DNS-3 À rendre le 22 février 2016

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1 DNS-3 /5 DNS-3 À rendre le 22 février 26 I Drapeau de Dijkstra On dispose de N boules numérotées et colorées noires et blanche alignées dans un ordre quelconque. On souhaite regrouper les boules de même couleur par échanges successifs. Il faut ne tester qu une fois la couleur d une boule. On représente une boule par une liste à deux éléments : le premier étant la chaîne "N" ou "B" indiquant la couleur et le second le numéro de la boule. L alignement de boules est alors représenté par une liste. Par exemple la liste [["N", ], ["B", 3], ["B", ], ["B", 2], ["N", 6], ["N", 5], ["B", 4]] Correspond à l alignement N,B 3,B,B 2,N 6,N 5,B 4. Les numéros de boules sont donnés en indice.. Écrire une fonction echanger(l,i,j) qui échange les éléments i et j de la liste L. on suppose qu on a une fonction estnoire(b) qui renvoie le booleen True lorsque la boule b est noire et False sinon. Jaques a écrit une fonction drapeau(l) qui regroupe les boules de la liste L (de longueur n). Il déclare que cette fonction utilise une boucle et que l invariant de cette boucle est : pour tout i tel que apple i<i inf,couleur(l[i]) = Noir, pour tout j tel que i sup <j<n,couleur(l[i]) = Blanc et i inf apple i sup. et que la condition de sortie est i inf = i sup. 2. Quelles variables faut il initialiser? 3. Écrire la fonction drapeau(l) 4. Même question avec trois couleurs (par exemple Noir, Gris et Blanc). II Soient n et p deux entiers supérieurs ou égaux à. On note M n,p (R) ler-espace vectoriel des matrices à coe cients réels ayant n lignes et p colonnes. Lorsque n = p, M n,n (R) estnotéplussimplementm n (R) etestmunidesastructured algèbre,i n représentant la matrice identité. GL n (R) désignel ensembledesmatricesinversiblesdem n (R) ets n (R) l ensemble des matrices symétriques de M n (R).

2 DNS-3 2/5 Tout vecteur x =(x i ) appleiapplen de R n est identifié à un élément X de M n, (R) telque l élément de la i e ligne de X soit x i.danslasuite,nousnoteronsindi éremment X =(x i ) appleiapplen un élément de M n, (R) aussibienquelevecteurder n auquel il est associé. Pour A =(a i,j ) appleiapplen dans M n,p (R) etx =(x i ) appleiapplep dans R p,onnote(ax) i le applejapplep coe cient de la i e ligne de AX. Selon le contexte, désigne soit le réel nul soit la matrice nulle de M n (R), soit encore la matrice nulle de M n, (R). R n est muni de son produit scalaire canonique noté h i et de la norme associée notée k k. Une matrice symétrique S de S n (R) estditepositivesietseulementsi: 8X 2M n, (R), t XSX et définie positive si et seulement si : 8X 2M n, (R), t XSX > On note S n + (R) l ensemble des matrice symétriques réelles positives et S n ++ (R) l ensemble des matrice symétriques réelles définies positives. Partie A. Soit (X, Y ) 2 (M n, (R)) 2 et S 2S n (R). Justifier les égalités : a) t XY = t YX = hx, Y i. b)( t XY ) 2 = t X(Y t Y )X = t Y (X t X)Y. c) t XSY = hx SY i = hsx Y i. 2. Démontrer les propriétés suvantes : a)8(s,s 2 ) 2 (S n + (R)) 2, S + S 2 2S n + (R). b)8(s,s 2 ) 2S n + (R) S n ++ (R), S + S 2 2S n ++ (R). c) 8A 2M n (R), t AA 2S n + (R). 3. a)soit S 2S n (R) vérifiant:8x 2M n, (R), t XSX =.Montrerquetoutevaleur propre de S est nulle et en déduire que S =. b)donner un exemple de matrice carrée M d ordre 2, non nulle et vérifiant : 8X 2M n, (R), t XMX =. 4. a)soit S 2S n (R). Montrer que S appartient à S + n (R) si et seulement si toutes ses valeurs propres sont positives. b)que peut-on dire d une matrice symétrique réelle semblable à une matrice symétrique réelle positive?

3 DNS-3 / I DNS-3 Indications / Commentaires Wiki, wiki, wiki! Je mettrai en ligne un fichier python contenant les fonction à utiliser et des exemples. II Partie A. Justifier! Presque rien à dire : tout est dit dans le préambule. 2. Utiliser la définition. 3. a)vu en cours : travailler la démo. b)écrire le membre de gauche pour une matrice quelconque et voir ce qu on peut imaginer pour les coe cients de M. c) Si S semblable à S que dire des valeurs propres de S et S? Utiliser le a. 4. a)reformuler le. OnaditSIMPLE b)prendre des matrices diagonales. 5. a)le texte au dessus y dit quoi quand on passe aux matrices? b)diagonaliser B et vérifier que la matrice de passage marche aussi pour A. 6. Utiliser le 6 puis utiliser le 4a. 7. a)utiliser le 6... b)calculer S S 2 et S 2 S2.Conclure. 2 Partie B. Beaucoup à déjà été fait avec le 4 et le cours. La seule chose à voir c est : pourquoi inversible? 2. Calculs! 3. (et les suivantes) Pour se dépasser! Ceci dit 3 est une vision un peu di érente de Gram-Schmidt.

4 DNS-3 3/5 On munit S n (R) desrelationsnotées et,définiesrespectivementpar: 8(S,S 2 ) 2 (S n (R)) 2, S S 2 () S S 2 2S + n (R) et 8(S,S 2 ) 2 (S n (R)) 2, S S 2 () S S 2 2S n ++ (R) 5. a)donner une condition nécessaire et su sante sur S 2S n (R) pour que S. b)trouver un exemple dans S 2 (R) montrantques S 2 et S 6= S 2 n implique pas nécessairement S S 2. On admet que si f et g sont deux endomorphismes diagonalisables de R n vérifiant f g = g f alors il existe une base B de R n telle que les matrices de f et g dans cette base soient toutes deux diagonales. 6. a)soient A et B deux matrices de M n (R) diagonalisablesetvérifiantab = BA. Montrer qu il existe P 2GL n (R) tellequep AP et P BP soient toutes deux diagonales. b)on donne les matrices A et B suivantes : A A, B A Montrer que A et B sont diagonalisables au moyen d une même matrice de passage et déterminer explicitement cette matrice. 7. Soit (S,S 2 ) 2 (S + n (R)) 2 tel que S S 2 = S 2 S.MontrerqueS S 2 2S + n (R). 8. a)soit (S,S 2 ) 2 (S + n (R)) 2 tel que S S 2 = S 2 S.. Montrer que : S S 2 ) S 2 S2. 2 3/2 b)montrer que les matrices S = et S 2 = 3 Vérifient-elles S 2 S2 2? vérifient S 2 S. Partie B. Soit S 2S n (R). Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes : a)s est définie positive. b)toutes les valeurs propres de S sont strictement positives. c) Il existe M 2GL n (R) telleques = t MM. d)s est positive et inversible. Très simple.

5 DNS-3 4/5 2. Soient A n et B n les matrices de S n (R) donnéespar: B n =, A n =2I n B n C A a)montrer que pour tout vecteur X =(x i ) appleiapplen de R n : Xn t XAX = x 2 + (x i x i+ ) 2 + x 2 n b)en déduire que A n est définie positive. c) En cherchant une matrice M n de la forme : u v.... u 2 v 2... M n = C... un v n A u n i= déterminer explicitement M n telle que A n = t M n M n. 3. Soit S 2S ++ n (R) etm 2GL n (R) tellesques = t MM.OnnoteU =(U,U 2,...,U n ) la famille des vecteurs colonnes de M. Pouri 2{, 2,...,n} et x 2 R n,onnotep i (x) la projection orthogonale de x sur vect {U,U 2,...,U i }. a)justifier que U est une base R n. b)on définit la famille V =(V,V 2,...,V n )parlesrelations: V = U et 8i 2{2,...,n},V i = U i p i (U i ) Montrer que la famille V est orthogonale et que c est une base de R n. c) Soit W =(W,W 2,...,W n ) la famille de vecteurs de R n définie par W i = kv i k V i. W est alors une base orthonormée de R n.montrerquelamatricedepassagedela base W à l a b a s eu est triangulaire supérieure. d)soit P la matrice de passage de la base canonique de R n à l a b a s ew. Montrerque M peut s écrire M = PT où T est une matrice triangulaire supérieure inversible et qu alors S = t TT e) Montrer que la matrice S 2 2 A admet une décomposition de la forme 2 3 S = t TT où T est triangulaire supérieure inversible et en déduire que S est symétrique définie positive.

6 DNS-3 5/5 c 4. a)soit A = 2S c b 2 (R). Déterminer X 2M 2, (R) \{} tel que t XAX =. a c b)soit A = 2S c b 2 (R). Montrer que A est définie et positive si et seulement si (tr(a) > etdet(a) > ) ce qui équivaut encore à (a >etab c 2 > ). c) Soit S 2S n (R), n 2. On décompose S sous la forme : S = a t V V S, a 2 R, V2M n, (R), S 2S n (R) x en écrivant X 2M n (R) souslaforme, x 2 R, X 2M X n, (R), montrer que pour a 6= : " t XSX = a x + # 2 t VX + t X (as V t V )X a a 2 et en déduire que S est définie positive si et suelement si (a >etas V t V est définie positive). d)en gardant les notations de la question précédente, on peut alors construire par récurrence une suite de réels (a i ) appleiapplen et une suite de matrices (S i ) appleiapplen comme suit. On pose d abord : S = S, a = a, V = V, S = S,S 2 = a S V t V Si n 3, on décompose S 2 sous la forme :! S 2 = a 2 t V 2 V 2 S 2, a 2 2 R, V 2 2M n 2, (R), S 2 2S n 2 (R) On pose à nouveau S 3 = a 2 S2 V t 2 V 2 et on itère le processus précédent. On obtient ainsi une suite de matrices symétriques réelles (S i ) appleiapplen où S i est d ordre n + i et un suite de réels (a i ) appleiapplen liés par les relations :! 8i 2{, 2,...,n },S i = a i V i t V i S i,s i+ = a i S i V i t V i Le processus s arrête pour i = n car S n est alors d ordre et S n (a n ). Monter que S est définie positive si et seulement si tous les réels de la suite (a i ) appleiapplen sont strictement positifs. a d e e) Soit S d b fa 2S 3 (R). Selon les notations précédentes, déterminer explicitement les réels a, a 2, a 3 associés à cette matrices S et en déduire que S est définie e f c positive si et seulement si : a>, a d e a d d b >, d b f > e f c