VECTEURS EXERCICES CORRIGES

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1 Exercice n 1. VECTEURS EXERCICES CORRIGES On considère un hexagone régulier ABCDEF de centre O, et I et J les milieux respectifs des segments [AB] et [ED]. En utilisant les lettres de la figure citer : 1) Deux vecteurs égaux ) Deux vecteurs de même direction, de sens contraire et de normes différentes ) Deux vecteurs de même direction, de même sens et de normes différentes 4) Deux vecteurs de direction différentes et de même norme. 5) Deux vecteurs opposés. Exercic e n ompléter les pointillés à l'aide de la relati de has = IB. + B C..E = F. + G on. AB + BC C les +CD IJ + DE =.. XK = XL +.K H. =.. IJ AB =.C +.D +.. CD =.A + A. RS = R. +.S + MN =. P = JK +. M.Y = XJ R Exercice n.on considère la figure-contre : En n'utilisant que les lettres représentées sur cette figure, compléter : AB + FE =... AB + AH... BA + BC =... BC + DE =... BF + GF =... AE + FB =... D E F C B H A G Exercice n 4. ABC est le triangle ci-co ntre 1) Placer les points D et E tels que AD = AC AB et ) Démontrer que A est le milieu de [ED]. AE = AB AC Exercice n 5. Dans chaque cas, Déterminer à partir du graphique une relation du type : =k où k est un réel :.... Exercice n 6. ABCD étant un parallélogramme, construire les points I, J et K tels que : AI = AB DJ = CD DK = CA + AB Exercice n 7. Soit A et B deux points distincts d un plan. Placer le point G tel que GA + 5GB = 0 Page 1/7

2 Exercice n 8. 1) Exprimer plus simplement le vecteur : n = MA AC + MB MC en fonction de AB et AC. ( ) ) u, v et w sont vecteurs. Déterminer le nombre k tel que w= k u 5 sachant que u = v et que w = v. 4 Exercice n 9. Soient trois points A, B et C distincts non alignés. Les vecteurs w et x sont-ils colinéaires dans les cas suivan ts? 1) w = AB et x = 6 AB ) w = AB + AC et x = 4 AB 6 AC ) w = AB AC et x = 9 AB AC 4) w = 1 AB + AC et x = AB 9 AC 5) w = 1 AB + AC et x = 1 AB AC 6) w = 5 AB 5 AC 1 et x = AB 4 AC Exercice n 10. On considère un triangle ABC. 1) Construire les points D et E tels que AD = AC + AB et BE = AB + AD ) Construire les points M et N tels que AM = AB et AN = AC ) Exprimer MN en fonction de BC. Que peut-on en déduire pour (MN) et (BC)? Exercice n 11. Soit ABCD un quadrilatère quelconque. On désigne par I,J,K et L les milieux respectifs de [AB], [BC], [CD] et [DA] 1) Trouvez le nombre h tel que IJ =h AC ) Que peut-on dire de LK? ) Conclure sur la nature du quadrilatère IJKL Exercice n 1. On considère un triangle ABC. On désigne par P le milieu de [AB], et par Q et R les points définis par BQ = - 1 BC et RC = 4 5 AC 1) Exprimer PQ et PR en fonction des vecteurs AB et AC ) Que peut-on dire des vecteurs PQ et PR? ) Que peut-on en déduire? Exercice n 1. Soit ABC un triangle. 5 On désigne par D et E les points tels que : AD = AC + CB 1 et CE = AC + AB Montrer que le point B est le milieu du segment [ED]. Exercice n 14. Soit ABC un triangle. 1) On désigne par J, D et K les points tels que AJ = ) Montrer que les points J, D et K sont alignés. 1, BK = AB et AD = AC BC Page /7

3 Exercice n 1 MN = MP + PN autre lettre que A) JM = JK + KM VECTEURS CORRECTION 1) Deux vecte urs ég aux sont par exemple : AB = FO = OC = ED ou encore FE = AO = OD = BC ) Deux vecteurs de même direction, de sens contraire et de normes différentes sont par exemple : AB et CF ) deux vecteurs de même direction, de même sens et de normes différentes sont par exemple : AB et FC 4) Deux vecteurs de direction différentes et de même norme sont par exemple : AB et BC 5) Deux vecteurs opposés sont par exemple : AB et DE Exercice n Compléter le s point illés à l' aid e de la relation de Chasles IJ = IB BJ XK = XL + LK FE = FG + GE AB + BC +CD + + DE = AE CD HJ = HI + IJ = CA + AD RS = RA + AS AB = AC + CD + DB (ou n importe quelle XY = XJ + RY + JR (on change alors E xe rcice n O n c ons id ère la f igure suivante : AB + FE = AB + BC = AC AB + AH = AB + BE = AE BA + BC = FG + GH = FH BC + DE = BC + CB = 0 BF + GF = BF + AB= AB+ BF = AF AE + FB = AE + EC = AC Exercice n 4 1) AD = AC AB = AC + ( AB) opposé du vcteur AB = AC + BA = BA + AC = BC AE = AB AC = AB + ( AC) opposé du l ordre des vecteurs dans la somme) vcteur AC = AB + CA = CA + AB = CB ) Puisque CB = BC, on déduit que AE = AD = DA, qui caractérise le fait que A est le milieu de {ED] Page /7

4 Exercice n 5 et ont la même et ont la même et ont la même et ont la même direction, et sont de même direction, et sont de sens direction, et sont de sens direction, et sont de même sens donc k > 0. contraire donc k < 0. contraire donc k < 0. sens donc k > 0. 5 u = v u = v u = 6 v u = 4 v = v 5 6 Exercice n 6 DJ = CD = DC Exercice n 7 1) On écrit n = ( MA AC) + MB MC = ( MA AC) + MA+ AB ( MA+ AC) = MA AC+ MA+ AB MA AC = MA + MA MA AC + AB AC = AB 5AC 5 ) Si u = v, alors v = 4 u. Si w= v, alors v = w v = u Ainsi w= u w= u = u v = w 8 Ainsi le nombre nombre k tel que w= k u vaut k = 15 Exercice n 8 GA + 5 GB = 0 Relation de Chasles GA + 5( GA + AB) = 0 GA + 5GA + 5AB = 0 GA + 5AB = GA = 5AB GA = AB AG = AB D où une construction du point G : Page 4/7

5 Exercice n 9 1) Si w = AB et x = 6 AB, alors w= AB= 6AB= x. Puisque x = w, les vecteurs x et w sont colinéaires ) Si w = AB + AC e t x = 4 AB 6 AC, alors w= ( AB+ AC) = ( ) ( AB) + ( ) AC = 4AB 6AC = x. Puisque x = w, s vecteurs x et w nt colinéaires le so ) Si w = AB AC et x = 9 AB AC, les vecteurs ne sont pas colinéaires, car s il existait un réel k tel que k w = x, on aurait kw = k ( AB AC) = k AB k AC = x k = 9 si et seulement si. Or il n existe aucune valeur k réelle k = solution de ce système 1 4) Si w = AB + AC et x = AB 1 9 AC, alors w= AB+ AC = AB 9AC = x. Puisque x = w, les vecteurs x et w sont colinéaires 5) Si w = 1 AB + AC et x = 1 AB - AC, les vecteurs ne sont pas colinéaires, car s il existait un réel k tel que k w = x 1 k, on aurait kw = k A B + AC = AB + k AC = x k 1 = si et seulement si. Or il n existe aucune k = valeur k réelle solution de ce système 6) Si w= AB AC et x = AB 4 AC alors w= AB AC = AB AC = AB AC = x. Puisque x = w, les vecteurs x et w sont colinéaires. 4 4 Exercice n 10 1) et ) voir ci-contre ) MN = MA+ AN = AM + AC = BA + AC = ( BA + AC ) = BC Les vecteurs MN et BC étant colinéaires, on déduit que les droites (MN) et (BC) sont parallèles Exercice n 11 (le Théorème de Varignon) Page 5/7

6 1) Dans le triangle ABC, I étant le milieu de [AB]et J celui de [BC], on applique la propriété dite de la droite des milieux 1 (ou de Thalès Vectoriel) pour conclure que IJ = A C ) Dans le triangle ACD, L étant le milieu de [AD]et K celui de [CD], on applique la propriété dite de la droite des 1 milieux (ou de Thalès Vectoriel) pour conclure que LK = AC 1 1 ) Puisque IJ = A C et LK = AC, on conclut que IJ = LK, donc que IJKL est un parallélogramme. Exercice n 1 1) On écrit PQ = PB + BQ car P est le milieu [ ] de AB par définition 1 1 = AB + BC 1 1 = AB ( BA + AC) = AB BA AC = AB + AB AC 5 1 = AB AC 6 Si RC = 4 5 AC 4, alors, on peut écrire de plus que CR = 5 CA, d où : PR = PA + AC + CR car P est le milieu [ ] de AB par définition 1 4 = BA+ AC+ CA AC ) On calcule 5 1 PQ = AB AC = PR Les vecteurs PR et PQ sont donc colinéaires ) On en déduit que les points P, Q et R sont alignés Page 6/7

7 Exercice n 1 1) On va exprimer les vecteurs BD et BE en fonction de AB et AC afin de montrer qu ils sont colinéaires O écri un art : n t d e p BD = BA + AD 5 = BA + AC + CB 5 + ( CA + AB) 5 = AB + AB + AC AC 1 = AB + AC E t d au tre part : BE = BC + CE 1 = BA+ AC AC+ AB. 1 = AB + AB + AC AC 1 = AB AC Puisque BD= BE, on en déduit que le point B est le milieu du segment [ED]. Exercice n 14 On écrit succ : essivement JK = JA + AB + BK 1 = BA + AB + BC 1 = AB + AB + ( BA + AC) 1 1 = AB + AB AB + AC puis JD = JA + AD = BA + AC, ce qui nous permet de constater que JD = 4JK, donc de conclure que les points J,D et K sont alignés. Page 7/7