PREMIER RETOUR D EXPERIENCE SUR LE FLOW-SHOP BIOBJECTIF ET HYBRIDE A DEUX ETAGES AVEC UNE CONTRAINTE DE BLOCAGE PARTICULIERE

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1 6 e Conférence Francophone de MOdélisation et SIMulation - MOSIM 06 - du 3 au 5 avril Rabat - Maroc Modélisation, Optimisation et Simulation des Systèmes : Défis et Opportunités PREMIER RETOUR D EXPERIENCE SUR LE FLOW-SHOP BIOBJECTIF ET HYBRIDE A DEUX ETAGES AVEC UNE CONTRAINTE DE BLOCAGE PARTICULIERE X. GANDIBLEUX, J. JORGE S. MARTINEZ N. SAUER LINA FRE CNRS 2729 Depto de Ing. Industrial LGIPM / MACSI INRIA Université de Nantes Instituto Tecnológico de Celaya IUT de Thionville-Yutz 2, rue de la Houssinière BP Celaya Guanajuato Ile du Saulcy BP F44322 Nantes cedex 03, France C.P , México F57012 Metz cedex 1, France Xavier.Gandibleux@univ-nantes.fr SergioM@itc.mx Sauer@univ-metz.fr Julien.Jorge@etu.univ-nantes.fr RÉSUMÉ : Les travaux de recherche proposés dans cet article concernent le problème d ordonnancement d ateliers flexibles de type flow-shop hybride soumis à des contraintes de blocage en optimisant simultanément différents objectifs. Le problème étudié est composé de deux étages avec plusieurs machines parallèles sur le premier étage et une seule machine sur le deuxième. Il comporte de plus une contrainte de blocage particulière rencontrée dans plusieurs systèmes de production réels. Nous nous sommes intéressés au cas bi-objectif qui consiste à minimiser le makespan ainsi que le temps d attente entre la date d arrivée des produits et le début de l opération au premier étage. Ne disposant pas de travail antécédent à la présente étude lorsque ces deux objectifs sont optimisés simultanément, aucune information concernant l ensemble des solutions optimales (nombre, diversité), ni même d indications sur celles-ci (caractéristiques, propriétés, difficulté de calcul), rien ne permet de donner une orientation a priori à l étude. Ce premier travail a pour objet de rapporter un premier retour d expérience sur ces questions. La résolution exacte biobjectif a été tentée à l aide de deux solveurs MILP. Face aux difficultés rencontrées par les solveurs, une résolution approchée a été développée. Les résultats obtenus sont rapportés et discutés au regard de l apport de ces dernières pour un décideur. MOTS-CLÉS : Flow-shop hybride, blocage, optimisation multi-objectif, PLNE, recuit simulé 1. INTRODUCTION Accroître la productivité en réduisant les coûts est, aujourd hui, un objectif majeur dans toutes les entreprises, et c est la raison pour laquelle elles essaient de réduire les capacités de stockage, voire de les supprimer. Ceci conduit à une situation où chaque job reste bloqué sur une machine une fois son opération terminée tant que la machine suivante n est pas disponible ou qu il n y a pas de place en stock. Cette situation est connue dans la littérature comme situation de blocage. Suite à plusieurs problèmes concrets posés par des industriels (Péchiney, Interforge, Groupe Séché), nous nous sommes intéressés à l ordonnancement de systèmes flexibles soumis à une nouvelle contrainte de blocage. Dans la situation de blocage que nous avons étudiée, la machine reste bloquée jusqu à ce que l opération du job sur la machine suivante soit terminée et que le job quitte cette machine. Dans les problèmes industriels rencontrés, nous sommes souvent en présence de plusieurs critères à optimiser (par exemple, minimiser le makespan ainsi que le temps d attente entre la date d arrivée des produits et le début de l opération au premier étage). Une solution algorithmique opérationnelle traitant les objectifs dans un ordre lexicographique a été proposée [18]. Les travaux en cours visent à dépasser cette première approche en proposant des solutions algorithmiques efficientes qui optimisent simultanément deux objectifs sur ce problème d ordonnancement. Cet article rapporte nos premiers résultats sur l étude de l ordonnancement d un FlowShop Hybride (HFS) à deux étages avec la nouvelle contrainte de blocage en optimisant simultanément deux objectifs, le makespan et le temps d attente entre la date d arrivée des produits et le début de l opération au premier étage.

2 machine machine MOSIM 06 du 3 au 5 avril Rabat - Maroc L organisation de cet article est la suivante. Dans un premier temps nous décrivons le problème, citons deux applications et dressons un état de l art. Ensuite nous développons la résolution exacte et approchée du problème bi-objectif. Les méthodes sont présentées et les résultats obtenus sur les instances réelles et aléatoires sont discutés. Une conclusion et discussion sur ce premier retour d expérience et sur la poursuite envisagée des travaux terminent ce papier. M1 M2 Mk M1 Ji Jk Jj Jl Ji Jj Jk temps Jl a) Contrainte de blocage classique Ji Jk 2. DESCRIPTION DU PROBLÈME M2 Mk Jj Ji Jj Jk Jl Jl 2.1. Le problème Dans le flowshop hybride à deux étages avec la contrainte de blocage étudiée ici, un ensemble de n jobs {J 1,..., J i,..., J n } chacun composé de deux opérations, doivent être exécutés sur deux étages. Le premier étage contient un ensemble de m 1 machines parallèles identiques {M 1, M 2,.., M m } et le deuxième contient une seule machine critique M k. Chaque job doit passer sur une des machines du premier étage, puis sur la machine du deuxième étage. La préemption des opérations n est pas autorisée. La capacité de stockage entre les deux étages est considérée comme nulle. Le temps opératoire du job i à l étage j est noté p i,j. Au premier étage, chaque job i peut être exécuté par n importe quelle machine. Une machine ne peut exécuter qu un seul job à la fois. Le problème consiste à affecter les jobs sur les machines du premier étage et à déterminer le séquencement des jobs sur les deux étages en minimisant plusieurs objectifs simultanément. Pour les problèmes étudiés, nous minimisons le temps total d exécution aussi appelé makespan, ainsi que le temps d attente moyen des produits au premier étage. Dans une ligne de production de type flowshop, l absence d espace de stockage entre les machines implique qu une machine qui finit l exécution d un job ne peut pas libérer le job immédiatement. Ces situations sont appelées dans la littérature situations de blocage. Contrairement aux situations de blocage classiques où une machine reste bloquée par un job jusqu à ce que ce job commence sur la machine suivante dans la gamme, dans un système avec les contraintes de blocage considérées ici, la machine reste bloquée par un job jusqu à ce que son opération sur la machine suivante soit finie et qu il quitte la machine (voir Figure 1). Cette nouvelle contrainte de blocage a été introduite pour l ordonnancement des systèmes de type flowshop dans [2] et [3]. Dans la suite, RCb (Released when Completing blocking) dénote cette contrainte de blocage particulière. b) Nouvelle contrainte de blocage temps de blocage temps temps mort Figure 1: Les deux différents types de contraintes de blocage 2.2. Applications industrielles Cette nouvelle contrainte de blocage a été rencontrée dans plusieurs applications industrielles qui concernent, en autre, le traitement de déchets industriels et le transport ferroviaire. Dans ce premier cas, une compagnie reçoit différents types de déchets industriels et agricoles afin de les traiter avant enfouissement. Les déchets sont apportés par camions et déchargés dans des silos. Chaque chargement doit être déversé dans un seul silo. Les silos peuvent être vus comme des machines parallèles au premier étage. Chaque produit (ou chargement) est ensuite traité par une seule machine, appelée malaxeur, qui peut être vue comme la machine critique du deuxième étage. Comme les produits s écoulent lentement du silo vers le malaxeur, un silo est libéré de la totalité des déchets qu il contient seulement à la fin du traitement sur le malaxeur (contrainte de type RCb). Le second cas traite de la marche d un ou plusieurs trains sur une infrastructure ferroviaire. La figure 2 [4] illustre une portion d infrastructure composée de cinq zones de détection z 1,..., z 5. Les zones z 2 et z 3 appartiennent à un même canton (section de l infrastructure qui peut être fréquentée par un et un seul train à tout instant). Dans l exemple, deux parcours sont envisagés pour quatre trains t 1,..., t 4.

3 La figure 3 [4] rapporte le diagramme de Gantt d utilisation de l infrastructure pour les 4 trains. Il reprend les temps d occupation, plus les temps de dégagement et de réservation éventuels induits par un train, sur les différentes zones de détection de l infrastructure. Les temps de dégagement engendrent un blocage qui s énonce comme suit : la machine M i est libre quand le job a passé i unités de temps sur la machine M i+1. Le blocage est donc moins important que dans le premier cas où la machine M i est libre quand le job a terminé sur M i+1 et commence sur M i+2. Il y a donc une différence entre les deux situations qui n apparaît pas pour deux étages. Il convient aussi de noter que la réservation induit une autre forme de blocage qui est spécifique à cette situation. articles qui considèrent la contrainte de blocage classique. Dans [19] et [20], les auteurs proposent une heuristique pour le HFS à plusieurs étages, avec et sans capacité de stockage respectivement. Une heuristique pour le HFS avec capacité de stockage limitée est donnée dans [24]. Dans [22], les auteurs proposent également une heuristique pour le HFS à plusieurs étages sans capacité de stockage. Dans [21], une méthode exacte basée sur un programme linéaire en nombres entiers est proposée pour résoudre le problème avec et sans capacité de stockage. À notre connaissance, les seuls travaux portant sur le problème HFS avec notre contrainte de blocage particulière sont ceux de Martinez et al. ([2] et [15]). De plus, aucun travail antérieur traite de ce problème sous l angle multiobjectif. 3. RÉSOLUTION DU PROBLÈME BI- OBJECTIF 3.1. Définition et notations préliminaires Figure 2: Exemple d infrastructure Figure 3: Diagramme de Gantt pour un passage de train sur l infrastructure 2.3. État de l art Pour le HFS classique (sans blocage), on peut trouver dans la littérature des algorithmes exacts, comme par exemple des branch and bound et des modélisations sous forme de programmes linéaires en nombres entiers ([1], [11], [17]). Malheureusement, les résultats expérimentaux montrent que les temps d exécution de ces méthodes deviennent très longs pour des problèmes avec plus de 10 jobs. Pour cette raison, de nombreuses heuristiques ont été développées pour résoudre des problèmes de taille plus importante ([8], [9], [10], [12], [16], etc.). Néanmoins, rares sont les Un problème d optimisation multiobjectif est défini par min (z 1(x),..., z q (x)) (MOP) x X avec X R n l ensemble des solutions réalisables, z : R n R q un vecteur de fonctions. Par Z = f(x) R q on note l image des solutions réalisables dans l espace des objectifs. On s intéresse aux solutions optimales de (MOP) en terme d efficacité (encore appelée Pareto optmalité). Une solution réalisable x X est appelée efficace si il n existe pas x X tel que z k (x ) z k (x) pour tout k = 1,...,q et z j (x ) < z j (x) pour certains j. En d autres termes, aucune solution n est au moins aussi bonne que x pour tous les objectifs, et strictement meilleure pour au moins un objectif. On parle d efficacité pour les solutions x dans l espace de décision. Dans l espace des objectifs, avec le vecteur des objectifs z(x) R q on utilise la notion de non-dominance : si x est efficace alors z(x) = (z 1 (x),..., z q (x)) est dit non-dominé (ou aussi efficace). L ensemble des solutions efficaces est noté X E, l ensemble des vecteurs non-dominés est Z N. Nous pouvons aussi parler de Z N comme frontière non dominée ou surface de compromis. Ce concept de solution efficace est central en optimisation multiobjectif. Résoudre un problème d optimisation multiobjectif consiste à rechercher l ensemble des solutions efficaces. Sans davantage de précision, X E est alors qualifié d ensemble complet des solutions efficaces.

4 Cependant, il peut exister plusieurs solutions x X correspondant à un même point non-dominé z(x) Z N. Ces solutions sont dites équivalentes. Si on se contente de calculer une seule solution x X pour chaque z Z N alors on construit l ensemble minimum complet X Em. In fine, une approximation des solutions efficaces est noté par X PE, un ensemble de solutions potentiellement efficaces. Davantage de précision sur ces définitions et notions peuvent être retrouvée dans [6, 7] Résolution exacte La résolution exacte fait usage du modèle de programmation linéaire en nombres entiers proposé par Martinez et al [14] étendu à un second objectif. La méthode de résolution est de type ɛ-contrainte. Partant d une solution optimale sur la minimisation du makespan, la méthode actualise à chaque itération la valeur sur une contrainte additionnelle qui garantit la production à chaque itération d une nouvelle solution non-dominée. La méthode s arrète quand aucune nouvelle solution réalisable ne peut être calculée. Le calcul de chaque solution optimale résulte d un appel à un solveur MILP. Deux solveurs ont été testés, XPress-MP (Dash optimization. et GLPK (GNU Linear Programming Kit. Cette partie du travail visait à confirmer la difficulté de résolution du problème sur des instances réelles (difficulté déjà relevée dans nos travaux antécédents lorsqu il s agissait d optimiser uniquement le makespan) Résolution approchée La résolution approchée repose sur un algorithme de recuit simulé multiobjectif, directement dérivé de la méthode MOSA [23]. Ce choix s est imposé du fait de l existance d un algorithme de recuit simulé introduit par Martinez et al [15] qui minimise le makespan pour ce problème de flowshop spécifique. Aussi, et même si la méthode MOSA est connue pour plusieurs limites, sa mise en œuvre est simple et se justifie dans la perspective d un premier retour d expérience. Les principales différences de notre algorithme visà-vis de MOSA sont au nombre de deux. La première porte sur la définition des jeux de poids indispensables pour guider les approximations vers la frontière efficace. Contrairement à MOSA qui recommande l utilisation d un large ensemble de jeux de poids aléatoires, nous utilisons un jeu de poids calculé de manière déterministe et myopique. La seconde se situe au niveau de la solution initiale utilisée entre deux processus de recherche. MOSA préconise de démarrer d une solution aléatoire alors que nous sélectionnons une solution initiale pour l itération suivante dans l approximation qui a été élaboré à l itération courante. A noter que la toute première solution est construite à l aide de MNEH, l heuristique de Nawaz, Enscore et Ham modifiée par Martinez [15], qui minimise le makespan. L algorithme 1 donne la description de notre algorithme et ses composants. Il produit X PE, un ensemble de solutions potentiellement efficaces. Algorithm 1 Un recuit simulé multiobjectif begin X PE ; x init xmneh() for all λ Λ loop T 0 T ; N count 0 n 0; x n x init ; X PEλ {x n } repeat randomly draw x N(x n ) if isbetter(x, x n ) or else isaccepted(x, x n, n, T n, λ) then X PEλ archive(x PEλ, x); x n+1 x ; N count 0 else x n+1 x n ; N count + + endif n + + updateparameters(α, n, T n, N count ) until isfinished(t n ) x init xminattente(x PEλ ) endloop X PE merge(x PEλ ) end avec : isbetter, un prédicat qui calcule z k z k (x) z k (x n ) et retourne ( k : z k 0). isaccepted, un prédicat qui calcule la probabilité d acceptation prob n pour l itération courante avec exp( q k=1 λ k (z k (x) z k (x n ))/T n ), tire aléatoirement prob uniformément distribué dans [0, 1] et retourne (prob < prob n ). isfinished, un prédicat qui vérifie si soit un nombre prédéfini d itérations N stop, soit une température limite T stop dans le processus de refroidissement a été atteint. merge, une fonction qui fusionne les X PEλ, λ Λ en un ensemble X PE en éliminant les solutions dominées

5 Les choix arrêtés pour sa mise en œuvre sont: 4. Construction et codage d une solution Soit l ordre {1, 2,..., n} de la séquence de n jobs {J 1, J 2,..., J n }. Sur le premier étage, un job i est placé au plus tôt sur la première machine disponible. Il sera ensuite placé aussitôt que possible sur le second étage, compte tenu des précédents jobs déjà ordonnancés. Si il existe dans l ordonnancement partiel du second étage des fenêtres de temps suffisamment grandes pour y insérer le job i, alors celui-ci est placé dans la première de ces fenêtres. Le makespan n est pas affecté. Si une telle fenêtre n existe pas alors le job i est placé au plus tôt à la fin de l ordonnancement partiel sur le second étage, ce qui impacte le makespan. Solutions initiales La solution utilisée pour la première direction de recherche est construite à l aide de MNEH (routine xmneh dans l algorithme 1). Pour toutes les autres directions de recherche, la solution initiale est prélevée dans la dernière approximation élaborée; c est la solution qui correspond à l attente minimale (routine xminattente dans l algorithme 1). Voisinage Partant d un ordre {1, 2,..., i,..., j,..., n} de la séquence de n jobs, une solution voisine est obtenue en échangeant deux jobs i, j sélectionnés aléatoirement. Le nouvel ordre {1, 2,..., j,..., i,..., n} est ainsi utilisé pour construire une solution. Réglage des paramètres Λ, l ensemble des poids : 10 T, la température initiale : 100 α, le coefficient de refroidissement : 0.98 N step, la longueur d un palier à température constante : 100 N stop, nombre d itérations sans amélioration avant de provoquer un changement de température : 12 Règle d arrêt La recherche dans une direction s arrête quand la température courante est inférieure à T stop = 10 9 EXPÉRIMENTATIONS NUMÉRIQUES 4.1. L environnement d expérimentation Les expérimentations ont été réalisées sur un PC standard, équipé d un Pentium IV 2,26GHz, 256Mo de RAM, fonctionnant sous Linux Fedora version La version 4.8 de GLPK a été utilisée pour les résolutions exactes. L algorithme de recuit simulé a été implémenté en C++. L exécutable a été produit à l aide de g++, version 3.3.2, avec l option -O Instances numériques utilisées Instances réelles Deux instances ont été fournies représentant deux journées réelles. Dans les deux cas, toutes les machines du premier étage sont équivalentes. La première journée a pour caractéristique de présenter une distribution régulière dans le temps des dates de disponibilité (arrivées) des jobs (camions), avec des temps de traitement différents (capacité des camions non homogène, déchets variés) au premier et au second étage (voir figure 4). 15 jobs (clients) sont attendus pour cette journée et 6 machines au premier étage (silos) composent l outil de production. La seconde journée a pour caractéristique de présenter des temps de traitement fortement similaires au premier et au second étage, avec des arrivées des camions surtout en début et fin de journée. 17 jobs sont attendus et 6 machines composent l outil de production. customer h10 0h35 15 customers 6 silos 60min 45min 30min 15min t unloading 1h00 2h00 1h00 1h45 1h20 t m ixing 1h10 2h20 1h00 0h550h55 0h35 1h50 2h Figure 4: Données correspondant à la première journée réelle étudiée Instances aléatoires Un ensemble d instances aléatoires variées a été élaboré. Le nombre de jobs considéré dans ces instances est 5, 7 et de 10 à 100 jobs, par pas de 10. Les dates de disponibilité considérées ont été générées uniformément dans les intervalles 0 à respectivement 0/50/100/150. Les durées de traitement envisagées sur le premier et le second étage ont été générées 2h25 1h45 1h45 2h20 time

6 uniformément dans les intervalles 0 à respectivement 10/50/100. L ensemble représente un total de 1470 instances. Ces instances ont été résolues en considérant un premier étage composé de 2 à 10 machines Résultats en résolution exacte Au terme de plusieurs jours de calculs il n a pas été possible d obtenir avec Xpress, ni avec GLPK, les solutions efficaces pour les deux journées réelles. Seules des solution exactes pour les instances aléatoires de très petites tailles (5 jobs, 2 machines au premier étage) ont été obtenues avec ces solveurs MILP. Cette partie du travail se verra reconsidérée dans la poursuite des travaux. étages soient globalement peu variés, un grand nombre de solutions équivalentes s obtiennent par un simple échange entre deux jobs. Au contraire des solutions symétriques, ces solutions équivalentes définissent des ordonnancements distincts. La figure 5 illustre un ordonnancement obtenu, qui correspond à l un des trois points potentiellement non-dominé (figure 6). Le constat est identique pour la journée B (1265 solutions équivalentes, 1 point potentiellement non-dominé) Résultats en résolution approchée Du fait que les machines sur le premier étage sont toutes équivalentes, on désigne par solutions symétriques l ensemble de solutions qui est obtenu en échangeant l affectation de tous les jobs sur deux ou plusieurs machines. Ces solutions sont sans impact sur les objectifs et ne définissent pas un nouvel ordonnancement (elles sont identiques entre-elles à une permutation près). Ces solutions ne présentent aucun intérêt; elles ne sont pas construites par la méthode approchée et n apparaissent pas dans l ensemble des solutions équivalentes dans la suite. A ce niveau, une première remarque s impose concernant le réglage des paramètres du recuit simulé. En effet, nos tentatives de réglage n ont eu qu un impact très limité sur les approximations observées. Le faible nombre de points non-dominés que possède ce problème semble marginaliser la délicate question du réglage des paramètres pour cette technique. Ce qui expliquerait l unique valeur recommandée par Loukil et al [13] pour les paramètres de MOSA, et cela quelque soit le problème d ordonnancement (avec un unique réglage des paramètres, ces auteurs ont traité un large panel de problèmes bi-objectif : ordonnancement sur une machine, sur machines paralèlles, de type flowshop; les objectifs examinés sont l avance/retard pondéré, le makespan, les jobs en retards, etc.). Instances représentant les deux journées réelles Le nombre de solutions potentiellement efficaces équivalentes est remarquablement élevé. Pour la journée A étudiée, pas moins de 1097 solutions équivalentes ont été mesurées correspondant seulement à 3 points potentiellement non-dominés. Du fait que les temps de traitement des jobs sur les deux Figure 5: Trois solutions potentiellement efficaces, chacune correspondant à un point potentiellement non-dominé, qui définissent une approximation de X Em pour la journée A attente moyenne "courbe_ex1" using 1: makespan Figure 6: Trois points potentiellement non-dominés produits au terme de la résolution approchée de la journée réelle A Les instances aléatoires Pour alimenter cette première discussion, 108 instances parmi les 1470 élaborées ont été sélectionnées et résolues pour une configuration à deux et six machines au premier étage. Pour chaque instance, la valeur min/max/moy observée sur le nombre de solu-

7 tions équivalentes et sur temps CPU utilisé, est rapportée dans la table 1. # jobs # solutions CPUt(s) 2 machines 10 min 1 2,12 max 13 3,67 moy 6,47 2,61 50 min 5 9,95 max ,77 moy 70,14 13, min 2 21,99 max ,21 moy 30,00 33,05 6 machines 10 min 1 3,33 max ,02 moy 516,42 36,61 50 min 3 15,63 max ,22 moy 312,31 24, min 1 35,75 max ,03 moy 43,11 59,26 Table 1: Nombre de solutions équivalentes et temps CPU (secondes) relevés pour les 108 instances. Les résultats sont présentés en 6 classes d après la taille des instances (nombre de jobs), avec les dates de disponibilité r i (générées uniformément dans les intervalles 0 à respectivement 0/50/100/150) et les temps de traitement au premier et second étage p i,1, p i,2 (générées uniformément dans les intervalles 0 à respectivement 10/50/100) confondus. Premier constat général pour les 6 classes, il y a toujours au moins une instance qui produit un nombre très faible de solutions. Aussi, pour toutes les classes le temps de résolution est toujours inférieur en moyenne à la minute de calcul. Le plus grand nombre de solutions équivalentes est obtenu pour l instance rnd_10_10_50_0 laquelle présente 10 jobs, un temps de traitement de 10 et 50 respectivement sur le premier et second étage, avec tous les jobs disponibles à l origine. Toutes ces solutions correspondent à seulement 4 points potentiellement nondominés ayant pour makespan et attente moyenne : {(267, 19.3); (268, 17.6); (269, 7.5); (271, 7.2)}. Clairement, ce constat appelle à d autres analyses comme par exemple la mesure de l ensemble minimum complet de solutions (ensemble qui ne comporte qu un seul représentant des solutions qui conduisent à une même performance) dérivé de l approximation. La faible dispersion des valeurs des points sur les deux objectifs conduit aussi à s intéresser à la robustesse de ces ordonnancements. Pour les instances aléatoires où les solutions exactes ont été obtenues, il est intéressant de noter que les solutions approchées sont apparues comme étant très proches des solutions exactes. Toutefois, cela ne concerne que des instances de très petite taille, il n est donc pas possible d en dériver une conclusion. 5. PREMIÈRE CONCLUSION ET POUR- SUITE DES TRAVAUX Cette étude présente les premiers résultats sur le problème d ordonnancement d ateliers flexibles de type flow-shop hybride soumis à des contraintes de blocage en optimisant simultanément deux objectifs, le makespan et le temps d attente moyen. La résolution exacte rencontre très rapidement des difficultés; dans l état courant seules des très petites instances peuvent être résolues exactement. La résolution approchée permet de traiter l ensemble des instances endéans des temps de calculs inférieurs à la minute. A la lumière des approximations rapportées, les instances peuvent véhiculer un nombre impressionnant de solutions équivalentes. Contrairement aux travaux expérimentaux rapportés dans [5] sur des problèmes d optimisation combinatoires bi-objectifs, ce problème particulier de HFS possède peu de points non-dominés. Même si ce constat est préliminaire, il abonde dans le sens des résultats rapportés par Loukil et al [13]. La poursuite des travaux se décline en trois orientations. La première s attache à la résolution exacte avec pour objectif d être en mesure de traiter des instances de la taille des journées réelles du problème de traitement des déchets. La seconde se penche sur la robustesse des solutions, question importante aux yeux du décideur dans le contexte applicatif. La question prend tout son sens compte-tenu du faible nombre de solutions de performances différentes que semble véhiculer le problème, ainsi que la faible dispersion des points dans l espace des objectifs. La dernière orientation relève de la modélisation, notamment par la prise en compte simultanée de contraintes de blocage et de réservation (comme dans le problème ferroviaire mentionné), autre forme de mobilisation d une ressource sans pour autant y voir un job en traitement.

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