2001. (Re-)Mise à niveau en Probabilités. Feuilles de 1 à 7
Feuilles de 1 à 7 Ces feuilles avec 25 exercices et quelques rappels historiques furent distribuées à des étudiants de troisième année, dans le cadre d un cours intensif sur deux semaines, en début d année,
Plus en détailExemple On lance une pièce de monnaie trois fois de suite. Calculer la probabilité d obtenir exactement deux fois pile.
Probabilités Définition intuitive Exemple On lance un dé. Quelle est la probabilité d obtenir un multiple de 3? Comme il y a deux multiples de 3 parmi les six issues possibles, on a chances sur 6 d obtenir
Plus en détailCalculs de probabilités conditionelles
Calculs de probabilités conditionelles Mathématiques Générales B Université de Genève Sylvain Sardy 20 mars 2008 1. Indépendance 1 Exemple : On lance deux pièces. Soit A l évènement la première est Pile
Plus en détailFluctuation d une fréquence selon les échantillons - Probabilités
Fluctuation d une fréquence selon les échantillons - Probabilités C H A P I T R E 3 JE DOIS SAVOIR Calculer une fréquence JE VAIS ÊTRE C APABLE DE Expérimenter la prise d échantillons aléatoires de taille
Plus en détailProbabilités. C. Charignon. I Cours 3
Probabilités C. Charignon Table des matières I Cours 3 1 Dénombrements 3 1.1 Cardinal.................................................. 3 1.1.1 Définition............................................. 3
Plus en détailThéorie et Codage de l Information (IF01) exercices 2013-2014. Paul Honeine Université de technologie de Troyes France
Théorie et Codage de l Information (IF01) exercices 2013-2014 Paul Honeine Université de technologie de Troyes France TD-1 Rappels de calculs de probabilités Exercice 1. On dispose d un jeu de 52 cartes
Plus en détailCouples de variables aléatoires discrètes
Couples de variables aléatoires discrètes ECE Lycée Carnot mai Dans ce dernier chapitre de probabilités de l'année, nous allons introduire l'étude de couples de variables aléatoires, c'est-à-dire l'étude
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.
Plus en détailQu est-ce qu une probabilité?
Chapitre 1 Qu est-ce qu une probabilité? 1 Modéliser une expérience dont on ne peut prédire le résultat 1.1 Ensemble fondamental d une expérience aléatoire Une expérience aléatoire est une expérience dont
Plus en détailProbabilités Loi binomiale Exercices corrigés
Probabilités Loi binomiale Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : épreuve de Bernoulli Exercice 2 : loi de Bernoulli de paramètre
Plus en détailMoments des variables aléatoires réelles
Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailNOTIONS DE PROBABILITÉS
NOTIONS DE PROBABILITÉS Sommaire 1. Expérience aléatoire... 1 2. Espace échantillonnal... 2 3. Événement... 2 4. Calcul des probabilités... 3 4.1. Ensemble fondamental... 3 4.2. Calcul de la probabilité...
Plus en détailStatistiques II. Alexandre Caboussat alexandre.caboussat@hesge.ch. Classe : Mardi 11h15-13h00 Salle : C110. http://campus.hesge.
Statistiques II Alexandre Caboussat alexandre.caboussat@hesge.ch Classe : Mardi 11h15-13h00 Salle : C110 http://campus.hesge.ch/caboussata 1 mars 2011 A. Caboussat, HEG STAT II, 2011 1 / 23 Exercice 1.1
Plus en détailENS de Lyon TD 1 17-18 septembre 2012 Introduction aux probabilités. A partie finie de N
ENS de Lyon TD 7-8 septembre 0 Introduction aux probabilités Exercice Soit (u n ) n N une suite de nombres réels. On considère σ une bijection de N dans N, de sorte que (u σ(n) ) n N est un réordonnement
Plus en détailIndépendance Probabilité conditionnelle. Chapitre 3 Événements indépendants et Probabilités conditionnelles
Chapitre 3 Événements indépendants et Probabilités conditionnelles Indépendance Indépendance Probabilité conditionnelle Definition Deux événements A et B sont dits indépendants si P(A B) = P(A).P(B) Attention
Plus en détailBaccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Plus en détailProbabilités et Statistiques. Feuille 2 : variables aléatoires discrètes
IUT HSE Probabilités et Statistiques Feuille : variables aléatoires discrètes 1 Exercices Dénombrements Exercice 1. On souhaite ranger sur une étagère 4 livres de mathématiques (distincts), 6 livres de
Plus en détailExercices supplémentaires sur l introduction générale à la notion de probabilité 2009-2010
Exercices supplémentaires sur l introduction générale à la notion de probabilité 2009-2010 Exercices fortement conseillés : 6, 10 et 14 1) Un groupe d étudiants est formé de 20 étudiants de première année
Plus en détailLeçon 01 Exercices d'entraînement
Leçon 01 Exercices d'entraînement Exercice 1 Etudier la convergence des suites ci-dessous définies par leur terme général: 1)u n = 2n3-5n + 1 n 2 + 3 2)u n = 2n2-7n - 5 -n 5-1 4)u n = lnn2 n+1 5)u n =
Plus en détailProbabilités conditionnelles Exercices corrigés
Terminale S Probabilités conditionnelles Exercices corrigés Exercice : (solution Une compagnie d assurance automobile fait un bilan des frais d intervention, parmi ses dossiers d accidents de la circulation.
Plus en détailTexte Agrégation limitée par diffusion interne
Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailExercices de dénombrement
Exercices de dénombrement Exercice En turbo Pascal, un entier relatif (type integer) est codé sur 6 bits. Cela signifie que l'on réserve 6 cases mémoires contenant des "0" ou des "" pour écrire un entier.
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détailDOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.
A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur
Plus en détailDistribution Uniforme Probabilité de Laplace Dénombrements Les Paris. Chapitre 2 Le calcul des probabilités
Chapitre 2 Le calcul des probabilités Equiprobabilité et Distribution Uniforme Deux événements A et B sont dits équiprobables si P(A) = P(B) Si il y a équiprobabilité sur Ω, cad si tous les événements
Plus en détailExercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.
14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,
Plus en détailCALCUL DES PROBABILITES
CALCUL DES PROBABILITES Exemple On lance une pièce de monnaie une fois. Ensemble des événements élémentaires: E = pile, face. La chance pour obtenir pile vaut 50 %, pour obtenir face vaut aussi 50 %. Les
Plus en détailProbabilités conditionnelles
Probabilités conditionnelles Exercice Dans une usine, on utilise conjointement deux machines M et M 2 pour fabriquer des pièces cylindriques en série. Pour une période donnée, leurs probabilités de tomber
Plus en détail4. Exercices et corrigés
4. Exercices et corrigés. N 28p.304 Dans une classe de 3 élèves, le club théâtre (T) compte 0 élèves et la chorale (C) 2 élèves. Dix-huit élèves ne participent à aucune de ces activités. On interroge au
Plus en détailACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 2013 #4-5
ACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 2013 #4-5 ARTHUR CHARPENTIER 1 Un certain test médical révèle correctement, avec probabilité 0.85, qu une personne a le sida lorsqu elle l a vraiment et révèle incorrectement,
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailIntroduction aux Probabilités
Université Rennes 2 Licence MASS 2 Introduction aux Probabilités Arnaud Guyader Table des matières 1 Espaces probabilisés 1 1.1 Qu est-ce qu une probabilité?.............................. 1 1.1.1 Tribu.......................................
Plus en détailCalculs de probabilités
Calculs de probabilités Mathématiques Générales B Université de Genève Sylvain Sardy 13 mars 2008 1. Définitions et notations 1 L origine des probabilités est l analyse de jeux de hasard, tels que pile
Plus en détailChapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque
Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction
Plus en détailSéminaire TEST. 1 Présentation du sujet. October 18th, 2013
Séminaire ES Andrés SÁNCHEZ PÉREZ October 8th, 03 Présentation du sujet Le problème de régression non-paramétrique se pose de la façon suivante : Supposons que l on dispose de n couples indépendantes de
Plus en détailDéveloppement décimal d un réel
4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce
Plus en détailIntroduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
Plus en détailIntroduction au Calcul des Probabilités
Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées Bât. M2, F-59655 Villeneuve d Ascq Cedex Introduction au Calcul des Probabilités Probabilités à Bac+2 et plus
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailRaisonnement par récurrence Suites numériques
Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.
Plus en détailAnalyse Combinatoire
Analyse Combinatoire 1) Équipes On dispose d un groupe de cinq personnes. a) Combien d équipes de trois personnes peut-on former? b) Combien d équipes avec un chef, un sous-chef et un adjoint? c) Combien
Plus en détailMesure de probabilité, indépendance.
MATHEMATIQUES TD N 2 : PROBABILITES ELEMENTAIRES. R&T Saint-Malo - 2nde année - 2011/2012 Mesure de probabilité, indépendance. I. Des boules et des cartes - encore - 1. On tire simultanément 5 cartes d
Plus en détailTransmission d informations sur le réseau électrique
Transmission d informations sur le réseau électrique Introduction Remarques Toutes les questions en italique devront être préparées par écrit avant la séance du TP. Les préparations seront ramassées en
Plus en détailAndrey Nikolaevich Kolmogorov
PROBABILITÉS La théorie des probabilités est née de l étude par les mathématiciens des jeux de hasard. D'ailleurs, le mot hasard provient du mot arabe «az-zahr» signifiant dé à jouer. On attribue au mathématicien
Plus en détailLa mesure de Lebesgue sur la droite réelle
Chapitre 1 La mesure de Lebesgue sur la droite réelle 1.1 Ensemble mesurable au sens de Lebesgue 1.1.1 Mesure extérieure Définition 1.1.1. Un intervalle est une partie convexe de R. L ensemble vide et
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailThéorie de la Mesure et Intégration
Ecole Nationale de la Statistique et de l Administration Economique Théorie de la Mesure et Intégration Xavier MARY 2 Table des matières I Théorie de la mesure 11 1 Algèbres et tribus de parties d un ensemble
Plus en détailCorrection du baccalauréat S Liban juin 2007
Correction du baccalauréat S Liban juin 07 Exercice. a. Signe de lnx lnx) : on fait un tableau de signes : x 0 e + ln x 0 + + lnx + + 0 lnx lnx) 0 + 0 b. On afx) gx) lnx lnx) lnx lnx). On déduit du tableau
Plus en détailAlgorithmes de Transmission et de Recherche de l Information dans les Réseaux de Communication. Philippe Robert INRIA Paris-Rocquencourt
Algorithmes de Transmission et de Recherche de l Information dans les Réseaux de Communication Philippe Robert INRIA Paris-Rocquencourt Le 2 juin 2010 Présentation Directeur de recherche à l INRIA Institut
Plus en détailAnalyse stochastique de la CRM à ordre partiel dans le cadre des essais cliniques de phase I
Analyse stochastique de la CRM à ordre partiel dans le cadre des essais cliniques de phase I Roxane Duroux 1 Cadre de l étude Cette étude s inscrit dans le cadre de recherche de doses pour des essais cliniques
Plus en détailVous incarnez un surdoué en informatique qui utilise son ordinateur afin de pirater des comptes bancaires un peu partout dans le monde et s en mettre
Vous incarnez un surdoué en informatique qui utilise son ordinateur afin de pirater des comptes bancaires un peu partout dans le monde et s en mettre plein les poches. Problème : vous n êtes pas seul!
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailBACCALAUREAT GENERAL MATHÉMATIQUES
BACCALAUREAT GENERAL FEVRIER 2014 MATHÉMATIQUES SERIE : ES Durée de l épreuve : 3 heures Coefficient : 5 (ES), 4 (L) 7(spe ES) Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformement à la
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détailEXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
Plus en détailLoi d une variable discrète
MATHEMATIQUES TD N : VARIABLES DISCRETES - Corrigé. P[X = k] 0 k point de discontinuité de F et P[X = k] = F(k + ) F(k ) Ainsi, P[X = ] =, P[X = 0] =, P[X = ] = R&T Saint-Malo - nde année - 0/0 Loi d une
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailManuel d utilisation 26 juin 2011. 1 Tâche à effectuer : écrire un algorithme 2
éducalgo Manuel d utilisation 26 juin 2011 Table des matières 1 Tâche à effectuer : écrire un algorithme 2 2 Comment écrire un algorithme? 3 2.1 Avec quoi écrit-on? Avec les boutons d écriture........
Plus en détailChaînes de Markov au lycée
Journées APMEP Metz Atelier P1-32 du dimanche 28 octobre 2012 Louis-Marie BONNEVAL Chaînes de Markov au lycée Andreï Markov (1856-1922) , série S Problème 1 Bonus et malus en assurance automobile Un contrat
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailCours de Probabilités et de Statistique
Cours de Probabilités et de Statistique Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université Paris-Est Cours de Proba-Stat 2 L1.2 Science-Éco Chapitre Notions de théorie des ensembles 1 1.1 Ensembles
Plus en détailModèles et simulations informatiques des problèmes de coopération entre agents
Modèles et simulations informatiques des problèmes de coopération entre agents Bruno Beaufils LIFL Axe CIM Équipe SMAC Laboratoire d'informatique Plan 1. Motivations 2. Dilemme itéré du prisonnier 3. Simulations
Plus en détailLoi binomiale Lois normales
Loi binomiale Lois normales Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 204/205 Table des matières Rappels sur la loi binomiale 2. Loi de Bernoulli............................................ 2.2 Schéma de Bernoulli
Plus en détailEstimation: intervalle de fluctuation et de confiance. Mars 2012. IREM: groupe Proba-Stat. Fluctuation. Confiance. dans les programmes comparaison
Estimation: intervalle de fluctuation et de confiance Mars 2012 IREM: groupe Proba-Stat Estimation Term.1 Intervalle de fluctuation connu : probabilité p, taille de l échantillon n but : estimer une fréquence
Plus en détailLES GENERATEURS DE NOMBRES ALEATOIRES
LES GENERATEURS DE NOMBRES ALEATOIRES 1 Ce travail a deux objectifs : ====================================================================== 1. Comprendre ce que font les générateurs de nombres aléatoires
Plus en détailEconomie de l incertain et de l information Partie 1 : Décision en incertain probabilisé Chapitre 1 : Introduction à l incertitude et théorie de
Economie de l incertain et de l information Partie 1 : Décision en incertain probabilisé Chapitre 1 : Introduction à l incertitude et théorie de l espérance d utilité Olivier Bos olivier.bos@u-paris2.fr
Plus en détailChapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence
Chapitre 3 Mesures stationnaires et théorèmes de convergence Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée p.1 I. Mesures stationnaires Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée
Plus en détailFiche pédagogique : ma famille et moi
Fiche pédagogique : ma famille et moi Tâche finale de l activité : Jouer au «Cluedo» Niveau(x) Cycle 3 Contenu culturel : - jeux de sociétés Connaissances : Connaissances requises : - cf séquences primlangue
Plus en détail1 TD1 : rappels sur les ensembles et notion de probabilité
1 TD1 : rappels sur les ensembles et notion de probabilité 1.1 Ensembles et dénombrement Exercice 1 Soit Ω = {1, 2, 3, 4}. Décrire toutes les parties de Ω, puis vérier que card(p(ω)) = 2 4. Soit k n (
Plus en détailSuites numériques 4. 1 Autres recettes pour calculer les limites
Suites numériques 4 1 Autres recettes pour calculer les limites La propriété suivante permet de calculer certaines limites comme on verra dans les exemples qui suivent. Propriété 1. Si u n l et fx) est
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailBaccalauréat ES Antilles Guyane 12 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Antilles Guyane 12 septembre 2014 Corrigé EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats 1. Réponse c : ln(10)+2 ln ( 10e 2) = ln(10)+ln ( e 2) = ln(10)+2 2. Réponse b : n 13 0,7 n 0,01
Plus en détailComment parier jute sur les sites de paris sportifs
Comment parier jute sur les sites de paris sportifs Ne pariez pas sur Internet avant d avoir lu en totalité cet ebook, vous risqueriez de perdre votre argent bêtement. Si vous voulez mettre de l argent
Plus en détailLes probabilités. Guide pédagogique Le présent guide sert de complément à la série d émissions intitulée Les probabilités produite par TFO.
Guide pédagogique Le présent guide sert de complément à la série d émissions intitulée produite par TFO. Le guide Édition 1988 Rédacteur (version anglaise) : Ron Carr Traduction : Translatec Conseil Ltée
Plus en détail