Traitement du Signal Déterministe

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1 Cours e ravaux Dirigés de raiemen du Signal Déerminise Benoî Decoux - s - ère parie : "Noions de base e éudes emporelles"

2 Bases du raiemen de signal Calculer l ampliude de la dérivée d un signal sinusoïdal d ampliude égale à e de fréquence Herz. Réponse La dérivée du signal sinusoïdal défini par exemple par : s() cos( ω + ϕ) es définie par : s() ωsin( ω + ϕ) donc l ampliude du signal dérivé es ω. L applicaion numérique donne : ω π 4π Exprimer la foncion échelon unié sous forme d une foncion signe d ampliude judicieusemen choisie e d une consane. Réponse u () + sgn() Exprimer la foncion recangulaire ().rec[ ] x à l aide de signaux échelons. Réponse x().u( + / ).u( / ) ) Calculer la valeur moyenne e la valeur efficace d un signal carré, compris enre e 5V, de rappor cyclique /. ) Même chose pour un rappor cyclique /. ) Calculer la valeur moyenne d un signal sinusoïdal d ampliude, défini par : s() cos( ω + ϕ) 4) Calculer la valeur efficace de ce signal. Soluions ) Soi s() ce signal. Comme il es périodique, sa valeur moyenne es définie par : / / 5 5 S moy s()d s()d 5d Sa valeur efficace es définie par : [] /,5V

3 Soi ) Valeur moyenne : Valeur efficace : Soi ) 4) / / 5 5 S eff s ()d s ()d 5d S moy / S eff,5v s()d s()d 5d / 5 [] /,5V 5 / [],66V / / 5 5 S eff s ()d s ()d 5d S eff,9v / [] 8,V sin( ) S cos( )d cos( )d moy + ω + ϕ ω + ϕ ω + ϕ ω sin( ω + ϕ) sin( + ϕ) sin(π + ϕ) sin( ϕ) sin( ϕ) sin( ϕ) ω ω ω [ ] [ ] [ ] S eff On uilise la formule de rigonomérie : d où Soi : S eff cos ( ω + ϕ)d cos a ( + cos a) cos ( ω + ϕ) d { d + cos(ω + ϕ)d} [] sin(ω + ϕ) + cos(ω + ϕ)d + ω sin(ω + ϕ) sin( ϕ) sin( ϕ) sin( ϕ) + + ω ω Les élecroniciens connaissen bien ce résula. S eff Soi x() un signal carré logique L (éa bas : V ; éa hau : 5V) de rappor cyclique / e de période,s. ) Calculer son énergie sur une période. En déduire son énergie oale. ) Calculer sa puissance oale e sa puissance moyenne. ) En déduire sa valeur efficace. Réponses ) Son énergie sur une période es définie par : / / 5 E x ()d x ()d 5d 5[] /,5,5 Joule

4 Son énergie oale es égale à : [] [ + ] E x ()d 5 5 ) La puissance moyenne oale es idenique à la puissance calculée sur une période, définie par : / / 5 5 P x ()d x ()d 5d [] /,5 Was ) La valeur efficace es la racine carrée de la puissance (calculée sur une période, ou oale) : X eff,5,5 Vol Calculer l énergie e la puissance oales des signaux suivans (on prendra quand nécessaire pour les applicaions numériques) : Echelon de Heaviside Foncion pore de largeur e de haueur /, cenrée sur Réponse ) Echelon de Heaviside. Energie : Puissance oale : E + s ()d s ()d.d [] + + / / P lim s ()d lim [] lim Wa / ) Foncion pore de largeur e de haueur /, cenrée sur. Energie : Puissance oale : E + / / s ()d s ()d.d [] / / ( + ) Joule / / E lim Convoluion-Réponse impulsionnelle On considère le produi de convoluion enre signaux x() e y() : x ()* y() + x( τ).y( τ).dτ Par un changemen de variable adéqua, monrer que le produi de convoluion es commuaif. Soluion On cherche à démonrer que : 4

5 x () * y() y() * x() ppelons s()x()*y(). Si l on effecue le changemen de variable τ - τ, on obien : s() x( τ').y( τ').dτ' + soi s() + x( τ' ).y( τ' ).dτ' que l on peu ré-écrire s () + x( τ).y( τ).dτ y() * x() Ce qui démonre que le produi de convoluion es commuaif. ) Simplifier les inégrales suivanes : s () δ() d ; s () δ( + ) d où s() es un signal quelconque, causal puis non causal. ) Calculer la valeur numérique des inégrales suivanes : r() δ( )d où r() es la foncion rampe Soluion ) De même : ) s() δ ()d s() δ()d s() δ()d s() r () δ( )d s() δ( + )d s( ) r() δ( )d r() δ( )d r() Monrer que la convoluion d un signal e() avec la foncion recangle définie par : h() rec (cenrée sur, d ampliude / e de largeur ), avec -/, correspond à un filrage de ype moyenneur. Soluion La définiion de la convoluion donne : s () + h( τ)e( τ)dτ qui es la définiion de la moyenne mobile. + τ / rec e( τ)dτ e( τ)dτ 5

6 ) Monrer que l opéraion de moyenne mobile (ou glissane) es une convoluion avec la foncion recangulaire. ) Exprimer la réponse impulsionnelle correspondane. Soluion ) ) + τ / s() e( τ)dτ rec e( τ)dτ h( τ)e( τ) dτ h () + / rec + ) Déerminer la réponse indicielle (réponse à un signal échelon de Heaviside) d un circui don la réponse impulsionnelle es définie par : h () exp avec ( pour <). ) Représener cee réponse impulsionnelle ainsi que la réponse du circui. Soluion ) Cee réponse es définie par : S (u()) u( τ)h( τ) dτ e e / e e / (τ) / / e e τ / τ/ dτ dτ dτ τ/ [ e ] / [ e ] / e / e ) / h()(/)e / 6

7 Soluion Calculer la réponse d un circui à une rampe de pene, à parir de sa réponse impulsionnelle. y () y () τ.h( τ)dτ r( τ)h( τ)dτ τ.e (τ) / dτ τ.h( τ)dτ e / On doi uiliser l inégraion par paries : ( uv)' u' v + uv' uv u' v + uv' u ' v uv uv' En prenan u e τ/ e vτ, on a : ue τ/ e v. Donc : / τ / τ / / τ / τ / y () e [ τe ] e dτ e [ τe ] e dτ e / τ.e τ/ dτ τ / τ / / / / {[ τe ] [ e ] } e {[ e ] [ e ] } ( e On applique à l enrée d un filre passe-bas une impulsion d ampliude V e de durée,s. Sa réponse observée en sorie es définie par y()e -. ) Calculer l aire définie par l impulsion d enrée e l axe des abscisses. L exprimer en foncion de l impulsion de Dirac sous la forme c.δ(). ) Représener y(), en précisan sa pene à l origine. ) En déduire la "vraie" réponse impulsionnelle du sysème, que l on noera h(). 4) Déerminer l expression de la réponse de ce sysème à une enrée échelon unié. 5) Même quesion pour un signal rampe de pene pour e nul pour <. / ) Soluion ) La produi de la durée de l impulsion d enrée e son ampliude es égal à -5-4 V.s L enrée peu êre assimilée à une impulsion de Dirac pondérée : -4 δ(). ) y() es une exponenielle commençan au poin (,) e décroissan avec une pene iniiale de. ) Puisque le signal d enrée ne représene qu une fracion de l impulsion de Dirac, on peu considérer que la vraie réponse impulsionnelle s obien en pondéran la réponse à l impulsion donnée dans l énoncé de la manière suivane : -4 δ() e - δ() 4 e - h() 4) La réponse du filre à ou aure enrée es obenue par la convoluion enre cee enrée e sa réponse impulsionnelle. La réponse à l échelon u() es donc donnée par : y () u( τ)h( τ)dτ 7

8 4 τ [ e ] [ e e ] ( e ) 4 τ h( τ)dτ e dτ 5) Soi r() l expression de cee rampe. On remplace l expression de u() par celle de r() dans l inégrale de convoluion : y () On resrein l inervalle d inégraion à [,] : y () τ.h( τ)dτ r( τ)h( τ)dτ 4 τ.e (τ) τ.h( τ)dτ 4 dτ e On doi uiliser l inégraion par paries : ( uv)' u' v + uv' uv u' v + uv' u ' v uv uv' En prenan u e - e vτ, il vien : 4 4 τ τ e τ τ y () e [ τe ] e dτ [ τe ] e dτ 4 4 e τ τ e [ τe ] + [ e ] [ e ] + [ e ] + e 9 9 τ.e τ dτ ) Soien e e h deux séquences de valeurs provenan respecivemen de l échanillonnage d un signal e de la réponse impulsionnelle d un sysème : e{,,,,,,,,,} e h{,-} Calculer la séquence s résulan de la convoluion numérique e*h. ) Inerpréer ces résulas du poin de vue des plages de fréquences éliminées e conservées. ) Quel es le signal qui permerai de connaîre la séquence h? 4) Proposer une séquence h permean de réaliser un moyennage du signal e. Même quesion qu en ) 5) Démonrer à l aide de ce exemple que le produi de convoluion es bien commuaif. Réponse ) On uilise la formule de la convoluion discrèe : N i s e *h e. h avec k,,,m+n- k k k ki i N es le nombre d élémens de h e M celui de e : N e M. Elle possède un nombre d élémens égal à la somme de ceux des deux séquences, moins, soi +-. On obien la séquence suivane : s{,,,,,,,-,,,} ) On peu dire que les basses fréquences son éliminées puisque les longues suies de, assimilables à des fréquences basses, son éliminées. ) La séquence h correspond à la réponse impulsionnelle d un sysème. Il suffi donc d appliquer une impulsion de Kronecker (l équivalen numérique de l impulsion de Dirac) en enrée de ce sysème. La séquence à uiliser es : e{,,,,,,,,,} On peu facilemen démonrer que le résula de la convoluion enre e e h es s{,-,,,,,,,,,}, donc h{,-} es bien la réponse impulsionnelle du sysème. Ce résula démonre égalemen que l impulsion de Kronecker es l élemen neurre de la convoluion. 8

9 4) Par exemple h{/,/,/}. On obien : s{,,,/,/,,,/,/,,,} Ici ce son pluô les haues fréquences qui son éliminées. 5) On calcule e k * h k. C es à dire que concrêemen, on reourne la séquence {en} e on la décale. On consae que l on obien le même résula, ce qui vérifie que le produi de convoluion es bien commuaif. Soi l image suivane (les cases vide coniennen des ) : e le filre de Prewi suivan : On rappelle l expression de la convoluion bi-dimensionnelle discrèe : s (i, j) M / M / km / lm / h(k + M /,l + M / ).e(i + k, j+ l), i,j, N-, k enier où N es la aille de l image en pixels par côé (carrée), e M celle du filre. ) Donner la valeur du produi de convoluion pour le pixel de coordonnées (,). ) Calculer l image résulan de la convoluion de oue l image avec le filre. Soluion ) s (,) k l h(k +,l + ).e( + k, + l) h (,).e(,) + h(,).e(,) + h(,).e(,) + h (,).e(,) + h(,).e(,) + h(,).e(,) + h (,).e(,) + h(,).e(,) + h(,).e(,) ) Le résula pour oue l image es : 9

10 ????? Corrélaion ) Calculer la foncion d auocorrélaion d un signal pore défini par x() rec[ ( / ) ] ) Conclure sur les propriéés de la corrélaion uiles pour la mesure de ressemblance. ) Déerminer l énergie de ce signal à parir de sa foncion d auocorrélaion. 4) Calculer la foncion d auocorrélaion du signal carré obenu par répéiion de la foncion pore à ous les insans k, avec e k enier. 5) Monrer quand dans ce dernier cas, la borne inférieure de l inégrale peu êre différene de la valeur choisie dans la quesion précédene. Soluion ) La foncion possède une largeur égale à, une ampliude égale à e es cenrée sur /. La simplificaion de cee inégrale va se ramener à déerminer les bornes d inégraion, selon différens cas, car la foncion rec va êre remplacée par. On peu disinguer 4 cas : - er cas : si +τ<, soi τ<-, le produi des foncions es nul, donc la foncion d auocorrélaion égalemen. - e cas : -<τ< : l inervalle de valeurs de τ pour lequel le produi n es pas nul es [, τ+]. Sur ce invervalle, ce produi vau. On a donc : τ+ τ+ [] τ C ( τ).d + xx - e cas : <τ< : l inervalle sur lequel le produi n es pas nul es [τ, ]. Sur ce invervalle, ce produi vau. On a donc : C xx ( τ).d τ - 4 e cas : τ> :le produi des foncions es à nouveau nul. [] τ ) La foncion d auocorrélaion es maximale quand la coïncidence enre le signal e lui-même es maximale. Elle radui donc la ressemblance enre les signaux, permean de déerminer le décalage pour lequel cee ressemblance es maximale. ) On uilise direcemen la propriéé selon laquelle la foncion d auocorrélaion en es égale à l énergie du signal, soi ici. τ

11 4) Pour un signal périodique, l expression de la foncion d auocorrélaion es : C ( τ ) x().x( )d xx τ Ici, représene la période du signal, égale à fois la durée de la foncion pore. On prendra pour ne pas confondre avec le désignan la durée du signal pore. ' C ( τ ) x().x( )d xx ' τ Pour déerminer cee foncion, on peu uiliser direcemen les résulas du signal pore. En effe, la foncion obenue éai comprise enre e +, e nulle en dehors de ce inervalle. Ici, la même foncion va réapparaîre après une période du signal e ainsi de suie, le décalage augmenan (τ ) indéfinimen. De même pour τ<. La foncion d auocorrélaion es donc pédiodique, de période égale à celle du signal. 5) On peu remarquer graphiquemen que si l on avai effecué l inégraion sur l inervalle [-/, /] pluô que [,], le résula aurai éé le même. Soi un signal défini par : ) Représener ce signal. x() [ u() u( ) ] ) Calculer sa foncion d auocorrélaion, e la représener. ) Déerminer son énergie à parir de sa foncion d auocorrélaion. Soluion ) On peu égalemen exprimer le signal sous la forme : pour [,] x () ailleurs La forme de ce signal es une den de scie de largeur : en, sa valeur es ; en, elle vau. ) Sa foncion d auocorrélaion es définie par : + + Cxx ( τ) x().x( τ)d. [ u() u( ) ]. ( τ). [ u( τ) u( τ ) ]d Les différens cas à éudier son les mêmes qu avec un signal pore. Les seuls cas pour lesquels le produi des foncions n es pas nul son : - e cas : -<τ< : l inervalle de valeurs de τ pour lequel le produi n es pas nul es [, τ+]. On a donc : Cxx ( τ) τ+. ( τ).d 6 τ+ ( τ + ) ( τ + ) ( ) τ.d τ τ ( ( τ + ) ( τ + ) τ) ( ( τ + )( τ + τ + ) ( τ + τ + ) τ) 6 6 τ+ ( ( τ + τ + τ + τ + τ + ) ( τ + τ + τ ))

12 ( ( τ + τ + τ + ) ( τ + τ + τ )) 6 ( τ + τ + ) 6 - e cas : <τ< : l inervalle sur lequel le produi n es pas nul es [τ, ]. On a donc : Cxx ( τ). ( τ).d τ τ τ ( ) τ τ + τ τ + 6 τ On remarque que l on a le même résula que dans le cas précéden, mais avec un changemen de signe pour τ. On peu donc écrire ces résulas sous la forme d un seul : ( τ + τ ) si τ < C ( τ) xx 6 si τ > Cee foncion es un polynôme d ordre. Elle es symérique par rappor à. Quand τ par valeurs négaives, la foncion se compore comme aτ+b. ) L énergie du signal es la valeur de sa foncion d auocorrélaion pour τ. On remplace donc τ par dans l expression précédene. On obien Cxx ( τ ). Soluion Calculer la foncion d auocorrélaion du signal sinusoïdal. Dans le cas simplifié d une ampliude unié e d une phase nulle, la foncion sinusoïdale es définie par : s() sin( ω) pour une pulsaion ω. On applique l expression de l auocorrélaion : Cxx ( τ ) x().x( )d sin( ).sin( ( ))d τ ω ω τ On uilise la formule de rigonomérie : cos(a b) cos(a + b) sin(a).sin(b) donc : Cxx ( τ ) cos( )d cos( ( ))d ωτ ω τ cos( ω ) τ Cxx ( τ ) d cos( ( ))d ω τ cos( ωτ) + [ sin( ω( τ)) sin( ωτ) ] ω cos( ωτ) Cxx ( τ )

13 : Corrélaion enre un signal long e d un signal cour ) On considère le signal long suivan, sous la forme d une séquence {x n }, où n représene les indices des élémens dans la séquence, commençan à : signal long : E le signal cour sous la forme d une séquence {y n } : signal cour : On cherche à déecer la présence du signal cour dans le signal long. Pour cela, on défini le produi de corrélaion de la manière suivane : N C xy (k) x i+ k. yi N i où N es le nombre d élémens du signal cour : N. ) Calculer le produi de convoluion pour k, k e k4. ) Par inerpréaion de ces résulas, indiquer si la déecion de la ressemblance enre les signaux es bien effecuée de cee manière. ) Recommencer avec les versions cenrées des signaux (pour chacun, la moyenne de ses élémens es reranchée de chaque élémen) : signal long : signal long : - 4) Même quesion que ) pour les résulas du ). 5) Conclure sur l uilié de cenrer les signaux pour rechercher des moifs dans un signal par corrélaion, e ré-écrire l expression de la foncion de corrélaion prenan en compe ce cenrage. Soluion ) C xy () ; C xy ()5 ; C xy (4)6 ) Ces calculs ne permeen pas de déecer la ressemblance maximale, car la valeur maximale ne correspond pas à celle-ci. ) C xy () ; C xy () ; C xy (4) 4) Ici, la valeur maximale correspond à la ressemblance maximale enre le signal cour e la zone comparée du signal long. 5) Le cenrage des signaux perme donc de ransformer ce calcul en un moyen de déecer la ressemblance enre signaux. On peu ré-écrire la foncion de corrélaion de la façon suivane : N Cxy (k) (x i+ k x).(yi y) N i où x e y représenen respecivemen les moyennes des séquences {x n } e {y n }.

14 Equaions différenielles On considère l équaion différenielle suivane : ay ' + y ) Déerminer l ensemble des soluions de l équaion homogène associée. ) Déerminer une soluion pariculière de l équaion complèe. ) En déduire la soluion générale de l équaion complèe. 4) En déduire la forme générale de la réponse d un circui (ension de sorie) à un échelon de ension E. 5) Préciser cee réponse sachan que le condensaeur es déchargé à. Indicaions Pour la quesion, on pourra penser à une soluion consane. Pour la quesion 5, il faudra uiliser une considéraion élecrique : la ension aux bornes d un condensaeur ne peu êre disconinue. Donc à, on aura s( - )s( + ). Soluion ) L ensemble des soluions de l équaion homogène es défini par : a e x λ λ réel quelconque. ) Prenons une soluion consane K. K donc K. ) La soluion générale de l équaion complèe es donc : y + λe 4) Cee soluion nous perme de connaîre la soluion dans le cas d un circui défini par l équaion : ds() + s() e() d La soluion générale de l équaion sans second membre (régime libre) es donc : 4 λ e Pour la soluion générale de l équaion complèe, il fau préciser e(). Si l on s inéresse à la réponse indicielle (réponse à un échelon), l équaion es définie par : ds() + s() E d e on va chercher une soluion pariculière de cee équaion sous la forme s()ce. On a ds()/d, donc cee consane es E. La soluion générale de l équaion complèe es donc : s() E + λe Il rese à déerminer la consane λ, qui dépend des condiions iniiales. Celles-ci son déerminées par des considéraions élecriques : si on suppose le condensaeur iniialemen déchargé, la ension à ses bornes es nulle. On a donc : s( - ) mais aussi, en remplaçan par dans l expression de la sorie : s( + )E+λ En posan : x a

15 on obien : Donc, finalemen : s() s( - )s( + ) λ-e E( e ) Remarque : on aurai pu considérer d aures condiions iniiales. Par exemple, avec C iniialemen chargé : s( - )U. avec oujours s( + )E+λ on a λ U -E e finalemen : s() E + (U E) e ransformée de Laplace Calculer la ransformée de Laplace d un signal carré défini par x() pour dans [k, k+τ], k enier. Soluion On uilise la propriéé ci-dessus. On calcule donc d abord la ransformée d une période. Soi τ le rappor cyclique du signal, la ransformée d une période es définie par : La ransformée du signal carré es donc : X (p).e τ p p X(p) pτ [ e ] p e e.d pτ p : Déerminaion de la réponse impulsionnelle d un circui Déerminer la réponse impulsionnelle d un circui. On supposera le condensaeur iniialemen déchargé. Indicaions On déermine l équaion différenielle du circui, on en dédui sa ransmiance de Laplace e donc sa réponse impulsionnelle. Soluion On a vu que l équaion différenielle qui régissai ce circui éai : 5

16 ds() + s() e() d Par applicaion de la ransformée de Laplace, on obien : ps (p) + S(p) E(p) car les condiions iniiales (c es à dire s()) son nulles. La ransmiance du sysème es donc : S(p) (p) E(p) + p Par uilisaion de la ransformée a s().e L S(p) p + a (avec a>) e en ré-écrivan : S(p) (p) E(p) p + on en dédui la réponse impulsionnelle du sysème : / s().e Soi une fracion raionnelle définie par : F(p) p + p + ) Déerminer sa ransformée de Laplace inverse. ) En déduire la réponse impulsionnelle d un sysème possédan F(p) pour ransmiance. ) Calculer la réponse de ce sysème à un signal échelon u(). Soluion ) On peu démonrer facilemen qu on peu facoriser le dénominaeur sous la forme : F(p) (p + )(p + ) Par la méhode des résidus, on la décompose en élémens simples : F(p) + (p + ) (p + ) e, par uilisaion des ransformées de Laplace élémenaires (voir able des ransformées), on dédui direcemen par ransformaion inverse : f () (e e ).u() ) Si F(p) es la ransmiance d un sysème, f() es sa réponse impulsionnelle puisque la ransformée inverse d une ransmiance es une réponse impulsionnelle. ) La ransformée d un échelon u() éan /p, on a : S(p) S(p) F(p)E(p) p p(p + )(p + ) En uilisan la décomposiion précédene : F(p) + + p (p + ) (p + ) On calcule les coefficiens i à l aide de la formule des résidus : 6

17 [ F(p).p] p [ F(p).(p + ) ] p [ F(p).(p + ) ] p On a donc :,5,5 F(p) + + p (p + ) (p + ) d où la réponse emporelle recherchée : f (),5 e +,5e Effecuer la décomposiion en élémens simples de la foncion : p p F(p) (p + )(p + p + ) (p + ) Soluion La décomposiion en élémens simples donne : F(p) + + (p + ) (p + ) (p + ) avec F(p).(p + ) p p p! d(f(p)(p + ) ) d(p)! dp dp d où : [ ] [ ] [] p p p d (F(p)(p + ) )! dp [] p p F(p) (p + ) + (p + ) On considère un circui RLC don le foncionnemen es régi par l équaion différenielle suivane : d s() ds() + mω + ωs() e() d d avec R C ω e m LC L On supposera les condiions iniiales nulles (c es à dire le condensaeur iniialemen déchargé), ce qui se radui par : ds( ) s ( ) d Déerminer sa réponse impulsionnelle, avec les valeurs numériques suivanes : 7

18 RkΩ, CµF, LmH Soluion En uilisan la ransformée de Laplace, l équaion devien : p S(p) + mω ps(p) + ω S(p) E(p) S(p) [ p + mω p + ω ] E(p) S(p) E(p) p + mω p + ω On facorise le dénominaeur : puis on décompose en élémens simples : avec S(p) E(p) S(p) E(p) ( p p )( p ) ( p p ) p ( p p ) ( p p ) + e Les pôles dépenden du signe de, donc de la valeur de m : 4 R C m L 5, 5, 5 m> donc les pôles son réels, définis par : p ω ( m + m ) e p ω ( m m ) De même, ω 4 LC rad / s donc les valeurs des pôles son : p ( 5 + 4) e p ( 5 4) 99 On a donc :, ( p p ) La résula S (p) ( ) ( ), E(p) p p 99 La réponse emporelle correspondane es donc : s(), (e e 99 ) 8

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