Dossier Cabri Géomètre

Transcription

1 Dossier Cabri Géomètre Quelques réflexions.., sur le logiciel CABRI-GEOMETRE 1 Introduction Roger Cuppens IREM de Toulouse On comprend bien mieux rmefigurt et on se La rappeue bi~n pl"s ladlem'iii q!4and 011 l'a vue p,"danlla période de constructlofj, Julius Pelersen, 1879 Dans un précédenl article [3 J, Michel CarraI el moi-même ayons montré tout l'intérêt du logiciel Cabri-Géomètre ' pour faire de 1. géométrie. Depuis l'écnture de cel article. j'ai trouvé dans plusieurs anicles concernant ou UlÎlis.ant le loglciel CabrÎ-ltéomètre de nombreuses inexactitudes. voire des contrevérités. Par exemple. dans [7]. J.L. GASSER signale _quelques limitatiml.! dans le cadre du probmme Traité,' impossibilité d'imprimer un lieu géomitn'qlle el impossibilité th r-eporrer une dis/an et simplement sur la figure (par exemple 1. cercle d. centre A et de rayon ICi. De même AG ALMoULOUD [1] prétend que Cabri-géomètre <Il, permet pas d' élaborer roules les con.nmcrirmr ch! la géométrie p/an~ ; (". est le cas 1 Cc Ioaldd lo'c.io1 torujqw1. appelé Cahri-t.co~UI!: dans ta ~~lon MacIDIOIoh. U ","1 d'abord IppdI!- ~ O~1l'e cwls,. vl!:ftloij PC. mw milldicll&fti.1i,'appc.llr: Il!J.ui Clbri-G!o~ ~ eme vtnloa. La Yc=r sion UtlliJ6e d:uts cc:t lii1,de esj la. V1:f(jQC'l 2.1 pour Macfllilosh, EUe OOIInen1 dh'me!o m;lh)'utus qw ne Sblill Pli lci\lelkmtnl ImplanJh:s dam 1. \'énaoo, PC vtndlle œ.cwellement; elles demue.dt l'~ore dms Itlle' JrDd!1ll' ne 'V1I!I'1l0D. BUiltIlfn APMEP ri' 402 ~vrl6r

2 des figur~s dans lesquelles if1terv~nnenl d~s relations mettant en jeu les notions d'angles ou de distance. Les tracés apparaissent à l'écran comme une juxtaposition de segments hamontaux ou verticaux, Ct qui augmente l'imprécision dts trac~s et peut mime, dans certains cas, nuire à la jususse du figures». Et, pl"" loin, «on ne peul pas virifitr l'aptitude d'un ilove à col1slruire des objets semi complexu COmme la médiatrice d'un segment puisque 1. logiciel trace automatiquement l'objtl disignl. D. plus, il ne comparu pas de module d. virification de l 'ad/quai ion de la figu,. con$lrutte par l'tlove au.r hypatho.. s fournies pour 1. probltm. Enfin, j'ai entendu beaucoup de gens se plaindse oralement de l'absence des nombres réels pour l'~tude des vecteurs ou des transfonmations. La première de ces critiques peut se résoudse en lisant la notice d'accompagnement : dans la version incriminte (celle implantée sur Macintosh). il suffit, quand un Ioeu est affiché il l'écran, de taper au clavier un.control-i» poul obtenir une impression de ce lieu. Mais les autres révèlent une méconnai.. anc. grave, soit de la philosophie du logiciel, soit des problèmes fonda mentaux posés par la construction des figures gtométriques. Nous nous proposons donc de reprendre un certain nombre de Dotions de base Qui fourniront une réfutation des allégations ci-dessus. Je remercie Colette LABORDE et Michel CARRAL pour avoir bien voulu lire le manuscrit et m'avoir fait des remarques judicieuses dont j'ai essayé de tenir compte dans 1. suite. 2 - Figures et constructions géométriques 2,1 - Figures géométriques On ln dans l'article de AG ALMOIJlOUD déja cité que KCohri-glomèrre est un logiciel d'aide à la construction de figures géomltriqu... On remarque que cette phrase conuent deux termes qui avaient autrefois un sens très pr6 CIS, mais qui onl peul-être moins connus aujourd 1 hui. à savoir la notion de ligure géométrique et cette de construction d' une telle figure. En langage moderne. on peut définir une ligure géométrique comme un ensemble fini d'objets élémentaires et de relations entre ces objets. En géné. rai. les objets élémentaires de la géométrie euclidienne plane sont, au moins au dtbut: le point, la droite, la demi-droite, le segment, le cercle ct l'arc de cercle. Si on regarde les objets de base de Cabri-Géom~tre. on trouve tous les objets précédents. sauf la demi-droite (pour laquelle nous proposerons une définition "potentielle" ci dessous) et l'arc de cercle qui est effectivement absent. Les relations entre objets sont des relations d',pponenance, d'inter- BuHéIin APMEp ft.f02 - F6vrier '996 6

3 section, de parall6lisme ou de perpendicularité qui figurent toutes dans Cabri -Géom~tre. n faut bien se garder de confondre 1. ligure que je viens de d6finir avec ce qu'on trace sur une feuille de papier ou SUI un écran graphique et qui n'est qu'une instance approximative de ceue figure : un angle droit est un concept abstrait dont 00 peut avoir une id6e en dessinant sur une feuille ou sur un 6crnn d'ordinateur. Puisqu'un tel dessin D'est qu'approrimatif, le. propriét6s d'une figure que l'on peut y voir sont des propriétés stables : par e.emp!e, si on peut constater qu'un triangle dont les côt6s sont dans un rappon 3, 4, 5 est rectangle (et si un maçon peut utiliser ceue propriété pour vérifier l'aplomb d'un mur), c'est que l'on peut énoncer la propriété «Si un rriangk ABC est ~ rel que al est presque Igal à b2 + c 2 alon l'angle A est presque droit» '. On peut regrouer que ce fait essentiel soit rarement mis en évidence dans les livres de géométrie. Cabri Géomètre génère de mani~re automatique une représentation de la figure correspondant à ce qu'on voit à l'écran. On peut en obtenir une repré seotation externe en utilisant l'article Afficher du menu Divers. A partir de ceue repr6sentation, on peut espérer qu' un jour C.bri Géom~tre fournisse une analyse automatique de l'ad6quation de la figure uacée par 1'6lève avec une spécification (énonc6) fournie par l'enseignant. L'étude lhéorique d'un tel analyseur a é~ réalisée par P. NICOLAS [10] pour le système Mentoniezh ; les problèmes posés par son implantation dans Cabri Géomètre sont 6rudiés par C. DESMOULlNS [6J. 2.2 Constructions à 1.0. règle el au compas Passons à la notion de construction géométrique. Ces problèmes ont été abondamment érudi6s au début du siècle, en particulier par J. PlrrERSEN [II ] et E. LEMOINE [9]. Nous partirons des travaux de LEMOINE sur la géom6trographie. \1 y définissait lin cenain nombre d'actes de base pour obtenir une construction à la règle et au compas, à savoir: faire passer le bord d'une règle par un point placé,. faire passer le bord d'une règle par deux points placés, - tracer une ligne en suivan t le bord de la règle, - mettre une pointe du compas én un point placé, - prendre dans le compas la distance de deux points placés, - mettre une pointe de compas en un point indétenniné d'une ligne tracée, - ltacer le cercle, 2 Avex; le sens du mm "presque" b préciser, BufNIr/l1 APMEP ri' 4C2 - F~r

4 et calculait en décomposant une construction donn~e en ces actes élémentaires un coefficient de simplicité el un constat de précision) de celle construcuon; la construction géométrographique éljl1t alors la construction minimisant ces coefficients. Il ajoutait d'ailleurs «nous SUPpO$t!rons que IOult droite tracte el que tout cercle (racé dans le cours djune construction le SOnt.11 efll;u. Les notions de segment, de demi-droite et d'arc de cercle ne semblent donc pas essentielles dans le domrune des constructions géométriques. Si on cherche les actes élémentaires fournis par Cabri-Géomètre, on trouve, dans le menu Créa üon : - poi nt de base - droite de base - cercle de base - segment - droite passant par deux points - cercle défini par centre et point ct dans le menu Construction : - point sur un objet - intersection de deux objets. On voit facilement que les actes élémentaires de Cabri-Géomètre permettent de retrouver n priori tous les actes de LEMOtllE. sauf un: prendre dans le compas la distance de deux points placés, c'est-à-dire. en langage moderne. reponer une longueur qui est aussi le probl~me soulevé par J.-L. GASSER. Nous monlrerons ci-dessous que la notion de macro-construclion pennet facilement de résoudre ce probl~mc. On peut alors conclure que ce logiciel permet de réaliser toutes les constructions à la règle el au compas. PeUl-on foire plus') Les construction supplémentalres de Cabri-G&>mètre On COnstate que Cabri-Géomtrre fournil dans le menu Création un objet de base supplémentaire. le triangle. el. dans le menu Constructi on. quelques construcuons supplémentaires : - milieu. m&batnce - droite parallèle - droile perpendicuhure. centre d'un cercle - symétrique d'un point - bissectrice. 3 En réahté. un coefficient de cornplexlté el un coefficient d'impn!:clslon. 8 Bu'O/ItI Al'MEP.". '02 FI'hIor ' 99tJ

5 Puisqu'on sait qu'un triangle peut se construire à la règle seule et que les constructions précédente. sont rtahsables il la règle et au compas, la donnée de ces objets n'augmente pas la puissance de construction, mais modifie, comme nous Je \'errons ci--dessous. la nolion de I.:onstruction géométrograpluque, Par contre, comme on peut uppnmer facilement des anicles d' un menu, l'objection de AG ALMOULOUD qu'un élève ne peut pas apprendre 11 construire la médiatrice tombe d'clle-même ; il suffit de le faire travaoller sur un menu réduit. C'est d'atlleurs peut-etre la meilleure manière de prendre en main le logiciel' : on suppnrne les sept articles ci-ilessus et on demande il l'apprenant de 1"" réécrire, Les constructions par glissement Le fait d'avoir plusieurs COn truct10ns supplémenllllj'es n'ajoute donc pas de possibilité nouvelle. Mais a-'-on dans Cabn-Oéomètre plus que les cons Iructions il la règle el au compas? Pour répondre il cette question, il faul regarder avec plus de préei.ion 1. notion de reialion entre objets d'une figure. On constate alors qu'ii y a dans une figure obtenue avec Cabri-Géomètre deux sortes d'objels : - les objets libres qui peuvent être déplacés par manipulation directe (on peul les saisir nvec le curseur qui prend. lors 1. fonne d' une main et les déplacer en manipulanlla SOUri5) i - les objets qui sont complètement dlltrmlnis par leurs relations avec les objets lib,.. et ne peuvent être déplacés qu 'indirectement par le déplacement d'un objet libre. Les objcls Iobres de Cabri-Géomèlre sont. les poincs de base quj 001 deux degrés de liberté : ils peuvent se déplacer dans toulle plan, - le poin ls sur objet qui n'ont qu'un degré de liberté : ils ne peuvent se déplacer que sur l'objet en question, - les droites de base qui peuvenl se déplacer en gardanl la direction fillée lors de leur création, - les cercles de base dont on peut déplacer le centre, mais qui gardent le rayon fixé lors de leur création. Si on respecte les règles du jeu proposées par les auteurs du logiciel, à savoir ne tracer que des figun:.s donc les relations seront conservées pour tout dtplacement des objets libres de la figure, on cffeclivement les figures constructibles 11 la règle et au compas, pour ajouler une ou plusieurs relations qui ne seront vérifiées que pour une posllion parucutière de l'objet. ous.. C'est en lout cas celle que j'emploie dans mes stages de formation. &M8tIllI4PMEP ff 402 FtvrlBr

6 dirons alors que la figure est définie par A7 glissement L'.. emple de la construction des polygones réguliers Il n côtés ' proposé dans le numéro 2 de la revue Cabriole 14J est de ce type, Pour construire un tel polygone, On prend deu" points Ao et At Al sur un cercle et on trace (n - 1) points A 2 _ ",. Ali tels que AOt A Il... A,. soient équidistants sur le cercle', puis on dépla- A4 A3 ce A 1 jusqu'à ce que A. coïncide avec Aa- Si la coïncidence est parfaite, le polygone A,..,;\, est alors régulier. Si la coïncidence n'est qu'approcbée, on obtient une représentation approximative un polygone régulier.ur laqueue on peut quand mame faire un certain nombre d'observations lelles que mesurer les angles, etc, Sur la figure cides us, on a une représentation approchée de l'heptagone el on peul vénfier que 51.4 x 7 = 360,29 et que 128,53 x 7 = 899,71, c'est-à-dire pratiquement 2 el 5 angles plats. Construire des figures par glissemenl revient à s,mu 1er les syst~mes articulés étudiés en particulier par H. LEBESGUE [8] : on peul ainsi construire tous les points du plan Il coordonnées algébriques. 3 - Les macro-constructions 3,1 - DéDnlüon Nous avons rappelé ci-dessus que l'on peut toujours supprimer un article d'un menu de Cabri-Géomètre. On peut aussi ajouler des macro-constructions, Qu'esl ce qu'une macro-construction? Nous commençons par une approche sommaire : si on a Il faire une même construction plusieurs fois, on peut faire la construction une fois pour toutes, la stocker sous forme de macro-construction et uuliser cene dernière pour faire directement les autres constructions. Prenons J'exemple particulièrement simple de la construction d'un carré ABCD connaissant la diagonale [AC]. On va prendre le point 0 milieu de,on sait, depuis Gauss qu'un tel polynllme D'est constructible à la ftgle et au compas que pour des valeurs tn.s particulims de Il lil!tes aux nombres de Fermat premiers. Pour ce r",re, il est Il mon av" J'drérable d'utiliser les symeaies par '"ppon aux droites passanl par le centre du cercle et l'un des sommets plulôt que les ",,,,tions préconis&:s dans Cabriole. BvNerin APMEp ft F~1I1fM

7 [AC], tracer la médiatrice d de [AC], prendre le cercle c de centre 0 et passant par A : l'iole"cc- Uon de d et de c se compose des deux points B et d D. Tous les actes se font directement à partir des A ~--+o--~c menus de Cabri-Géomètte. ceci pennel de définir tint macro-construclîon c~ dont, - les objcts initiaux sont deux points A ct C, - les obj ets intennédiaires sont le polot 0, Je droite d et le cercle c,. les objets finaux sont Jes deux points B ct D (ou, SI 'l'on veut, les quatre segments [ABJ, [BC],ICD] et [DA]). La création de cette macro-construction ajoute l'article correspondant au menu Conscruccion et on peut alo" l'uti liser: en désignant il l'écran deux points correspondant aux objets initiaux, le carré correspondant sem automatiquement tracé à l'écmn (mais pas les objets intemoédiaires). Une macro-construction est dons une construction d'une figure composée de trois types d'objets : - les objets initiaux, - le, objets intennédiaire', - les objets finaux. Si on se contente de cette approche. il arnvera souvent que le logiciel refuse de créer une macro-construcuon parce que la d6finiuon proposée est incohérente. Pour avoir une macro-constructlon cohérente, il fau l ajouter que les objets initiaux sont les seuls objets libres de la figure ' : tous les objets finaux, m.. s aussi les objels intermédiaires doivent être des objets liés. 3,2 - Les demi-droites Nous fou rnissons maintenant quelques macro-constructions simples et fondamentales. Commençons par les demi-droites. Si on veut simuler une demi-droite, il sumt de partir de deux points ~ el A 1 el de définir un ensemble fini de potots lotermédiaires Aj qw sonl définis. pour j 2: 2, comme le symétrique de Ao par rappon à Ar l ' SI les deux points initiaux SOnltrès rapprochés el si n est assez grand (j'ai pris n = 8), la macre>construcuon qui aura pour objets iniuaux les points Ao et A, et pour objet final le segment [A.,A, ] fournira une représentntion sausfaisante des demidroites sunoullorsqu'on l'appliquera à des points assez éloignés. '1 On peut lransgresser cette ~gle comme nous le verrons plus loin. BuNfltJnAPMEp ri' 4C2 FtlW1er 199ti 11

8 3.3 - L. report de. loogueurs Le problème général peut s'énoncer sous la forme suivante : se donnaot quatre points A, B, 0 et D, détenniner Je point P de 1. demi-droite [OD) tel que OP = AB. Nous commençons par le cas particulier ot. la demi-droite [OD) a même direction ct même sens que la demi-droite [AB). On conslnte alors que le problème se ramène à : se donnant ITOis points 0, A, B, construire le point P tel que OABP soit un parallélogramme. Ce problème qui est déjà compliqué s. on n' uti lise que la règle et le compas, devient très sim ple avec les constructions supplémentaires de Cabri B 0 Géomètre. Puisque le cas particulier ot. les demi-droites [A B) ct 10D) sont portées par une même droite (c'est-à-d. re où le parallélogramme est aplati) ne doit pas être écarté, On uti li sera la caractérisation d'un parallélo A gramme par la propriété de ses diagonales : on prend le mibeu M de [OBI et le symétrique P de A par rappoo 11 M. Nous aurons donc la macro-construction parallélo ayant : - ltols objets initiaux, les points 0, A el H, - un objet intermédiaire, le point M - un objet fin. I, le point P, et nous noterons P = parnllélo (0, A, 8). Avec ceue macro-construction, le problème de J, L, GASSER devient évident : se donnant trois points 0, A el B. pour construire Je cercle de cen lre 0 el de rayon AB, on prend le point P = parallélo (0, A, B) t on trace le œrcle C de centre 0 et passant par P. Un deux..ième: cao;; particulier intéressant esl celui où C = A. Ceci revient à, se donnant trois points A, B ct A D, déterminer le point P de la demi-droite [AD) tel que ABP soit un triangle isocèle en A, On utilisera évidemment la symétrie par rapport à la bissectrice de l'angle A : on trace 1. bissectrice d de l' an gle BA D et on prend le symétrique P de B par rappon à d. Nous avons donc la macro--construclion i soc~lc ayant :. trois objets initiaux, les points A, B et D, - un objet intcrmédhure, la droite d, - un objet final. le point P 12 Bulletl(l APMEP ff 402 F~vrl8r 1996

9 e' nous no'erons P = isocèle (A, B. D), Le cas général sc rédui, Il la "composi'ion" de ces deux cas particuliers : se donnan, les quatre polnls A. H, 0 e' D, on prend le point Q = parallélo(o, A. H) et le poln' P = isocèle (0, Q, D). 3,4 - Le report des angles Le problème es' Je suivant : se donnan, cinq points A, B.. C, 0 el P, crou- ver un poinl Q tel que l'angle BA C soit égal à l'angle POQ. Nous commencerons à nou,'eau par le cas particulier où 0 = A. On peul évidemment considérer Q comme le Iron,fonné de P dans la rotation d'angle -BA C, problème pour lequel deux solutions sont fournies dans le numéro 2 de Cabriole. L. première u,i1ise le fait qu'une rotation peut s'exprimer comme le produit de deux symérries axiales : on trace la bissecrrice d de - l'angle BA C et on prend le symécrique M de P par rapport à la droite (ABJ, puis le symérrique Q de M par rappert à d. La dcujt.ième consiste à cracer le cercle ( de cenlre A pass.1nl par p, à déterminer les intersections M,N des dcmi-<lroites IAB) et [AC) avec c et à prendre le symérrique Q de M par rapport à la médiarrice de lpnj. c ~ Dtuxième // Q/B / ~i ~ ilf '.' V P",,,,',, 1 V solution h ~ ~olulio" c A - C. 1 / 1 N / d 0 En simplifi ant cette dernière idée, on arrive à la construcùon suivante qui est sans aucun doute la plus économique (Lemoine aurai t da la conslruction "géométrographique") : on Q B trace la bissectnce d de l'angle PA C, puis le symétrique Q de B par rappon à d. On notera Q = rot-angle(a, B. C, Pl -"''-----'- - p A &HetNl APMEP - ft 402 FfNrler

10 C C' Q B' A o Cas génüal p Le cas général se ramène alors au cas particulier : on translate l'angle -BA C en 0 et on est ramené au cas précéd.n~ ce qui donne : - construire B' = parallélo(o, A. B), - coostruire C ' = parallélo (0, A, Cl, - construire Q = rot-sngl.(o, B'. C', Pl Quelques..,marques supplémentaires Nous ajouterons quelques remarques. Si. au lieu de se doooer la diagonale, on se donne le côté [AB ] du carre ABCD, on peut construire celui-ci eo traçant la perpeodiculaire d eo A à A Il [AB] et le cercle c de centre A et de rayon AB. L "intersection de d et c est composée de deux points dont on cboisit arbitrairement l'un d'eux C comme sommet D et, à partir de D. on construit '- _ --' --' le point C= parallélo(b, A. 0). Si le choix de l'un des points d'iotersection semble dans ce cas ne poser aucun problème, il o'en est pas de même pour des ligures complexes. car le choix entre deux intersections est lié è. des problèmes d'orientation qui ne sont pas toujours facilemeot prévisibles. Pour éviter cela, je conseiue de se passer le plus possible de l'emploi de cercles intennédiaires dans les macroconstructioos (ce n'csl évidemment pas toujours possible). d D C Remarquon aussi qu'on peut transgresser la règle selon laquelle les objets intermédiaires ou fin.ux doivent atre des objets liés en enfonçant 1. touche Symbollors de M la création de la macro-conslruction. Par exemple, pour le problème précédent. on pourra A B 14 8lJN6tJ.n APMEP. If 402 F,vrlB, 1996

11 tracer la perpendiculaire d en A à (AB), prend~ un point M sur d, et duinir D et C par D = isocèle (A, B, Ml et C = paralmlo (B, A, Dl. On pourra alorll créer une macro-construction ayant pour objets iniuau. les points A et B, pour objets intermédiaires la droite d et le point à un degré de liberté M et pour objets finaux les quatre segments [AB], [BC], [CD] et [DAI. Mais les figures obtenues avec de telles macro-constructions sont par Cois plus difficiles à prévoir que ceues obtenues avec des cercles intermédiaires. 4 - Mesures des segments et des angles 4,1 La prkwon des mesures Quand on parle de la précision des figures trac6es par Cabri-Géomètre, il ne faut pas confondre deux choses fon diff6rentes : les mesures efcectuées par le logiciel sur la représentation interne de la figure (ou, pour être précis, sur l'une de ses instances),. ce que l'on voit à l'écran et qui n'est qu'une représentation graphique de la précédente rendue très imprécise par le fait qu'un 6cran graphique n'cst composé que d'un nombre fini de pixels. Cabri géomètre calcule les coordonnées d' un point, la pente d 'une d,oite, la longueur d'un segment en centimètres, l'aire d'un polygone en cm 2 et la mesure d'un angle en degrés avec une précision de l'ordre de 10-'8. On peut obtenir cette précision avec l'article Calculer du menu Di vers (à condition d'avoir cboisi la précision maximale dans l'article Préférences du menu t,ution). Pour la représenllltion graphique, Cabri-Géomètre affiche à l'écran avec l'article Mesurer du menu Di vers la longueur d'un segment avec une précision de ler l cm et la mesure d'un angle avec une precision d'un centiè me de degré. On voit que ceci est une précision largement supérieure à ce que 1'0[1 peut obtenir dans une construction papier/crayon. La construction de figures faisant intervenir des longueurs de segments ou des mesures d'angles ne pose donc aucun problème. 4.2 Vérification d'une propriété L'article Vérifier une propriété du menu Divers permet de vérifier un cenain nombre de propriétés: 8 Un tel dtmonstnllcur existe; Chou 15] a ;mplanl~ une mêthode due à Wu avec laquelle il a démonsln! 512 théo~me. de géométrie (dont quelques no, sont nou veaux). Mais un tel démonstrateur nécessite un gros ordinateur e' est r"'auvement lent. &Ji«In APMEP ~ rr FtvritN J996 15

12 - paims alignés, - appartenance, - parallélisme, - OnhOgODalil~, - longueurs égales. Pour une lelle vérification, Cabri-Géomttre n'utilise pas de démonst.r~ teur dc théorèmes' : il se conlenle de vénfier par cajcul la validilé de celle p(opriélé sur un échantillon d' in;!8nces représenlatives de la figure. On peul donc mettre en défaut l'oracle de Cabri-Géomètre pour des problèmes exigeant des ca1culs en grande précision comme dans l'exemple suivant 0 qui correspond à une étude géométrique dc l'approxim.lton de f2 par la sui le (x.), définie par { '-0 = 1 x. =l("'_1 + _2_) 2 XrI_ 1 Pour obtenir une telle suite, nous utiliserons la notion de puissance d'un point par rappon il n cercle: si 0 est un point extérieur: à un cercle c. el si une droite d passant par 0 oupe le cercle c en T et V, alors OT.OV est indépendant de la d(oite d et est appelé puissance du point 0 par rapport au ce",le c. Si celle puissance est m et si OT = x, Alors le I1UUeu V de [TU] est tel que OV = l (x +!!!.), 2 x Il suffit d'oblenir le cas où la puissance de 0 est égale il 2, ce qui esi le cas si 1. longueur de la langente menée de 0 au cercle c esl égale à fi. Pour réaliser ceci dans Cabri, nous commençons par cons.truire la macroconstruction auxiliaire doolle. objels initiaux s.(onl deux l'omis 0 cl X et un cercle c et l'objet final un poull Y = isocèleco, V, Xl, V étant 1. milieu de l' un des poinls d'intersecùon T du cercle c cl de centre 0 pas.. nt par X et de l' inlersection V du cercle c et dc la droite lot) : o 9 Cel exemple m'a été ~uggér~ par Bernard Genevès. 16 BuNstin APMEP - rf' 402 F~, 1996

13 D'après cc qui précède,.v - Dy et x - OX sont li~, y - r par la relation (x + ~: J, m étant 1. puissance du poinl 0 par r.l'pan au cercle c. On prend alors deux potn15 0 et U tels que la longueur OU soit l'unité de mesure, le poin t V de la pe'l'endiculairc en U ~ (OU) tel que UV - OU et le point R = lsocèle(o, V, 11). Alo", OR = OV = fi. Si on prend un poinl A de la perpendiculaire en R à (OR) (par exemple le pomt d'mler>ection de cette perpendiculaire avec la droite (OV), la puissance de 0 par roppon au cercle c de cenlre A passanl par R est égale il 2. On COn5lruil alors 10 suite des points XI définis comme étanl égaux à U si j ;;: 0 et nu transformé de 0, X rl c par la mncrocon'\trucllt>n pr6c&lentc :.Tl = OX j est alors 1. SUlle définie ci dessu,. v / A '0 U R XI Géométriquemen~ pour OU = 5 cm, on cons tale que seul X, e>l nellement différent de R el que. dèsj= 2. X j est pral iquement confondu avec R. Une applicallon de l'article Calculer roumit les valeurs suivantes: Longueur(O U) = 5, cm Longueur (0 XI) = 7, cm Longueur (0 X2) = 7, cm Longueur (0 X3) = 7, cm Longueur (0 X4) = 7, cm Longueur (0 X5) = cm Longueur (0 R) = 7, cm tand" que \'tlrticle vérifi.. r la propriété répond que les segments [ORj el 8uJtetln APMEp ft 402. FtwrltJr

14 [OX3) ont des longueu", inégales tandis que les segments (OR) et fox,] ont des longueurs égales: la vérification d'une propriété n'utilise donc pas toute la précision de calcul fournie par l'article Calcul er. 5 - Les nombres réels et Cabri Géomètre us.uteurs de Cabri-Géomètre n' ont pas introduit de nombres dans leu", menus, On peu t y suppléer en représentant un nom bre k par un triplet de points u.ljgnés 0, U, K tels que OK = * : si les deuj, premie", points 0 et U OV représentent l'ongine el le point d'abscisse. 1 d'un axe, k esl l'abscisse du point K sur cet axe. Ceci est suffisant pour faire dans Cabri-Géomètre de la géométrie analytique, de la géométrie vectorielle ou pour y étudier les transformations 10, Montrons, par exemple, comment définir une macro-conslruction fournissant le u.o.nsfonné M' d'un poin. M par une homothétie de centre C el de mppon k. Une te lle macro-construction aura donc cinq points iniliaux, les points M, C, 0, U et K, et un poinl final, le poinl M'. On commence par tr1ijlslater l'axo (OV) en amenant 0 en C, ce qui donne les poonts U' cl K'. Si l'axe (OU) et la droite (CM) ne sont pas parallèles, on peut oblenlr directement le point M ' comme l'intersection de la droite (CM) avec la droite passant par K' et parallèle à (MV '). Mais une télle CO"S\nIction ne donnera flen dans le cas où (OU) et (CM) sont parallèles, Pour obtenir le cas général, il,u[fit de prendre une droite d passant par C qui ne soit pas parallèle à (CM) (par exemple le perpendiculain: à (CM)) et de considérer des poin,s Vo' L sur d te ls que CL = OK. CV OU M 'est alo," le point d'intersection de 1. droite (CM) avec 13 droite passant par L et parall~ l e à (MV). Ceci donne la réalisation su ivante en Cabri, On prend V ' = parallélo(c, 0, U) ct K' = parallélo(c, 0, K). On prend la perpendiculaire d en C à (CM), un polo' quelconque P sur d, la bissectrice d' de PCU' " et les symétriques L et V de K' et V' par rapport 11 d'. Le poin! M'est alo", le poin' d'interseclion de la droite (CM) avec la droite passant par L et parall~le à (MV). 10 Y Bouteiller et M. Dupéricr u(il;~nl cette m~lhode pour une représentation unifiée des conique5 el, dans le: numt:ro 2 de Cabri()/t!. il csi même suggéré d'étudier c:er A IlIlnCS fonctions en utilisant un seul axe de coordonnées. 1 Le. point P ne sen que pour permettre à Cabri de lniccr cette: drohe. - BCll1etin APME.P rf' Février

15 , U. d o., Remarques : 1. Une tcjle Introduction consulue un relour aux sources de la géomttrie : les nombres apparrussenl, comme chez Eucllde, comme rapport> de grandours. 2 Si les poinl' de base d'une figure sonl à coordonnées rauunnelles cl SI 1. figure est constructible. soit à la règle ct nu compas. SOli même par glnise ment, les longueurs des.egments de la figure seronl toujours des nombres algébriques, Tam qu'on ne sc pose pas le probl~me de la longueur ou de la quadr.ltljre du cercle, introduire l' nsemble de tous les rcels pour faire de la g~oméuic euclidienne "it pn=sque invc:ntcr le mancau-pilon pour cas~er dc:s noix : on sail. depuis les lm"'aux de Cantor. qu'on Inlroduit des las de figures qui ne serontjamms conslruc:ublc'io, ni même conce\'able!) 6 - Conclusion On VOlt que la compr~hension et la nlnîtnsc crun logiciel. même ::J.ussi convivial que Cabn-Géomèlre supposent un minimum de tonnais!!.ances informatiques et géom6triques el un certain a pllrenlls~agc. De plu., un logiciel a un domaine d'emploi privijé~ié : Cnbri-Géomotrc est parfaitement adapté ~ la géométrie euclidienne. L' utilisation dans d' autres domaines mathématiques (géométrie "'10".11., géométrie des Lnlnsfonnations ou même anajyse) cm po~siblc, mais ~uppose une invenllon de l'utilisateur : par exemple. III construcuon du produit d'un vecteur rur un r~el suppose une compréhension profonde de J'introduction de~ nombres récis en géométrie; il en est de même du rapport d'homothétie. L' introduction d'un outil infonnatiqu(' dans l'enseignement sc fan donc plus ou moins bien ~ l le programme n'a pas été prévu pour "ulilisation de cet outil. Elle sera profondément facilitée le jour où la concepuol] de, programme intégrera la dlnlensîon informatique. On constatera alors peut.êttt que, our enseigner la géométrie a.vec un outil comme Cabri GéomèLCc. un retou r aux sources est ~an(, doute nécessaire: une introduction trop rapide de nollons trop abstraitcs telles que \"ecteur~ ou trnn~fonnalions es. peut-être Un obstacle 11 J'opprenussage d'une bonne "vision" géométrique, &Herln APMEP ri "02 Février

16 Référeoces Il] Sado AG ALMOtILOUD. Aide logicielle <l la d.olulion de problèmu avec la preu," : de. séquences didactiquu pour l'el/uignemml de la démons Iralion Recherche en didactique des matmmatiques vol. 12 no 23 (1992).p [2] Yves BOUTEJ~LER et MIchèle DUPÉRtER. us col/iques avec le logiciel "u Géomètre", Plot n 57 (décembre 1991), p M,chel CAR"AL et Roger CUPPEl'/S, us lribulalions d'un penlagone (m commenj mtll~r une recherche avec Cabr;~Géonr~tre). Paru dans Repères [4J Cabriole, Journal des utilisateurs de Cabri-Géomèlre. Deux numéros parus (au moment de la rédaction de J'article). 5) SIIA~O - CHIl'/ CHOU. Mechanieal Geomelry Theorem Proving. D. Reidel ublishing Company, l6] Cyrille DESMOULINS, Problèmes de mise en œllv" pour un lulellr de eonslrllclion defigure. In Environnement intemctifs d'apprentissage avec ordinateur (M Baron, R. Gr., et J.- F. Nicaud, cd), Eyrolle., p [7] Jean-Luc GASSER. Virions angillaires sllr UI/ urrain de foolball. in Bulletin M'MEP 0 386, p [8] Henn LEBESGUE. uçons sur les col/slrucliolls géométriques. Gauthiers Villar; Réédité par les éditions Jacques Galay en [9] Emile ŒMOINE. Géomélrographie 0.. an des COllSlruCliolls géomitriques. Seienua, Février [10] Pierre NICOLAS, COlI.lITllction el,'lrificalioll de fil/ilres géométriques dall. le sys/ème Mellloni.v.. Thèse de l' Université de Rennes [I ll Ju lius PETERSEN, M'lhades el Ihéories pour la ré.olulion de problèmes de COIISITUClioll.. géomélriq... s. Cinquième éd,ùon. Gauthiers-Villars