Introduction. 1. Historique

Transcription

1 Remerciements Je tiens en premier lieu a remercier Etienne Ghys avec toute ma gratitude. Sous sa direction, ce travail a été une entreprise passionnante. Sa grande clairvoyance, alliée à son extrême habilité dans la compréhension et l explication des faits mathématiques m ont beaucoup apporté. Il a toujours su m en faire bénéficier par sa gentillesse et sa disponibilité sans failles. Je suis également reconnaissant à François Labourie, Pierre Pansu et Alberto Verjovsky d avoir accepté la charge de rapporteurs. L intérêt qu ils ont porté à mon travail a été pour moi un encouragement. Je pense ici particulièrement à Alberto Verjovsky qui a su me communiquer l enthousiasme chaleureux qui le caractérise. Cette thèse doit beaucoup en son esprit aux travaux d André Haefliger. Sa participation au jury est pour moi un honneur. Ces remerciements s adressent aussi à Frédéric Haglund, dont l écoute et l opinion critique m ont souvent été d un précieux secours. 1

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3 Introduction Les définitions que nous donnerons au cours de cette introduction seront parfois soit incomplètes, soit simplifiées. Nous indiquerons au lecteur à quelles parties du texte se référer pour les compléter. Les flots d Anosov occupent une place de choix dans le vaste domaine de l étude qualitative des systèmes dynamiques différentiables. Un de leurs intérêts est d être structurellement stables: une légère perturbation du flot ne modifie pas leur comportement qualitatif global (définition 1.1.3). Il est bien connu que la stabilité structurelle est fortement reliée à la notion d hyperbolicité. Un fermé invariant par un flot est dit hyperbolique si le fibré tangent à la variété ambiante s y décompose en deux fibrés supplémentaires à la direction du flot, l un contracté, l autre dilaté par le flot. L hyperbolicité n est cruciale qu au centre de Birkhoff, qui est le fermé invariant recèlant l essentiel de la dynamique. Les flots d Anosov sont les flots vérifiant l hyperbolicité globalement (définition 1.1.1). La classification des flots d Anosov à conjugaison topologique près apparaît donc comme un problème intéressant (définition 1.1.2). Tel est notre sujet d étude. 1. Historique Les flots qui nous intéressent furent introduits par D.V. Anosov sous la terminologie U-flows (cf. [1]). Anosov avait remarqué que bon nombre des propriétés du flot géodésique sur le fibré unitaire tangent d une variété à courbure négative proviennent de sa nature de U-flow. Les flots d Anosov algébriques (cf ) constituent une autre famille importante d exemples. Ils s agit de flots sur les quotients à gauche de groupes de Lie par un sousgroupe discret cocompact définis par l action à droite d un sous-groupe à un paramètre. Les flots géodésiques sur les surfaces à courbure constante strictement négative sont des flots algébriques: ils sont obtenus par l action à droite des matrices diagonales sur les quotients de P SL(2, R) par des groupes fuchsiens. Un autre exemple de flot algébrique est celui des suspensions de difféomorphismes linéaires hyperboliques du tore. Il est montré dans [60] que ces deux types d exemples épuisent à revêtements finis près la liste des flots d Anosov algébriques en dimension 3. Tous les flots d Anosov ne sont pas topologiquement conjugués à des flots algébriques, loin s en faut. Un critère nécessaire d algébricité est la transitivité, i.e., l existence d une orbite dense. J. Franks et R. Williams ont construit des exemples de flots d Anosov non 3

4 transitifs ([13]). M. Handel et W. Thurston ont également produit des exemples non algébriques, bien que transitifs ([30], cf. le paragraphe de cette thèse). En s inspirant de cette dernière construction, S. Goodman a mis au point une méthode pour obtenir en dimension 3 de nouveaux flots d Anosov par chirurgie de Dehn le long d une orbite périodique ([23], cf. paragraphe de cette thèse). Les exemples évoqués précédemment vérifient presque tous la propriété suivante: un des fibrés invariants de la décomposition d Anosov est de dimension un. De tels flots sont dits de codimension un. Les flots d Anosov ne vérifiant pas cette hypothèse ne seront pas étudiés dans cette thèse. Résoudre le problème de la classification des flots d Anosov (de codimension un) à conjugaison topologique près demande déjà de résoudre le suivant: quelles sont les variétés admettant de tels flots? L un des premiers résultats en ce sens est celui de J.F. Plante et de W. Thurston selon lequel le groupe fondamental d une telle variété doit être à croissance exponentielle (cf. [47]). Il est également connu que la variété doit être irréductible (cf. [43]). On ne sait malheureusement guère en dire plus. Remarquons par exemple que la méthode de S. Goodman mène à des exemples supportés par des variétés non suffisamment grandes. Le problème est cependant entièrement résolu lorsqu on se restreint à quelques familles particulières de variétés. J.F. Plante a par exemple établi que les seules variétés dont le groupe fondamental est résoluble et qui supportent un flot d Anosov de codimension un sont les fibrés en tores (de dimensions quelconques) sur le cercle de monodromies hyperboliques. De plus, ces flots sont tous topologiquement conjugués à une suspension (cf. [44] 1 ). Dans le même genre d idée, E. Ghys a montré que tout flot d Anosov sur une variété de dimension trois fibrée en cercles est, à revêtements d indices finis près, topologiquement conjugué à un flot géodésique. D autres résultats apparaissent si on impose au flot des conditions de régularité. Imposer au flot lui-même d être lisse n a pour nous pas d interêt puisque, à conjugaison topologique près, on peut toujours supposer que tel est le cas. Cependant, la décomposition hyperbolique du fibré tangent associée au flot est généralement seulement continue: c est à elle qu il convient d appliquer des hypothèses de régularité pour obtenir des résultats intéressants. Comme il est remarqué dans [1], l hyperbolicité du flot en tout point entraîne l existence de deux feuilletages transverses, dont l intersection est le feuilletage engendré par le flot. Ces deux feuilletages sont appelés feuilletages faibles du flots (certains auteurs les appellent feuilletages centraux). En toute généralité, ils sont seulement continus. Si l un d entre eux est de codimension un, il est alors de classe C 1. J.F. Plante montre dans [44] que si l un de ces feuilletages est transversalement affine, le flot est alors topologiquement conjugué à une suspension. 1 Comme le remarque V.V. Solodov dans [55], la démonstration donnée dans [44] est incomplète. Elle repose en partie sur un résultat erroné de [61]. La correction proposée par V.V. Solodov est elle aussi non viable: le lemme 3.10 de [55] est faux (voir [38] pour un contre-exemple). Nous verrons dans cette thèse au chapitre 2 comment compléter la preuve. 4

5 2. Résultats Certains des résultats exposés dans cette thèse étaient déjà connus auparavant. Tel est le cas pour la plupart de ceux du premier chapitre. Il en est de même pour les théorèmes de Verjovsky (théorème 2.1.1) et de Solodov (théorème 2.3.1). Nous avons choisi d en présenter des démonstrations pour des raisons différentes: le premier parce qu il illustre bien les méthodes permises par l étude effectuée au premier chapitre, le second parce qu il est utilisé dans ce travail et qu à notre connaissance il n en existe pas de version écrite à laquelle se référer. Nous ne présentons ici que les résultats issus de notre propre travail. Commençons par le suivant, qui généralise simultanément les théorèmes de J.F. Plante et de E. Ghys évoqués précédemment: Théorème A Soit (M, Φ t ) un système d Anosov de codimension un sur une variété dont le groupe fondamental contient un sous-groupe abélien distingué A non trivial. Alors: 1. Si A est non-cyclique, (M, Φ t ) est topologiquement conjugué à une suspension. 2. Si A est cyclique, et si M est de dimension trois, (M, Φ t ) est topologiquement conjugué, à revêtements d indices finis près, au flot géodésique d une surface hyperbolique. La démonstration du point 1 ne diffère guère en son esprit de celle du théorème de J.F. Plante portant sur les variétés à groupe fondamental résoluble. La difficulté essentielle consiste à combler le vide laissé par J.F. Plante dans sa preuve, c est-à-dire, montrer qu un flot vérifiant les hypothèses du théorème A voit son feuilletage faible de codimension un se relever dans le revêtement universel en un feuilletage produit par plans R n 1 { }. Nous dirons d un tel flot qu il est produit. Ceci est justement l objet du théorème On trouvera dans l appendice de cette thèse la justification des arguments utilisés provenant des propriétés générales des homéomorphismes d une droite non-séparée. La preuve du point 2 du théorème A est d une tout autre nature. Une fois que l on sait que le flot est produit, il ne s agit que d un cas particulier du théorème suivant, dans lequel nous regroupons les théorèmes et 4.0.8: Théorème B Soit (M, Φ t ) un flot d Anosov produit de dimension trois non topologiquement conjugué à la suspension d un difféomorphisme du tore. Alors: 1. Le flot relevé Φ t dans le revêtement universel de M est topologiquement conjugué au relevé universel du flot géodésique du disque de Poincaré. De plus, la conjugaison topologique peut être choisie de sorte qu elle envoie les feuilletages faibles relevés de Φ t sur ceux du relevé universel du flot géodésique. 2. Soit Z est un sous-groupe non-cyclique du groupe fondamental de M à centre non trivial. Le relèvement du flot dans le revêtement de M associé à Z est topologiquement conjugué (à revêtements finis près) au flot géodésique d une surface hyperbolique. 5

6 Précisons dès maintenant que la surface hyperbolique dont il est question au point 2 n est pas en général compacte. Toujours à propos du point 2, insistons sur le fait qu en général, il est impossible de trouver une conjugaison topologique envoyant les feuilletages faibles du flot relevé sur ceux du flot géodésique. Le point 1 admet pour corollaires que les variétés ambiantes de tels flots sont toutes orientées, ou encore, que chacun de ces flots est topologiquement conjugué à son inverse (corollaires et 3.2.5). Les méthodes mises en œuvre pour sa démonstration permettent de généraliser le deuxième théorème de J.F. Plante évoqué précédemment: Théorème C Un système d Anosov de dimension trois dont l un des feuilletages faibles est transversalement projectif est topologiquement conjugué à un flot algébrique, i.e., à une suspension ou à un flot géodésique (à revêtements finis près). Il est à noter que ce dernier théorème complète un théorème récent de E. Ghys (cf. [21]) pour donner le suivant: Théorème C Tout système d Anosov de dimension trois dont l un des feuilletages faibles est de classe C 2 est, à un revêtement double près 2, topologiquement conjugué à un flot algébrique. Le point 2 du théorème B se prête à un développement discuté au chapitre 5: il permet de décrire les flots d Anosov produits sur les variétés de dimension trois dont les groupes fondamentaux contiennent suffisamment de centralisateurs non cycliques. Typiquement, il s agit des fibrés de Seifert - c est-à-dire grosso modo l objet de l article [18] de E. Ghys - et, plus généralement, des variétés graphées. Remarquons que les exemples de Handel- Thurston sont justement supportés par ce type de variété. Pour parler brièvement, une variété graphée est une 3-variété qui peut être découpée le long de tores plongés de sorte que les morceaux obtenus soient des fibrés en cercles. Le groupe fondamental de chacun de ces morceaux s injecte dans celui de la variété graphée et définit donc un revêtement de cette dernière. Ce morceau se relève de manière unique en un plongement dans le revêtement de la variété graphée que nous venons de définir. D après le théorème B, si on se donne sur la la variété graphée un flot d Anosov produit, la restriction au morceau du flot, est topologiquement conjuguée via le relèvement, à une partie compacte à bord d un flot géodésique sur une surface hyperbolique ouverte. L objectif principal du chapitre 5 est de montrer que les tores de découpage peuvent être choisis de sorte que ces parties de flots géodésiques soient des morceaux de flots géodésiques. Nous définirons au chapitre 5 cette notion de morceau de flot géodésique. Il nous suffit pour cette introduction de les définir comme étant essentiellement des revêtements finis de flots géodésiques de surfaces compactes hyperboliques à bords géodésiques. Nous pouvons résumer ce qui précède par: Théorème D Tout flot d Anosov produit sur une variété graphée principale et à fibres orientées est obtenu (à conjugaison topologique près) par C 0 -recollement de morceaux de flots géodésiques. 2 La raison d être de ce revêtement double éventuel est de rendre le feuilletage faible concerné transversalement orienté. 6

7 L hypothèse principale n intervient dans cet énoncé que pour éviter le cas des suspensions. L hypothèse à fibres orientées a été introduite par commodité et n est sans doute pas cruciale. L une et l autre sont définies au chapitre 5. Ce théorème admet le corollaire suivant: Théorème D Tout flot d Anosov produit sur une variété graphée principale, à fibres orientées et n admettant qu une seule composante fibrée, est obtenu par chirurgie de Dehn- Goodman à partir d un flot géodésique généralisé. Nous montrerons en outre dans ce travail que les exemples de Handel-Thurston sont produits (théorème 5.3.1) ce qui est la moindre des choses pour que les théorèmes D et D aient quelque intérêt. La preuve que nous en donnons n est sans doute pas la plus directe. Cependant, elle met en jeu des résultats intermédiaires qui ont incontestablement leur propre intérêt. Par exemple: Théorème E Soit (M, Φ t ) un système d Anosov de dimension trois sur une variété orientable. On suppose que Φ t admet deux orbites périodiques θ 1 et θ 2, et que M contient deux lacets γ 1 et γ 2 basés au même point tels que: γ 1 (resp. γ 2 ) est librement homotope à θ 1 (resp. θ 2 ). Les représentants de γ 1 et de γ 2 dans le groupe fondamental de M commutent et engendrent un sous-groupe libre abélien de rang 2. Il existe alors un tore plongé dans M transverse au flot. Ce théorème est d autant plus intéressant qu il existe un exemple dû à C. Bonatti et à R. Langevin de flot d Anosov transitif sur une variété graphée admettant un tore transverse, et qui n est pas topologiquement conjugué à une suspension. Pour conclure, remarquons que le théorème D permet de montrer que de nombreuses variétés graphées n admettent pas de flots d Anosov produits. Au théorème 5.4.4, nous exhibons une infinité de telles variétés parmi la famille de celles obtenues en recollant deux copies du fibré trivial en cercles sur le tore troué. 3. Idées et méthodes Le principe fondamental qui d une part justifie le titre de cette thèse, et qui d autre part est à la source des théorèmes B, C et E, est la nature des espaces transverses associés à un flot d Anosov - que nous appellerons (M, Φ t ) -, et aux relations intervenant entre eux. Ces espaces transverses sont: L espace des orbites: il s agit du quotient du revêtement universel M de M par la relation être sur la même orbite du flot relevé de Φ t. Il est noté Q Φ. Les espaces des feuilles: chacun des feuilletages faibles de Φ t se relève dans M. L espace des feuilles stables (resp. instables) de (M, Φ t ) est le quotient de M par la relation être sur la même feuille du feuilletage faible stable (resp. instable) relevé. Ces espaces sont notés Q s et Q u. 7

8 L action du groupe fondamental Γ de M par automorphismes de revêtement passe aux quotients en des actions sur chacun de ces divers espaces transverses. Grâce aux travaux de A. Haefliger ([28]), il est bien connu que l action de Γ sur Q Φ caractérise le flot à conjugaison topologique près. En d autres termes, deux flots d Anosov sont topologiquement conjugués (ou l un est topologiquement conjugué à l inverse de l autre) si et seulement si les groupoïdes définis par les actions respectives des groupes fondamentaux sur les espaces des orbites sont équivalents (au sens des groupoïdes). Dans le contexte des flots d Anosov de codimension un, cette formulation acquiert un aspect agréable: L espace des orbites d un flot d Anosov de dimension n et de codimension un est une variété Hausdorff difféomorphe à R n 1. Le passage au quotient M Q Φ est une fibration localement triviale. Deux flots d Anosov de codimension un sont topologiquement conjugués (ou l un est topologiquement conjugué à l inverse de l autre) si et seulement si il existe un homéomorphisme entre leurs espaces des orbites équivariant pour les actions des groupes fondamentaux. Ces affirmations sont démontrées à la section 1.5. Le lecteur déjà familiarisé avec la notion de flot d Anosov pourra d ailleurs résumer la lecture du premier chapitre à cette section. Les deux feuilletages faibles relevés dans M, étant tangents au flot relevé, passent au quotient. Ils y définissent deux feuilletages de Q Φ supplémentaires. Nous les notons G s et G u. Les espaces des feuilles de ces feuilletages sont exactement Q s et Q u. A tout élément de Q Φ nous associons les feuilles de G s et de G u qui le contiennent. Nous définissons ainsi une application F : Q Φ Q s Q u. Cette application est continue et ouverte. Dans le cas des flots d Anosov de codimension un, il s agit d un homéomorphisme sur son image. Cette remarque élémentaire constitue le fondement de la preuve du théorème B. Nous montrons au chapitre 3 que si un système d Anosov de dimension trois est produit - ce qui signifie que l un des espaces des feuilles est séparé, donc difféomorphe à R - alors: - l autre espace des feuilles est lui aussi difféomorphe à R, - l image de F - c est-à-dire l ensemble des éléments de Q s Q u R 2 correspondant à des feuilles concourantes de G s et de G u - est soit Q s Q u tout entier, soit un ouvert délimité par les graphes de deux homéomorphismes α, β : Q s Q u. 8

9 Si on identifie Q Φ avec son image Ω par F, les feuilletages G s et G u deviennent les restrictions à Ω des feuilletages produits par verticales et horizontales de Q s Q u R 2. D après le théorème de Solodov (théorème 2.3.1) le cas où Ω est Q s Q u tout entier est exactement celui des suspensions. Dans l autre cas 3, les homéomorphismes α et β sont l un comme l autre des conjugaisons topologiques entre l action de Γ sur Q s et celle sur Q u. L action de Γ sur Q Φ est caractérisée à conjugaison topologique près par la donnée de celle de Γ sur Q s et de l homéomorphisme τ s = α 1 β de Q s dans lui-même. En effet, elle est topologiquement conjuguée à l action diagonale de Γ sur Q s Q s restreinte à l ouvert compris entre les graphes de l identité et de τ s. Si on oublie l action du groupe fondamental, le triplet (Q Φ, G s, G u ) ne dépend pas à conjugaison topologique près du flot d Anosov considéré. Ils s identifient tous à celui obtenu à partir du flot géodésique du disque de Poincaré. Tel est le sens et la preuve du point 1 du théorème B. Dans le cas des flots géodésiques, chaque espace des feuilles s identifie naturellement au revêtement universel P 1 de la droite projective réelle. La construction précédente mène à une identification de l espace des orbites du flot géodésique avec l ouvert Ω 0 de P 1 P 1 compris entre les graphes de l identité et du générateur δ du centre du revêtement universel de P SL(2, R). 3 Nous devons plus précisément supposer les feuilletages faibles transversalement orientés, ce qu on peut toujours faire à un revêtement double près. 9

10 L action du groupe fondamental sur l espace des orbites est envoyée par cette identification sur la restriction à Ω 0 d une action diagonale biprojective sur P 1 P 1 (cf ). Le théorème C est un corollaire plus ou moins immédiat de ce phénomène. Nous montrerons tout d abord qu un flot d Anosov de dimension trois dont le feuilletage faible stable est transversalement projectif est produit (lemme 3.3.3). Si l on exclut le cas transversalement affine - qui est déjà résolu par le théorème de Plante - la structure projective transverse induit une structure projective sur Q s préservée par l action du groupe fondamental. Q s est alors projectivement isomorphe à P 1, et Γ s injecte dans le revêtement universel SL(2, R) de P SL(2, R). L identification entre l espace des orbites et l ouvert de Q s Q s définie précédemment mène à une identification entre ce même espace des orbites et l ouvert Ω 0 de P 1 P 1 qui envoie l action de Γ sur la restriction d une action biprojective. Ceci montre que le flot initial est transversalement identique à un flot géodésique et conclut. Le théorème C est donc un exemple de recomposition de l action du groupe fondamental sur l espace des orbites à partir de celle sur l un des espaces de feuilles. La preuve du point 2 du théorème B est en partie analogue. D après l argument précédent, elle se résume essentiellement à montrer que l action d un sous-groupe à centre non trivial de Γ sur Q s préserve une structure projective. La preuve de l existence de cette structure projective illustre elle le procédé inverse; à savoir, comment établir une propriété de l action de Γ sur Q s à partir d une propriété de celle sur Q Φ. Notre méthode consiste à montrer que pour tout centralisateur Z d un élément h du groupe fondamental, il existe un homéomorphisme τ 0 croissant de Q s, commutant avec l action de Z et dont une puissance coïncide avec h. Nous montrons alors que l action du groupe quotient Z/ h sur le cercle S 0 = Q s / τ0 est celle d un groupe de convergence. Or, d après [16], un groupe de convergence est toujours conjugué à un groupe fuchsien. Il préserve donc une structure projective. Pour conclure, il suffit de relever cette structure projective à Q s. Remarquons que d après le théorème C, il est en général impossible de trouver une telle structure projective qui soit préservée par l action du groupe fondamental en entier. Les exemples de Handel-Thurston, ainsi que tous les flots produits sur les variétés graphées, fournissent des exemples de produits amalgamés d actions projectives. 10

11 4. Questions Comme il est discuté au chapitre 5, le théorème B ne résoud pas entièrement le problème de la classification des flots d Anosov produits sur les variétés graphées. Il laisse ouvertes les deux questions suivantes, qui sont reliées entre elles: Question 1: Existe-t-il des flots d Anosov produits sur des variétés graphées principales et à fibres orientées qui ne soient pas topologiquement conjugués aux exemples de Handel- Thurston? Question 2: Quels sont les feuilletages de dimension un obtenus par recollements de morceaux de flots géodésiques dont les feuilles soient les orbites d un flot d Anosov? Si on supprime l hypothèse produit, bien des questions portant sur les flots d Anosov sur les variétés graphées restent ouvertes: Question 3: transitifs? Existe-t-il des flots d Anosov sur des variétés graphées qui ne soient pas Au vu du théorème E et de l exemple de Bonatti-Langevin, on peut aussi se poser la: Question 4: Quels sont les flots d Anosov transitifs sur les variétés graphées admettant un (ou des) tore(s) transverse(s)? L étude des flots d Anosov sur les 3-variétés hyperboliques est orthogonale à la nôtre. Les centralisateurs dans les groupes fondamentaux de ces variétés sont en effet tous cycliques. Il existe néanmoins un problème intermédiaire qu il est raisonnable d espérer résoudre grâce au théorème Nous appelons variété mixte une 3-variété qui se découpe le long de tores de sorte que parmi les morceaux ainsi obtenus, il en existe un qui fibre en cercles, et un autre qui soit hyperbolique. Notons qu un des exemples de J. Franks et R. Williams est supporté par une variété mixte: elle est obtenu en recollant un fibré sur le pantalon à trois copies d un fibré sur le cercle en tores troués de monodromie hyperbolique (cf. [13]). Cet exemple est cependant non transitif. Question 5: Existe-t-il des flots d Anosov produits sur des variétés mixtes? Signalons que S. Fenley établit dans [10] et [11] plusieurs résultats portant sur les flots d Anosov sur les variétés hyperboliques. 11

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13 Table des matières 1 Généralités et exemples Définitions Exemples L ensemble des orbites périodiques Les feuilletages L espace des orbites L espace des feuilles Structures géométriques le long des feuilles Les systèmes d Anosov de codimension un en dimension quelconque Sur un théorème de Verjovsky Flots d Anosov transversalement affines Démonstration du théorème Démonstration du théorème Flots d Anosov dont les feuilles fortes relevées sont des transversales complètes 52 3 Flots d Anosov en dimension trois Espaces des feuilles des flots algébriques Suspensions de difféomorphismes hyperboliques du tore Les flots géodésiques généralisés Conjugaison entre les feuilletages faibles d un flot d Anosov produit Flots d Anosov transversalement projectifs Centralisateurs et structures projectives transverses Flots géodésiques des surfaces non compactes

14 4.2 Preuve du théorème Flots d Anosov produits sur les variétés graphées Définition des variétés graphées Flots d Anosov sur des variétés graphées: exemples Les exemples de Handel-Thurston Chirurgie de Dehn-Goodman Etude des flots de Handel-Thurston Description des flots d Anosov produits sur les variétés graphées A Généralités sur les droites non-séparées 109 A.1 Notions fondamentales A.2 L axe fondamental A.3 Homéomorphismes admettant des points fixes B Sur les groupes de convergence 119 B.1 Enoncés B.2 Un critère de convergence

15 Chapitre 1 Généralités et exemples 1.1 Définitions Soit M une variété riemannienne connexe fermée, c est-à-dire compacte sans bord, de classe C munie d un champ de vecteurs X de classe C r (r 1). Un tel couple forme un système dynamique de classe C r. Le flot induit sur M par X est noté Φ t. Définition Le système dynamique (M, Φ t ) est dit d Anosov s il existe une décomposition du fibré tangent T M à M en trois sous-fibrés supplémentaires E ss, E uu et T X invariants par la différentielle DΦ t de Φ t et tels que: Le fibré T X est le champ de droites engendré par X Il existe deux constantes positives C et λ telles que: DΦ t E ss Ce λt t > 0 DΦ t E uu Ceλt t < 0 Les fibrés E ss et E uu sont appelés respectivement stables et instables. Cette notion est indépendante de la métrique sur M choisie. Le but récurrent de ce travail consiste à déterminer des critères permettant d identifier des systèmes d Anosov à conjugaison topologique près. Définition Deux systèmes dynamiques (M, Φ t ) et (N, Ψ t ) sont dits topologiquement conjugués s il existe un homéomorphisme entre M et N envoyant les orbites de Φ t sur celles de Ψ t en préservant leurs orientations. Deux systèmes sont topologiquement conjugués si leurs comportements qualitatifs sont identiques. Ce que nous appelons conjugaison topologique est parfois aussi appelé équivalence topologique ou équivalence orbitale. Le théorème justifiera notre choix terminologique. Un autre problème important intervenant dans la théorie est le suivant: si l on modifie légèrement les données initiales d un système dynamique, dans quelle mesure son comportement qualitatif est-il modifié? 15

16 Définition Un système dynamique (M, Φ t ) de classe C r est dit structurellement stable si tout champ de vecteurs sur M proche au sens C 1 du champ de vecteurs définissant Φ t induit un flot topologiquement conjugué à Φ t, la conjugaison topologique étant C 0 proche de l identité. Une des raisons de l intérêt suscité par les systèmes d Anosov provient du théorème suivant ([1]) Théorème (Anosov) L ensemble des flots d Anosov est ouvert dans la topologie C 1. Tout système d Anosov de classe C r (r 1) est structurellement stable. Dans le même article, Anosov montre: Théorème Les champs de plans E ss, E uu, E ss T X et E uu T X sont uniquement intégrables Les quatre feuilletages ainsi introduits jouent un rôle fondamental Définition Les feuilletages définis par le théorème sont appelés, dans l ordre, feuilletage fort stable, fort instable, faible stable, faible instable. Ils sont notés F ss, F uu, F s et F u Ces feuilletages, en toute généralité, sont seulement absolument continus. Cependant, si un des feuilletages faibles est de codimension un - et si le flot est suffisamment différentiable - il est alors de classe C 1 [32] Remarque La plupart des changements de paramétrage du flot modifient les feuilletages forts. Par contre, toute conjugaison topologique préserve les feuilletages faibles. Ces derniers sont intimement liés au problème de la conjugaison topologique. Les orbites du flot peuvent en effet être considérées comme étant l intersection de ces deux feuilletages. Nous verrons essentiellement au théorème que le paramétrage des orbites importe peu. Remarque Dans ce travail, la différentiabilité du flot ne sera pas toujours précisée. Nous le supposerons toujours de classe C. Il est cependant à noter que d après le théorème et la densité des champs de vecteurs de classe C parmi ceux de classe C 1 tout flot d Anosov est topologiquement conjugué à un flot d Anosov de classe C. Plusieurs résultats démontrés ici sont donc valables sous les hypothèses C 1. Remarque Il sera fait allusion par la suite à la notion de difféomorphisme d Anosov. Un difféomorphisme ϕ sur une variété compacte S est dit d Anosov si le fibré tangent T S de S se décompose en deux sous fibrés E s et E u, dits respectivement stable et instable, invariants par Dϕ, et tels que: Dϕ n E s Ce λn n > 0 Dϕ n E u Ceλn n < 0 où C et λ sont deux constantes positives. 16

17 1.2 Exemples Exemple Suspension d un difféomorphisme d Anosov A chaque fois que l on dispose d un difféomorphisme d Anosov ϕ sur une variété S, on peut obtenir un flot d Anosov de la manière suivante: On considère la variété M obtenue en quotientant le produit S R par la relation d équivalence identifiant (x, t) à (ϕ k (x), t + k) (k ZZ). Il s agit d un fibré sur le cercle de fibre S. Le champ de vecteur passe au t quotient sur M où il définit un flot d Anosov. Les fibrés forts de ce flot sont tangents aux fibres S et correspondent aux fibrés stables et instables de ϕ. Une grande famille d exemples peut ainsi être obtenue à partir des couples (T n, A) où T n est le tore de dimension n et A une matrice à coefficients entiers de rang n, de déterminant ±1 et hyperbolique (c est-à-dire, dont les valeurs propres sont de modules différents de l unité). Une fibre S 0 constitue une section globale du flot: l orbite positive de tout point coupe S 0. Inversement, tout système d Anosov admettant une section globale est topologiquement conjugué à la suspension d un difféomorphisme d Anosov: l application premier retour sur la section. En toute dimension, tout difféomorphisme d Anosov de codimension un - c est-à- dire, dont l un des fibrés invariants est de codimension un - est topologiquement conjugué à un difféomorphisme linéaire hyperbolique d un tore T n. Ceci a été démontré par J.Franks [12], l hypothèse de transitivité ayant été éliminée ultérieurement par S.Newhouse [41]. Exemple Le flot géodésique sur une variété à courbure négative Soit Σ une variété fermée munie d une métrique à courbure négative. Le flot géodésique Φ t sur le fibré unitaire tangent T 1 Σ à Σ est défini comme suit: l image par Φ t d un vecteur unitaire tangent est son transporté parallèle pendant le temps t le long de la géodésique qu il définit. S assurer que ce flot vérifie les conditions d Anosov dépasserait l ambition de ce bref aperçu. Le sujet est traité dans [2], ainsi que dans [1]: l étude de ce flot était en fait une des motivations d Anosov. Nous allons juste traiter ici le cas où Σ est de dimension deux et où la métrique est à courbure constante. La surface riemannienne est alors le quotient du disque de Poincaré D par un sous groupe discret cocompact Γ de P SL(2, R). Le bord S 1 de D peut être vu comme l ensemble des rayons géodésiques de D issus d un même point. L action de Γ sur D se prolonge naturellement en une action projective sur S 1 P 1 - où P 1 désigne la droite projective réelle. Un élément de T 1 Σ correspond à la donnée d une géodésique orientée γ et d un élément x de cette géodésique. Un couple relevé ( x, γ) définit deux rayons géodésiques tous les deux basés en x, l un étant la géodésique γ parcourue à partir de x dans les temps positifs, l autre dans les temps négatifs. Ces deux rayons définissent deux éléments de S 1 17

18 respectivement θ +, θ. Les couples ( x, θ + ) et ( x, θ ) ne sont bien sûr définis qu à l action diagonale près de Γ sur D S 1. Nous obtenons ainsi deux identifications différentes de T 1 Σ avec le quotient Γ \D S 1. Grâce à la première, nous allons trouver un champ de droites contracté par Φ t, i.e. un fibré stable fort. De manière analogue, la deuxième identification permet de trouver un fibré instable. Ces deux sous fibrés et le fibré tangent au flot seront bien sûr supplémentaires, définissant la décomposition d Anosov voulue. Chercher un fibré stable pour Φ t revient à en trouver un pour son relevé Φ t sur D S 1 qui soit invariant par l action de Γ. Ce flot Φ t s exprime aisément: le couple ( x, θ + ) est envoyé par Φ t sur le couple ( x t, θ + ) où x t est le point à distance algébrique t de x sur la géodésique ( x, θ + ). Appelons H + x (θ + ) l horocycle passant par x et tangent à S 1 en θ +. Les H + x (θ + ) {θ + } sont les feuilles d un feuilletage F transverse à Φ t, préservé par Φ t et par l action de Γ. Un calcul élémentaire montre que Φ t envoie H + x (θ + ) {θ + } sur H + x t (θ + ) {θ + } en contractant exponentiellement les longueurs. Il s en suit que F est le feuilletage stable cherché. Remarque Le feuilletage faible stable, relevé dans D S 1 - pour la première identification - est le feuilletage produit par les disques D {θ}. Il en est de même pour le feuilletage instable - si on considère l autre identification. Il est donc clair que ces deux feuilletages sont transversalement projectifs. Remarque Chaque métrique à courbure négative sur Σ définit un flot géodésique sur T 1 Σ, le fibré en cercles des demi-droites tangentes à Σ. Il se construit ainsi une infinité non dénombrable de flots géodésiques. Il est cependant usuel de parler du flot géodésique de T 1 Σ - ou de Σ. Cette expression est justifiée par le fait suivant: les divers flots géodésiques ainsi construits sur T 1 Σ sont deux à deux topologiquement conjugués. Ceci est une remarque déjà faite dans [18]. D après le théorème 1.1.4, pour montrer cette affirmation, il suffit d établir la connexité de l espace M des métriques riemanniennes sur Σ à courbure strictement négative. La connexité de l espace de Teichmüller de Σ montre que les métriques à courbure constante sont toutes dans la même composante connexe de M. Par ailleurs, toute métrique sur Σ est conformément équivalente à une métrique à courbure constante. Nous aurons donc conclu si nous montrons, pour chaque métrique g 0 à courbure constante sur Σ, la connexité de l espace M g o des métriques à courbure négative conformément équivalentes à g 0. 18

19 Notons H le demi-plan de Poincaré. Tout élément de M g o se relève en une métrique riemannienne sur H de la forme: e 2f (dx 2 + dy 2 ) où f est une application C 2. Cette métrique est bien sûr préservée par les automorphismes du revêtement H Σ. Sa courbure gaussienne est (f)e 2f, donc en particulier de même signe que le laplacien (f) de f. L ensemble des f induisant sur Σ une métrique à courbure négative est donc convexe. Ceci établit la connexité de M g o. Remarque On peut également définir des flots géodésiques sur les fibrés unitaires tangents aux orbifolds hyperboliques ( cf [57]). Chaque flot d Anosov construit de la sorte admet un revêtement d indice fini dans lequel il se relève en un flot géodésique au sens de Exemple Les flots algébriques Il s agit d un nouvel exemple englobant en dimension trois les précédents. Ce sont des flots définis sur des quotients du type Γ \G/ K où G est un groupe de Lie connexe, où K est un sous-groupe compact de G et où Γ est un sous groupe discret de G agissant librement à gauche sur G/ K. Tout sous-groupe à un paramètre centralisant K définit un flot sur Γ \G/ K par son action à droite. Pour qu un tel flot soit d Anosov, il faut et il suffit que le sous-groupe à un paramètre soit engendré par un élément α de l algèbre de Lie de G dont l adjoint vérifie: ses valeurs propres sont toutes réelles, son noyau est Rα k, où k est l algèbre de Lie de K G. Dans [60], P. Tomter montre, entre autres, qu en dimension trois les flots algébriques d Anosov sont tous des revêtements d indice fini d un des exemples précédents. Nous allons poursuivre ce paragraphe en s assurant que ces exemples sont bien algébriques a Algébricité de la suspension d un difféomorphisme du tore Soit A l élément de GL(2, ZZ) définissant le difféomorphisme d Anosov. Quitte à la remplacer par son carré A 2 - ce qui revient à considérer un revêtement double du système - on peut supposer A de déterminant un et de valeurs propres positives. Etant hyperbolique, A est diagonalisable: A = P 1 ( λ 0 0 λ 1 ) P P GL(2, R) λ > 1 Notons Γ A le groupe fondamental du fibré T 3 A sur le cercle de fibre T 2 et de monodromie A, c est à dire, l espace ambiant de la suspension de A. Soit G le groupe de Lie résoluble 19

20 des matrices de la forme: e z 0 x 0 e z y x, y, z R Le groupe Γ A est un produit semi-direct de ZZ ZZ par ZZ. L action de ZZ sur ZZ ZZ qui le définit est celle engendrée par A. Ses éléments s écrivent donc sous la forme de triplets d entiers (u, v, n). Il s injecte dans G comme suit: Γ A G λ n ( ) 0 u (u, v, n) 0 λ n P v Le quotient ΓA \G est exactement le fibré TA 3 et le sous-groupe à un paramètre induisant le flot voulu est celui des matrices: λ t λ t 0 t R b Algébricité du flot géodésique d une surface hyperbolique Nous reprenons les notations de L étude du flot géodésique d une surface riemannienne à courbure constante négative a été ramenée en à celle de son relevé Φ t dans D S 1. Le groupe P SL(2, R) agit naturellement sur D S 1 : il agit sur la composante D en tant que groupe des isométries, et sur S 1 par l extension au bord de l action précédente. Cette action est simplement transitive. Ceci permet d identifier P SL(2, R) à D S 1, ce dernier pouvant être considéré comme étant l orbite de (0, 1). Pour cette identification, l action de Γ sur D S 1 correspond à la translation à gauche dans P SL(2, R). Le flot Φ t vu dans P SL(2, R) est invariant par les translations à gauche. Il est par conséquent obtenu par translation à droite par un sous-groupe à un paramètre g t. Il s agit donc d un flot algébrique. Il est aisé de voir que, pour un choix convenable de l action de P SL(2, R) sur D (qui n est définie qu à conjugaison près), g t est le passage au quotient de la matrice ( e t/2 0 ) 0 e t/2 L élément X de l algèbre de Lie sl(2, R) de P SL(2, R) induisant g t est donc: ( t/2 0 ) 0 t/2 Considérons les éléments suivant Y et Z de sl(2, R): ( ) 0 1 Y = Z = ( )

21 Ils vérifient les relations: [X, Y ] = Y [X, Z] = Z Ceci signifie que Φ t préserve les trajectoires des flots induits par Y et Z en contractant celles de Y et en dilatant celles de Z. En d autres termes, les fibrés forts de Φ t sont les fibrés en droites engendrés par Y et Z. C est la raison pour laquelle les flots définis par Y et Z sont appelés flots horocycliques Le flot Φ t se relève dans le revêtement universel SL(2, R) de P SL(2, R). Il définit un flot d Anosov sur chaque quotient à gauche de SL(2, R) par un sous-groupe discret cocompact. Les flots ainsi construits sont appelés flots géodésiques généralisés. Rappelons que d après [60] ces flots sont à revêtements d indice fini près des flots géodésiques au sens de Il est d ailleurs bien connu que les quotients compacts de SL(2, R) décrits ci-dessus sont des fibrés de Seifert ( cf. [49] ). Nous appellerons donc ces quotients fibrés de Seifert homogènes projectifs. Pour chaque fibré de Seifert homogène projectif S, la donnée d un plongement discret cocompact ρ de son groupe fondamental Γ dans SL(2, R) et d un difféomorphisme f entre ρ(γ) \ SL(2, R) et S définit un flot d Anosov sur S: le flot image par f du flot géodésique généralisé sur ρ(γ) \ SL(2, R). Le choix d une telle donnée est l analogue du choix de la métrique discutée à la remarque Il est en fait bien connu des experts que cette remarque se généralise de la manière suivante: Proposition Les flots géodésiques généralisés sur un même fibré de Seifert homogène projectif sont deux à deux topologiquement conjugués. Nous montrerons bien mieux dans ce travail. L affirmation suivante est en effet un corollaire du théorème (Un fibré de Seifert est principal si sa fibration provient d une action localement libre de SO(2)). Théorème Les fibrés de Seifert principaux admettant un flot d Anosov sont les fibrés de Seifert homogènes projectifs. Tout flot d Anosov sur une telle variété est topologiquement conjugué à un flot géodésique généralisé. Preuve de Notons Γ le groupe fondamental du fibré de Seifert homogène S considéré. Pour simplifier les notations, nous noterons G le groupe P SL(2, R) et G son revêtement universel. L application de revêtement G G est notée p. Le problème consiste à montrer que deux plongements discrets cocompacts de Γ dans G définissent des flots géodésiques topologiquement conjugués. Remarquons d ores et déjà que tous les quotients de G par un sous-groupe discret isomorphe à Γ sont des K(Γ, 1).Ils ont donc en particulier tous la même homologie. Il s en suit que, S étant par hypothèse compact, tout plongement discret de Γ dans G est cocompact. Le fibré homogène S est un revêtement d indice fini d un fibré de Seifert S, fibré unitaire tangent à une orbifold ( cf. [49]). Notons Γ le groupe fondamental de S : c est 21

22 une extension finie de Γ. Nous cherchons dans un premier temps à nous ramener au cas S = S. Pour tout plongement discret ρ de Γ dans G le fibré homogène ρ(γ) \ G, difféomorphe à S, revêt le fibré Γ1 \ G Γ\G où: Γ est la projection p(ρ(γ)) qui est isomorphe au quotient de Γ par son centre. Γ 1 est la préimage de Γ par p. D après [49], le groupe Γ 1 est toujours isomorphe à Γ. Ceci signifie que le flot géodésique sur ρ(γ) \ G est le relevé du flot géodésique sur Γ1 \ G S. Il suffit donc d établir la proposition pour S puisqu une conjugaison topologique entre les projetés sur S de deux flots géodésiques sur S se relève en une conjugaison entre les deux flots. De plus, la projection p de G sur G devient après passage au quotient un difféomorphisme entre Γ \ G et Γ\G. Ce difféomorphisme envoie le flot géodésique sur Γ1 \ G sur le flot d Anosov obtenu sur Γ\G par l action à droite des matrices diagonales - en d autres termes, un quotient du flot Φ t décrit à l exemple Inversement, tout plongement discret de Γ dans G se relève en un plongement discret de p 1 (Γ) Γ dans G. Nous pouvons résumer ce qui précède par: Les flots géodésiques sur S sont ceux obtenus par l action à droite des matrices diagonales sur un quotient ρ(ˆγ) \G, où ˆΓ est le quotient de Γ par son centre et ρ un plongement de ˆΓ dans G. Soit Hom d (ˆΓ, G) l espace des plongements discrets de ˆΓ dans G muni de la topologie compacte ouverte. Remarquons qu il s agit d un ouvert de l espace de toutes les représentations de ˆΓ dans G ( cf [9]). Le groupe G agit sur Hom d (ˆΓ, G) par conjugaison au but. Le quotient de cette action est l espace de Teichmüller de ˆΓ. ( cf [58, 9]). Il est bien connu qu il est connexe par arcs. Par connexité de G il en est de même pour Hom d (ˆΓ, G). La preuve du théorème se ramène donc à montrer que les classes de conjugaison topologique forment des ouverts de Hom d (ˆΓ, G). Avant d en donner une preuve, remarquons que ceci peut paraître intuitivement clair: deux plongements proches définissent deux flots géodésiques proches donc topologiquement conjugués. Soient ρ 0 et ρ 1 deux éléments de Hom d (ˆΓ, G). Soit (ρ t ) 0 t 1 un chemin continu de Hom d (ˆΓ, G) reliant ρ 0 à ρ 1. Considérons le produit G [0, 1] muni de l action de ˆΓ suivante: γ.(g, t) = (ρ t (γ)g, t) Cette action est libre. Notons Q l espace quotient de cette action. Nous affirmons que la projection G [0, 1] Q est un revêtement. Pour le voir, il suffit de montrer que pour tout élément t de [0, 1] il existe un voisinage U de l élément neutre de G et un réel positif ɛ tels que l ouvert U ]t ɛ, t + ɛ[ est disjoint de tous ses itérés non triviaux par ˆΓ. Ceci est bien connu et provient de l égalité entre topologie algébrique et topologie géométrique (cf [9] proposition ). La projection sur la deuxième coordonnée passe au quotient en une submersion f de Q sur [0, 1]. Etant à fibres compactes f est une fibration localement triviale. L action à droite 22

23 sur G des matrices diagonales définit sur Q un flot Ψ de classe C dont la restriction à chaque fibre f 1 (t) de f définit le flot géodésique de ρt (ˆΓ)\G. Comme f est localement triviale, si t et t sont suffisamment proches il existe un difféomorphisme local de Q qui est C proche de l identité et envoie la fibre f 1 (t) sur f 1 (t ). Ce difféomorphisme envoie alors la restriction de Ψ à f 1 (t) en un flot sur f 1 (t ) proche de Ψ f 1 (t ). D après le théorème il s en suit que les flots géodésiques induits par ρ t et ρ t sont topologiquement conjugués. La connexité de [0, 1] conclut. Remarque Il est usuellement convenu de ne considérer les flots d Anosov que sur les variétés compactes. Cependant, rien n interdit de considérer les flots géodésiques sur une variété non-compacte. Lors du théorème nous entendrons flot géodésique au sens le plus général possible suivant: passage au quotient de l action à droite des matrices diagonales sur un quotient à gauche de SL(2, R) par un sous-groupe discret contenant un élément du centre mais éventuellement non cocompact. 1.3 L ensemble des orbites périodiques Les orbites périodiques jouent un rôle central dans l étude de l espace des orbites faite au 1.5 La proposition suivante et son corollaire sont bien connus (cf par exemple [47]) Proposition Soit (M, Φ t ) un système d Anosov et l un réel positif. Les orbites périodiques de Φ t de longueur inférieure à l sont isolées. Corollaire Les orbites périodiques d un flot d Anosov sont en nombre dénombrable. Nous allons discuter le problème de la densité de leur réunion. Comme le montrera le théorème 1.3.6, il se ramène à celui de la transitivité du flot 1. Définition Un flot sur un espace métrique compact est dit transitif s il admet une orbite dense. C est en particulier le cas pour les flots d Anosov algébriques puisqu ils préservent le volume (cf 1.3.7). On a longtemps pensé que tous les flots d Anosov de codimension un étaient transitifs. J.Franks et R.Williams ont cependant exhibé en 1980 des contre-exemples en dimension trois [13]. Ceci est malgré tout vrai en dimension supérieure ou égale à quatre et a été 1 Nous avons volontairement simplifié l expression. Il serait plus exact de parler de transitivité topologique. 23

24 démontré par A.Verjovsky [61]. Nous en proposons également une preuve dans cette thèse (théorème 2.1.1). Dans le cas général, si on cherche à décomposer le flot en parties invariantes transitives, on doit remarquer que ces parties doivent être constituées de points limites d orbites, et donc de points non-errants au sens suivant: Définition Soit (M, Φ t ) un système dynamique. Un élément x de M est dit errant s il admet un voisinage disjoint de ses images par Φ t dès que le temps t est suffisamment grand en valeur absolue. Un élément de M qui n est pas errant est dit non-errant. L ensemble des points non-errants sera toujours noté Ω(Φ t ). C est un fermé invariant par le flot contenant toutes les orbites périodiques, ainsi que tous les points α-limites et ω-limites d orbites. Le théorème suivant est montré dans [48] Théorème ( de décomposition de Smale) L ensemble des points non errants d un système d Anosov se décompose de manière unique en un nombre fini de fermés disjoints invariants sur lesquels la restriction du flot est transitive On obtient ainsi une description de l adhérence de l union des orbites périodiques. En effet ( cf. [1]): Proposition Les orbites périodiques d un système d Anosov sont denses dans l ensemble des points non-errants. Remarque D après le théorème de récurrence de Poincaré, si le flot préserve le volume, tous les points sont non-errants - puisque sinon les points errants formeraient un ouvert non vide de volume nul. Le flot est donc alors transitif. Ceci était déjà remarqué dans [1]. Remarquons le corollaire suivant de 1.3.5: Proposition Une fonction continue sur une variété supportant un flot d Anosov et préservée par ce flot est constante. Preuve Notons f la fonction invariante. Si le flot est transitif, la proposition est claire. Sinon, f est constante sur chacun des fermés invariants de la décomposition de Smale. La restriction de f ne prend donc qu un nombre fini de valeurs sur l ensemble des points non-errants. Comme toute orbite admet un point limite non-errant, f ne prend en fait sur la variété ambiante M que cet ensemble de valeurs. On conclut grâce à la connexité de M. Nous allons clore cet exposé préliminaire relatif aux orbites périodiques par la remarque suivante: il existe un critère, dû en son principe à Schwartzman, portant sur les orbites 24