10.1 INTRODUCTION CHAPITRE 10 INTERACTION SOL STRUCTURE

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1 CHAPITRE 10 INTERACTION SOL STRUCTURE 10.1 INTRODUCTION Les chaptres précédents ont perms d'évaluer les efforts, provenant des forces d'nerte développées dans la structure lorsqu'elle est soumse à un mouvement de son support, qu sont exercés par la structure sur sa fondaton. On a également étudé les mouvements du sol support lorsque les ondes ssmques se propagent dans celu-c avant d'attendre l'ouvrage dont on cherche à étuder la réponse. La queston se pose de savor comment ces deux phénomènes nteragssent et dans quelle mesure le mouvement du support est affecté par la réponse de la structure, dont la réponse sera elle même modfée par le mouvement du support. Le terme générque regroupant l'étude de ces phénomènes est désgné dans la lttérature sous le nom d'nteracton sol-structure. La fgure 10.1 llustre l'aspect fondamental de l'nteracton; cet aspect est présenté c dans le cas d'une fondaton sur peux, partellement enterrée dans le sol, mas les conclusons restent applcables à tout type de fondaton. Lon de la fondaton, dans une régon dénommée le champ lbre, les couches de sol sont traversées par des ondes ssmques dont la nature peut être complexe comme on l'a vu au chaptre 9: on y rencontre des ondes de volume, compresson (P) et csallement (S), des ondes de surface (Raylegh, Love, Stoneley). La nature des ondes est dctée par les caractérstques de la source ssmque mas également par la géométre et les caractérstques mécanques des terrans traversés. S l'on s'ntéresse au mouvement de la fondaton, les déformatons du sol sont transmses à celle-c et engendrent un mouvement de la superstructure; même en l'absence de superstructure le mouvement de la fondaton est dfférent du mouvement du champ lbre du fat des dfférences de rgdté entre la fondaton et le sol encassant: le champ d'ondes ncdent est réfléch et dffracté par la fondaton et donc modfe le mouvement total du sol au vosnage de celle-c. Ce phénomène est connu sous le nom d'nteracton cnématque. Par alleurs, le mouvement ndut sur la fondaton développe des oscllatons de la superstructure et donc donne nassance à des forces d'nerte qu sont retransmses à la fondaton sous forme de forces et de moments. Ce phénomène est connu sous le nom d'nteracton nertelle. De toute évdence, le dmensonnement de la fondaton dot tenr compte de ces deux composantes de l'nteracton. Généralement, à tort, le terme nteracton sol-structure ne désgne dans l'esprt des ngéneurs que la part nertelle; l convent de garder à l'esprt que l'nteracton cnématque peut dans certanes confguratons être sgnfcatve, même s parfos elle peut être néglgée. 03

2 a st Système sol-peu structure masse Champ lbre a ff Ondes ssmques R, L Couche de sol a r a r Ondes ssmques S, P Fgure 10.1: Effet de l'nteracton sol-structure sur un ouvrage 10. ILLUSTRATION DE L'EFFET DE L'INTERACTION SOL-STRUCTURE MODELE ANALOGIQUE SIMPLIFIE L'nfluence de l'nteracton sol-structure sur la réponse d'un ouvrage peut être llustrée à l'ade du modèle analogque de la fgure 10.. La structure est assmlée à une masse et un ressort, placés à une hauteur h au-dessus de la fondaton. La lason entre la structure et la fondaton est réalsée par une barre rgde. La fondaton repose sur le sol et son nteracton avec celu-c est modélsée par le bas des fonctons d'mpédance qu seront défnes au paragraphe 5. On admettra pour l'nstant que les fonctons d'mpédance, c'est à dre les réactons exercées par le sol sur la fondaton, peuvent être représentées par un ensemble de ressorts et d'amortsseurs ndépendants de la fréquence; l'amortsseur rend théorquement compte à la fos de l'amortssement radatf tel que défn au chaptre 9, c'est à dre de la dsspaton d'énerge par les ondes s'élognant de la fondaton, et de l'amortssement propre du matérau "sol", appelé amortssement matérel. Dans un souc de smplfcaton de la présentaton, on supposera que l'amortssement matérel est néglgeable devant l'amortssement radatf (comportement élastque du sol), ce qu est valde pour un mleu homogène et des sollctatons ssmques d'ampltudes fables à moyennes. 04

3 Le système de la fgure 10. possède 3 degrés de lberté : le déplacement horzontal u de la masse m, le déplacement horzontal u 0 de la fondaton, la rotaton θ de la fondaton autour d'un axe horzontal. Il est soums à un déplacement horzontal du sol support, harmonque de pulsaton ω et d'ampltude u g. A k c m h k h k θ c h c θ Fgure 10. : Modèle smplfé d'nteracton sol-structure Les équatons d'équlbre dynamque du système s'obtennent asément à partr des équatons de Lagrange en prenant comme varables généralsées q : q 1 = u, q = u 0, q 3 = θ, le déplacement relatf de la masse par rapport à A le déplacement de la fondaton la rotaton de la fondaton On a la relaton évdente entre le déplacement absolu u t de la masse m et les varables précédentes : (10.1) t u=u+u+u+hθ g 0 Désgnant par T l'énerge cnétque totale : 1 T= m u + u + u+ hθ (10.) ( ) par V l'énerge potentelle : g 0 05

4 1 (10.3) V ( ku + k u + k θ ) = h 0 θ et par δw le traval des forces non conservatves (forces d'amortssement) : (10.4) δ W = ( Cu δ u+ Chu 0δ u0 + C θ θδθ ) les équatons de Lagrange s'écrvent : (10.5) d dt T T V δw = q + q q δq sot avec les notatons précédentes en tenant compte des relatons entre accélératon, vtesse et déplacement (10.6) = ω, = ω x x x x et en ntrodusant les pourcentages d'amortssement crtque : (10.7) ωc ξ =, k ωc ξ = h k h h ωc ξ θ = k θ θ (10.8) mω ( u0 + u+ hθ ) + k(1+ ξ ) u = mω ug m ω ( u0 + u + h θ ) + kh(1 + ξ h) u0 = m ω ug mh ω ( u0 + u + h θ ) + kθ(1 + ξ θ) θ= mh ω u g En ntrodusant les notatons suvantes : (10.9) mω s = k, mω = k, h h mh ω = k θ θ et en élmnant u 0 et θ entre les tros équatons précédentes, l vent : (10.10) ω ω 1+ ξ ω 1+ ξ ω 1+ ξ u u g 1 h 1 = ωs ω + ξ + ξ h ωθ θ ωs Tenant compte du fat que ξ, ξ h, ξ θ << 1, l'équaton précédente devent : ω ω ω ω (10.11) 1 + ξ (1 + ξ ξ h ) (1 + ξ ξ ) u = u θ g ωs ωh ωθ ωs 06

5 Consdérons mantenant un oscllateur smple à 1 degré de lberté de même masse m, de pulsaton propre ω ~ et d'amortssement ~ ξ soums à un déplacement harmonque u~ g de pulsaton ω à sa base (cas de la structure encastrée à sa base). La réponse harmonque de cet oscllateur est : ~ ω ω (10.1) 1+ ξ ~ u = u~ ~ g ω ω L'oscllateur équvalent aura même réponse que la structure de la fgure 10. s les équatons suvantes sont vérfées : (10.13a) ~ = + + ω ωs ωh ω θ ~ ω ~ ω ~ ω ~ (10.13b) = ξ + ξ h + ωs ωh ω ω ~ (10.13c) u~ g = u g ω ξ θ s ξ ϑ Les équatons précédentes sont obtenues en égalant parte réelle et parte magnare des équatons (10.11) et (10.1) et pour (10.13c) en se plaçant à résonance (ω = ω ~ ). Il résulte des équatons (10.13) que l'nteracton sol-structure a pour effet : de dmnuer la pulsaton propre ω s de la structure base encastrée ( ω ~ < ω s ). d'augmenter l'amortssement du système ( ~ ξ > ξ) par rapport à la structure base encastrée de dmnuer la sollctaton ncdente effectve à la base de la structure ( u~ g < ug ). Les conclusons précédentes sont vsualsées sur la fgure 10.3 qu présente pour une fondaton crculare reposant sur un sem espace élastque homogène, les varatons relatves ω ~ /ω s, ~ ξ, u~ / ug en foncton des paramètres admensonnels : g h (10.14) h = = 1, r s ω h s =, 3 V s m m = ρ r où r est le rayon de la fondaton et ρ, V s la masse volumque et la célérté des ondes S dans le sol. La fgure 10.3 met clarement en évdence que l'nfluence de l'nteracton sol-structure est d'autant plus prononcée que le sol de fondaton est mou (s crossant) ou que la structure est massve (m crossant). 07

6 ω / ω 1.00 s m = m = 10 m = s = ω.h / V s S ξ m = m = m = s = ω.h / V s S u /u g 1.00 g m = m = 10 m = s = ω.h / V s S Fgure 10.3 : Influence de l'nteracton sol structure 08

7 10.. EXEMPLE L'exemple présenté c dessous est celu de la centrale d'humbolt Bay en Calforne qu a sub en 1977 un sésme mportant au cours duquel les accélératons en champ lbre et en quelques ponts de l'ouvrage ont été enregstrées. La fgure 10.4 montre les spectres de réponse calculés à partr des enregstrements en champ lbre et dans la structure à la même cote. L'nteracton sol structure est partculèrement marquée pour cet ouvrage partellement enterré dans le sol comme le montre la forte atténuaton des accélératons spectrales pour les fréquences supéreures au Hertz. 1. Accélératon (g) Champ lbre Structure elv Fréquence (Hz) 10. Fgure 10.4 : Spectres de réponse de la centrale d'humbolt Bay 10.3 FORMULATION DE L'INTERACTION SOL STRUCTURE Avant d'examner les dfférentes méthodes de prse en compte de l'nteracton sol-structure, l est utle de formuler de façon générale le problème. Cette formulaton est orentée vers un tratement par éléments fns du phénomène d'nteracton. En effet, la complexté du problème est telle que le recours aux méthodes numérques est pratquement névtable. Les équatons du mouvement sont obtenues par référence à la fgure 10.5 qu schématse un ensemble sol-structure. Désgnant par, MCK,, les matrces de masse, amortssement et rgdté du système, l'équaton du mouvement s'écrt : (10.15) MU + CU + KU = Q f 09

8 Comme la source du mouvement (foyer du sésme) n'est généralement pas ncluse dans le modèle, le vecteur de charge Q n'a de valeurs non nulles que sur la frontère extéreure du f modèle. En l'absence de structure, l'équaton du mouvement du champ lbre est analogue de par sa forme à l'équaton (10.15); les ndces f désgnant les matrces masses, amortssement et rgdté relatve au seul champ lbre, cette équaton s'écrt : (10.16) MU f + CU f + KUf = Q Posant : (10.17) U= U + U f f f f f l'équaton (10.17) défnt le déplacement d'nteracton (10.18) MU + CU + KU = Q avec : U qu satsfat l'équaton : (10.19) Q = M M f U f + C C f U f + K K f Uf Le vecteur de charge Q est détermné à partr des déplacements en champ lbre. Pour les systèmes lnéares, on a alors le théorème de superposton llustré sur la fgure 10.5: le problème d'nteracton est décomposé en la somme d'un problème de réponse du sol en champ lbre (éq 10.16) et d'un problème source (éq 10.18) où les forces applquées Q n'ont de composantes non nulles qu'aux nœuds communs à la structure et au sol. Ce derner problème est, par essence, analogue à un problème de vbraton de machne. Le déplacement total pour le problème d'nteracton est alors donné par l'équaton (10.17). Fgure 10.5 : Décomposton du problème d'nteracton sol-structure 10

9 L'équaton (10.19) met clarement en évdence le fat qu'l y a nteracton dès qu'l y a dfférence de masse ou de radeur entre le sol et la structure. Supprmons pour smplfer le terme d'amortssement dans cette équaton et restregnons le problème à celu d'une structure posée à la surface du sol et soumse à la propagaton vertcale d'ondes de volume (csallement ou compresson). Dans ces condtons, en champ lbre, tous les ponts de la surface du sol sont anmés d'un même mouvement. S la fondaton de l'ouvrage est nfnment rgde, le derner terme de l'équaton (10.19) s'annule; le vecteur de charge Q se rédut à : (10.0) Q = M M f U f Les forces Q applquées à la base de la structure engendrent un mouvement du support, équvalent à un champ de forces d'nerte dans la structure. Par sute, l'nteracton ne résulte que des forces d'nerte développées dans cette structure. On lu donne le nom d'nteracton nertelle, dont l'effet a été llustré sur l'exemple du paragraphe.1. A l'opposé, consdérons une structure enterrée dont la masse est nulle hors du sol et égale (en valeur et répartton) à celle du sol pour la parte en terre. Les forces Q ont alors pour expresson : (10.1) Q = K K f U f Elles ne résultent que de la dfférence de radeur pour la parte en terre, entre le sol et la structure. Même sans dfférence de masse, l y a nteracton; on lu donne le nom d'nteracton cnématque. Elle résulte de la radeur de la fondaton qu l'empêche de suvre les mouvements mposés par le sol. On a vu précédemment qu'elle état rgoureusement nulle pour certans cas; elle peut être fable dans d'autres cas (fondatons sur peux souples) ou très mportante (structure rade fortement contreventée enterrée dans le sol). Dans le cas le plus général, l'nteracton résulte d'une nteracton nertelle et d'une nteracton cnématque. La fgure 10.5 et les rasonnements précédents llustrent les deux grandes méthodes d'approche de l'nteracton sol-structure. La fgure 10.5a correspond aux méthodes globales dont la soluton est obtenue par résoluton drecte de l'équaton (10.15). Elles ne font ntervenr aucune noton de superposton et sont donc théorquement adaptées aux problèmes non lnéares. Alternatvement, les méthodes de sous-structures s'appuent sur la décomposton des fgures 10.5b-10.5c, ou sur des décompostons analogues, pour résoudre le problème par étapes. Ces méthodes ne sont ben entendu applcables qu'aux problèmes lnéares, justfables de superposton. 11

10 EXEMPLE D'INTERACTION CINEMATIQUE On a sgnalé au paragraphe précédent qu'l exste des stuatons pour lesquelles l'nteracton cnématque est rgoureusement nulle et l'nteracton sol-structure se rédut à sa part nertelle. Cette stuaton est exceptonnelle; l exste par contre d'autres stuatons plus courantes pour lesquelles l'nteracton cnématque, sans être rgoureusement nulle, est néglgeable. Prenons l'exemple d'un peu de fondaton dans une couche de sol; s la radeur du peu vs à vs du sol encassant est fable (cas d'un "spaghett" dans un sol rade), on comprend que la radeur du peu ne modfe en ren le mouvement du sol par rapport à celu du champ lbre. Pour llustrer ces propos, consdérons l'exemple de la fgure U p e ωt U f e ωt U I U = U p f U 0 e ωt Fgure 10.6 : Exemple d'nteracton cnématque La couche de sol est soumse à un mouvement harmonque à sa base, d'ampltude U 0 et de pulsaton ω. On s'ntéresse au mouvement résultant de la tête du peu, U p, et plus exactement au rapport de ce mouvement au mouvement du sol en champ lbre, U f.: sot I u ce rapport. La fgure 10.7 présente la varaton de I u en foncton d'un paramètre admensonnel, proportonnel au rapport des radeurs du peu et du sol et nversement proportonnel à l'élancement du peu. Plus ce rapport est grand plus le peu est rade vs à vs du sol encassant. L'examen de la fgure 10.7 montre que pour des radeurs fables du peu, l'nteracton cnématque est effectvement nulle: le coeffcent I u est égal à 1.0 et le peu sut le mouvement du sol sans le modfer. Lorsque la radeur augmente, la présence du peu se ressent et le coeffcent I u devent dfférent de 1.0: le peu ne sut plus le mouvement du sol. On notera qu'l exste des valeurs du paramètre F C pour lesquelles le coeffcent I u est supéreur à 1.0 : le peu amplfe le mouvement du sol en champ lbre par sute de sa mse en résonance. 1

11 1 3 4 I u F C Fgure 10.7 : Interacton cnématque pour un peu solé 10.4 METHODES DE PRISE EN COMPTE DE L'INTERACTION SOL STRUCTURE Parm les méthodes de prse en compte de l'nteracton sol structure on peut dstnguer les méthodes globales, qu résolvent, comme leur nom l'ndque, le problème global de la fgure 10.5a, et celles qu s'appuent sur une décomposton du système en sous systèmes, dans l'esprt de la fgure 10.5b-10.5c; ces méthodes sont désgnées sous le nom générque de méthodes de sous structure METHODE GLOBALE La méthode consste à résoudre en une seule étape l'équaton dynamque : (10.) MU+CU + KU = MI u g où U représente le vecteur des déplacements relatfs du système par rapport à l'assse I un vecteur unté, donnant la drecton de la sollctaton u g M, K, C les matrces de masse, de rgdté et d'amortssement du système. Généralement la technque de résoluton est basée sur la méthode des éléments fns qu présente la plus grande flexblté et permet en outre la prse en compte de phénomènes non lnéares, tel le comportement anélastque des matéraux, le décollement ou le glssement des fondatons. La problématque de la résoluton par une méthode globale est llustrée sur la fgure 10.8 : 13

12 Le mouvement ssmque de dmensonnement est connu (spécfé) à la surface du sol, en champ lbre; Le mouvement est calculé à la base nféreure du modèle, chose à une profondeur suffsante pour que la présence d'une structure en surface n'affecte pas ce mouvement; cette étape est connue sous le nom de déconvoluton du mouvement ssmque; Le mouvement déconvolué est mposé unformément à la base du système sol structure et la réponse est calculée par résoluton de l'équaton (10.). Identque Acceleraton Fréquence Référence Champ lbre Champ lbre Base de structure Base du modèle Base du modèle Identque Fgure 10.8 : Schématsaton d'un problème d'nteracton sol structure en éléments fns La dffculté de la résoluton par éléments fns des problèmes dynamques d'nteracton sol structure résde dans le tratement des condtons aux lmtes. On a vu au chaptre 9 qu'une onde heurtant une surface lbre état totalement réfléche. Dans le cas présent, les lmtes du modèle sont ntrodutes de manère artfcelle dans celu-c et la réflexon des ondes à ces nterfaces contrbue à mantenr l'énerge qu'elles transportent à l'ntéreur du modèle, alors que dans la réalté elles la transportent à l'nfn (au mons partellement s d'autres réflexons ntervennent) : ce transport d'énerge a été désgné au chaptre 9. (paragraphe 9.9) sous le vocable amortssement géométrque. On a vu au chaptre 8 qu'l état possble d'annhler ce phénomène en ntrodusant des frontères absorbantes dont le rôle est de rétablr les condtons de contrantes et de déplacements à la frontère; dans le cas des poutres ces frontères sont représentées par des amortsseurs dont les caractérstques sont foncton de 14

13 celles du mleu extéreur au modèle. Pour le mleu trdmensonnel des frontères analogues ont été développées; ces éléments ne consttuent une soluton exacte au problème que dans le domane fréquentel; dans le domane temporel elles ne représentent qu'une soluton approchée METHODE DE SOUS STRUCTURE Cette catégore de méthodes fat appel au prncpe de superposton. L'dée consste à analyser le problème d'nteracton sol structure en pluseurs étapes successves, chacune des étapes étant réputée plus facle à résoudre que le problème global. Pour des rasons évdentes, les sous structures envsagées sont consttuées d'une part par le sol et d'autre part par la structure, comme ndqué sur la fgure On écrt les équatons d'équlbre de chaque sous système, pus les condtons de compatblté à l'nterface : contnuté du déplacement et du vecteur contrante. U B U F U F P F P F U S Q R Fgure 10.9 : Schématsaton d'une méthode de sous structure Pour des rasons qu apparaîtront naturelles dans la sute, le problème est traté c dessous dans le domane fréquentel; par alleurs pour ne pas alourdr la présentaton, on omettra les termes d'amortssement dans les équatons d'équlbre. Il s'ensut que les grandeurs, par exemple le déplacement U, s'exprment sous la forme de leur transformée de Fourer : n (10.3) U= u ( ω ) e ω n n t 15

14 Dans la sute on notera les transformées de Fourer avec le symbole au dessus de la varable et on omettra l'ndce n. Chaque équaton écrte c après s'applque donc à toute harmonque de la décomposton de Fourer. Dans ces condtons les équatons des dfférents sous systèmes s'écrvent : Structure (10.4) (10.5) m 0 u K K B u B 0 B BB BF ω + = 0 m FB u F K K FB FF u F P F m 0 FS u F K K FF FS u F P F ω + = 0 m u K K u Q S S SF SS S R Dans les équatons c dessus, comme ndqué sur la fgure 10.9, on a désgné par l'ndce B les déplacements de la structure, l'ndce F ceux de l'nterface sol-structure, et l'ndce S ceux du sol. Les vecteurs chargement sont désgnés avec l'ndce F pour l'nterface sol-fondaton et l'ndce R pour les frontères du modèle (nféreure et latérales); le vecteur Q R ne comporte de valeurs non nulles qu'à ces nœuds. De plus, les équatons ont été parttonnées de façon à soler dans chaque sous système les équatons fasant ntervenr les degrés de lberté communs: ces équatons sont repérées par les ndces FB lorsqu'elles appartennent au sous système structure et par les ndces FS lorsqu'elles appartennent au sous système sol. Enfn on a tenu compte des condtons de compatblté exprmées c dessus. Consdérons mantenant le cas du sous système sol en l'absence de la structure; son équaton d'équlbre s'écrt de façon analogue à l'équaton (10.5) : (10.6) m 0 u FS F K K u FF FS F 0 ω + = 0 m S u S K K SF SS u S Q R Dans l'expresson (10.6) u le déplacement d'nteracton défn par : u représente le déplacement d'nteracton cnématque. Appelant (10.7) u = u u par soustracton des équatons (10.5) et (10.6) l vent : (10.8) m 0 K K uf u FS FF FS F PF ω + = 0 m S u S K K SF SS u 0 S 16

15 Le système d'équatons (10.8) peut être utlsé pour élmner tous les degrés de lberté qu n'appartennent pas à l'nterface sol-structure. Ce processus appelé condensaton permet de reler les déplacements de l'nterface aux réactons en ces nœuds : (10.9) S ( ω ) u F( ω ) = P F( ω ) F Dans l'équaton (10.9) la matrce S s'appelle la matrce d'mpédance de la fondaton. On F notera que les quanttés ntervenant dans (10.9), et en partculer S F, dépendent de la fréquence. A ce stade, la réacton du sol P F( ω) est nconnue; on élmne cette grandeur en reportant (10.9) dans (10.4) et en tenant compte de (10.7); l'équaton d'équlbre de la structure devent : (10.30) m 0 u K K u B B BB BF B ω + = 0 m u F K K + S FB FB FF F u F S u F F 0 S la fondaton est rgde le champ des déplacements de celle-c peut s'exprmer en termes d'un mouvement de corps rgde défn par rapport à un pont quelconque, par exemple son centre : (10.31) u F = Tu 0 où T est la matrce de transformaton et u 0 le vecteur des déplacements et rotatons du centre de la fondaton. De même, les forces nodales P F sont relées aux forces et moments P 0 applqués à la fondaton en son centre: T (10.3) P 0 = T P Avec ces défntons l'équaton (10.30) prend la forme : F (10.33) m 0 u K K T u 0 T u u T S u F F B B BB BF B ω + = T T T 0 T m T 0 T K T ( K + S ) T FB FB FF F 0 La matrce que T T S u F K = T T S T F T F = K T uf représente la matrce d'mpédance de la fondaton rgde. Notant l'équaton précédente représente le mouvement d'une structure 17

16 relée à un support par la matrce d'mpédance T F K et soumse à un mouvement de ce support défn par T u, qu rappelons le représente le mouvement d'nteracton cnématque. Fgure : Théorème de superposton Ans, dans l'hypothèse d'une fondaton rgde, l est pertnent de scnder le problème global en tros sous-problèmes : détermnaton du mouvement d'une fondaton rgde sans masse soumse à la sollctaton ssmque; cette étape représente la soluton de l'équaton (10.6); détermnaton de la matrce d'mpédance de la fondaton (éq 10.8); calcul de la réponse dynamque de la structure relée à la matrce d'mpédance et sujette à son support au mouvement d'nteracton cnématque (éq 10.33). Dans la mesure où la fondaton est parfatement rgde, cette démarche est rgoureusement dentque à celle condusant à la résoluton du système global en une étape (éq 10.). Cette décomposton est connue sous le nom de théorème de superposton de Kausel et est llustrée sur la fgure Son ntérêt apparaît clarement s'l est possble de smplfer une des tros étapes du calcul. Le problème de dffracton (étape a)) exste toujours sauf pour une structure fondée en surface et soumse à la propagaton vertcale d'ondes de volume; dans ce cas, la résoluton de l'étape a) est dentque à celle de la réponse d'un profl de sol en champ lbre pusque l'nteracton cnématque est nulle. La soluton à la deuxème étape peut être évtée, pour certanes confguratons, en utlsant les résultats de fonctons d'mpédances publés dans la lttérature. La trosème étape est, en tout état de cause, ndspensable; elle est cependant plus smple et plus famlère aux ngéneurs car elle procède de l'analyse dynamque classque des structures. 18

17 10.5 IMPEDANCE D'UNE FONDATION SUPERFICIELLE Pour llustrer la noton d'mpédance d'une fondaton, grandeur essentelle pour le calcul ssmque d'une structure par une méthode de sous structure, consdérons le cas smple d'une fondaton crculare rgde reposant à la surface d'un sem espace élastque, homogène et sotrope (fgure 10.11). M N H Fondaton rgde Sem espace ρ, G, ν Fgure : Impédance d'une fondaton superfcelle crculare La fondaton est caractérsée par son rayon r 0, et le sem espace par sa masse volumque ρ et deux paramètres de comportement, par exemple le module de csallement G et le coeffcent de Posson ν; on utlsera également la célérté des ondes de csallement V S ( = G ρ ) pour défnr le sem espace. Par défnton (éq. 10.9), l'mpédance de la fondaton est égale à la réacton exercée sur la fondaton sans masse lorsqu'elle est soumse à des déplacements harmonques untares drgés suvant l'un quelconque de ses degrés de lberté. La fondaton étant sans masse l'mpédance représente également le quotent d'une force drectement applquée à la fondaton (qu est égale à la réacton du sol) par le déplacement résultant. Une fondaton rgde possédant sx degrés de lberté, la matrce d'mpédance S F( ω) a pour dmenson 6x6; s la fondaton est de forme quelconque, les dfférents degrés de lberté sont couplés et la matrce d'mpédance est plene. S la fondaton possède des symétres, certans des termes de couplage (termes hors dagonale) dsparassent. Dans le cas de la fondaton crculare, l exste 4 degrés de lberté: les translatons horzontale et vertcale, la rotaton autour d'un axe horzontal et la rotaton autour d'un axe vertcal. La translaton vertcale et la rotaton autour d'un axe vertcal sont totalement découplés des autres degrés de lberté; par contre, en toute théore, le déplacement horzontal et la rotaton autour d'un axe horzontal sont couplés entre eux; cependant, pour la fondaton superfcelle le terme de couplage est néglgeable et l est lcte de consdérer que la matrce d'mpédance est une matrce dagonale de dmenson 4x4. Chaque terme de la matrce représente donc le quotent de la force applquée par le 19

18 déplacement résultant suvant le même degré de lberté. Dans la sute du paragraphe on rasonnera donc sur un des termes de la matrce que l'on notera K, par exemple celu correspondant au déplacement vertcal, sachant que les consdératons qu sont développées sont également applcables aux autres termes; on dénommera ce terme par le vocable générque mpédance. Avant d'étuder l'mpédance de la fondaton, l est utle de fare le parallèle avec l'oscllateur à un degré de lberté pour meux comprendre la structure de l'mpédance. Consdérons un tel oscllateur soums à une force harmonque Pe ωt. Le déplacement résultant a été calculé au chaptre et vaut : ωt Pe (10.34) zt () = ( k mω ) + ωc Par défnton l'mpédance de l'oscllateur smple s'écrt : (10.35) ω ω K= ( k mω ) + ω c= k 1 + ξ ω ω n n dans laquelle on a utlsé les notatons usuelles de l'oscllateur smple : ω n et ξ désgne la pulsaton propre et le pourcentage d'amortssement crtque. L'examen de la relaton (10.35) montre que l'mpédance est le produt : d'un terme correspondant à la radeur statque k; d'un terme qu représente la parte dynamque; ce terme comporte une parte réelle et une parte magnare qu provent du fat que le déplacement est déphasé par rapport à la force applquée. Ce déphasage est lé à la dsspaton d'énerge du système. On notera également que la parte réelle de l'mpédance peut devenr négatve à haute fréquence. Par analoge avec l'équaton (10.35) on montre que l'mpédance de la fondaton peut s'écrre sous la forme générale : (10.36) K= K [ k ( ω ) + a c ( ω )] avec ωr0 (10.37) a0 = V S S Elle se compose d'un terme multplcatf qu est la radeur statque (radeur à fréquence nulle) de la fondaton K S et d'une parte représentant la contrbuton dynamque. Cette contrbuton 0

19 dynamque comporte une parte réelle et une parte magnare. Les coeffcents a 0, k 1 et c 1 sont sans dmenson et dépendent de la pulsaton ω. Il est nstructf de donner une nterprétaton physque à la noton d'mpédance. Par défnton l'équaton (10.36) donne la réacton R du sol exercée sur la fondaton, sot : (10.38) = [ ( ω ) + ( ω )] R K k a c z S Tenant compte du fat que pour une sollctaton harmonque : (10.39) z = ωz l'équaton (10.38) peut s'écrre : Krc S 0 1( ω) (10.40) R = KSk1( ω ) z+ z V La réacton du sol se compose donc de deux termes, proportonnels au déplacement et à la vtesse de la fondaton. On peut donner à ces termes la sgnfcaton physque d'un ressort et d'un amortsseur de caractérstques : Krc S 0 1( ω) (10.41) K= KSk1( ω ), C= V qu dépendent de la pulsaton ω. Par alleurs on notera qu'l exste une dsspaton d'énerge dans le système, représentée par l'amortsseur, ben que le mleu sur lequel repose la fondaton sot élastque, donc non dsspatf. Cette dsspaton provent du transport de l'énerge dans le mleu par les ondes ssues du mouvement de la fondaton: l s'agt de l'amortssement géométrque, déjà évoqué au paragraphe 4.1. La fgure 10.1 présente les fonctons d'mpédance de la fondaton superfcelle crculare sur le sem espace élastque, homogène, sotrope. Seules sont présentées les partes dynamques de l'mpédance pour chacun des degrés de lberté de la fondaton. On vérfe comme ndqué par les relatons (10.41) que les termes k 1 et c 1 dépendent plus ou mons fortement de ω et, comme on l'a sgnalé pour l'oscllateur smple, qu'ls peuvent devenr négatfs. S les termes de l'mpédance étaent constants la modélsaton de celle c dans le calcul dynamque de la structure, dernère étape du théorème de superposton de la fgure 10.10, serat mmédate: on la représenterat pour chaque degré de lberté par un ressort et un amortsseur (éq 10.41). Dans le cas général cette représentaton n'est pas possble et oblge pour la résoluton des problèmes d'nteracton sol structure à se placer dans le domane fréquentel, comme cela a été fat pour l'établssement du théorème de superposton. S S 1

20 1 Coeffcent de Posson k z 0.5 c z k x 0.5 c x k Φ c Φ k θ c θ a a 0 Fgure 10.1 : Impédance de la fondaton crculare superfcelle Il exste cependant des confguratons pour lesquelles l'approxmaton par un ressort et un amortsseur (un pour chaque degré de lberté) ndépendants de la fréquence est possble: c'est le cas en partculer pour la fondaton crculare étudée dans ce paragraphe. En comparant la réponse "exacte" de cette fondaton à celle d'une fondaton sur ressort et amortsseur, l est possble de reprodure de façon satsfasante le réponse de la fondaton par un chox appropré des caractérstques du ressort et de l'amortsseur. A ttre d'exemple le tableau 10.1 donne un chox possble des paramètres et la fgure compare la soluton exacte à la réponse obtenue avec le modèle smplfé dans le cas de la sollctaton vertcale. Dans les expressons du tableau 10.1 les quanttés I désgnent les moments d'nerte massques en rotaton de la fondaton autour des axes vertcal et horzontal. La smplfcaton c dessus ne dot pas fare perdre de vue que pour des confguratons plus complexes, sot en termes de stratfcaton du sol, sot de géométre de la fondaton, l'approxmaton par des ressorts et amortsseurs ndépendants de la fréquence n'est plus possble. La fgure llustre ces propos en montrant la varaton des partes réelle et

21 magnare de l'mpédance vertcale d'une fondaton crculare superfcelle fondée en surface d'une couche d'épasseur lmtée surmontant un substratum nfnment rgde. MODE DE VIBRATION COEFFICIENTS D'IMPEDANCE EQUIVALENTS Parte réelle k 1 Parte magnare c 1 Vertcal Horzontal Balancement 1.0 Torson (1 ν) 1+ 8ρ r VS Iz r0 K I 1+ ρ r I x 5 0 θ z 5 0 Tableau 10.1 : Coeffcents d'mpédance pour la fondaton superfcelle crculare Coeffcent d'amplfcaton dynamque B Z 1 - ν m = 4 ρ r 3 0 B Z = 5 B Z = B Z = 1 Q = Q 0 e ωt m G, ρ, ν K dépendant de fréquence K ndépendant de fréquence B Z = Fréquence admensonnelle a 0 Fgure : Réponse d'une fondaton crculare à une force vertcale 3

22 On note la varaton très erratque des deux termes avec la fréquence et surtout le fat que pour des fréquences fables, nféreures à une valeur f 0, c 1 est nulle: l n'exste aucune dsspaton d'énerge dans le système. Ce phénomène s'explque en notant que les ondes dffractées par la fondaton sont totalement réfléches lorsqu'elles heurtent le substratum rgde; l'énerge n'est pas transportée à l'nfn dans le sem espace mas est renvoyée vers la fondaton. Ce n'est que lorsque f devent supéreure à f 0 que la dsspaton d'énerge prend place; on peut montrer que f 0 correspond à la fréquence propre de vbraton de la couche (V P /4H pour le mode vertcal, V S /4H pour le mode horzontal) et qu'l y a alors créaton d'ondes de surface se propageant horzontalement dans la couche de sol supéreure. K z 4 } H r r a 0 H C z a 0 Fgure : Impédance d'une fondaton crculare sur un mono-couche Il est ben évdent que des varatons telles que celles de la fgure ne peuvent être prses en compte par des ressorts et amortsseurs ndépendants de la fréquence. Il est cependant possble, au prx d'une légère complcaton, de rendre compte de ces varatons avec des modèles rhéologques smples. En reprenant l'exemple de l'oscllateur à un degré de lberté on note que la varaton avec la fréquence de la parte réelle de l'mpédance est ndute par la présence de la masse de l'oscllateur. L'dée est donc d'adjondre au modèle de ressort et amortsseur une masse addtonnelle dont le rôle est de tradure cette varaton. Certans auteurs ont justfé l'ntroducton d'une masse addtonnelle en arguant d'une masse de sol "attachée" à la fondaton et vbrant en phase avec elle; l ne s'agt en fat que d'un artfce mathématque permettant de meux tradure le comportement global de la fondaton. La fgure présente deux exemples de modèles rhéologques smples avec masses addtonnelles donnant nassance à des termes d'mpédance varables avec la fréquence. Les paramètres de dvers éléments entrant dans le modèle sont calés de façon à reprodure la varaton exacte de l'mpédance. La fgure montre un tel exemple dans le cas d'une fondaton réelle d'un ouvrage: la courbe en trat contnu représente la soluton exacte et les symboles les prédctons du modèle. On notera en partculer que le modèle permet de représenter la valeur négatve de la parte réelle de l'mpédance au delà de la fréquence de 1.5 Hz. 4

23 C 1 K 0 M K 1 C 0 K 3 K 1 M C 1 K 0 C 0 C 3 K C Fgure : Modèles rhéologques smplfés pour l'mpédance 1.0.E E+04 Radeur (MN/m) 0.0.E E E E E E E+05 Fréquence (Hz) Fgure : Exemple d'applcaton du modèle de la fgure Parte réelle de l'mpédance vertcale 5

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