EQUATIONS ELLIPTIQUES SEMI LINEAIRES DANS DES DOMAINES NON BORNES DE IR N

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1 PORTUGALIAE MATHEMATICA Vol. 53 Fasc EQUATIONS ELLIPTIQUES SEMI LINEAIRES DANS DES DOMAINES NON BORNES DE IR N B. Khodja Résumé: Soit f une fonction numérique continue, localement lipschitzienne vérifiant f(0) = 0. On considère le problème (P) u + f(u) = 0 u H () L (), Bu = 0 sur, avec Bu = u (condition de Dirichlet) ou Bu = u n (condition de Neumann). On montre que si = IR G où G est un ouvert quelconque de IR N ou bien un ouvert de IR N (N ), vérifiant χ IR N, χ constant tel que n, χ > 0 sur et F (u) 0 ( ). Le problème (P) n admet que la solution nulle. On a le même résultat si: = (x 1, x,..., x N ) IR N x 1 > Φ(x,..., x N ) où et Φ(x,..., x N ) = σ x α σ N x N α, F (u) c(α) u f(u) ( ). α > 1 et σ i IR Received: January 10, ( ) F (u) = ( ) c(α) = 1 u 0 f(s) ds. α 3 + N α 1 + N.

2 458 B. KHODJA Abstract: Let f be a locally lipschitz continuous function verifying f(0) = 0. We consider the problem u + f(u) = 0 u H () L (), (P) Bu = 0 on, with Bu = u (Dirichlet s condition) or Bu = u n (Neumann s condition). We show that if = IR G where G is an open set of IR N or is an open set of IR N (N ), verifying χ IR N, χ constant n, χ > 0 on and F (u) 0 ( ). The (P) problem admits only the zero solution. We have the same result if = (x 1, x,..., x N ) IR N x 1 > Φ(x,..., x N ) with and Φ(x,..., x N ) = σ x α σ N x N α, F (u) c(α) u f(u) ( ). α > 1 and σ i IR Introduction Dans ce travail on étudie le caréctère trivial de la solution de certaines équations aux dérivées partielles non linéaires dans des ouverts non bornés de IR N. On considère une fonction numérique f continue, localement lipschitzienne vérifiant f(0) = 0 de sorte que u = 0, soit une solution du problème u + f(u) = 0 u H () L (), avec soit Bu = 0 sur, Bu = u (condition de Dirichlet), ( ) F (u) = ( ) c(α) = 1 u 0 soit Bu = u n (condition de Neumann). f(s) ds. α 3 + N α 1 + N.

3 EQUATIONS ELLIPTIQUES SEMI LINEAIRES 459 Ce travail est partagé en 3 paragraphes: Dans le paragraphe I, on établit par une méthode à la Pohozaèv deux formules, l une concernant le problème de Dirichlet, l autre le problème de Neumann. Dans le paragraphe II, on montre que si IR N (N ) est un ouvert étoilé borné ou non et f est une non linéarité qui vérifie F (u) 0 où F (u) = u 0 f(s) ds, le problème de Dirichlet n admet que la solution nulle. si: Dans le paragraphe III, on étudie le problème de Neumann et on montre que f est comme dans le paragraphe II et un ouvert de IR N (N ), vérifiant χ IR N, χ constant tel que n, χ > 0 sur, ou = IR G où G est un ouvert quelconque de IR N. f(u) = c u γ 1 u + µ u, c 0 et µ IR et = (x 1, x,..., x N ) IR N x 1 > Φ(x,..., x N ), où Φ(x,..., x N ) = σ x α σ N x N α, α > 1 et σ i IR. Le problème de Neumann n admet que la solution nulle. 0 Notations et rappel sur la formule de Green Soit IR N (N ) un ouvert à frontière régulière. Notons par x = (x 1, x,..., x N ) le point générique de et par: n = (n 1, n,..., n N ) la normale extèrieure à, u xi (x) = D i (x) les dérivées partielles de u par rapport à xi au point x, u xixj (x) = D ij (x) les dérivées partielles secondes de u par rapport à x i x j, u(x) = (u x1, u x,..., u xn ) le gradient de u au point x, u(x) = div( u(x)) le laplacien de u au point x.

4 460 B. KHODJA Formule d integration par partie. Soient u(x) et v(x) deux fonctions de H 1 () (espace de Sobolèv). Pour tout 1 i N, on a (0.1) u xi v dx = u v xi dx + n i u v ds, où n i (x) = cos(n, x i ) est le cosinus directeur de l angle de la normale extérieure à au point x avec l axe x i. Formule de Green. Pour v, u dans H 1 (), H () respectivement on a (0.) u v dx = u, v dx + u, n v ds. I Resultats generaux Dans cette partie, on établit certains résultats qui vont nous servir dans toute la suite. désigne un ouvert de IR N à frontière de classe C 1. Soit f une fonction numérique localement lipschitzienne, on pose pour tout s réel: s F (s) = f(τ) dτ. Pour u appartenant à H () L (), on considère l équation: (1.1) u + f(u) = 0. 0 Remarquons tout de suite que u H () L () et f(0) = 0 impliquent que: On a: F (u) L 1 (). Proposition 1.1. Soit u H () L () une solution de (1.1) et (a i ), 1 i N, des constantes réelles, alors on a: (1.) ai u xi 1 ai u a i F (u) = = 1 ai n i x i u + F (u) + u n ai x i u xi. Donnons deux lemmes, l un concernant le problème de Dirichlet, l autre le problème Neumann.

5 EQUATIONS ELLIPTIQUES SEMI LINEAIRES 461 Lemme A. Dans le cas du problème de Dirichlet (u = 0 sur ), on a: (1.) ai u xi 1 ai u a i u a i F (u) = = 1 ai n i x i u. (1.4) Lemme B. Pour le problème de Neumann (u n = 0 sur ), on a: ai u xi 1 ai u a i F (u) = = 1 ai n i x i u + F (u). La formule (1.) signifie qu il existe une suite R n + quand n + telle que ai u xi 1 ai u a i F (u) = = lim 1 ai n i x i u + F (u) + u n ai x i u xi. n + BR n Nous allons donner la démonstration de la proposition dans le cas où n est pas borné, le cas borné est simple. Démonstration: Désignons par B R (0) la boule dans IR N de centre 0 et de rayon R > 0 et soit R = B R (0). Multiplions l équation (1.1) par a i x i u xi, puis intégrons sur R, on obtient: R ( u + f(u)) (a i x i u xi ) dx = 0. Grace aux formules (0.1) et (0.), le premier terme devient: u(a i x i u xi ) = u (a i x i u xi ) u n a i x i u xi R R R = a i u xi + 1 R a i x i D i u u n a i x i u xi R = a i u xi 1 R a i u + 1 a i n i x i u u n a i x i u xi. R R

6 46 B. KHODJA D où: (1.5) De même pour le second terme, on obtient: f(u) a i x i u xi = a i x i D i F (u) = a i F (u) + a i n i x i F (u). R R R R a i u xi 1 R a i u a i F (u) + 1 u n a i x i u xi = 1 B R Sur DB R on a: DB R a i n i x i a i n i x i B R u +F (u) u + F (u) + u n a i x i u xi. DB R n i = x i x (DB R désigne le bord de B R ). Ainsi le second terme de (1.) est majoré par: 3 A(R) = R a i DB R u + F (u). Notons que si est borné, alors pour R assez grand, on a DB R = et A(R) = 0. Si est non borné, comme u L () et F (u) L 1 (), on doit avoir: dr DB R u + F (u) < +. Par conséquent on peut toujours trouver une suite (R n ) telle que R n et A(R n ) n + n + On obtient (1.) par combinaison linéaire. 0. n + et Démonstration du Lemme A: u = 0 sur entraine F (u) = 0 u = u n n sur

7 EQUATIONS ELLIPTIQUES SEMI LINEAIRES 463 ce qui donne ai u xi 1 ai u 1 ai F (u) = = 1 ai n i x i u + u n ai x i u xi = 1 ax, n u + u n ax, u = = 1 ax, n u + u n ax, n 1 ax, n u. Démonstration du Lemme B: immédiatement (1.3). Si u n = 0 sur, la formule (1.1) donne II Problème de Dirichlet On suppose étoilé par rapport à l origine avec une frontière de classe C 1. La fonction numérique f vérifie (i) f(0) = 0. On considèrele problème de Dirichlet (.1) Notons, alors que D autre part u + f(u) = 0 u H () L (), u = 0 sur. x, n(x) 0 sur. u C() car u W,p loc () pour tout p [, + [. On a le Théorème.1. On suppose que f est telle que (ii) F (u) 0. Soit u H () L () solution du problème (.0), alors u = 0.

8 464 B. KHODJA Avant de donner la démonstration, notons que M.J. Estéban et P.L. Lions ont établi que si u est solution de (.1) u = f(u) u C (), u = 0 sur, satisfaisant u L (), F (u) L 1 (), lorsque est un domaine connexe non borné, tel que χ IR N, χ = 1, n(x), χ(x) 0 sur, n(x), χ(x) 0, necéssairement u = 0 voir [3]. Pour des domaines bornés, les équations du type (.1) peuvent en général posséder des solutions non triviales obtenues par bifurcation. Le Théorème.1 non seulement ne rentre pas dans le cadre du résultat de [3], mais en plus il donne un résultat de trivialité pour des domaines bornés. Démonstration: Appliquons la formule (1.3) avec a i = 1, on obtient (N ) u + N F (u) + x, n u = 0 N, F (u) 0 et étoilé impliquent que (N ) u + N F (u) = 0 p.p. sur. D ou: F (u) = 0 sur. Deux cas peuvent se présenter: 1) Soit u = cte = α 0 ; La condition au bord (u = 0 sur ) nous donne α 0 = 0. ) Soit u cte. Comme u C(), Im(u) est un intervalle de IR, posons K = intim(u). Alors, pour tout v K, F (v) = 0 et d dv F (v) = 0.

9 EQUATIONS ELLIPTIQUES SEMI LINEAIRES 465 Comme Im(u) K, alors pour tout v K, f(v) = 0. Autrement dit: Pour tout x, f(v(x)) = 0. Le problème (.1) se réduit à: u = 0 u H () L (), u = 0 sur. Ce nouveau problème, n admet que la solution nulle. Remarque.. par: On obtiendrait un résultat simulaire, si on remplace (ii) (ii) Il exite µ, µ > 1 1 N, tel que F (u) µ uf(u). Exemple.3: Comme fonction rentrant dans le cadre du Théorème.1, on peut prendre f(u) = u(u + A) (u + B) avec A B 5 (A + B ). III Problème de Neumann Soit IR N (N ) un domaine connexe non borné vérifiant (3.0) χ IR N, χ constant tel que χ, n(x) > 0 sur. On considère alors le problème semi-linéaire u + f(u) = 0 u H () L (), (3.1) u n = 0 sur. Remarquons que l analogue du résultat d Esteban Lions pour les problèmes de Neumann n est pas vrai. Berestycki, Gallouet et Kavian ont établi que le problème u u 3 + u = 0, u H (IR ) admet une solution radiale, voir [4]. Cette même solution vérifie u u 3 + u = 0 u H (]0, + [ IR), u n = 0 sur 0 IR.

10 466 B. KHODJA On a en tout cas le résultat suivant: Théorème 3.1. On suppose que f est comme dans le Théorème.1. Soit u H () L () solution du problème (3.1), alors u = 0. Démonstration: Comme dans la Proposition 1.1 multiplions l équation (3.1) par u xi et intégrons sur R, on obtient 1 B R n i u + F (u) + DB R Le second et le troisième terme sont majorés par Par conséquent qui entraine R + B(R) = DB R x i u + F (u) + u n u xi = 0. x DB R u + F (u). 1 n i u + F (u) = 0 χ, n u + F (u) = 0. On déduit alors χ, n u + F (u) = 0 p.p. sur. La formule (1.4) devient On obtient finalement ai u xi 1 ai u a i F (u) = 0. ( N) u N F (u) = 0. Comme dans le Théorème.1, le problème (3.1) devient u = 0 u H () L (), u n = 0 sur. La multiplication par u donne u = 0,

11 EQUATIONS ELLIPTIQUES SEMI LINEAIRES 467 u est donc constante, mais comme u H () L (), on doit avoir lim u(x) = 0. x, x + La constante est nulle et par conséquent u = 0. Exemple 3.: Soit = (x 1, x,..., x n ) x 1 > Φ(x,..., x n ), où Φ: IR N 1 IR est de classe C 1. Le problème (3.1) n admet que la solution nulle (prendre χ = e 1 = (1, 0,..., 0)). Cas de = IR G. Soit = IR G ou G est un ouvert de IR N à frontière de classe C 1. Pour le problème (3.3) u + f(u) = 0 u H () L (), Bu = 0 sur, avec Bu défini comme précédemment. On a: Théorème 3.3. Si on suppose que f est comme dans le Théorème.1, alors si u H () L () est solution de (3.3), u = 0. Démonstration: Le problème de Dirichlet même dans le cas = R G est traité dans le Théorème.1. Notons x = (x 1, x,..., x n+ ) le point générique de IR G et appliquons la formule (1.3) avec a i = 0 pour i 3, on obtient ai u xi 1 Prenons ensuite a 1 = a = 1, on obtient ai u a i F (u) = 0, 1 i. 1 u xj + F (u) = 0. j 3 On déduit alors F (u) = 0.

12 468 B. KHODJA Donc F (u) = 0 p.p. sur. On conclut, alors comme dans le Théorème.1. Remarque 3.4. Si = IR G, le problème de Neumann (3.1) est résolu, lorsque G = ]0, π[. Pour G quelconque le problème est encore ouvert. Cas de = (x 1, x,..., x N ) IR N x 1 > σ x α σ N x N α, α IR, α 1 et σ i des nombres réels. Pour le problème de Neumann (3.1), on a Théorème 3.4. Soit f une fonction telle que F (u) 1 α 3 + N α 1 + N u f(u). Si u H () L () est solution du problème (3.1), alors u = 0. Démonstration: Pour x = (x 1, x,..., x N ) on a ai n i x i = 1 σ (a 1 α a ) σ x α σ (a 1 α a N ) σ N x N α, σ = Choisissons alors (α σ ) x (α 1) (α σ N ) x N (α 1). a 1 = α a =... = α a N. La somme est nulle sur le bord et la formule (1.4) devient (1.4) α + 1 N u x1 α 3 + N (u x u xn) (α 1 + N) F (u) = 0. Multiplions l équation (3.1) par 3 α+n u, puis intégrons sur on obtient (1.4) α 3 + N u + α 3 + N u f(u) = 0. Des formules (1.4) et (1.4) on déduit (3.5) (α 1) u (α 3 + N) x1 + u f(u) (α 1 + N) F (u) = 0. Comme α > 1 et F (u) 1 α 3 + N α 1 + N u f(u),

13 EQUATIONS ELLIPTIQUES SEMI LINEAIRES 469 on obtient u x1 = 0. D ou u x1 = 0 et u = u(x, x 3,..., x N ). Comme u H (), on doit avoir u = u (x, x 3,..., x N ) dx 1 dx dx N < +. Donc u = 0. Exemple 3.6: Soit c 0, γ > 1 et µ un paramètre réel. Le problème n admet que la solution nulle. D ou Démonstration: u + c u γ 1 u = µ u u H () L (), u n = 0 sur, f(u) = c u γ 1 u µ u, F (u) = c γ + 1 u γ+1 µ u. (α 1 + N) F (u) (α 3 + N) u f(u) = α 1 + N γ(α 3 + N) = u c u γ 1 µ u. γ + 1 Comme α > 1 et α 3 + N = α 1 + N > 0, si le résultat est immédiat. Si γ 1 + γ 1 + le principe de maximum nous assure que Par conséquent, 4 α 3 + N 4 α 3 + N u γ 1 µ c, c 0. α 1 + N γ(α 3 + N) u c u γ 1 µ µ (α 1 + N) (1 γ) u γ 0. γ + 1 γ + 1

14 470 B. KHODJA Exemple 3.7: et c 0. Le problème Soit γ tel que 1 γ α N α 3 + N = α 3 + N u + c u γ 1 u = 0 u H () L (), Bu = 0 sur, ne peut avoir de solutions dans l espace H () L () autre que zéro. REFERENCES [1] Ambrosetti, A. and Rabinowitz, P.H. Dual variational method in critical points theory and applications, J. Funct. Anal., 14 (1973), [] Esteban, M.J. et Lions, P. Comptes rendus, 90 série A, p [3] Esteban, M.J. et Lions, P. Existence and non existence results for semi linear elliptics problems in unbounded domains, Thése de 3ème cycle, Paris, [4] Gallouet, T. Thse d État, Paris, VI, [5] Haraux, A. et Khodja, B. Caractère trivial de la solution de certaines équations aux dérivées partielles non linéaires dans des ouverts cylindriques de IR N, Portugaliae Math., 4() ( ). [6] Pohozaev, S.L. Eigenfunctions of the equation u + λ f(u) = 0, Sov. Math. Dokl., 5 (1965), Khodja Brahim, Université D Annaba, Institut de Mathématiques, B.P. 1 Annaba ALGERIE

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