Cours de mathématiques. Thomas Rey

Transcription

1 ours de mathématiques Thomas Rey lasse de Terminale S spé 9 mars 2012

2 2

3 Table des matières 1 Graphes. Épisode Graphes non orientés Un exemple Quelques définitions Premières propriétés Sous-graphe Matrice d un graphe non orienté ircuits dans un graphe haînes et cycles Trajets eulériens lgorithme d uler Généralités sur les suites Suites numériques Mode de génération Suites arithmétiques Suites géométriques Vocabulaire usuel des suites Variations d une suite Suites majorées, minorées, bornées Géométrie spatiale Plans de l espace xes de coordonnées et plans de base Plan parallèle à un plan de coordonnées plan parallèle à un axe de coordonnées Plan quelconque Quelques figures Vecteur orthogonal à un plan Plans parallèles Système d équations cartésiennes d une droite Graphes. Épisode oloration d un graphe ncadrement du nombre chromatique lgorithme de Welch-Powell Graphes orientés Graphes étiquetés. Graphes pondérés Graphe étiqueté

4 4 TL S MTIÈRS Graphe pondéré lgorithme de Moore-ijkstra Suites. Épisode xiome de récurrence Suite convergente. Suite divergente Trois exemples Suite convergente Suite divergente Propriétés de convergence Règles opératoires Suites arithmétiques Suites géométriques Fonctions de deux variables Introduction Surface d équation z = f (x; y) ourbes de niveau Optimisation sous contrainte linéaire Graphes probabilistes Un exemple Graphe probabiliste as général Un cas particulier : graphe probabiliste à deux états Un exercice du bac

5 hapitre 1 Graphes. Épisode 1 La théorie des graphes a été initiée par le mathématicien suisse uler 1 puis prolongée par de nombreux mathématiciens dans les années qui suivent. Le problème qui a permis à uler de s intéresser à cette question est le fameux problème des sept ponts de Königsberg 2 : les habitants de cette charmante 3 ville souhaitaient trouver un trajet passant une fois et une seule par chaque pont. uler a réussi à prouver que c était impossible. ans ce chapitre et dans les épisodes 2 et 3 qui suivront (chapitre 4 et 7), nous nous intéresserons à ce genre de problèmes mais aussi à calculer des longueurs d itinéraires, à organiser des tournois, à colorier des cartes, à organiser des tâches sur un chantier, Graphes non orientés Un exemple Revenons sur les fameux ponts de Königsberg : Le plan de la ville Schématisé Sous forme de graphe Source des illustrations : Wikipédia. Sur le graphe, chaque point correspond à un quartier de la ville non traversé par la rivière 4 et chaque trait correspond à un pont. Le problème revient donc à chercher un trajet continu (sans «saut») passant une fois et une seule par chaque trait. 1. Leonhard uler ( ) : mathématicien suisse. Un des mathématiciens les plus productifs de tous les temps. Il a travaillé dans beaucoup de domaines (notre trigonométrie moderne provient essentiellement de son Introductio de 1748). Il est aussi l inventeur de beaucoup de notations que nous utilisons encore aujourd hui (π, Σ pour les sommes, r pour les rayons,,,... pour les sommets d un polygone, cos et sin,...) 2. Königsberg : actuellement Kaliningrad, région de la Russie frontalière de la Pologne et de la Lituanie. 3. n fait je n y suis jamais allé, c est peut-être pas terrible comme ville Pour les curieux, la rivière traversant Königsberg s appelle Pregel.

6 6 Graphes. Épisode Quelques définitions éfinition 1.1 Quelques points de vocabulaire : un graphe est un ensemble de points appelés sommets dont certains sont reliés par des lignes appelées arêtes ou par des flèches appelées arcs ; on appelle ordre d un graphe son nombre de sommets ; on appelle degré d un sommet le nombre d arêtes dont ce sommet est une extremité (une arête reliant un sommet à lui-même compte pour deux). xemple 1.1 Le graphe ci-dessous est constitué de cinq sommets notés,,, et : on dit que l ordre de ce graphe est 5. Le sommet est à l extrémité de trois arêtes donc son degré est 3. Le degré du sommet est 2. éfinition 1.2 Toujours du vocabulaire : on dit que deux sommets sont adjacents s ils sont reliés par une arête ; on dit qu un sommet est isolé s il n est adjacent à aucun autre ; un graphe est dit complet si tous les sommets sont adjacents les uns aux autres ; on appelle boucle une arête joignant un sommet à lui-même. xemple 1.2 Sur le graphe de l exemple 1.1 on peut dire que les sommets et sont adjacents ; par contre les sommets et ne le sont pas. Le sommet admet une boucle. xemple 1.3 Sur le premier des deux graphes ci-dessous on peut dire que le sommet est isolé. Le deuxième graphe est complet.

7 1.1 Graphes non orientés Premières propriétés Théorème 1.1 ans un graphe, la somme des degrés de tous les sommets est égal au double du nombre total d arêtes. émonstration : haque arête a deux extrémités elle est donc comptée deux fois quand on additionne les degrés de tous les sommets. onséquences : la somme des degrés des sommets d un graphe est un nombre pair ; le nombre de sommets de degré impair est un nombre pair. émonstration : la somme des degrés étant égale au double du nombre d arêtes, c est un nombre pair ; si le nombre de sommets de degré impair était impair, lorsqu on additionne ceux-ci on obtient un nombre impair ; si on y ajoute la somme des degrés pairs (qui est un nombre pair) on obtient au total un nombre impair, ce qui est en contradiction avec le point précédent. xemple 1.4 Lors d une compétition de badminton treize joueurs sont inscrits. st-il possible que chaque joueur dispute exactement trois matches? On peut modéliser ce problème par un graphe : chaque joueur est un sommet et on représente par une arête un match entre deux joueurs. Si un tel graphe existait on aurait la somme des degrés qui vaudrait 13 3 = 39 ce qui est impossible car 39 n est pas un nombre pair. L organisation d un tel tournoi est donc impossible : il faut forcément avoir un nombre pair de joueurs ou un nombre pair de matches pour chaque joueur (ou les deux) Sous-graphe éfinition 1.3 t encore un peu de vocabulaire : un sous-graphe d un graphe G est un graphe G composé de certains des sommets de G ainsi que de toutes les arêtes qui les joignent ; un sous-graphe stable d un graphe G est un sous graphe sans arête. xemple 1.5 On donne ci-dessous un graphe G, un sous-graphe G de G et un sous-graphe stable G de G : Graphe G F G sous-graphe de G F G sous-graphe stable de G

8 8 Graphes. Épisode Matrice d un graphe non orienté éfinition 1.4 La matrice associée à un graphe non orienté d ordre n (c est-à-dire ayant n sommets numérotés de 1 à n) est la matrice carrée n n dont chaque coefficient a ij est égal au nombre d arêtes reliant les sommets i et j. (Rappel : le coefficient a ij est le coefficient situé au croisement de la i e ligne et de la j e colonne). Remarque 1.1 Le graphe étant non orienté, il y a évidemment autant d arêtes reliant le sommet i au sommet j que d arêtes reliant le sommet j au sommet i. La matrice d un graphe non orienté est donc une matrice symétrique. xemple 1.6 On donne ci-dessous deux graphes et leurs matrices associées : F ircuits dans un graphe haînes et cycles éfinition 1.5 Une chaîne est une liste ordonnée de sommets reliés par des arêtes. On appelle longueur de la chaîne le nombre d arêtes qui la composent. xemple 1.7 ans le premier graphe de l exemple 1.6, F est une chaîne de longueur 4. ans le deuxième graphe, est une chaîne de longueur 2. Théorème 1.2 (admis) ans un graphe de matrice associée M, le nombre de chaînes de longueur n reliant les sommets i et j est égal au coefficient a ij de la matrice M n. Remarque 1.2 Rappel : pour calculer M n on utilise bien sûr la calculatrice!

9 1.2 ircuits dans un graphe 9 xemple 1.8 On s intéresse au graphe représenté ci-après. Pour connaître le nombre de chaînes de longueur 3 reliant les sommets à, on commence par écrire la matrice M associée à ce graphe puis on calcule M 3. Le nombre de chaînes de longueur 3 reliant le sommet au sommet est alors le coefficient a 13. M = M 3 = On a donc sept chaînes de longueur 3 reliant les sommets et ; il reste à les écrire : ; ; ; ; ; ;. éfinition 1.6 ncore et toujours du vocabulaire : un graphe est dit connexe s il existe toujours (au moins) une chaîne qui relie deux sommets quelconques ; une chaîne est dite fermée si elle relie un sommet à lui-même (l origine et l extrémité de la chaîne sont confondues) ; on appelle cycle une chaîne fermée dont toutes les arêtes sont distinctes ; la distance entre deux sommets est la plus courte longueur des chaînes qui relient ces deux sommets ; le diamètre d un graphe connexe est la plus grande distance entre deux sommets du graphe. xemple 1.9 On donne ci-dessous trois graphes. F F On peut dire que : le premier graphe n est pas connexe : il n existe pas de chaîne reliant les sommets et ; par contre, les deuxième et troisième graphes sont connexes ; dans le deuxième graphe, la chaîne est fermée mais elle n est pas un cycle car l arête est parcourue deux fois ; dans le troisième graphe, la chaîne fermée F est un cycle ; dans le troisième graphe, la distance entre les sommets et est égale à 2 car il n existe pas d arête entre et (donc pas de chaîne de longueur 1) et il existe une chaîne de longueur 2 : ; le diamètre du deuxième graphe est 1 car il est complet ; le diamètre du troisième graphe est 2 car la plus longue distance entre deux sommets vaut 2 (par exemple entre les sommets et ).

10 10 Graphes. Épisode Trajets eulériens éfinition 1.7 On appelle chaîne eulérienne toute chaîne qui contient chaque arête du graphe une et une seule fois. Si en plus la chaîne est un cycle (origine et extrémité confondues) on dit qu il s agit d un cycle eulérien. xemple 1.10 Le graphe ci-contre admet une chaîne eulérienne : F F xemple 1.11 Le graphe ci-contre admet un cycle eulérien : F F Théorème 1.3 (d uler - admis) Un graphe connexe admet une chaîne eulérienne si et seulement si le nombre de sommets de degré impair vaut 0 ou 2. Un graphe connexe admet un cycle eulérien si et seulement si tous ses sommets sont de degré pair. xemple 1.12 Le graphe de l exemple 1.8 n admet pas de chaîne eulérienne car il admet quatre sommets de degré impair. xemple 1.13 n reprenant le problème des ponts de Königsberg (voir son graphe ci-dessous), on remarque que le graphe comporte quatre sommets de degrés impairs, il n existe donc ni chaîne, ni cycle eulérien dans ce graphe : il est impossible de parcourir tous les ponts de la ville une et une seule fois lgorithme d uler Nous avons vu avec le théorème 1.3 qu il est facile de déterminer s il existe une chaîne ou un cycle eulérien ; nous allons voir maintenant comment il est possible de trouver une de ces

11 1.2 ircuits dans un graphe 11 chaînes ou un de ces cycles s ils existent grâce à l algorithme d uler ntrées : Un graphe ayant 0 ou 2 sommets de degrés impairs début si il y a deux sommets de degré impair alors on construit une chaîne reliant ces deux sommets; sinon on construit un cycle quelconque à partir d un sommet; tant que il reste des arêtes non parcourues faire on choisit un sommet de la chaîne précédente et on construit un cycle fermé à partir de ce sommet, cycle n empruntant que des arêtes non parcourues.; fin lgorithme 1 : lgorithme d uler xemple 1.14 On donne le graphe ci-dessous. On remarque que tous les sommets sont de degrés pairs ; il existe donc un cycle eulérien. Nous allons appliquer l algorithme d uler pour en déterminer un. G F H I On commence par tracer un cycle à partir du sommet : FH. On obtient alors le graphe ci-dessous : G F H I Puis, à partir du sommet puis du sommet on ajoute les cycles H et IHG pour obtenir successivement : G F G F H H I I Finalement le cycle eulérien est HFHIHG.

12 12 Graphes. Épisode 1

13 hapitre 2 Généralités sur les suites 2.1 Suites numériques éfinition 2.1 On appelle suite de terme général u n et on note (u n ) n 0 ou plus simplement u la liste ordonnée des nombres u 0, u 1, u 2, u 3,.... haque nombre u i est appelé terme de rang i de la suite u. Une suite (u n ) permet donc d associer à chaque entier n un réel qu on note u n Mode de génération Une suite (u n ) est entièrement définie si on est capable de calculer u n pour n importe quelle valeur de n. Il existe deux façons usuelles pour définir une suite. Suite définie explicitement xemple 2.1 On considère la fonction f définie sur R par f (x) = x+3. x 2 +1 Si x N, f (x) est toujours défini. On peut donc considérer la suite u de terme général : On a alors : u n = f (n) = n + 3 n u 0 = = 3, u 1 = = 2,... ans cette situation, on est bien en mesure de calculer u n pour tout n N. Suite définie par récurrence éfinition 2.2 Soit f une fonction { numérique définie sur R, et a un réel quelconque. On dit que la suite u0 = a (u n ) n 0 vérifiant est définie par récurrence et on note : u n+1 = f (u n ), pour tout n N u : { u0 = a pour n N, u n+1 = f (u n )

14 14 Généralités sur les suites Remarque 2.1 Quelque soit l entier n, le calcul de u n est donc possible. Il est toutefois à noter que ça peut être long car pour calculer u n il faut connaître u n 1, pour connaître u n 1 il faut avoir u n 2,... Représentation graphique { d une suite définie par récurrence u0 R Soit u la suite définie par : u n+1 = f (u n ) pour tout n 0 On trace dans un repère la droite d d équation y = x et la courbe représentative f de la fonction f. On place ensuite sur l axe des abscisses u 0. On a u 1 = f (u 0 ) ; on peut donc lire u 1 sur l axe des ordonnées comme l image de u 0 par f. On reporte alors u 1 sur l axe des abscisses grâce à d. xemple 2.2 Le graphique ci-dessous est obtenu avec f : x 2 x + 2 et u 0 = 1. On a donc u définie par : { u0 = 1 u n+1 = 2 u n + 2 pour tout n 0 u 5 u 4 u 3 u 2 f u 1 d j i u 0 u 1 u 2 u 3 u 4 u Suites arithmétiques éfinition 2.3 Une suite est dite arithmétique s il existe un entier r tel que pour tout n N on a u n+1 = u n + r. Le réel r est appelé raison de la suite u. Propriété 2.1 On a alors pour tout n N et tout p N : u n = u p + (n p) r; n i=p u i = u p + u n 2 (n p + 1) où p < n

15 2.1 Suites numériques 15 xemple 2.3 Si u est la suite arithmétique de premier terme u 0 = 5 et de raison 3, on a : u 0 = 5 u 1 = u = = 8 u 2 = u = = 11 On a alors : pour tout n N, u n = 5 + n 3 = 5 + 3n xemple 2.4 Un salarié est embauché le 1 er janvier 2010 pour un salaire net mensuel de 1 000e par mois et avec une augmentation de 5e nets par mois dès le deuxième mois. On note u n le salaire perçu à l issue du n e mois. insi u est une suite arithmétique de premier terme u 1 = et de raison r = 5. n effet, la différence entre deux salaires consécutifs est égale à 5e. Le salaire perçu en décembre 2010 est donc u 12 = = 1 055e. Le total des salaires perçus au cours de la première année est donc : Suites géométriques S = 12 (u 1 + u 12 ) 2 = = éfinition 2.4 Une suite est dite géométrique s il existe un réel q tel que pour tout n N on a u n+1 = u n q. Le réel q est appelé raison de la suite u. Propriété 2.2 On a alors pour tout n N et tout p N : u n = u p q n p ; n i=p u i = u p q u n 1 q = u p 1 qn p 1 q où p < n, q 1 et si q 0 xemple 2.5 Si u est la suite géométrique de premier terme u 0 = 5, et de raison q = 2, on a : u 0 = 5, u 1 = q u 0 = 2 5 = 10, u 2 = q u 1 = 2 10 = 20, u 3 = q u 2 = 2 20 = 40,... On a alors : pour tout n N, u n = u 0 q n = 5 2 n xemple 2.6 Un salarié est embauché le 1 er janvier 2010 pour un salaire net mensuel de 1 000e par mois et avec une augmentation de 0,4% nets par mois dès le deuxième mois. On note u n le salaire perçu à l issue du n e mois. insi u est une suite géométrique de premier terme u 1 = et de raison q = 1 + 0,4 = 1,004. n effet, chaque salaire est 100 obtenu en multipliant le précédent par le coefficient multiplicateur de l augmentation soit 1 + 0,4 = 1, Le salaire perçu en décembre 2010 est donc u 12 = , ,89e. Le total des salaires perçus au cours de la première année est donc : S = 1er terme - q fois dernier terme 1 q = , ,89 1 1,004 = ,39

16 16 Généralités sur les suites 2.2 Vocabulaire usuel des suites Variations d une suite éfinition 2.5 On définit les sens de variation «au sens large» d une suite ainsi : une suite est dite croissante si pour tout entier naturel n on a u n+1 u n ; une suite est dite décroissante si pour tout entier naturel n on a u n+1 u n ; une suite est dite stationnaire si pour tout entier naturel n on a u n+1 = u n. On pourrait de même définir la stricte croissance et la stricte décroissance en utilisant des inégalités strictes. Lorsqu une suite est croissante ou décroissante, on dit quelle est monotone xemple 2.7 Étudier les variations de la suite u définie sur N par u n = 2n 2 + 3n 4. Remarque 2.2 Pour déterminer les variations d une suite, une possibilité est d étudier le signe de u n+1 u n : si pour tout n N, u n+1 u n 0, alors, u est croissante ; si pour tout n N, u n+1 u n 0, alors u est décroissante. Propriété 2.3 Soit f une fonction numérique définie sur R + et u la suite définie par u n = f (n) on a : si f est croissante sur R + alors la suite u est aussi croissante ; si f est décroissante sur R + alors la suite u est aussi décroissante. Remarque 2.3 La réciproque est fausse! Suites majorées, minorées, bornées éfinition 2.6 Soit u une suite numérique définie sur N. lors : la suite u est dite majorée s il existe un réel M tel que pour tout n N on a u n M ; M est alors appelé un majorant de u ; la suite u est dite minorée s il existe un réel m tel que pour tout n N on a m u n ; m est alors appelé un minorant de u ; la suite u est dite bornée si elle est majorée et minorée. Remarque 2.4 Si une suite est majorée par un réel M alors tout réel M > M est aussi un majorant de u. e même si u est minorée par m alors tout réel m < m est aussi un minorant de u. xemple 2.8 La suite u définie sur N par u n = n n 20 est majorée par 5. La suite v définie sur N par v n = 2 est bornée par 0 et 2. n

17 hapitre 3 Géométrie spatiale (O; i, j, k) est un repère de l espace. 3.1 Plans de l espace xes de coordonnées et plans de base Propriété 3.1 Un point M(x; y; z) appartient à (xoy) si et seulement si z = 0. Un point M(x; y; z) appartient à (xoz) si et seulement si y = 0. Un point M(x; y; z) appartient à (yoz) si et seulement si x = 0. onséquence : { y = 0 n remarquant que (Ox) = (xoy) (xoz) on a M(x; y; z) (Ox) z = 0 { { x = 0 x = 0 e même, M(x; y; z) (Oy) et M(x; y; z) (Oz) z = 0 y = Plan parallèle à un plan de coordonnées Propriété 3.2 Soit (λ; µ; ν) un point de l espace où λ, µ et ν sont trois réels. Le plan P parallèle à (O; i, j) passant par a pour équation z = ν. On note : P : z = ν. ela signifie que : si M(x; y; z) P, alors z = ν (x et y sont quelconques), si M est un point tel que z M = ν, alors M P. Remarque 3.1 e même, avec les mêmes notations, les plans Q et R passant par et parallèles respectivement à (xoz) et (yoz) ont pour équation : Q : y = µ et R : x = λ

18 18 Géométrie spatiale plan parallèle à un axe de coordonnées Propriété 3.3 Un plan parallèle à (O; k) a une équation du type ax + by = d. Un plan parallèle à (O; j) a une équation du type ax + cz = d. Un plan parallèle à (O; i) a une équation du type by + cz = d. xemple 3.1 (démonstration d un cas particulier) Soit (3; 0; 0) et (0; 2; 0) deux points de l espace. P est le plan parallèle à (O; k) passant par et. Soit M(x; y; z) un point de P, et H son projeté sur (O; i, j) parallélement à (O; k). On a x H = x y H = y z H = 0 () : 2x + 3y = 6. onc le couple (x H ; y H ) vérifie l équation de la droite () dans (O; i, j). Or z est quelconque car pour tout z, le projeté de M sur (O; i, j) parallélement à (O; k) ne change pas. On dit que l équation du plan P est 2x + 3y = Plan quelconque Théorème 3.1 (admis) Si a, b et c sont trois réels non tous nuls et d un réel quelconque, l ensemble des points M(x; y; z) tels que ax + by + cz + d = 0 est un plan. On dit que ax + by + cz + d = 0 est une équation de ce plan. Remarque 3.2 un plan admet une infinité d équations (on peut multiplier l une d elle par n importe quel réel non nul) ; si d 0, l équation du plan peut s écrire sous la forme ax + by + cz + 1 = 0 (on multiplie l équation initiale par 1/d). ans ce cas, l origine du repère n appartient pas au plan.

19 3.1 Plans de l espace Quelques figures plan parallèle à (xoy) : z = ν plan parallèle à (xoz) : y = µ plan parallèle à (yoz) : x = λ plan parallèle à (Oz) : ax + by = d plan parallèle à (Oy) : ax + cz = d plan parallèle à (Ox) : by + cz = d

20 20 Géométrie spatiale 3.2 Vecteur orthogonal à un plan éfinition 3.1 On dit qu un vecteur non nul n est orthogonal (ou normal) à un plan si sa direction est une droite orthogonale au plan. Remarque 3.3 Un vecteur non nul n est donc un vecteur orthogonal à un plan P s il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de P. Théorème 3.2 Si (O; i, j, k) est un repère orthonormal, alors le plan P d équation ax + by + cz + d = 0 admet le vecteur n(a; b; c) comme vecteur normal. xemple 3.2 ans un repère orthonormal : le plan P d équation 2x 3y + z + 3 = 0 admet pour vecteur normal n(2; 3; 1) ; le plan Q d équation x + 3z 1 = 0 a pour vecteur normal n (1; 0; 3). 3.3 Plans parallèles Théorème 3.3 Soit P et Q deux plans d équations respectives ax + by + cz + d = 0 et a x + b y + c z + d = 0. a = ka P et Q sont parallèles si et seulement si il existe un réel non nul k tel que : b = kb c = kc Preuve : (dans le cas où (O; i, j, k) est orthonormé) On utilise les vecteurs normaux aux deux plans : les plans sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires ; d où le résultat. Remarque 3.4 ans ce cas, a, b, c et a, b, c sont deux suites proportionnelles. 3.4 Système d équations cartésiennes d une droite Propriété 3.4 Soit M(x; y; z) un point de l espace. M appartient à une droite d de l espace si et seulement si ses coordonnées vérifient un système d équations cartésiennes de la forme : { ax + by + cz + d = 0 a x + b y + c z + d = 0 où a, b, c sont non tous nuls ; de même que a, b et c. es deux suites n étant pas proportionnelles. Preuve :

21 3.4 Système d équations cartésiennes d une droite 21 si d est une droite de l espace, elle est l intersection de deux plans P et Q. onc si M d, alors les coordonnées de M vérifient les équations des deux plans ; réciproquement, si les coordonnées de M vérifient un tel système, alors il appartient aux deux plans ayant pour équations les équations du système. après les hypothèses, ces deux plans ne sont pas parallèles donc ils se coupent suivant une droite d.

22 22 Géométrie spatiale

23 hapitre 4 Graphes. Épisode 2 ans le chapitre 1, nous avons commencé à voir que les graphes permettent de résoudre certains problèmes d organisation de tournois, de détermination de trajets,... ans ce chapitre nous allons nous intéresser à deux domaines où les graphes interviennent : les colorations de cartes ainsi que l orientation, l étiquetage et la pondération des graphes. 4.1 oloration d un graphe L objectif de cette partie est de réussir à déterminer le nombre minimal de couleurs à utiliser pour colorier les sommets d un graphe de sorte que deux sommets adjacents (c est-à-dire ayant une arête les joignant) ne soient pas de la même couleur. e problème est notamment important en Géographie lorsqu il s agit de colorier des pays sur une carte 1 mais aussi en télécommunication pour attribuer des fréquences à des appareils communiquants. e problème est appelé «coloriage d un graphe» ncadrement du nombre chromatique éfinition 4.1 Le nombre chromatique d un graphe G (que nous noterons γ(g)) est le nombre minimal de couleurs nécessaires à son coloriage (en respectant la consigne suivante : deux sommets adjacents ne peuvent être de la même couleur). Propriété 4.1 Il n existe pas de «formule» ou de méthode simple permettant de donner le nombre chromatique d un graphe mais deux résultats permettent d encadrer le nombre chromatique d un graphe G : si est le plus grand degré des sommets du graphe G alors le nombre chromatique est inférieur ou égal à + 1 ; si m est l ordre du plus grand des sous-graphes complets du graphe G alors le nombre chromatique est supérieur ou égal à m. insi on a : m γ(g) Historiquement, c est d ailleurs pour colorier une carte que ce problème est apparu : c est Francis Guthrie, mathématicien Sud-fricain du XIX e siècle qui fut le premier à énoncer le théorème des quatre couleurs affirmant que toute carte peut être coloriée avec quatre couleurs uniquement sans que deux pays ayant une frontière commune soient de la même couleur. Il découvrit ce théorème (qui fut démontré bien plus tard) en tentant de colorier une carte des comtés d ngleterre.

24 24 Graphes. Épisode 2 xemple 4.1 On donne le graphe ci-après (sous le texte). Les sommets et sont les deux sommets ayant le plus grand degré : 4. Par ailleurs, il existe un sous-graphe complet d ordre 3 (F par exemple) et il n en existe pas plus grand que 3 (car alors il faudrait au moins trois sommets de degré supérieur ou égal à 3). On peut donc affirmer que le nombre chromatique γ de ce graphe est compris entre 3 et 5. On cherche donc à colorier ce graphe avec trois couleurs et on obtient le résultat ci-contre ; donc le nombre chromatique de ce graphe est 3. F F lgorithme de Welch-Powell Il n existe pas d algorithme donnant la coloration d un graphe avec le nombre chromatique de couleurs ; nous allons pourtant donner un algorithme permettant de colorier un graphe de façon méthodique. et algorithme est aussi appelé algorithme «glouton» car il est parfois loin de donner un résultat optimal. Pour commencer, il faut ranger les sommets par ordre décroissant de leurs degrés (il peut y avoir plusieurs possibilités...) et ensuite suivre les étapes ci-dessous ntrées : Un graphe G début Ranger les sommets par ordre décroissant de leurs degrés; tant que il reste des sommets non coloriés faire on choisit une couleur non encore utilisée; suivre la liste en attribuant la même couleur au premier sommet non adjacent au précédent; poursuivre en attribuant la même couleur aux sommets non adjacents aux précédents; Sorties : Le graphe est colorié! fin lgorithme 2 : lgorithme de Welch-Powell xemple 4.2 ppliquer l algorithme glouton au graphe ci-dessous : G F H I

25 4.1 oloration d un graphe 25 On regroupe dans le tableau ci-dessous les degrés des différents sommets : Sommet F G H I egré ppliquons l algorithme 2 : 1) on range les sommets par ordre décroissant de leurs degrés et on obtient par exemple : H,,,,, F, G, I, ; 2) on colorie H en bleu ; 3) on ne peut pas colorier et en bleu (adjacents à H), par contre on peut mettre en bleu ; 4) on mettre en bleu ; 5) on ne peut pas mettre F, G et I en bleu (adjacents à H), ni (car il est adjacent à ). On obtient donc : G F H I 6) il nous reste,, F, G, I, ; on choisit une nouvelle couleur : le rouge ; 7) on colorie en rouge de même que, F et (car G et I sont adjacents à ) et on obtient : G F H I 8) finalement il reste G et I qu on peut mettre en vert pour obtenir : G F H I On a donc colorié le graphe à l aide de trois couleurs. On peut remarquer que pour ce graphe on avait = 5 et m = 3 et donc 3 γ 6 : on a trouvé une coloration optimale. xemple 4.3 On a vu sur les deux exemples précédents qu il existe des graphes dont le nombre chromatique est égal à m. Proposer un graphe dont le nombre chromatique est égal à + 1.

26 26 Graphes. Épisode Graphes orientés Parfois, on peut rencontrer des situations où le lien entre deux sommets n est pas symétrique par exemple on s intéresse à un groupe de personnes (les sommets du graphes) et une arête symbolise un lien affectif (déclaré ou non...). On s aperçoit que peut aimer sans que la réciproque soit vraie. ans ce cas on va faire appel à un nouveau type de graphes : les graphes orientés. éfinition 4.2 Un graphe orienté est un graphe dont les arêtes ont un sens : elles ne peuvent être parcourues que d un sommet vers l autre ; dans ce cas, on les appelle aussi arcs. xemple 4.4 u cours d une rencontre sportive, six équipes ont joué chacune trois matches. On donne le tableau des résultats ci-dessous. Représenter cette situation par un graphe où chaque équipe est représentée par un sommet et une arête orientée de vers signifie «l équipe a battu l équipe». On obtient donc le graphe ci-après : match score match score match score F F F F éfinition 4.3 La matrice d un graphe orienté d ordre n est la matrice n n dans laquelle le coefficient de la i e ligne et de la j e colonne est égal au nombre d arêtes allant du sommet i vers le sommet j. Remarque 4.1 ttention, la matrice d un graphe orienté n est pas toujours symétrique (et le plus souvent elle ne l est pas). xemple 4.5 La matrice du graphe orienté de l exemple 4.4 est :

27 4.3 Graphes étiquetés. Graphes pondérés 27 Propriété 4.2 ans un graphe orienté de matrice, le nombre de chemins de longueur n reliant les sommets i à j est égal au coefficient de la i e ligne et de la j e colonne de la matrice n. 4.3 Graphes étiquetés. Graphes pondérés Graphe étiqueté éfinition 4.4 Un graphe orienté est dit étiqueté si chaque arête est affectée d une étiquette par exemple une lettre, un mot, un symbole, une instruction à suivre, un nombre,.... Si toutes les étiquettes sont des nombres positifs, on parle alors de graphe pondéré. éfinition 4.5 On s intéresse à un graphe étiqueté par des lettres et dans lequel un sommet est noté «début» et un autre «fin». On dit qu un mot est reconnu s il existe une chaîne d origine le sommet «début» et d extrémité le sommet «fin» pour laquelle les étiquettes écrites dans l ordre forment le mot considéré. xemple 4.6 On donne le graphe étiqueté ci-après : m t e p u ébut b i Les mots tempu, bbbiou, emmp sont des mots reconnus. Les mots temeio, bem, upet ne le sont pas. e type de graphes sert par exemple à créer des identifiants pour plusieurs utilisateurs utilisant un même système. Remarque 4.2 La matrice du sous-graphe du graphe de l exemple précédent est : M = et M = Il existe donc 88 chemins de longueur 6 pour aller de à donc ce système permet la création de 88 identifiants de six caractères Graphe pondéré éfinition 4.6 On a vu qu un graphe pondéré est un graphe étiqueté dont toutes les arêtes sont des nombres o Fin

28 28 Graphes. Épisode 2 positifs. es nombres positifs sont appelés les poids des arêtes. Le poids d une chaîne est la somme des poids des arêtes qui composent cette chaîne. nfin, la plus courte chaîne entre deux sommets est la chaîne de poids minimal qui joint ces deux sommets. xemple 4.7 On donne le graphe pondéré ci-dessous La plus courte chaîne de vers est la chaîne de poids = lgorithme de Moore-ijkstra Il n est pas toujours aussi facile de trouver la plus courte chaîne que dans l exemple 4.7. Pour trouver cette plus courte chaîne nous allons utiliser un algorithme appelé algorithme de Moore-ijkstra. L objectif est de compléter un tableau où chaque colonne correspond à un sommet du graphe et où sur chaque ligne on indiquera dans certaines colonnes (nous verrons lesquelles après) le couple composé du sommet précédent de la chaîne ainsi que la distance (provisoire ou définitive du sommet de départ au sommet de la colonne) appelée coefficient xemple 4.8 ppliquons cet algorithme au graphe ci-dessous : S Nous cherchons la plus courte chaîne entre les sommets et S : S (; 0) (?; ) (?; ) (?; ) (?; ) (?; ) XXX (; 3) (; 1) (?; ) (?; ) (?; ) XXX (; 2) XXX (; 4) (; 6) (?; ) XXX XXX XXX (; 4) (; 6) (?; ) XXX XXX XXX (; 4) (; 6) (?; ) XXX XXX XXX XXX (; 5) (; 7) XXX XXX XXX XXX XXX (; 6) Finalement la plus courte chaîne a un poids total de 6 et il s agit de S.

29 4.3 Graphes étiquetés. Graphes pondérés ntrées : Un graphe G; Un sommet de départ ; Un sommet d arrivée ; début On écrit sur la première ligne d un tableau les sommets (un par colonne); On attribue au sommet le couple (; 0); On attribue à tous les sommets adjacents à le couple ( ;poids de l arc le reliant à ); On attribue à tous les autres sommets le couple (?; ); On barre le reste de la colonne ; tant que il reste des coefficients inférieurs à celui de, faire choisir parmi les colonnes non barrées un sommet dont le coefficient est minimal, on l appelle S; pour chaque sommet X i adjacent à S, faire calculer s = coefficient de S+ poids de l arc S X i ; si s < coefficient provisoire de X i alors attribuer à X i le couple (S; s) sinon Recopier la case du dessus; barrer le reste de la colonne de S; Sorties : la longueur de la plus courte chaîne est alors le coefficient de ; La plus courte chaîne se lit «à l envers» en partant de et en remontant à chaque étape au sommet précédent; fin lgorithme 3 : lgorithme de Moore-ijkstra Remarque 4.3 ans le tableau obtenu, à chaque ligne, le coefficient correspond au poids de la plus courte chaîne entre le sommet d entrée et le sommet de la colonne (parmi les chemins ne passant que par des sommets «barrés») ; la lettre correspond au sommet précédent de cette plus courte chaîne. insi à chaque étape, on est sûr de lire dans chaque colonne, le poids de la plus courte chaîne pour y parvenir.

30 30 Graphes. Épisode 2

31 hapitre 5 Suites. Épisode xiome de récurrence n mathématiques, on est parfois amené à démontrer une propriété dans laquelle le résultat dépend d un entier n. xemple 5.1 Prenons la propriété suivante : «quelque soit l entier n, la somme des cubes des n premiers entiers naturels est égale au carré de leur somme». On peut facilement vérifier que c est vrai si n = 1, n = 2, n = 3,... voire avec un ordinateur si n = 500 ; mais toutes ces vérifications ne prouvent pas le résultat pour tout n. xiome Si une propriété est vraie pour un entier n 0 fixé et qu il est prouvé que lorsqu elle est vraie pour l entier p n 0 elle est vraie aussi au rang p + 1, alors elle est vraie pour tous les entiers supérieurs ou égaux à n 0. e sont Peano ( ) et Poincaré ( ) mathématiciens italiens et français qui ont posé cet axiome de récurrence. Remarque 5.1 La démonstration d une propriété P par cet axiome comporte donc trois étapes : L initialisation : montrer que la propriété est vraie au rang n 0 : on écrit P n0 est vraie ; L hérédité : prendre pour hypothèse qu elle est vraie à un rang n n 0 quelconque (on suppose que P n est vraie) et montrer qu elle est alors vraie au rang p + 1 (on montre que P n+1 est vraie) ; La conclusion : conclure à l aide de l axiome de récurrence. xemple 5.2 ssayons de comparer pour n N les réels a n = ( n 5 4) et bn = 1 + n. On peut commencer par 4 calculer les valeurs de ces deux nombres pour les premiers entiers : n a n = 1, , , ,44 b n = 1, = 1,5 7 4 = 1,75 2

32 32 Suites. Épisode 2 Il semblerait que pour tout n N on ait a n b n. Nous pouvons le constater pour quelques valeurs de n mais pas pour toutes celles-ci. Pour démontrer ce résultat nous allons utiliser un raisonnement par récurrence. Pour n N appelons P n la proposition «a n b n». Nous allons passer par les trois étapes du raisonnement par récurrence : L initialisation : on a P 0 vraie car a 0 = b 0 = 1 donc a 0 b 0. L hérédité : on fait l hypothèse que pour un n fixé la proposition P n est vraie (c est-à-dire que pour ce n on a a n b n ). Montrons qu alors pour ce n la proposition P n+1 est vraie aussi (c est-à-dire que a n+1 b n+1 = 1 + n+1). 4 ) n 1 + n 4 On sait que a n b n donc ( 5 4 par 5 > 0 on obtient : 4 ( 5 t donc : 4. Multiplions les deux membres de cette inégalité ) n 5 ( n ) ( ) 5 n+1 ( ) + n ( ) = 1 + n n Or 1 + n+1 + n = b 4 16 n+1 + n donc a 16 n+1 b n+1. La conclusion : donc, d après l axiome de récurrence, on peut affirmer que pour tout n N la proposition P n est vraie. Remarque 5.2 Le raisonnement par récurrence nous permettra souvent de démontrer qu une suite est majorée ou minorée. Il permet aussi parfois d étudier les variations d une suite. 5.2 Suite convergente. Suite divergente Trois exemples xemple 5.3 Soit u la suite définie par u n1+ = 5 0,8u n et u 0 = 5. alculer les premiers termes de la suite u à l aide de la calculatrice. Que peut-on conjecturer à propos des termes de cette suite lorsque n prend des valeurs de plus en plus grandes? xemple 5.4 Soit v la suite définie par v n = f (n) où f (x) = x2 +1. x+2 alculer les premiers termes de la suite v à l aide de la calculatrice. Que peut-on conjecturer à propos des termes de cette suite lorsque n prend des valeurs de plus en plus grandes? xemple 5.5 Soit w la suite définie par w n = ( 2) n. alculer les premiers termes de la suite w à l aide de la calculatrice. Que peut-on conjecturer à propos des termes de cette suite lorsque n prend des valeurs de plus en plus grandes? Suite convergente éfinition 5.1 On dit qu une suite u est convergente vers un réel l si tous les termes de la suite à partir d un

33 5.3 Propriétés de convergence 33 certain rang peuvent être aussi proches que voulu de l. On écrit : Suite divergente lim u n = l n + éfinition 5.2 On dit qu une suite est divergente si elle n est pas convergente. Remarque 5.3 Si une suite est divergente, elle peut soit avoir une limite infinie (si tous les termes de la suite peuvent dépasser n importe quel nombre à partir d un certain rang), soit ne pas en avoir du tout. ans le premier cas, on écrit : lim u n = + ou lim u n = n + n Propriétés de convergence Règles opératoires Propriété 5.1 Les propriétés sur les limites de sommes, produits, quotients,... de suites sont les mêmes que pour les fonctions (voir le cours d enseignement général). xemple 5.6 Soit u la suite définie pour n N par u n = 2n2 +3n 5. n 2 +4 La suite u est un quotient de deux expressions polynomiales. La limite de la suite u lorsque n tend vers + est donc la limite du quotient simplifié des termes de plus haut degré : Suites arithmétiques lim u 2n 2 n = lim = 2 n + n + n 2 Propriété 5.2 Soit uune suite arithmétique de raison r. lors : si r > 0 alors u diverge vers + ; si r < 0 alors u diverge vers Suites géométriques Propriété 5.3 Soit u une suite géométrique de raison q et de premier terme non nul. lors : si 1 < q < 1 alors u converge vers 0 ; si q = 1 alors u est constante donc convergente vers u 0 ; si q 1 alors u est divergente sans limite ; si q > 1 alors u est divergente vers sgn(u 0 ).

34 34 Suites. Épisode 2

35 hapitre 6 Fonctions de deux variables 6.1 Introduction Rappel : une fonction f d une variable x permet d associer à chaque nombre x un autre nombre noté f (x). On peut envisager d associer à deux variables x et y, un seul autre nombre qu on peut noter f (x; y). On dit alors que f est une fonction de deux variables. xemple 6.1 On considère un rectangle de largeur x et de longueur y. À ces deux nombres on peut associer l aire du rectangle. e nombre dépend à la fois de x et de y. On écrit donc : (x; y) = x y On pourrait aussi définir la fonction p qui à x et y associe le périmètre du rectangle. On a alors : p(x; y) = 2(x + y) xemple 6.2 ans un magasin, on vend des crayons à 1 e et des cahiers à 2 e. Le prix à payer pour l achat de x crayons et y cahiers est une fonction des deux variables x et y et on a pour x et y positifs ou nuls f (x; y) = x + 2y. xemple 6.3 À chaque couple de réels (x; y), on associe le réel f (x; y) = x 2 + y alculer f (x; y) si x = 3 et si y = alculer f (2; 3). 3. Trouver les valeurs de x pour lesquelles f (x; 3) = 5. Réponses : 1. Si x = 3 et y = 1 alors f (x; y) = f ( 3; 1) = ( 3) = f (2; 3) = = On a : f (x; 3) = 5 x = 5 x = 25 car ces nombres sont positifs x 2 = 16 x = 4 ou x = 4

36 36 Fonctions de deux variables 6.2 Surface d équation z = f (x; y) À chaque couple (x; y), une fonction de deux variables f associe un nombre noté f (x; y). n notant z ce nombre f (x; y), on obtient un triplet (x; y; z) auquel on peut associer un point M de l espace. L ensemble des points M de coordonnées (x; y; f (x; y)) est appelée la surface d équation z = f (x; y). xemple 6.4 n reprenant la fonction de deux variables de l exemple 6.3, on obtient la surface suivante : xemple 6.5 On considère la fonction f de deux variables définie par f (x; y) = x 2 +y 2. La surface d équation z = f (x; y) est appelée paraboloïde. lle est tracée ci-dessous : 6.3 ourbes de niveau éfinition 6.1 L intersection entre une surface d équation z = f (x; y) et le plan d équation z = λ est appelée courbe de niveau λ de la fonction f.

37 6.4 Optimisation sous contrainte linéaire 37 xemple 6.6 n reprenant l exemple 6.5 on trace le plan d équation z = 5, on obtient la courbe de niveau 5 dont deux vues sont représentées ci-dessous : Remarque 6.1 Sur une carte de géographie, les courbes de niveau sont les lignes reliant les points ayant la même altitude. 6.4 Optimisation sous contrainte linéaire On considère une fonction de deux variables représentée par la surface S d équation z = f (x; y) dans un repère de l espace. Il arrive que des contraintes sur les variables x et y apparaissent. Lorsque la contrainte est de la forme ax + by = d elle se représente par un plan parallèle à l axe (Oz). On peut alors écrire une variable en fonction de l autre par exemple sous la forme y = mx + p. L expression de f (x; y) peut alors se faire uniquement en fonction de x (en remplaçant y par mx + p) : on obtient f (x; y) = g(x). Rechercher l optimisation de f sous cette contrainte c est alors rechercher les extrema de g en fonction de x. xemple 6.7 Pour x [0; 8] et y [0; 10] on donne la fonction «coût marginal» d une production dépendant de deux paramètres x et y : f (x; y) = 2x 2 12x + y 2 8y + 40 Une contrainte de production impose 2x + y = 12. éterminer le couple (x 0 ; y 0 ) pour lequel le coût marginal sous la contrainte imposée est minimal. Réponse : n prenant y = 2x + 12 on obtient f (x; 2x + 12) = 6x 2 44x + 88 = g(x). g est dérivable sur [0; 8] (fonction polynôme) et pour x [0; 8] on a g (x) = 12x 44. Le minimum (g étant une fonction polynôme de degré 2 de coefficient a = 6 > 0, elle admet un minimum) de g est donc atteint pour x 0 = 44 = 11 et on a alors y = Le coût marginal minimum est alors f ( 11; ) = g( ) = Interprétation graphique : Sur la figure ci-après la surface S est représentée en bleu et le plan P est le plan d équation 2x + y = 12.

38 38 Fonctions de deux variables Le coût marginal sous la contrainte est minimal pour le point de l intersection de S et P de côte la plus petite possible.