Modélisation statistique du coût d une assurance parentale pour les étudiants de cycles supérieurs au Québec

Transcription

1 ARTICLES ACADÉMIQUES ACADEMIC ARTICLES Assurances et geston des rsques, vol. 79(3-4), octobre janver 2012, Insurance and Rsk Management, vol. 79(3-4), October January 2012, Modélsaton statstque du coût d une assurance parentale pour les étudants de cycles supéreurs au Québec par Jean-Phlppe Boucher résumé Le régme québécos d assurance parentale (RQAP) exste depus Ce système d assurance matéralse les préoccupatons à tendance socale-démocrate de la populaton québécose. Ce système couvre pratquement la totalté des travalleurs au Québec, mas ne s applque pas aux étudants. Sachant qu ls sont dans l âge de procréer, l pourrat être ntéressant de se questonner sur la possblté d étendre le régme actuel d assurance parentale aux étudants de maîtrse et de doctorat afn de leur donner une protecton socale dans le cas d une nassance. À l ade de données provenant d un sondage auprès de la populaton étudante d études de cycles supéreurs, le présent paper propose une approche probablste et statstque pour prédre le nombre de nassances de parents étudant à la maîtrse ou au doctorat au Québec. Par la sute, à l ade de la modélsaton de la natalté, nous évaluerons le coût de l ntroducton d une assurance parentale pour étudants de cycles supéreurs au Québec. En estmant certanes nformatons et en posant certanes hypothèses, nous avons pu calculer un coût d assurance d envron 6.57 $ mllons de dollar pour ce régme. Sachant que de nombreux régmes d assurances collectves au Québec majorent le régme d assurance parentale du Québec lorsqu un employé qutte pour un congé parental, nous croyons que le modèle proposé pourrat auss être utlsé pour prédre les coûts de cette couverture d assurance. L auteur : Jean-Phlppe Boucher : Quantact / Département de Mathématques, Unversté du Québec à Montréal. L auteur amerat remercer le Consel de recherches en scences naturelles et en géne du Canada (CRSNG) et le Fonds de recherche du Québec Nature et technologes (FRQNT) pour leur support fnancer. L auteur amerat auss soulgner l ade et le support fnancer de la Fédératon étudante unverstare du Québec (FEUQ). 201

2 Mots clés : Nassances, assurance parentale, données de comptage, modèle de Posson non-homogène, temps d attente, somme composée. abstract The Quebec Parental Insurance Plan (QPIP) exsts snce Ths system covers almost all workers n Quebec, but does not nclude the student populaton. Knowng they are n the chldbearng age, t mght be nterestng to evaluate about the possblty of extendng the current system of parental nsurance for graduate students. Usng data from a survey of the graduate students populaton, ths paper proposes a probablstc and a statstcal approaches to predct the number of brths from parents that are n completng graduate studes. Usng the modelng of the brth rate, we wll evaluate the cost of the ntroducton of parental nsurance for graduate students n Quebec. Under certan assumptons, we are able to calculate a cost of nsurance of about 6.57$ mllon for ths plan. Knowng that many group nsurance plans ncrease the QPIP benefts for ther employees, we beleve that the proposed model could also be used to predct the costs of such nsurance coverage. Keywords: Brths, parental nsurance, count data, non-homogeneous Posson, watng tmes, compound sum. 1. INTRODUCTION Le régme québécos d assurance parentale (RQAP) matéralse les préoccupatons à tendance socale-démocrate de sa populaton. Le RQAP a pour but de favorser la conclaton traval-famlle en assurant une sécurté fnancère aux nouveaux parents lors de la nassance ou l adopton d un enfant. Il permet également aux parents qu désrent avor des enfants de conserver un len avec le monde du traval sans avor à se lmter dans la poursute de leurs buts sur le marché du traval. Les prestatons du RQAP peuvent être versées selon deux régmes : le régme de base et le régme partculer. Les deux régmes comprennent tros types de prestaton, c est-à-dre les congés de maternté, de paternté et parentaux dont la durée et le pourcentage de couverture salarale dffèrent. Ces dfférences apportent une certane adaptablté du régme face aux réaltés du marché du traval. La populaton qu entreprend des études de cycles supéreurs est très hétérogène en ce qu a trat à leur manère de fnancer leurs études de deuxème ou de trosème cycle. Les fnancements peuvent provenr de pluseurs sources : de bourses d excellence et de récompenses au mérte, de revenus d emplo à temps partel ou à temps plen, du souten du drecteur de recherche, d ades pour les stages, 202 Assurances et geston des rsques, vol. 79(3-4), octobre janver 2012

3 colloques et actvtés de formaton et de l ade fnancère aux études du gouvernement du Québec (AFE). Les bourses et sout ens provennent eux-mêmes de multples organsmes, dont les organsmes subventonnares gouvernementaux (ex.: CRSNG, CRSH, FQRNT), de fonds unverstares, de socétés et d ndustres. Selon une étude effectuée récemment ([CNCS(2007)]) l mportance relatve des sources de revenu des étudants vare grandement selon l âge de l étudant, le nveau d étude, le secteur d étude, l appartenance à un groupe de recherche, le statut de ctoyenneté et l établssement d ensegnement. Le gouvernement québécos a mplanté certanes mesures pour ader fnancèrement les parents bénéfcares de l ade fnancère aux études (AFE). Les mesures actuelles de conclaton famlle-études offertes par l AFE permettent aux étudants avec des enfants à charge de contnuer à recevor des prêts et bourses malgré une nscrpton à temps partel. En règle générale, le programme de prêts et bourses est offert aux étudants à temps plen. D autres mesures augmentent les dépenses admses pour l obtenton d ade fnancère aux étudants bénéfcares de prêts et bourses du gouvernement du Québec. Il s agt, entre autres, de la couverture des fras de subsstance pour un enfant, des médcaments et des fras de garde pour une place subventonnée en centre de la pette enfance. Une prolongaton de la pérode d admssblté à une bourse, pour permettre de subvenr aux fras lés à un enfant à charge peut également, dans certans cas, faclter l adaptaton lors de la nassance d un enfant pendant les études. Il pourrat être ntéressant de se questonner sur la possblté d étendre le régme actuel d assurance parentale pusque, malgré ces mesures mses en place par l ade fnancère aux études, l lasse une parte de sa populaton, notamment les étudants boursers d autres organsmes subventonnares ou bourses provenant de l ndustre, vvre avec des ressources fnancères nadaptées lors de la nassance d un enfant. Dans ce questonnement sur une possble assurance parentale pour étudants, un des prncpaux problèmes est le calcul d un coût total d ndemnsaton. À l ade de données provenant d un sondage fat auprès de la populaton étudante de cycles supéreurs, le présent paper propose une approche statstque pour prédre le nombre de nassances des étudants de maîtrse et de doctorat au Québec. À notre connassance, l s agt de la premère recherche évaluant ans l mpact de la poursute des études de cycles supéreurs sur le taux de natalté. Par la sute, à l ade de la modélsaton de la natalté, nous évaluerons le coût de l ntroducton d une assurance parentale pour étudants de cycles d études supéreures au Québec. Sachant que de nombreux régmes d assurances collectves au Québec majorent le régme d assurance Modélsaton statstque du coût d une assurance parentale pour les étudants 203

4 parentale du Québec lorsqu un employé qutte pour un congé parental, nous croyons que le modèle proposé pourrat auss être utlsé pour prédre les coûts de cette couverture d assurance. Dans la secton 2, nous décrvons les données utlsées pour l étude, sot les taux de fécondté de la populaton québécose provenant de l Insttut de la Statstque du Québec et un sondage effectué par le Consel natonal des cycles supéreurs (CNCS) en 2006, sur plus de 1500 étudants de cycles supéreurs au Québec. Dans la secton suvante, nous effectuons une revue de la lttérature pour la modélsaton de la natalté d une populaton globale, mas proposons auss une nouvelle approche pour le type de données utlsées. En effet, en nous basant sur des modèles probablstes de comptage, nous proposons une manère d estmer le taux de natalté observée pour une populaton sondée. Applqué au sondage du CNCS, ce modèle nous permettra de comparer le taux de natalté de la populaton étudante à celle de la populaton générale au Québec. Également, le calcul du coût de l assurance parentale, selon dvers scénaros, sera proposé à la secton 4. La dernère parte de l artcle conclut. 2. SOURCES EXTERNES ET DONNÉES UTILISÉES Les prestatons du RQAP peuvent être versées selon deux régmes : le régme de base et le régme partculer. Les deux régmes comprennent tros types de prestaton, c est-à-dre les congés de maternté, de paternté et parentaux dont la durée maxmale et le pourcentage de couverture salarale dffèrent. Par exemple, le congé parental qu peut être chos par la mère ou par le père, couvre 70 % du salare lors des 7 premères semanes et 55 % du salare ensute pour le régme de base. Le régme partculer propose une couveture à 75 % du salare, mas est lmtée à 25 semanes au leu de 32 (25+7) semanes. Ces dfférences, llustrées dans le tableau 1, apportent une certane adaptablté du régme face aux réaltés du marché du traval. Au nveau de la populaton étudante au Québec, le ste du Mnstère de l Éducaton et des Losrs du Québec (MELS) fournt les nformatons de base au nveau du nombre d étudants unverstares, ventlé par l âge de ces derners. Le tableau 2 ndque le nombre d étudants de cycles supéreurs, par âge, pour l année Insurance and Insurance Rsk Management, and Rsk Management, vol. 79(3-4), October vol. xx(x-x), xxxx-xxxx January

5 TABLEAU 1 CARACTÉRISTIQUES DU RÉGIME DE BASE ET DU RÉGIME PARTICULIER DU RQAP Régme de base Régme partculer Types de prestaton Nombre maxmal de semanes de prestaton Pourcentage du revenu hebdo. moyen Nombre maxmal de semanes de prestaton Pourcentage du revenu hebdo. moyen Congé de maternté Congé de paternté Congé parental % % 5 70 % 3 75 % 7 70 % % % TABLEAU 2 POPULATION ÉTUDIANTE AUX CYCLES SUPÉRIEURS AU QUÉBEC PAR GROUPES D ÂGE ET SEXE Maîtrse Doctorat Âge Homme Femme Homme Femme > Total Modélsaton statstque du coût d une assurance parentale pour les étudants 205

6 2.1 Taux de fécondté, Insttut de la Statstque du Québec On peut défnr le taux de fécondté, ou plus précsément l ndce synthétque de fécondté des femmes, comme étant le rapport entre le nombre total de nassances vvantes et le nombre total de femmes. De manère plus générale, on peut défnr le taux de natalté comme le rapport entre le nombre total de nassances vvantes et la populaton. Selon la populaton chose, nous évaluerons ans le taux de natalté pour les hommes et le taux de natalté pour les femmes. Dans ce paper, nous prendrons l hypothèse que le taux de fécondté québécos possède certanes smltudes au taux de natalté. L analyse graphque de la courbe de l année 2006 de la fgure 1 nous permet de fare quelques observatons. Nous pouvons constater que le taux de fécondté tend à augmenter avec l âge, jusqu à attendre un pont maxmum vers 30 ans, pour ensute dmnuer jusqu à l âge de 45 ans. L analyse des autres courbes de la fgure 1 nous confrme que ce type de forme peut être observé à chaque année calendare. À partr de l analyse de ces taux de fécondté, l convent de nous questonner sur la forme du taux de fécondté (ou taux de natalté) des étudants de cycles supéreurs. En effet, pour les étudants, nous pouvons penser qu l est probable d observer le même genre de crossance et de décrossance du taux. Parallèlement, pusque par exemple une personne de 20 ans en 2001 est âgé de 21 ans en 2002, et de 22 ans en 2003, l analyse de taux de natalté peut auss s effectuer sous l angle de cohorte, comme cela est fat mantenant dans l analyse de l assurance-ve (vor le lvre de Delwarde et Denut (2005) pour une revue des modèles de mortalté sous un angle de cohorte). Cette analyse pourrat nous assurer de l évoluton de la forme du taux de fécondté au cours des prochanes années. La fgure 2 llustre l mpact de l effet de cohorte sur le taux de fécondté, où chaque courbe contenant 8 ponts (les années 2001 à 2008) représente l évoluton du taux de fécondté des femmes nées la même année au cours des années 2001 à Ben qu l semble bel et ben y avor un effet de cohorte, ou encore un effet de génératon sur le taux de fécondté (les femmes de 30 ans en 2008 ont plus d enfants que les femmes de 30 ans en avaent en 2001, par exemple), la forme du taux de fécondté reste assez smlare : une courbe unmodale, symétrque ayant une forme de cloche. 2.2 Taux de natalté, sondage effectué par le CNCS La modélsaton de la natalté consttue une parte mportante de l analyse de l assurance parentale pour les étudants. Les dverses agences gouvernementales ou nsttuts statstques collectent le taux de fécondté de la populaton, tel qu llustré à la fgure??. Toutefos, 206 Assurances et geston des rsques, vol. 79(3-4), octobre janver 2012

7 FIGURE 1 TAUX DE FÉCONDITÉ DE LA POPULATION DE 2001 À 2008 SELON L ÂGE DE LA MÈRE 0,14 0,13 0,12 0,11 0,10 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0, FIGURE 2 TAUX DE FÉCONDITÉ (SOUS FORME DE COHORTE) DE LA POPULATION DE 2001 À 2008 SELON L ÂGE DE LA MÈRE 0,14 0,13 0,12 0,11 0,10 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0, Modélsaton statstque du coût d une assurance parentale pour les étudants 207

8 aucune statstque n est collectée au nveau de l occupaton des parents (aux études ou non) lors de la nassance. Ans, l n est pas possble de connaître le nombre d enfants nés de parents aux études lors de la nassance. Il convent de trouver une façon d estmer le plus adéquatement possble ce taux de natalté des étudants. Nous utlsons un sondage du CNCS en 2006, effectué sur 1531 étudants étant nscrts dans un programme de maîtrse ou de doctorat. Le sondage ne content pas l nformaton précse concernant les nassances d enfants, ou plus précsément concernant le nombre d enfants nés pendant que le parent état aux études. Cette nformaton aurat pu nous permettre de modélser drectement le taux de natalté. Toutefos, nous avons accès au nombre d enfants à charge et à l âge de l étudant. À partr du taux de fécondté de la populaton générale, et des nformatons obtenues par le sondage effectué par le CNCS, l est toutefos possble d avor un estmé du taux de natalté, tel que nous le montrerons à la secton suvante. 3. MODÈLE PROBABILISTE DU NOMBRE DE NAISSANCES 3.1 Modèle de Posson non-homogène Beaucoup de papers et de lvres ont été publés en démographe pour l analyse de la natalté. Le lvre de Alho et Spencer (2005) est une excellente référence. Toutefos, les modèles utlsés en démographe ne se basent pas sur des bases de données contrutes comme celle du CNCS. En effet, les analyses sont davantage sur des populatons entères et les projectons à long terme, que sur de petts groupes d ndvdus pour des prédctons à court terme. Le lvre de Alho et Spencer (2005) propose néanmons certans modèles probablstes pouvant être utlser dans notre étude. En effet, en utlsant un processus de Posson non-homogène de foncton d ntensté l(t), où l(t) représente le taux de natalté, l peut être possble de fare une utlsaton adéquate d une base de données contenant l âge et le nombre d enfants à charge d une personne. En effet, selon un modèle de Posson non-homogène, pour un ndvdu âgé de T années, l peut être montré que la dstrbuton de probablté d avor un nombre d enfants à charge égal à n peut être exprmé comme : n m ( T) exp( m ( T)) Pr( N ( T) = n) = (1) n! 208 Insurance and Insurance Rsk Management, and Rsk Management, vol. 79(3-4), October vol. xx(x-x), xxxx-xxxx January

9 où N est la varable aléatore modélsant le nombre d enfants à charge de l ndvdu, et m ( T) = T λ ( t) dt. L ndce permet d utlser une foncton de len, tel que exp(x 0 'b), et d ans ntrodure dans le modèle certanes caractérstques de l assuré, tel que son sexe, son état cvl, son domane d étude, etc. Cette forme d analyse de la natalté partage d alleurs de nombreuses smltudes avec les bases de données classques en assurance de dommage. En effet, le format des bases de données en assurance automoble, par exemple, est assez smlare (vor Boucher et al.(2007) par exemple), et l analyse du nombre de réclamatons en assurance peut fortement s apparenter à l analyse du nombre de nassances. Nous proposons que la foncton d ntensté l(t) sot approxmée paramétrquement. La secton 4 propose d alleurs une forme paramétrque gaussenne pour l (T). 3.2 Nassances multples Sachant que la sondage ne content pas le nombre d accouchements, mas ben le nombre de nassances (ce qu ne correspond pas dans le cas de nassances multples), l convent d adapter le modèle. En effet, dans le cas de nassances multples, la prestaton d assurance reste la même. Un modèle partculer semble convenr à cette stuaton. Récemment, Boucher et al. (2007) ont utlsé une nouvelle dstrbuton pour le nombre de réclamatons en assurance : la bnomale négatve X. Ce modèle est basé sur une somme composée correspondant à : N = Y j=1 X j où les X j sont des varables aléatores entères, ndépendentes and dentquement dstrbuées, et où Y et les X j sont ndépendants. Lorsque Y est supposé Posson de moyenne µ et X j est logarthmque avec paramètre η, l en résulte que N est bnomal négatf (en utlsant l hypothèse standard que X = 0 Y j=1 j (2) s Y = 0). Ce modèle semble être ntutvement valde car la varable Y se veut défnr le nombre d accouchements, alors que chaque X j modélse le nombre de nassances pour chaque accouchement j. En conséquence, la varable aléatore N défnt le nombre total d enfants. Un modèle avec régresseurs a été proposé par Santos Slva et Wndmejer (2001) qu ont défn le modèle de régresson NegBn x de la manère suvante : le paramètre η de la dstrbuton logarthmque est exprmé par les régresseurs de la manère suvante : Modélsaton statstque du coût d une assurance parentale pour les étudants 209

10 η exp( x ' κ) = 1 η et la dstrbuton de Posson utlse la foncton l = exp(x 'â) pour sa moyenne. Conséquemment, N est bnomal négatf avec paramètres l / log(1 + exp(x 'k)) et exp(x 'k). La foncton de probablté est défne comme : λ Γ + n + κ exp( λ ) ' log(1 exp( x Pr( N = n) = )). (3) λ ' n Γ ( n + 1) Γ + κ (1+ exp( x κ)) ' log(1 exp( x )) 3.3 Temps d attente entre deux accouchements Un autre correctf se dot toutefos d être ajouté au modèle du nombre d enfants. En effet, on pourrat crore qu un temps d attente entre chaque accouchement se dot d être ajouté. Sauf pour le cas des adoptons et dans certanes stuatons exceptonnelles pour la modélsaton du nombre d enfants pour un homme, on peut s attendre à ce qu l y at un temps d attente mnmal entre deux accouchements. En ce sens, la théore du temps d attente entre les événements se dot d être utlsée pour obtenr un bon modèle. En défnssant m( t) = t λ( s) ds = Λ[ t] Λ[0], nous pouvons ans utlser le développement suvant : Y ( TY )( = T) 0 = 0 W1 W> T> T Pr( YPr( ( TY )( = T) 0) = = 0) e= e 0 1 ( Λ[ T ( ] Λ Λ[ T [0]) ] Λ[0]) où W 1 correspond au temps d attente avant le premer événement. En supposant W k comme le temps d attente entre le k 1 e et le k e événement et a comme le temps d attente mnmal entre deux accouchements, nous poursuvons ans : Y ( T) < k W + ( a + W ) + ( a + W ) ( a + W ) > T W + W W > T ( k 1) a S > T ( k 1) a k k k (4) Connassant le temps d attente du k e événement,.e S k, pour un modèle de Posson non-homogène (vor [Ross(1996)] par exemple), nous pouvons donc nscrre la foncton de probablté du nombre d événements k comme : 210 Assurances et geston des rsques, vol. 79(3-4), octobre janver 2012

11 avec : Pr( Y ( t) < k) = Pr( S > T ( k 1) a) Pr( Y ( t) < k) = G( k, λt) = 1 Γ( k) k T ( k 1) a λ( t) Γ( k) [ m( t)] k e m t dt ( ) = 1 G k; Λ[ T ( k 1) a] Λ[0] ( λ λ ν ν ) t k k 1 λν t e d = 0 1 ( ) (5) e! k λt Ans, la foncton de probablté du nombre d événements Y se produsant dans l ntervalle de temps (0,T) s écrt comme : =0 Pr( Y ( T) = k) = Pr( Y ( T) < k + 1) Pr( Y ( T) < k) ( G ( k + Λ T k a Λ )) ( G( k Λ T k a Λ )) G ( k + Λ T k a Λ ) G( k Λ T k a Λ ) = 1 1; [ ] [0] 1 ; [ ( 1) ] [0]] = 1; [ ] [0] ; [ ( 1) ] [0]] (6) Pusque la varable Y n est plus possonnenne, le modèle bnomale négatve X ne peut plus être utlsé. Nous proposons plutôt l approche suvante où n k,.e. que le nombre d enfants est plus grand ou égal au nombre d accouchements : Pr( N( T) = n) = Pr( X + X X = n Y ( T) = k)pr( Y ( T) = k) = Pr( X + X X = n k)pr( Y ( T) = k), = = n k=0 n k=0 1 2 n ( γk) e ( n k)! n n k γk k=0 ( γk) e ( n k)! n n k γk k=0 1 2 Pr( Y ( T) = k) ( + 1; Λ[ ] Λ[0] ) ( ; [ ( 1) ] [0]]) G k T k a G k Λ T k a Λ où X ' n est qu une translaton de X tel que X ' = X + 1 pusque chaque nassance crée au mons un nouvel enfant. Ans, en supposant que le taux de natalté à l âge 0 (L[0]) est nul, nous pouvons donc exprmer la foncton de probablté du nombre d enfants de l étudant comme : (7) Pr( N ( T) = n) = e Λ [ T ] n γ k n k ( γ k) e ( n k)! n = 0 ( G n 1; [ T k a] G n; [ T ( k 1) a] ) n > 0. ( + Λ ) ( Λ ) k=1. (8) Modélsaton statstque du coût d une assurance parentale pour les étudants 211

12 3.4 Hétérogénété Tout comme l analyse de la snstralté en assurance dommage, pluseurs caractérstques d un ndvdu analysé dans le modèle (8) ne peuvent pas être utlsées dans la modélsaton. En effet, certans éléments ne sont pas dsponbles dans l analyse (mortalté nfantle, adopton, ntérêt d avor des enfants, problème de fertlté, actvté sexuelle mportante, etc.). Néanmons, certanes de ces varables ont un mpact sur le taux de natalté d un ndvdu. Afn de modélser ces caractérstques nconnues de chaque étudant, nous ntrodusons un paramètre d hétérogénété θ dans le modèle. Cette modélsaton Bayésenne emprque est une alternatve ntéressante (vor Boucher et Denut (2008) pour une utlsaton en assurance automoble) car elle permet de modélser statstquement pluseurs éléments nconnus de chaque étudant. Mathématquement, on suppose que le facteur d hétérogénété est ajouté au paramètre de moyenne de la dstrbuton de comptage. On dénote par h( ) la dstrbuton de l hétérogénété θ, et nous supposons que celle-c est dstrbuée selon une lo gamma de moyenne 1. Ans, pour n > 0 : P( N ( T) = n) = P( N ( T) = n θ) h( θ) dθ = 0 n 0 k=1 n k ( γ k) e ( n k)! γ k ( + 1; Λ[ ] θ) ( ; [ ( 1) ] ) G n T k a h( θ) dθ G n Λ T k a θ (9) Cette dernère ntégrale peut se calculer numérquement, à l ade de certan logcel statstque par exemple. Toutefos, le lecteur ntéressé peut consulter Boucher et Denut (2007) pour connaître une forme de la formule fermée de G (.; θ) h( θ ) d θ lorsque θ sut une lo 0 gamma. 4. APPLICATION À LA POPULATION ÉTUDIANTE Le chox d une foncton pour le taux de natalté l(t) se dot d être chose. La forme Gaussenne est la forme la plus ntutve, et apparassant à premère vue la plus ntéressante. En effet, les fgures 212 Insurance and Insurance Rsk Management, and Rsk Management, vol. 79(3-4), October vol. xx(x-x), xxxx-xxxx January

13 1 à 2 nous montrent clarement des dstrbutons à cloche typquement Gaussennes. On suppose donc : ( t µ ) λ( t) = exp πσ σ 2 Λ( T) = Φ ( T; µ, σ ) (10) où Φ(T µ,s 2 ) est la foncton cumulatve de la lo normale. Même s l utlsaton d une ntensté gaussenne est proposée, nous ne sommes pas sans savor que son utlsaton peut générer quelques nconvénents. En effet, un problème potentel à cette approche est le domane de la dstrbuton qu couvre l ensemble des nombres réels (négatfs et postfs), mplquant donc des taux de natalté non-nuls pour des âges négatfs. Un autre problème de cette foncton est sa dffculté a ben modélser le taux de natalté des étudants. En effet, l convent de supposer que l âge moyen pour une premère nassance est plus élevé pour des parents ayant effectués des études avancées que pour le reste de la populaton. L effet de symétre de la forme Gaussenne pourrat donc ne pas être appropré pusqu l mplquerat des taux de natalté postf pour des âges trop avancés. Smlarement, dans un but d analyser le taux de natalté de groupes un peu plus précoce (étudants du secondare professonnel), l effet de symétre mplquerat des taux de natalté postf pour des enfants de mons de 10 ans. Pour obtenr la courbe de natalté des étudants de cycle supéreurs, l n est pas possble de modélser drectement les données du sondage à partr des équatons (8) et (9). En effet, le problème d une telle modélsaton est qu elle suppose que les étudants du sondage ont toujours été aux études. Cette supposton n a pas de sens pour une parte mportante des étudants sondés. En effet, alors qu l semble logque qu un doctorant de 25 ans, ayant débuté ses études de trosème cycle à 24 ans, at toujours été aux études (depus l âge de 5 ans jusqu au moment du sondage), cette stuaton ne tent pas pour toute la populaton étudante. En effet, à l opposé, l semble hautement mprobable qu un étudant de 36 ans, ndquant avor débuté ses études de matrse à 35 ans, sot resté dans le mleu académque toute sa ve. Cet étudant a certanement qutté le monde unverstare pendant quelques années à un moment ou l autre de sa ve. Il arrve fréquemment que des étudants quttent le monde unverstare (pour pluseurs rasons) afn d aller dans le marché du traval, pour ensute revenr aux études. Ans, l est mportant de comprendre que le nombre d enfants à charge ndqué dans le sondage du CNCS ne correspond pas au nombre d enfants nés pendant les études. Il n est donc Modélsaton statstque du coût d une assurance parentale pour les étudants 213

14 pas possble d utlser drectement cette nformaton pour modélser le taux de natalté des étudants. Nous proposons ans de découper la foncton d ntensté l(t) en dvers morceaux afn qu elle pusse meux correspondre à la réalté des étudants. Ans, nous proposons 3 composantes pour le taux de natalté : 1. Le taux de natalté lors de leurs études secondare, collégale et unverstare (typquement jusqu à l âge 27 ans). Nous utlsons un l(t) de forme gaussenne, pusque smlare à la forme observée du taux de natalté, pour modélser le taux de natalté de ces étudants; 2. Un taux de natalté pour les étudants ayant qutté le monde unverstare. Dans la base de données utlsée, nous avons l âge auquel ls ont commencé leurs études de cycles supéreurs. Ans, nous supposons que les étudants ayant commencé leurs études de matrse après l âge de 27 ans et que les doctorants ayant débuté après 29 ans n ont pas toujours été étudants (ces valeurs ont été détermné par dverses comparasons statstques). Pour ces étudants, nous modélsons ans dfféremment l ntensté du modèle entre l âge de 27 ans et leur âge déclaré de retour aux études. On suppose que le taux de natalté de cette pérode de temps se comporte comme celu de la populaton générale, à un facteur de proportonnalté près dépendant du sexe de l ndvdu. 3. Pour les étudants n ayant pas toujours été étudant, nous utlsons ensute un autre taux de natalté pour la pérode de leur ve correspondant à leur âge déclaré de retour aux études et leur âge actuel. Dans ce cas précs, nous supposons auss que le taux de natalté se comporte comme celu de la populaton générale, à un facteur de proportonnalté près. 4.1 Résultats Nous utlsons les données du sondage de la CNCS, à partr du modèle décrt à la sous-secton précédente, et en utlsant l équaton (9) avec une ntensté l(t) de forme gaussenne telle qu exprmée à l équaton 10. Une hétérogénété log-normale de paramètres µ Lognormale = η 2 /2 et s 2 Lognormale = η2 (dfférent du s 2 de l ntensté) est utlsée. En utlsant les régresseurs dans le modèle de comptage, nous pouvons ans exprmer la probablté d avor N = n enfants à charge comme : 214 Assurances et geston des rsques, vol. 79(3-4), octobre janver 2012

15 avec : P( N ( T) = n ) = n 0 k=1 n k ( γ k) e ( n k)! γ k ( + 1; Λ[ ] θ) ( ; [ ( 1) ] ) G n T k a h( θ) dθ G n Λ T k a θ 2 Λ ( T) = exp( β ) Φ ( T; µ, σ ) + exp( β )* c + exp( β )* c (11) où µ, s, b 1, b 2 et b 3 sont des paramètres à évaluer, en plus du paramètre η 2 provenant de la dstrbuton de l hétérogénété. En utlsant les données de l Insttut de la Statstque du Québec sur les nassances multples, nous supposons γ = exp( 3,4) = (sgnfant bébé par nassance en moyenne). Les varables c 2 et c 3 représentent l ntensté cumulée des étudants pour les pérodes de temps pendant lesquelles ls n étaent pas aux études, et pendant lesquelles ls sont retournées aux études (ponts 2 et 3 de la sous-secton précédente). Avec ce modèle, nous obtenons les paramètres exprmés dans le tableau 3. TABLEAU 3 ESTIMATEURS DES PARAMÈTRES POUR LE MODÈLE DE COMPTAGE Paramètre Estmateur Écart-type b b b µ s η Le graphque 3 expose la courbe du taux de natalté selon l âge pour dvers types de populaton. L analyse statstque du taux de natalté de ces dfférents groupes nous permet de constater que le taux de natalté des étudants (courbe «Étudants»), qu n ont jamas qutté le mleu scolare, et qu sont actuellement aux études supéreures, est ben nféreure au taux de la populaton (courbe «Populaton»). La courbe «Entre-deux» représente le taux de natalté des ndvdus qu ne sont pas aux études, mas qu y revendront pour des études supéreures. Ce taux de natalté est supéreur au taux de natalté de la populaton. Modélsaton statstque du coût d une assurance parentale pour les étudants 215

16 Lors d un retour aux études, l analyse statstque basée sur le sondage de la CNCS ndque que le taux de natalté de la populaton étudante est encore une fos nféreure à celu de la populaton. Ces observatons nous permettent de vor que la poursute d études unverstares dmnuent fortement le taux da natalté, plus partculèrement dans le cas des étudants poursuvant leur formaton dans des programmes d études de cycles supéreurs. FIGURE 3 TAUX DE NATALITÉ DES ÉTUDIANTS SELON DIVERSES CLASSES Fécondté 0,15 0,10 0,05 0, Âge Étudants Populaton Entre-deux Retour Taux de natalté de tous les étudants En ayant obtenu la courbe du taux de natalté de dvers profls d étudants, l convent mantenant de modélser le taux de natalté de tous les étudants, peu mporte s ls sont de retour aux études ou non. En effet, l ntérêt est de détermner le taux de natalté d ndvdus étant aux études. Ans, les courbes modélsant le taux de natalté des hommes et des femmes ayant qutté l unversté n a pas d ntérêt dans notre analyse (courbes «entre-deux»). La fgure 4 llustre le résultat de la modélsaton du taux de natalté des étudants, où le taux de natalté a été construt en pondérant adéquatement le nombre d étudants provenant d un parcours entèrement académque et les 216 Insurance and Insurance Rsk Management, and Rsk Management, vol. 79(3-4), October vol. xx(x-x), xxxx-xxxx January

17 étudants revenant aux études après un exl sur le marché du traval, par exemple. Cette pondératon a été effectuée en se basant sur le sondage du CNCS, où l on peut constater que la proporton par âge d étudants qu n ont jamas qutté le mleu scolare peut s approxmer par l équaton : âge 27 Prop(âge) = max 0,mn,1 7 (12) En utlsant cette proporton d étudants ayant qutté ou non le mleu académque, nous pouvons ans calculer le taux de natalté des étudants de cycles d études supéreures, tel qu llustrer dans le graphque 4. FIGURE 4 TAUX DE NATALITÉ DE LA POPULATION ÉTUDIANTE GÉNÉRALE Fécondté 0,15 0,10 0,05 0, Âge Étudants Populaton Comparatvement au taux de fécondté des femmes au Québec, nous pouvons constater que le taux de natalté des étudants de cycle d études supéreures au Québec est beaucoup plus fable. Il pourrat être ntéressant de se questonner à savor s un tel taux est proftable pour le Québec moderne, ou s l serat préférable que le Québec encourage davantage les étudants de cycles supéreurs à avor des enfants. Modélsaton statstque du coût d une assurance parentale pour les étudants 217

18 4.1.2 Nombre de nassances et coût de l assurance parentale Les taux de natalté calculés nous permettent d estmer le nombre total de nassances dont les parents sont étudants. Avec les données collectées, l est mantenant possble d estmer les coûts d un régme d assurance parentale pour les étudants. En effet, en utlsant la réparton des étudants selon leur groupe d âge, tel qu llustré plus tôt dans le tableau 2, l pourra être possble de prédre le nombre de nassances provenant de parents aux études (nveau maîtrse et doctorat). Nous utlsons des technques de lssage lnéare, à travers la procédure PROC EXPAND du système SAS, pour étaler le nombre d étudants par âge. Le nombre de nassances projetées par âge de l étudant sont exprmés dans le tableau 4. Le tableau ndque auss les résultats obtenus s le taux de natalté des étudants de cycles supéreurs étaent équvalent à celu de la populaton globale. Afn de calculer le coût de l assurance parentale, nous supposons que le montant de prestaton du congé de maternté ou du congé parental correspond à une bourse de 5000 $ par nassance 1. Nous supposons encore une fos que tous les étudants ayant des enfants se prévaudront de leurs congés parentaux. De plus, l est à noter que lors de la nassance de l enfant, l un ou l autre des conjonts peut utlser le RQAP afn de bénéfcer d un congé parental. Selon les statstques offcelles du RQAP, complées par le Consel de geston de l assurance parentale, la répartton des prestatares servs selon le sexe (du 1er janver au 30 avrl 2009) état de 70,2 % pour les femmes et 29,8 % pour les hommes. Ben entendu, pusque le système d assurance pour étudants n est pas en vgueur en ce moment, l n est pas possble de connaître ce que sera la répartton des prestatons pour le régme d assurance parentale des étudants. On peut dstnguer 4 types de parents : 1. Père et mère non-étudants; 2. Père étudant, mère non-étudante; 3. Mère étudante, père non-étudant; 4. Père et mère étudants. Le premer cas est la seule stuaton n ayant pas d nfluence sur notre analyse. Toutefos, la statstque offcelle de la répartton des prestatares du RQAP selon le sexe est calculée unquement pour cette stuaton. Un questonnement par rapport aux tros autres stuatons est donc pertnent. Aucune statstque, ou exemple comparable n est dsponble pour l évaluaton des ces statstques. Ans, par conservatsme, nous supposons que toutes les mères utlseront leur congé de maternté et que tous les pères utlseront leur congé de 218 Assurances et geston des rsques, vol. 79(3-4), octobre janver 2012

19 Âge TABLEAU 4 PRÉDICTION DES NAISSANCES Nombre d étudant Taux de nat. étudant (%) Taux de fert. populaton (%) Nb. prédts de bébés (étudant) Nb. prédts de bébés (populaton) Total Modélsaton statstque du coût d une assurance parentale pour les étudants 219

20 paternté, sgnfant qu l est donc possble qu une prestaton de 5000 $ sot donnée à la mère et au père pour une seule et même nassance s les deux parents sont étudants aux cycles supéreurs. Par conservatsme encore une fos, nous supposerons que 100 % des congés sont utlsés par les parents. Selon ce modèle, en dollars de 2006, l assurance parentale au Québec aurat donc coûté /(1 + exp( 3,4)) = 6.57 mllons de dollars. Par étudant, la valeur de l assurance est ans d envron 111,50 $. L ntroducton d un système d assurance parentale pour étudants entraînera nécessarement une augmentaton du taux de natalté chez les étudants. Le cas où le taux de natalté se comporterat comme celu de la populaton générale, correspondant à un coût d assurance de 22 mllons de dollars ou 373 $ par étudant, nous apparaît ans comme la valeur maxmale possble du coût de l assurance parentale pour les étudants. Cette stuaton nous semble toutefos extrême et se veut plutôt une borne maxmale de l estmaton des coûts. 5. CONCLUSION Les étudants aux cycles supéreurs réussssent souvent à subvenr à leurs besons de manère autonome en ayant recours à l ade fnancère aux études, en travallant à temps partel, en bénéfcant de bourses d excellence ou en recevant un support fnancer de leur drecteur de recherche. Toutefos, lorsque ces étudants devennent parents, ceux-c n ont pas drot à une sécurté fnancère pour une grande parte de leur revenu s ls décdent de cesser momentanément leurs études. Il est ans pertnent de se questonner sur la nécessté d mplanter une assurance parentale pour les étudants afn de protéger de la précarté une parte de la populaton. Le présent paper propose un nouveau modèle de comptage, basée sur une moyenne non-homogène, afn de modélser le taux de natalté d un groupe de personnes. Le modèle proposé tent compte des nassances multples, du temps d attente mnmal entre deux accouchements et de l hétérogénété de la populaton. Le modèle a été applqué afn de modélser le taux de natalté des étudants de maîtrse et de doctorat au Québec. À partr de dverses données publques, l a été possble de prédre un nombre de nassances pour ce type d étudants. Il a auss été possble d estmer le coût d assu- 220 Insurance and Insurance Rsk Management, and Rsk Management, vol. 79(3-4), October vol. xx(x-x), xxxx-xxxx January

21 rance d un éventuel régme d assurance parentale pour les étudants aux cycles supéreurs du Québec. L estmaton est basée sur un sondage du CNCS effectué en 2006 auprès des étudants aux cycles supéreurs du Québec. Les résultats sont donc des estmatons du coût d un système d assurance parentale pour étudants qu aurat été en force en Les montants ndqués sont en dollars de 2006 et les statstques des étudants (tel que le taux de natalté) se dovent d être comparées avec celles de la populaton en En estmant certanes nformatons et en posant certanes hypothèses, nous avons pu calculer un coût d assurance hypothétque pour ce régme. Le coût d assurance d un tel régme serat d envron 111,50 dollars par étudant. En plus de donner une melleure sécurté fnancère aux parents, l un des objectfs du RQAP état d augmenter le taux de natalté au Québec. Sachant ans qu l est fort probable que l ntroducton d un tel système d assurance parentale pourrat augmenter le taux de natalté et ans le coût de l assurance parentale pour étudant. Dans une stuaton pouvant être qualfée d extrême, où le taux de natalté des étudants de cycles supéreurs pourrat être équvalent à celu de la populaton, nous évaluons le coût du régme à 373 dollars par étudant. Toutefos, cette augmentaton du taux de natalté chez les étudants pourrat auss sgnfer une dmnuton du taux de natalté des fnssants. En effet, en ce moment, les étudants actuels ont un nctatf fnancer à attendre la fn de leurs études pour avor un enfant. Pusque la prestaton d assurance parentale d un étudant (5000 $ dans notre modèle) est beaucoup plus fable que celle en vgueur au RQAP (tableau 1), le coût réel de l ntroducton d une assurance parentale pour étudants pourrat fnalement être beaucoup mons mportante que ce qu a été calculée. Références Alho, J. and Spencer, B. (2005). Statstcal Demography and ForecastngSeres: Sprnger Seres n Statstcs. Sprnger Seres n Statstcs. Boucher, J.-P. and Denut, M. (2007). Duraton Dependence Models for Clam Counts. Deutsche Gesellschaft fur Verscherungsmathematk (German Actuaral Bulletn), 28: Boucher, J.-P. and Denut, M. (2008). Crédblté lnéare multvarée utlsant le nombre de pérodes avec réclamatons : modèles de Posson, modèles à barrère et modèles gonflés à zéro. Assurances et geston des rsques, 75(4). Boucher, Denut, and Gullén, Boucher, J.-P., Denut, M., and Gullén, M. (2007). Rsk Classfcaton for Clam Counts: A Comparatve Analyss of Varous Zero-Inflated Mxed Posson and Hurdle Models. North Amercan Actuaral Journal, 11-4: Modélsaton statstque du coût d une assurance parentale pour les étudants 221

22 CNCS (2007). Les sources et les modes de fnancement des étudants aux cycles supéreurs. Tech. rep., Consel natonal des cycles supéreurs. Delwarde, A. and Denut, M. (2005). Constructon de tables de mortalté, Pérodques et prospectves. Economca. Ross, S. M. (1996). Stochastc Processes, 2nd ed., New York : Wley. Santos Slva, J. and Wndmejer, F. (2001). Two-part Multple Spell Models for Health Care Demand. Journal of Econometrcs, 104: Notes 1. Les nassances multples ne changent pas l ndemnté de 5000 $. 222 Assurances et geston des rsques, vol. 79(3-4), octobre janver 2012

23 Reproduced wth permsson of the copyrght owner. Further reproducton prohbted wthout permsson.