THÉORIE DES JEUX : ÉQUILIBRES DE NASH

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1 THÉORIE DES JEUX : ÉQUILIBRES DE NASH INDEX 1) INTRODUCTION 1.1)Définition d'un jeu 1.2)Historique et applications 2)LES JEUX MATRICIELS 2.1)Définition 2.2)Le Théorème fondamental 2.3)Principe de la preuve 3)UN PREMIER EQUILIBRE DE NASH 3.1)Hypothèses 3.2)L'équilibre 3.3)Principe de la preuve 3.4)Applications 4)EQUILIBRE DE NASH, GENERALISATION 4.1)Hypothèses 4.2)L'équilibre 4.3)Principe de la preuve 4.4)Applications 5)RECHERCHE EFFECTIVE DES EQUILIRBES 5.1)Algorithme de résolution des jeux matriciels 5.2)Approche différentielle 5.3)Limites des équilibres de Nash 6)BIBLIOGRAPIE 7)ANNEXE : ILLUSTRATIONS

2 1) INTRODUCTION 1. définition d'un jeu : définition courante : Des joueurs obtiennent des bénéfices en fonction de leurs choix, qui se font selon des règles. exemples : un jeu de carte, jouer en bourse... en mathématiques : Quelques hypothèses : les joueurs sont rationnels, ils cherchent uniquement à maximiser leurs gains, indépendamment de toute autre considération. Ils sont supposés ''suffisamment intelligents'', c'est à dire qu'ils ne feront pas d'erreurs de jugement ou de calcul. Les règles permettent aux joueurs des stratégies. On appelle P 1,.., P n les n joueurs. On appelle S i l'ensemble des stratégies du joueur P i. exemple : jeu de pile ou face : il s'agit d'un jeu à deux joueurs. Chacun parie sur ''pile'' ou sur ''face'' : S 1 =S 2 ={pile, face}. Chaque n upplet (s 1,..,s n ) donne lieu à une attente pour chaque joueur, selon le cas appelée espérance, gain, satisfaction ou utilité. il s'agira d'un nombre réel représentant son gain (ou son espérance de gain) à la fin du jeu (ou d'un tour du jeu). l'espérance de Pi sera représentée par une fonction u i : S 1... S n R : elle indique ce que peut espérer gagner le joueur i quand chaque joueur k joue la stratégie s k : le gain de i est le nombre réel u i s 1,.., s n. Dans le cas du jeu de pile ou face : si P 1 parie sur pile et P 2 sur face (stratégies pures) u 1 =Probabilité de pile*montant parié par P 2 Probabilité de face*montant parié par P 1 u 2 =Probabilité de face*montant parié par P 1 Probabilité de pile*montant parié par P 2 donc si le jeu n'est pas truqué, si P 1 parie A et P 2 parie B : u 1 =1/2*(B A), et u 2 =1/2*(A B) Il est parfois pratique de considérer un pseudo joueur P 0 qui représente les événements aléatoires (jets de dés par exemple). La stratégie de P 0 est alors la distribution de probabilité des issues possibles. De même les joueurs peuvent donner à leurs choix un caractère aléatoire, afin de se protéger du risque d'être trop prévisibles par leurs adversaires. Si chaque joueur a le choix parmi un ensemble fini d'alternatives {c 1,.., c m }, cela se fait en attribuant à chaque coup une probabilité, i.e. en choisissant un m upplet m x 1 R m dans le (m 1) simplexe, i.e. tel que i {1,.., m}, x i 0 et x i =1. on interprète i=1 alors x i comme la probabilité que le joueur choisisse le coup i. On obtient alors une stratégie mixte. La stratégie consistant à toujours choisir un certain c j (où j est fixé) est appelée stratégie pure.

3 m l'espérance du joueur est alors : E k S= x i u k S,i où S est le n upplet des stratégies des n joueurs, et i=0 u k ( (S,i) ) représente son gain (ou son espérance) s'il joue sa i eme alternative, les stratégies des autres joueurs étant fixées. Un exemple toujours inspiré du jeu de pile ou face : si deux issues sont possibles, la première avec une probabilité p (et donc la seconde avec une probabilité(1 p)) si P 1 parie sur 1 avec une probabilité de x et P 2 avec une probabilité de y : on suppose que si le pari d'un joueur se réalise, l'autre lui donne le montant parié (quitte à faire des ''échanges'') : u 1 (x,y)=x*p*b+(1 x)*(1 p)*b y*p*a (1 y)*(1 p)*a=(2p 1)(Bx Ay)+(1 p)(b A) 2. historique et application Acte de naissance de la théorie des jeux : thèse de Louis Bachelier, 1900 : Théorie de la Spéculation Ouvrage clef : Theory of Games and Economic Behavior (1944, John von Neumann et Oskar Morgenstern). John Forbes Nash : de grandes avancées dans les années 50 (Nobel Prize in Economic Sciences, 1994). La théorie des jeux est particulièrement utile pour donner un cadre mathématique rigoureux aux études économique ou sociologique, même si la plupart des cas concrets sont trop complexes pour se prêter à une résolution formelle. 2) LES JEUX MATRICIELS : A DEUX JOUEURS ET A SOMME NULLE 1. définition Un type courant de jeux : deux joueurs s'affrontent. Ils font chacun des choix dans un ensemble fini d'alternatives défini par les règles du jeu, chacun ignorant le choix de l'autre. Le choix d'une alternative par chacun des joueurs entraîne un gain pour chacun d'eux, et la somme de leurs gains est nulle (ce qui est gagné par l'un est perdu par l'autre). Soient les joueurs P 1 et P 2. P 1 peut choisir parmi m alternatives que nous désignerons par {1,.., m} et P 2 parmi n alternatives, {1,.., n}. Si P 1 choisit sa i eme alternative et P 2 sa j eme, P 1 gagne le montant a i,j (donc P 2 perd cette même somme). Le jeu peut être représenté par la matrice suivante : a1,1.. a1, n a m,1.. a m, n par exemple, le jeu bien connu de ''pierre, ciseaux, papier'' : on rappelle que ''pierre'' l'emporte sur ''ciseaux'', qui lui même l'emporte sur ''papier'', qui a sont tour vainc ''pierre''. Si le joueur gagnant empoche 1, qui est déboursé par le perdant, la matrice du jeu est :

4 Soient X= x 1,.., x m une stratégie mixte de P 1 et Y = y 1,.., y n une stratégie mixte de P 2. Alors l'espérance de P 1 est E X,Y = x i a i, j y j 1 i m et celle de P 2 en est l'opposé puisque le jeu est à somme 1 j n nulle. Donc P 1 va chercher à maximiser E et P 2 à la minimiser. 2. le théorème fondamental ( von Neumann) Il existe un couple de stratégies mixtes X, Y tel que que : X,Y couple de stratégies mixtes, E X, Y E X, Y E X,Y Ce qui signifie que si P 1 joue X il s'assure une certain gain (éventuellement négatif) quoi que je joue P 2, et si P 2 joue Y il est protégé contre une perte supérieure à E X, Y (éventuellement négative). C'est une manière de ''jouer sûr'', en évitant les mauvaises surprises. 3. principe de la preuve : Preuve inspirée de John von Neumann : Cette preuve repose sur la géométrie euclidienne en dimension n. On se place dans l'espace C des espérances de P 2 en fonction des choix de P 1 (c'est donc un sous espace de R m ). C'est un ensemble fermé, borné et convexe (c'est l'enveloppe convexe des espérances de P 2 s'il jouait ses stratégies pures). On considère la fonction qui à un point de cet ensemble associe la pire des pertes possibles pour P 2, i.e. la plus grande coordonnée du point (. ). Cette fonction est continue donc admet un minimum sur C, et la stratégie correspondante Y est optimale. Soit v ce minimum. On considère l'ensemble D des points dont la plus grande coordonnée est v (points où la perte de P 2 est inférieure ou égale à v). On montre qu'il existe un hyperplan affine H(X,a) séparant C et D, et que V=(v,..,v) est dans H. On montre qu'en normalisant X on obtient une stratégie optimale X. Preuve de John Nash : par le théorème du point fixe de Brouwer : Si on désigne par i la i eme stratégie pure de P 1 et par j la j eme stratégie pure de P 2 : On considère les fonctions : a i (X,Y)=max(0,E(i,Y) E(X,Y)) b j (X,Y)=max(0,E(X,Y) E(X,j)) et on considère l'application continue du produit des (m 1) et (n 1) simplexe dans lui même : X= x 1,.. x m,y = y 1,.. y n X '= x i '= x a X,Y i i,y '= y j '= y b X,Y j j b k X,Y 1 j n 1 a k X,Y 1 i m k 1 k On vérifie que les équilibres sont exactement les points fixes de cette application, le théorème de Brouwer assure l'existence d'un point fixe. 3) UN PREMIER ÉQUILIBRE DE NASH : 1. pour quels jeux?

5 On considère un jeu à n personnes. Chacun des joueurs a n i stratégies pures, n i N *. On note X i la stratégie du joueur i. On note S=(X 1,.., X n ) le n upplet des stratégies de tous les joueurs. Chaque n upplet de stratégies pure rapporte un certain gain à chaque joueur, les fonctions utilité u des joueurs sont leurs espérances en fonction des distributions de probabilité. On dit que S 1 contre S 2 si et seulement si : i {1,.., n},u i X 1,1,.., X i 1,1, X i,2, X i1,1,.., X n,1 = max X stratégie dei Ce qui signifie que dans la situation 1, chacun a intérêt à passer à la situation l'équilibre : {u i X 1,1,.., X i 1,1, X, X i1,1,.., X n,2 } Un S qui se contre lui même est appelé équilibre. S= s 1,.., s n est un équilibre si et seulement si : i {1,.., n},u i s 1,.., s n = max s stratégie dei s 1,.., s i 1, s, s i1,.., s n Cela signifie que dans la situation d'équilibre, chacun gagne le maximum de ce qu'il peut attendre étant données les stratégies des autres joueurs. C'est à dire que personne n'a intérêt à changer de stratégie unilatéralement. Tout jeu vérifiant les hypothèses ci dessus admet un équilibre. 3. principe de la preuve : On remarque d'abord que l'ensemble des stratégies contrant une stratégie donnée est convexe. On considère la correspondance qui à un n upplet de stratégie associe l'ensemble des n upplets qui le contre : l'image de tout point est convexe. On remarque ensuite que les fonctions gains sont continues, donc l'image de la correspondance précédente est fermée. Le théorème de Kakutani assure alors qu'il existe un point fixe, i.e. un point contenu dans son image, c'est àdire un équilibre. 4. application : application aux jeux matriciels (le théorème fondamental est un cas particulier du théorème de Nash). 4) ÉQUILIBRE DE NASH : GÉNÉRALISATION : 1. hypothèses : Jeu non coopératif à n joueurs. L'ensemble des stratégies du joueur i est un compact convexe K i dans un espace euclidien. La fonction satisfaction u i du joueur P i vérifie : x 1,.., x i 1, x i1 K 1.. K i 1 K i1.. K n, x K i u i x 1,.., x i 1, x, x i1 est concave i.e. la fonction qui, étant données les stratégies de n 1 joueurs, donne le gain du dernier en fonction de sa stratégie, est concave pour tout joueur et pour tout (n 1) upplet de stratégies ;

6 par exemple en dimension 2 : 2. l'équilibre : Il existe alors un équilibre, i.e. un n upplet de stratégies x 1,.., x n tel que i {1,.., n}, x K i,u x 1 u x 1,.., x i 1, x, x i1 Ainsi personne n'a intérêt à changer unilatéralement de stratégie. On remarque que le théorème précédent est un cas particulier de celui ci en considérant que l'ensemble des stratégies est l'ensemble des distributions de probabilité, et les fonctions utilités sont les espérances. 3. principe de la preuve : Cette preuve repose sur le théorème du point fixe de Brouwer. Si les fonctions gains sont strictement concaves (sinon, on les approche par des fonctions strictement concaves) : alors la fonction j i K j K j x 1,.., x i 1, x i1 K 1.. K i 1 K i1.. K n, x K i u i x 1,.., x i 1, x, x i1 admet un maximum en un unique point M i (x 1,..,x i 1,x i+1,..,x n ). On définit ainsi les fonctions M i de. On vérifie que le graphe de M i est compact et que M i est continue. On considère alors l'application de K 1.. K n dans lui même qui à (x 1,..,x n ) associe ( M 1 (x 2,..,x n ),.., M n (x 1,..,x n 1 ) ). On vérifie que ses points fixes sont des équilibres, et le théorème de Brouwer assure l'existence d'un équilibre. 4. applications : Tous les théorèmes précédents peuvent être vus comme des cas particuliers de celui ci. 5) RECHERCHE DES ÉQUILIBRES DE NASH DANS DES SITUATIONS EFFECTIVES Les théorèmes précédents donnent l'existence des équilibres, mais sont impuissants quant à leur détermination effective. On s'intéresse à la manière dont les joueurs peuvent déterminer l'équilibre de Nash du jeu et/ou la meilleure stratégie en fonction de ce qu'il savent du jeu.

7 1. algorithme de résolution des jeux matriciels Il existe un algorithme de résolution des jeux matriciels, basé sur le même principe que la preuve, mais sa complexité le rend inapplicable dans la plupart des cas concrets. 2. si les fonctions utilité sont C 1, avec les hypothèses précédentes : Que personne n'ait intérêt à changer de stratégie unilatéralement implique que : u i i {1,.., n}, si X i =x i,1,.., x i, ni, j {1,.., n i }, X 1,.., X n =0 x i, j Donc on peut chercher les équilibres parmi les points vérifiant cette propriété mais on n'obtiendra pas forcément les éventuels équilibres qui seraient dans la frontière des ensembles de stratégie. Cette méthode est applicable par exemple aux jeux matriciels. Si les joueurs connaissent uniquement, à un instant donné, dans quelle ''direction'' ils doivent faire évoluer leur stratégie pour augmenter leur espérance de gain, on obtient des équations différentielles où les solutions constantes sont ces équilibres. Les simulations donnent une idée de l'évolution du jeu, et montrent que l'on peut parfois s'approcher de l'équilibre. Illustration : dans le cas d'un jeu matriciel, avec deux choix par joueur (leurs stratégies sont donc déterminées par un seul paramètre chacun) : 3. les limites : (1) cycle autour de l'équilibre Dans le cas des jeux matriciels, les joueurs peuvent, selon le cas, converger vers l'équilibre, ou tourner autour. dans ce cas ils n'appliquent jamais la ''bonne'' stratégie. Par exemple :

8 (2) équilibres sous optimaux : L'exemple connu du dilemme du prisonnier montre que les équilibres de Nash ne sont pas forcément les meilleurs solutions. D'où l'importance de la collaboration. Autre exemple : 3 joueurs, chacun choisit X ou Y. gains : nombre de X et Y : 3 X, 0 Y 2 X, 1 Y 1 X, 2 Y 0 X, 3 Y joueurs X : joueurs Y : Avec cet exemple, par les méthodes précédentes, on obtient un ''équilibre'' où l'espérance de chacun est proche de 0.7, alors qu'il est clair que la stratégie pure consistant à toujours jouer X assure un gain de +1 à chaque tour. Mais elle n'est pas un équilibre de Nash, et pour l'appliquer, les joueurs doivent a priori se mettre d'accord et se faire confiance. 6) BIBLIOGRAPHIE Lectures on the Theory of Games (Harold W. Kuhn, ed. Princeton University Press) Essays on Game Theory (John Forbes Nash, Jr, ed. Edward Elgar) Théorie des Jeux (Xavier Caruso, inspiré du cours d'ivar Ekeland) (encyclopédie libre sur internet)

9 7)ANNEXE : ILLUSTRATIONS voici diverses évolutions obtenues par simulation : un cycle assez chaotique : les cycles peuvent prendre divers aspects en fonction des paramètres ici l'équilibre est presque atteint :