Université de Metz Licence de Mathématiques L3. Département de Mathématiques Année universitaire 2007/2008. Examen de Structures algébriques

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1 Université de Metz Licence de Mathématiques L3 U.F.R. M.I.M. Unité Structures algébriques Département de Mathématiques Année universitaire 2007/2008 Examen de Structures algébriques par Jean-Pierre Dax 18 Mars Durée 2 heures. L usage de calculatrices, de documents écrits ou de téléphones portables n est pas autorisé. Il sera enlevé O.25 point par faute d orthographe, de grammaire ou de syntaxe. Questions. 1) Soit σ S 7 défini par σ = [3, 5, 7, 4] [1, 3, 5] [2, 7, 4]. Déterminer le cardinal de la classe de conjugaison de σ dans S 7. 2) Donner la liste des classes de conjugaison du groupe symétrique S 5 (resp. du groupe alterné A 5 ). Pour chaque classe de conjugaison, on indiquera son cardinal. 3) Soit une transposition τ S n (fixée). Soit G un sous-groupe distingué de S n tel que τ G. Prouver que G = S n. Exercice 1. 1) Soit un groupe fini G d ordre n, d élément neutre noté e et noté multiplicativement sans signe. Montrer que l on peut définir une action de G sur G par ϕ(x, y) = x y = x y pour tous x, y G. 2) Pour x G, on note ϕ x : G G la permutation (cf. cours) définie par ϕ x (y) = x y. On note Φ : G S G le morphisme (cf. cours) de groupes défini par Φ(x) = ϕ x pour tout x G. On note ε : S G {1, 1} le morphisme signature. Soit x G \ {e}. 2.a) Montrer que la permutation ϕ x n admet pas de point fixe. 2.b) Montrer que les cycles de la décomposition en cycles disjoints de ϕ x ont tous la même longueur, longueur notée l x. 2.c) Montrer que l on a la relation ε(ϕ x ) = ( 1) n n x où x désigne l ordre de l élément x dans le groupe G.

2 3) On suppose dorénavant que n = 2 r m où r, m N, m impair, et qu il existe a G tel que a = 2 r. 3.a) On pose H = Ker(ε Φ). Montrer que H est un sous-groupe d indice 2 de G. Montrer que a 2 H. 3.b) On note Aut G le groupe des automorphismes du groupe G. Montrer que pour tout α Aut G, on a α(h) = H. Indication : pour x G \ {e}, comparer ϕ x et ϕ α(x). 4) On pose H 1 = H, défini en 3.a). 4.a) Déterminer H 1 et a 2. 4.b) Si r 2, alors montrer qu il existe un sous-groupe H 2 de H 1 d indice 2, tel que a 4 H 2 et tel que pour tout α Aut G on ait α(h 2 ) = H 2. tels que 4.c) Par récurrence, montrer qu il existe une suite de sous-groupes de G H r H r 1 H 2 H 1 H 0 = G (H i : H i+1 ) = 2 pour tout i [0, r 1], H r est un groupe d ordre m, pour tout i [1, r ] et pour tout α Aut G, on a α(h i ) = H i. 4.d) Montrer que pour tout i [1, r ], H i est un sous-groupe distingué de G. fin du sujet

3 Université de Metz Licence de Mathématiques L3 U.F.R. M.I.M. Unité Structures algébriques Département de Mathématiques Année universitaire 2007/2008 Examen de Structures algébriques par Jean-Pierre Dax 20 Mai Durée 3 heures. L usage de calculatrices, de documents écrits ou de téléphones portables n est pas autorisé. Il sera enlevé O.25 point par faute d orthographe, de grammaire ou de syntaxe. Questions. 1) Enoncer et prouver la relation de Bezout dans un anneau principal A. 2) Qu appelle-t-on polynômes symétriques élémentaires? Enoncer le théorème donnant le lien entre les polynômes symétriques et les polynômes symétriques élémentaires. Exercice 1. Soit A un anneau de cardinal 4. On note ses éléments A = {0, 1, a, b}, 0 étant l élément neutre et 1 étant l élément unité. 1) Indiquer les valeurs que peut prendre la caractéristique de l anneau A. 2) On suppose que l anneau A est de caractéristique 4. Prouver alors que A est isomorphe à l anneau quotient Z/4Z. 3) On suppose dorénavant que l anneau A est de caractéristique 2. 3.a) Prouver que l on a a + b = 1 et a b = b a. 3.b) On suppose que a 2 = 0. Prouver alors que a b = a et que b 2 = 1. En déduire que A est isomorphe à l anneau quotient(z/2z)[x]/(x 2 ). 3.c) On suppose que a 2 0, b 2 0 et a b = 0. Prouver alors que a 2 = a, b 2 = b. En déduire que A est isomorphe à l anneau produit Z/2Z Z/2Z.

4 3.d) On suppose que a 2 0, b 2 0 et a b 0. Prouver alors que a 2 = b, b 2 = a et a b = 1. En déduire que A est isomorphe à l anneau quotient (Z/2Z)[X]/(X 2 +X+1). 4) Déterminer, à isomorphisme près, le nombre d anneaux de cardinal 4. Préciser parmi ces anneaux lesquels sont des corps. Exercice 2. On considère l anneau Z[i 2], c est-à-dire le sous-anneau de C engendré par Z {i 2}. 1) Déterminer les unités de l anneau Z[i 2]. 2) Montrer que l anneau Z[i 2] est euclidien (donc factoriel). On procèdera de façon analogue à la preuve du fait que l anneau Z[i] est euclidien. 3) Soit y Z impair. Soit p un diviseur irréductible de y + i 2 dans l anneau Z[i 2]. Prouver que l on a p ± p. En déduire que p n est pas un diviseur de y + i 2. 4) Soit (x, y) Z 2 satisfaisant à l équation y = x 3 (1) Prouver d abord que y est impair. En utilisant les questions précédentes, prouver aussi qu il existe a, b Z tels que l on ait y + i 2 = (a + i b 2) 3 (2) Indication : utiliser la relation (y + i 2) (y i 2) = y = x 3. 5) En déduire toutes les solutions (x, y) Z 2 de l équation y = x 3. Indication : commencer par considérer les parties réelles et imaginaires des 2 membres de la relation (2). fin du sujet

5 Université de Metz Licence de Mathématiques L3 U.F.R. M.I.M. Unité Structures algébriques Département de Mathématiques Année universitaire 2007/2008 Examen de Structures algébriques par Jean-Pierre Dax 2 ième session. 24 Juin Durée 3 heures. L usage de calculatrices, de documents écrits ou de téléphones portables n est pas autorisé. Il sera enlevé O.25 point par faute d orthographe, de grammaire ou de syntaxe. Question de cours. 1) Enoncer et prouver le théorème de Lagrange. 2) Soit un groupe fini G d ordre n. Qu appelle-t-on classe de conjugaison de G? Indiquer et démontrer le lien entre le cardinal d une classe de conjugaison et l ordre de G. 3) Déterminer les cardinaux des classes de conjugaison de S 6, le groupe symétrique de degré 6. Exercice 1. On considère l action ϕ du groupe symétrique S 6 sur lui-même par conjugaison, c est-à-dire l action définie par τ, σ S 6, ϕ(τ, σ) = τ σ = τ σ τ 1 On rappelle que le stabilisateur de x S 6 pour cette action s appelle le centralisateur de x et se note C x. On suppose que le groupe S 6 possède un sous-groupe abélien H d ordre 12. 1) Montrer qu il existe σ H d ordre 3 et que l on a H C σ. 2) Indiquer les décompositions possibles de σ en cycles disjoints. En fonction de ces décompositions possibles, déterminer Conj(σ) et en déduire C σ.

6 3) En déduire que le groupe S 6 n admet pas de sous-groupe abélien d ordre 12. Le groupe S 6 admet-il un sous-groupe d ordre 12? TOURNEZ LA FEUILLE S.V.P. Exercice 2. Soit p un nombre premier. Soit A un anneau fini de cardinal p 2. On note 0 A son élément neutre et 1 A son élément unité. 1) Prouver que la caractéristique de l anneau A est égale à p ou à p 2. 2) On suppose que l anneau A est de caractéristique p 2. Prouver alors que A est isomorphe à l anneau quotient Z/p 2 Z. 3) On suppose dorénavant que l anneau A est de caractéristique p. On choisit un élément (fixé une fois pour toutes) a A \ { u1 A u [0, p 1] }. Prouver que l on a A = { u 1 A + v a u, v [0, p 1] }. 4) En déduire que l anneau A est commutatif. 5) On considère le morphisme substitution (morphisme d anneaux) ϕ : (Z/pZ)[X] A défini par ϕ(u) = u 1 A pour tout u Z et ϕ(x) = a. En déduire qu il existe un polynôme unitaire P (Z/pZ)[X] de degré 2 tel que l anneau A soit isomorphe à l anneau quotient (Z/pZ)[X]/(P ). 6) On suppose que p = 3. Déterminer tous les polynômes unitaires irréductibles de degré 2 de (Z/3Z)[X]. Etudier si l on peut passer d un polynôme irréductible à un autre polynôme irréductible par un changement d indéterminée de la forme X = Y + γ où γ Z/3Z. 7) En déduire qu il existe un seul corps de cardinal 9 à isomorphisme près. fin du sujet