Utilisation du théorème de Gauss

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1 Utilisation du théorème de Gauss Table des matières 1 Méthode générale 1 2 Plan infini uniformément chargé Invariances et symétries Calcul du champ électrique Calcul du potentiel Application au condensateur plan Primitives utiles pour les calculs de potentiel Distribution cylindrique de charge 5.1 Invariances Calcul du champ électrique Distributions de charges à symétrie cylindrique Cylindre infini uniformément chargé en volume Cylindre infini uniformément chargé en surface Fil infini Distribution quelconque Distribution sphérique de charge Invariances Calcul du champ électrique Distributions de charges à symétrie sphérique Charge ponctuelle Sphère uniformément chargée en surface Sphère uniformément chargée en volume Distribution quelconque Exercice Méthode générale 1. Identifier les invariances. En déduire le système de coordonnées à utiliser et de quoi dépend le potentiel électrique V. Utiliser la formule du gradient dans le système de coordonnées utilisé pour déterminer la direction du champ électrique E. 2. Calculer le flux du champ électrique au travers d une surface fermée bien choisie. Déterminer la charge contenue dans cette surface. Appliquer le théorème de Gauss pour déterminer la norme du champ électrique. On connaît maintenant la direction et la norme du champ électrique. 3. Intégrer la norme du champ électrique pour trouver la valeur du potentiel, à une ou plusieurs constantes près. Si possible, imposer que le potentiel soit nul à l infini. Sinon, donner une valeur arbitraire au potentiel à un certain point. En déduire une des constantes. Si il y a d autres constantes, les déterminer en utilisant le fait qu un potentiel électrique est toujours continu. 1

2 2 Plan infini uniformément chargé z y x σ 2.1 Invariances et symétries Le système est invariant par translation selon x et y, donc V = V (z). E = grad(v ) = V x u x V y u y V z u z = V z u z = E(z) u z. E(z) = E(z) u z avec E(z) = dv dz Le système est invariant par réflexion selon le plan (xoy), donc E( z) = E(z). 2.2 Calcul du champ électrique La surface à utiliser est un parallèlépipède rectangle de hauteur h et de surface S. n S h n n n n σ Sur les faces latérales, n et E sont orthogonaux, donc E d 2 S = 0. n Sur la face supérieure, E = E(h) = E(h) u z et n = u z. Par conséquent, E d 2 S = E(h)d 2 S. h est constant sur toute la surface, donc le flux faux SE(h). Sur la face inférieure, E = E( h) = E(h) = E(h) u z et n = u z. Par conséquent, E d 2 S = E(h)d 2 S. h est constant sur toute la surface, donc le flux vaut SE(h). Le flux total de E au travers du parallèlépipède vaut donc φ = Σ E d 2 S = 2SE(h). La charge contenue dans le parallèlépipède vaut σs. D après le théorème de Gauss : Σ E d 2 S = Q int 2

3 Finalement : 2SE(h) = σs E(h) = σ E(z) = σ u z si z > 0 σ u z si z < Calcul du potentiel Donc : E(z) u z = dv dz u z V (z) = V (z) = σ z + C si z > 0 σ z + C si z < 0 E(z)dz Le potentiel tend vers l infini quand z tend vers l infini. On ne peut donc pas imposer un potentiel nul à l infini. On peut par exemple imposer un potentiel V 0 sur la plaque. Dans ce cas V (0) = C = C = V 0. Donc : V (z) = 2. Application au condensateur plan V 0 z σ si z 0 V 0 + z σ si z 0 Souvent on utilise des plaques de surface S supposées infinies (approximation) pour faire des condensateurs plans. Dans ce cas le champ électrique est la somme du champ créé par les deux plaques et ont fixe la différence de potentiel entre les plaques : σ Au dessus des plaques : E = σ u z + σ u z = 0 V + l σ u z Entre les plaques : E = σ u z + σ u z = σ u z V Sous les plaques : E = σ u z σ u z = 0 Entre les plaques : V (z) = E(z)dz = σ z + K où K est une constante d intégration. On peut se débarrasser de cette constante en soustrayant les potentiels : V + V = V (z + ) V (z ) = σ (z + z ) = σ l Si les armatures sont de surface S, on a Q = σs, la charge portée par l armature positive. On cherche à calculer C, la capacité du condensateur, telle que Q = CV avec V = V + V. 3

4 C = Q V + V = σs = S σl/ l On trouve une relation entre la surface du condensateur plan, l écartement entre ses armatures et sa capacité : C = S l 3 Primitives utiles pour les calculs de potentiel Le champ électrique est souvent «en r», «en 1/r» ou «en 1/r 2». Voilà pourquoi il est utile de connaître les primitives suivantes. Ici A est une constante et C une constante d intégration. A r 2 dr = A r + C A dr = A (r) + C r Adr = Ar + C Ardr = Ar2 2 + C

5 Distribution cylindrique de charge Exemple : cylindre infini. z x y.1 Invariances Le système est invariant par translation selon z et par rotation autour de (Oz), donc on utilise les coordonnées cylindriques et V = V (r). E = gradv = V r u r 1 V r θ u θ V z u z = V r u r = E(r) u r.2 Calcul du champ électrique E(r) = E(r) u r avec E(r) = dv dr La surface à utiliser est un cylindre fermé de hauteur h et de rayon R. Face latérale d 2 S = rdθdz u r avec r = R, z [z 0, z 0 + h] et θ [0, 2π]. Le flux de E au travers de la face latérale vaut : φ lat = lat E(R) 2π z0 d 2 +h 2π z0 +h S = (E(R) u r ) (Rdθdz u r ) = RE(R) dθdz = 2πRhE(R) 0 z 0 0 z 0 Face supérieure Face inférieure d 2 S = rdrdθ u z donc E d 2 S = 0, donc φ sup = 0. d 2 S = rdrdθ u z donc E d 2 S = 0, donc φ inf = 0. Le flux de E au travers du cylindre fermé vaut : φ(r, h) = E d 2 S = φ lat + φ inf + φ sup = 2πRhE(R) cyl(r,h) Soit Q int (R, h) la charge contenue à l intérieur du cylindre fermé. D après le théorème de Gauss, on a : φ(r, h) = Q int(r, h) 5

6 Par conséquent : 2πRhE(R) = Q int(r, h) Q int(r, h) 2πrh Cette formule est valable pour toutes les distributions de charges à symétrie cylindrique..3 Distributions de charges à symétrie cylindrique.3.1 Cylindre infini uniformément chargé en volume Soit un cylindre infini de rayon R, uniformément chargé avec une densité volumique de charge ρ. Q int (r, h) = πr 2 hρ πr 2 hρ Par conséquent : E(r)dr = Si on impose le potentiel V = V 0 à r = r 0 avec r 0 > R. rρ R 2 ρ r r2 ρ + C 1 R2 ρ (r) + C 2 V 0 = V (r 0 ) = R2 ρ (r 0 ) + C 2 C 2 = V 0 + R2 ρ (r 0 ) ( ) Donc pour r R, R2 ρ (r) + C 2 = R2 ρ (r) + R2 ρ (r 0 ) + V 0 = R2 ρ r0 + V 0 r Par continuité, lim r R V (r) = lim r R + V (r). R2 ρ + C 1 = R2 ρ Donc pour r R, r2 ρ + R2 ρ Finalement : ( ) r0 + V 0 C 1 = R2 ρ R ( ) r0 + R2 ρ + V 0 R ( ) [ r0 + R2 ρ + V 0 = V 0 + ρr R ( ) ] r0 r2 R R 2 V (r) = [ V 0 + ρr ( r 0R ) ] r 2 R 2 V 0 + R2 ρ ( r 0r ) 6

7 .3.2 Cylindre infini uniformément chargé en surface Soit un cylindre infini de rayon R, uniformément chargé avec une charge par unité de surface σ. Par conséquent : 0 Q int (r, h) = 2πRhσ 0 si r < R si r > R E(r)dr = Si on impose le potentiel V = V 0 à r = r 0 avec r 0 > R. V 0 = V (r 0 ) = σr Donc pour r R, σr Par continuité, lim r R V (r) = lim r R + V (r). Finalement : V (r) = C 1 σr r σr (r) + C 2 (r 0 ) + C 2 C 2 = V 0 + σr (r 0 ) (r) + σr C 1 = V 0 + σr V 0 + σr ( r 0R ) V 0 + σr ( r 0r ) (r 0 ) + V 0 = V 0 + σr ( ) r0 R ( ) r0 r.3.3 Fil infini Soit un fil infini, de charge linéique (charge par unité de longueur) uniforme λ. Par conséquent : Q int (r, h) = λh Si on impose le potentiel V = V 0 à r = r 0. λ 2π r E(r)dr = λ (r) + C 2π V 0 = V (r 0 ) = λ (r 0 ) + C C = V 0 + λ (r 0 ) 2π 2π 7

8 Finalement : Donc λ (r 0 ) + 2π.3. Distribution quelconque V (r) = V 0 + λ 2π (r 0 ) + V 0 = V 0 + λ ( ) r0 2π r λ 2π ( ) r0 r Soit une distribution à symétrie cylindrique où la densité volumique de charge est définie en tout point de l espace par une fonction ρ(r). Q int (r, h) = cyl(r,h) r ρ(r)d 3 V = 2πh r ρ(r )dr 0 r 0 r ρ(r )dr E(r)dr r 8

9 5 Distribution sphérique de charge Exemple : sphère. z x y 5.1 Invariances Le système est invariant par rotation autour de l origine O du repère, donc on utilise les coordonnées sphériques et V = V (r). E = gradv = V r u r 1 V r θ u θ 1 V r sin θ φ u φ = V r u r = E(r) u r 5.2 Calcul du champ électrique E(r) = E(r) u r avec E(r) = dv dr La surface à utiliser est une sphère de centre O et de rayon r. d 2 S = r sin θdθdφ u r avec r constant, θ [0, π] et φ [0, 2π]. Le flux de E au travers du cylindre fermé vaut : φ(r) = sph(r) E 2π π d 2 S = (E(r) u r ) (r sin θdθdφ u r ) = p ir 2 E(r) 0 0 Soit Q int (r) la charge contenue à l intérieur de la sphère de rayon r. D après le théorème de Gauss, on a : Par conséquente : φ(r) = Q int(r) πr 2 E(r) = Q int(r) Q int(r) π r 2 Cette formule est valable pour toutes les distributions de charges à symétrie sphérique. 9

10 5.3 Distributions de charges à symétrie sphérique Charge ponctuelle Soit une charge ponctuelle q située à l origine O du repère. Par conséquent : Q int (r) = q E(r)dr = Si on impose que le potentiel soit nul à l infini : q π r 2 q π r + C On a donc : lim V (r) = C = 0 C = 0 r V (r) = q π r Sphère uniformément chargée en surface σ. Soit une sphère de rayon R, uniformément chargée en surface avec une densité surfacique de charge Q int (r) = 0 si r < R πr 2 σ si r > R Par conséquent : 0 si r < R si r > R E(r)dr = Si on suppose que le potentiel est nul à l infini : Le potentiel doit être continu en R : C 1 R 2 σ r 2 R 2 σ r + C 2 lim V (r) = C 2 = 0 r Finalement : lim V (r) = lim V (r) C r R + r R 1 = R2 σ R 10

11 V (r) = Rσ R 2 σ r Sphère uniformément chargée en volume Soit une sphère de rayon R uniformément chargée avec une densité volumique de charge ρ. Par conséquent : Q int (r) = Si on impose un potentiel nul à l infini : Le potentiel doit être continu en R : lim r R Finalement : E(r)dr = V (r) = lim V (r) ρr2 + r R 6 V (r) = 3 πr3 ρ 3 πr3 ρ rρ 3 R 3 ρ 3 r 2 ρr2 6 + C 1 R 3 ρ 3 r + C 2 lim V (r) = C 2 = 0 r + C 1 = R3 ρ 3 R C 1 = R3 ρ 3 R + ρr2 6 ( ) ρr 2 1 r2 3R 2 R 3 ρ 3 r = ρr Distribution quelconque Soit une distribution à symétrie sphérique où la densité volumique de charge est définie en tout point de l espace par une fonction ρ(r). Q int (r) = cyl(r,h) r ρ(r)d 3 V = π r 2 ρ(r )dr 0 r 0 r 2 ρ(r )dr E(r)dr r 2 11

12 5. Exercice ρ 2 ρ 1 R 1 R 2 R 2 La figure ci-dessus représente un système vu en coupe. Donner Q int (r) dans le cas où il s agit d une distribution à symétrie sphérique et Q int (r, h) dans le cas où il s agit d une distribution à symétrie cylindrique. Pour rappel, le volume d une sphère vaut 3 πr3 et le volume d un cylindre vaut πr 2 h (surface de la base fois la hauteur). ρ 1 et ρ 2 sont des densités volumiques de charge (charge par unité de volume). σ 3 σ 2 σ 1 R 1 R 2 R 3 Même chose avec la figure ci-dessus. Pour rappel, la surface d une sphère vaut πr 2 et la surface de la face latérale d un cylindre faut 2πrh (le périmètre fois la hauteur). σ 1, σ 2 et σ 3 sont des densités surfaciques de charge (charge par unité de surface). Réponses à la page suivante. 12

13 Première figure, avec une symétrie sphérique : 3 πr3 ρ 1 1 Q int (r) = 3 πr3 1 ρ 1 si R 1 r R 2 3 πr3 1 ρ π(r3 R 3 2 )ρ 2 si R 2 r R 2 3 πr3 1 ρ π(r 3 2 R3 2 )ρ 2 2 Première figure, avec une symétrie cylindrique : πr 2 hρ 1 1 Q int (r, h) = πr 2 1 hρ 1 si R 1 r R 2 πr 2 1 hρ 1 + πhρ 2 (r 2 R 2 2 ) si R 2 r R 2 πr 2 1 hρ 1 + πhρ 2 (R 2 2 R2 2 ) 2 Deuxième figure, avec une symétrie sphérique : 0 si r < R 1 Q int (r) = πr 2 1 σ 1 si R 1 < r < R 2 π(r 2 1 σ 1 + R 2 2 σ 2) si R 2 < r < R 3 π(r 2 1 σ 1 + R 2 2 σ 2 + R 2 3 σ 3) si r > R 3 Deuxième figure, avec une symétrie cylindrique : 0 si r < R 1 Q int (r) = 2πR 1 hσ 1 si R 1 < r < R 2 2πh(R 1 σ 1 + R 2 σ 2 ) si R 2 < r < R 3 2πh(R 1 σ 1 + R 2 σ 2 + R 3 σ 3 ) si r > R 3 Remarque : Q int n est pas défini sur les surfaces chargés à cause de la discontinuité. Le champ E résultant est donc lui aussi discontinu. Le champ V est lui toujours continu. On trouve sa valeur aux sur les surfaces chargées avec un «prolongement par continuité». 13

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