Ensembles inévitables et classes de conjugaison

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1 Ensembles inévitables et classes de conjugaison Jean-Marc CHAMPARNAUD Georges HANSEL Abstract Un ensemble de mots sur un alphabet est dit inévitable si tout mot infini sur admet au moins un facteur dans. Le cardinal d un ensemble inévitable de mots de longueur sur un alphabet est supérieur ou égal au nombre de classes de conjugaison des mots de longueur sur. Nous donnons la construction d un ensemble inévitable de mots de longueur dont le cardinal est égal au nombre de classes de conjugaison. 1 Introduction Un ensemble de mots sur un alphabet est dit inévitable si tout mot suffisamment long sur admet au moins un facteur dans [5]. Il est facile de voir qu un ensemble inévitable de mots de longueur sur un alphabet doit contenir au moins un élément de chaque classe de conjugaison des mots de longueur sur. Nous montrons qu il existe un ensemble inévitable de mots de longueur dont le cardinal est égal au nombre de classes de conjugaison et nous donnons la construction d un tel ensemble. Ce résultat a été conjecturé et vérifié jusqu à l ordre 7 par P. Higgins et C. Saker [4], et vérifié jusqu à l ordre 9 par G. Han et D. Perrin [3]. Les auteurs et D. Perrin en ont fourni une seconde preuve dans [1]. 2 Notations, définitions, rappels Soit un alphabet fini muni de la relation d ordre. L ensemble des mots sur l alphabet est muni de l ordre lexicographique induit par l ordre sur. La longueur d un mot Ù ¾ est notée Ù. Soit un mot Ù ¾ ;unconjugué de Ù est un mot Ú qui se factorise en un produit Ú Ú½Ú¾ avec Ú¾Ú½ Ù. La conjugaison est une relation d équivalence sur l ensemble des mots. Un mot de Lyndon est un mot minimum (pour l ordre ) dans sa classe de conjugaison et qui, de plus, est primitif, c est-à-dire n est la puissance d aucun autre. Un mot minimum est, soit un mot de Lyndon s il est primitif, soit une puissance d un mot de Lyndon (uniquement déterminé). Dans ce qui suit, l alphabet est le plus souvent l ensemble à deux lettres. Notamment tout mot minimum commence par et se termine par à l exception des mots de la forme Ò et Ò. LIFAR, Université de Rouen, champarnaud hansel@univ-rouen.fr. 1

2 2 Soit un alphabet fini. Un ensemble Á de mots sur est inévitable si tout mot suffisamment long admet nécessairement pour facteur au moins un élément de Á. Proposition 1 Soit un alphabet fini et Á un ensemble inévitable de mots ayant tous la même longueur. Alors le cardinal de l ensemble Á est nécessairement supérieur ou égal au nombre de classes de conjugaison des mots de longueur. Soit un ensemble de mots ;unmotù est interdit par si tout mot infini qui n admet aucun facteur dans ne peut avoir le mot Ù comme facteur. 3 Un ensemble inévitable minimal Nous donnons la construction d un ensemble inévitable de mots de longueur en indiquant, pour chaque mot minimum de longueur, le mot choisi dans sa classe de conjugaison. On note Å l ensemble des mots minimaux de longueur. Pour tout mot Ú de longueur inférieure ou égale à, on note Å Úµ l ensemble des mots minimaux de longueur dont Ú est préfixe. Nous allons commencer par définir une partition de Å en ensembles Å Úµ. Définitions. Soit Û Ú ¾ un mot se terminant par ; le mot Û ¼ Ú est appelé le successeur de Ú et est noté Ë Úµ. Soit Û Ú ¾ un mot se terminant par une suite de ; le mot Û ¼ Ú est appelé le réduit de Û et est noté Ê Ûµ. Soit Û ¾ un mot de longueur inférieure ou égale à ;lepériodisé de Û, È Ûµ, est la plus grande puissance Û de Û dont la longueur est inférieure ou égale à. Nous définissons par récurrence deux suites finies de mots Ù Ò µ et Ú Ò µ de la façon suivante : Ù¼, Ú¼ È Ë Ù¼µµ ; Ù Ò Ê Ú Ò ½µ, Ú Ò È Ë Ù Ò µµ. La construction s arrête lorsque Ú Ò. On note Æ l ensemble des entiers Ò tels que Ù Ò et Ú Ò sont définis. Exemple. Pour, la suite Ù Ò est la suivante : (aaaaaaa, aaaaaa, aaaaa, aaaa, aaa, aabaa, aaba, aa, ababa, aba, abba, a). La suite Ú Ò est la suivante : (aaaaaab, aaaaab, aaaab, aaab, aabaab, aabab, aabb, ababab, ababb, abbabb, abbb, bbbbbbb). Proposition 2 Les ensembles Å Ú Ò µ sont disjoints et on a Å Ë Ò Å Ú Ò µ. Démonstration. 1) Par construction la suite de mots Ú Ò µ est croissante et majorée par. Plus précisément, soit Ñ Ò et notons ÚÑ ¼ (respectivement ÚÒ) ¼ le préfixe de Ú Ñ (respectivement de Ú Ò ) de longueur Ò Ú Ñ Ú Ò µ; on montre facilement par récurrence que ÚÑ ¼ ÚÒ. ¼ Les ensembles Å Ú Ò µ sont donc disjoints. 2) Soit Ú un mot minimum de longueur quelconque et supposons que Ú Ñ Ú Ú Ñ ½. Montrons que Ú admet Ú Ñ pour préfixe. Le mot Ú Ñ se factorise sous la forme Ú Ñ Ô Ô. Comme Ú Ñ ½ È Ë Ê Ú Ñ µµµ, on a pour un certain entier positif Ò Ú Ñ ½ Ô ½ µ Ò. Il résulte déjà immédiatement de ces trois dernières relations que Ú admet pour préfixe le mot Û Ô ½. Montrons

3 3 que Ú ne peut admettre Û pour préfixe. Si tel était le cas, comme Ú Ú Ñ ½, il existerait des mots Ü, Ý et Þ tels que Ú Û ÜÝÞ avec Ý Ô ½ Û. Par conséquent Ú ne serait pas un mot minimum (puisqu on aurait ÝÞÛ Ü Û ÜÝÞ Ú). Donc Ú admet Û pour préfixe et par conséquent, en vertu des deux premières relations, Ú admet Ú Ñ pour préfixe. Définition. La partition Å Ú Ò µµ Ò¾Æ est la partition standard de Å. Pour tout Ò, posons Ä Ú Ò µ Ú ¾ Ú Ò Ú ¾ Å Ú Ò µ. On a donc Å Ú Ò µ Ú Ò Ä Ú Ò µ. Posons Á Ë Ò Ä Ú Ò µú Ò. Par construction, l ensemble Á contient un élément et un seul dans chaque classe de conjugaison des mots de longueur. 4 Á est un ensemble inévitable Nous utilisons dans la suite les deux résultats suivants [2]. Proposition 3 Soient Ù et Ú deux mots de Lyndon avec Ù Ú. Alors le produit ÙÚ est un mot de Lyndon. Proposition 4 Soit Ú un mot de Lyndon et soit Û Ú Ô une puissance de Ú. SiÛ admet une factorisation de la forme Û ÙÜÙ, alors les mots Ù et Ü sont des puissances de Ú. Définition. Soit Ò ¾ Æ ; on dit qu un mot Ü ¾ a la propriété Í Ò si pour toute factorisation de Ü de la forme Ü Ü ¼ Ü ¼¼, le mot Ü ¼ admet un facteur dans l ensemble Í Ò Ù¼ Ù½ Ù Ò. Proposition 5 Pour tout Ò ¾ Æ,lemotÚ Ò a la propriété Í Ò. Démonstration. On procède par récurrence. Le mot Ú¼ admet évidemment la propriété ͼ puisque Ù¼. Supposons que la proposition soit vérifiée jusqu à l ordre Ò. Comme Ú Ò a la propriété Í Ò, il en est de même de Ù Ò ½ Ê Ú Ò µ ; donc le mot Ë Ê Ú Ò µµ a la propriété Í Ò ½ et il en est encore de même de Ú Ò ½ È Ë Ê Ú Ò µµµ. Proposition 6 Soit Ú un mot de Lyndon (autre que ). Alors Ë Ê Úµµ est un mot de Lyndon et Ë Ê Úµµ Ú. Démonstration. Si Ú se factorise sous la forme Ú,onaË Ê Úµµ et le résultat est vérifié. Sinon le mot Ú se factorise (de façon unique) sous la forme Ú Û et on a Ë Ê Úµµ Û. Soit Ü un suffixe propre de Ë Ê Úµµ et montrons que Ü Ë Ê Úµµ. Si Ü, onaü. Comme Ú est un mot de Lyndon, le mot Û admet un préfixe de la forme Ñ Ò avec nécessairement Ñ, ce qui entraîne Ñ Ò et donc aussi Ë Ê Úµµ et donc Ü Ë Ê Úµµ.

4 4 Supposons maintenant Ü. Le mot Ü se factorise en Ü Ý,oùÝ est suffixe propre de Û. Soit Þ le plus long préfixe de Ý qui est également préfixe de Û. Si Þ Ý, comme Ú est un mot de Lyndon, Û admet pour préfixe Þ et Ý admet pour préfixe Þ (si Û admettait pour préfixe Þ et Ý admettait pour préfixe Þ, on aurait Ý Û Ú, ce qui est impossible). Par conséquent Ý Û et donc Ü Ý Û Ë Ê Úµµ. Supposons enfin Þ Ý. Alors Ú se factorise sous la forme Ú Ý Ý ¼ et on a Ý Þ Ú. Il en résulte que Ý ¼ Ñ Ý ¼¼ où Ñ. On a donc Ë Ê Úµµ Û Ý Ñ Ý ¼¼ et Ü Ý Ë Ê Úµµ. Par conséquent Ë Ê Úµµ est un mot de Lyndon. Enfin l inégalité Ë Ê Úµµ Ú est évidente. Proposition 7 Les mots Ú Ò, Ò ¾ Æ, sont des puissances de mots de Lyndon. Démonstration. Le mot Ú¼ est un mot de Lyndon. Supposons que la propriété soit vérifiée jusqu au rang Ò et soit Û le mot de Lyndon tel que Ú Ò Û Ô.On a alors Ë Ê Ú Ò µµ Û Ô ½ Ë Ê Ûµµ. D après la proposition 6, le mot Ë Ê Ûµµ est un mot de Lyndon et Ë Ê Ûµµ Û. Alors il résulte de la proposition 3 employée de manière récurrente que Ë Ê Ú Ò µµ Û Ô ½ Ë Ê Ûµµ est un mot de Lyndon. Donc Ú Ò ½ È Ë Ê Ú Ò µµ est une puissance de mots de Lyndon. Proposition 8 Soit Ò ¾ Æ et soit un mot Û vérifiant les inégalités Û Û Ú Ò. Alors le mot ÛÚ Ò admet un facteur dans Í Ò. Ú Ò et Le mot Ú Ò admet une factorisation de la forme Ú Ò Ô Ô. D après la proposition 5, le mot ½ admet un facteur dans ÍÒ. Par conséquent si le mot Û est de la forme Û Û ¼, le mot ÛÚ Ò admet ½ pour facteur et donc a un facteur dans Í Ò. On peut donc supposer que Û est de la forme Û Û ¼. D autre part l inégalité Û Ú Ò implique que Û est de la forme Û Û ¼¼. Par conséquent Û se factorise sous la forme Û Ð ½ Õ ÐÕ. 1) Supposons tout d abord que Û n est pas préfixe de Ú Ò. Il existe alors un premier indice Ñ tel que Ñ ÐÑ Ñ Ñ et donc au moins l une des deux conditions Ñ Ñ ou Ð Ñ Ñ est remplie. Supposons que Ñ Ñ ; il résulte de la proposition 5 que le mot Ñ ½ admet un facteur dans Í Ò et il en est donc de même de ÛÚ Ò (et même ici de Û). Supposons que Ñ Ñ et Ð Ñ Ñ ; il résulte de la proposition 5 que le mot Ü Ñ ÐÑ admet un facteur dans Í Ò et il en est donc de même de ÛÚ Ò (soit Ü est préfixe de Û, soit Û Ñ ÐÑ ). 2) Supposons maintenant que Û est préfixe de Ú Ò. Soit Ñ le plus grand entier tel que le mot Ú Ò admette une factorisation de la forme Ú Ò Û Ñ Û ¼. Observons que Û ¼ ne peut être le mot vide. Sinon l égalité Û Ñ Ú Ò È Ë Ê Ú Ò ½µµµ et le théorème du défaut impliqueraient que Û est une puissance du mot de Lyndon Ë Ê Ú Ò ½µµ et cela contredirait la construction de Ú Ò (puissance maximum de Ë Ê Ú Ò ½µµ de longueur inférieure ou égale à ).

5 5 Il est également impossible que Û ¼ soit un préfixe propre de Û. En effet cela impliquerait que le mot Ú Ò se factorise sous la forme Ú Ò Û ¼ ÜÛ ¼, ce qui, d après la proposition 4, entraînerait que Û ¼ est une puissance de Ë Ê Ú Ò ½µµ ce qui contredit à nouveau la construction de Ú Ò. Comme Ú Ò est un mot minimum dans sa classe et comme Û ¼ n est pas puissance de Ë Ê Ú Ò ½µµ, on a l inégalité Û ¼ Û Ñ Û Ñ Û ¼. Soit Ð Ò Û Û ¼ µ et soient Ü et Ü ¼ les préfixes de longueur Ð de Û et Û ¼ respectivement. Il résulte de ce qui précède que Ü et Ü ¼ diffèrent et donc l inégalité ci-dessus entraîne que Ü ¼ Ü. Soit Ý leur plus long préfixe commun. Les mots Ü et Ü ¼ admettent alors des factorisations de la forme Ü Ý Þ et Ü ¼ Ý Þ ¼. Le mot Û Ñ Ý est préfixe de Ú Ò et donc, d après la proposition 5, le mot Û Ñ Ý admet un facteur dans Í Ò. Mais le mot Û Ñ Ý est préfixe de Û Ñ ½ et donc aussi de ÛÚ Ò ÛÛ Ñ Û ¼. Donc ÛÚ Ò admet un facteur dans Í Ò. Proposition 9 Soient Ò ¾ Æ et Û ¾ tel que Ú Ò Û. Les conditions suivantes sont équivalentes : ½µ Tout suffixe Ü non vide de Û vérifie l inégalité Ü Ú Ò ; ¾µ Le mot Ú Ò Û est minimum dans sa classe de conjugaison (c est-à-dire appartient à l ensemble Å Ú Ò µ). Démonstration. ½µ µ ¾µ Soit Ü un suffixe propre non vide de Ú Ò Û. Si Ü Û, on a par hypothèse Ü Ú Ò ; comme par construction de Ú Ò,ona Ü Û Ò ¾ Ú Ò, cela entraîne Ü Ú Ò Û. Supposons maintenant Ü Û. Soit Ú Ò Ú Ô la factorisation de Ú Ò comme puissance du mot de Lyndon Ú (proposition 7). Le mot Ü se factorise sous la forme Ü Ü ¼ Ú Û où Ü ¼ est suffixe du mot de Lyndon Ú. Trois cas sont possibles : Ô ½et donc Ü ¼ est suffixe propre du mot de Lyndon Ú Ò. Par conséquent Ü ¼ Ú Ò et donc aussi Ü ¼ Ú Ò Û. Ô ½ et Ü ¼ est suffixe propre du mot de Lyndon Ú. Par conséquent Ü ¼ Ú et donc aussi Ü ¼ Ú Ô Û Ú Ò Û. Ô ½ et Ü ¼ est le mot vide. Le mot Ü se factorise sous la forme Ü Ú Õ Û avec Õ Ô. Par construction de Ú Ò,ona Û Ú. Comme par hypothèse Û Ú Ò, on a aussi Û Úet donc Ü Ú Õ Û Ú Ô Û Ú Ò Û. Dans tous les cas, on a Ü Ú Ò Û et par conséquent Ú Ò Û est minimum dans sa classe de conjugaison. ¾µ µ ½µ Soit Ü un suffixe de Û. Comme par construction de Ú Ò,ona Û Ú Ò,le mot Ú Ò Û se factorise sous la forme Ú Ò Û Ü ¼ Ú ¼ Ò Û,avec ܼ Ü. Comme Ú Ò Û est minimum dans sa classe, on a nécessairement Ü ¼ Ü. Montrons que l on ne peut avoir Ü Ü ¼. Supposons donc que Ü Ü ¼. Le mot Ú Ò Û est une puissance Ô de mot de Lyndon et se factorise sous la forme Ú Ò Û ÜÞÜ. Il résulte de la proposition 4 que Ü Õ pour un certain entier Õ. Par ailleurs le mot Ú Ò est également une puissance Ø Ö de mot de Lyndon (Proposition 7). Il résulte de la construction de Ú Ò que l on ne peut avoir Ø

6 6 et que Ü Û Ø. Il existe donc un entier Ö tel que Ö Ø Ö ½. Par suite, il existe un préfixe ¼ de qui est en même temps suffixe de Ø. Mais ¼ est en même temps préfixe de Ú Ò donc de Ø, ce qui est absurde. Proposition 10 Pour tout Ò ¾ Æ, le mot Ù Ò ½ est interdit par l ensemble Î Ë Ò Í Ò Ä Ú Ò µú Ò. Démonstration. Montrons d abord que le mot Ú Ò est interdit par Î Ò. Soit Û un mot de longueur Ú Ò. Si pour tout suffixe Ü de Û, onaü Ú Ò, alors, en vertu de la proposition 9, le mot Ú Ò Û ¾ Å Ú Ò µ et donc ÛÚ Ò ¾ Ä Ú Ò µú Ò. Si au contraire il existe un suffixe Ü de Û tel que Ü Ú Ò, alors, en vertu de la proposition 8, le mot ÜÚ Ò admet un facteur dans Í Ò et il en est à plus forte raison de même de ÛÚ Ò. Donc dans tous les cas, le mot ÛÚ Ò admet un facteur dans Î Ò et, par conséquent, le mot Ú Ò est interdit par l ensemble Î Ò. Le mot Ú Ò se factorise sous la forme Ú Ò Ú ¼ Ô Õ. Le mot Ú Ò et (en vertu de la proposition 5) le mot Ú ¼ Ô Õ ½ sont tous deux interdits par l ensemble Î Ò. Donc le mot Ú ¼ Ô Õ ½ est interdit par l ensemble Î Ò. En raisonnant par récurrence, on obtient que le mot Ù Ò ½ Ê Ú Ò µ Ú ¼ Ô est interdit par l ensemble Î Ò. Théorème 1 Soient et Å l ensemble des mots de longueur sur l alphabet qui sont minimaux dans leur classe de conjugaison. Soit Ú Ò Ä Ú Ò µµ Ò¾Æ la partition standard de Å. Alors l ensemble Á Ë Ò Ä Ú Ò µú Ò est un ensemble inévitable. Démonstration. Par récurrence, il résulte de la proposition 10 que, pour tout Ò ¾ Æ,lemotÙ Ò ½ est interdit par l ensemble Ï Ò Ë Ò ¼ Ä Ú µú. Par conséquent, l ensemble Á interdit les mots et. Il est donc inévitable. References [1] J.-M. Champarnaud, G. Hansel and D. Perrin, Unavoidable sets of constant length, Report IGM , Institut Gaspard Monge, Laboratoire d Informatique, Université de Marne-la-Vallée. [2] J.-P. Duval, Factorizing words over an ordered alphabet, J. Algorithms, 4(4): , [3] G. Han and D. Perrin, Ensembles inévitables, Séminaire Lotharingien de Combinatoire, [4] P. M. Higgins and C. J. Saker, Unavoidable sets of words of uniform length, Technical report, University of Essex, [5] M.-P. Schützenberger, On the synchronizing properties of certain prefix codes, Inform. and Control, 7:23 36, 1964.