Globalisation de l Algorithme de Nelder-Mead : Application aux Composites

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1 INSA de Rouen LMR - Laboratore de Mécanque UMR 638 Rapport Technque : Globalsaton de l Algorthme de Nelder-Mead : Applcaton aux Compostes Marco Antôno Luersen, Doctorant au LMR Rodolphe Le Rche, Chargé de Recherche CNRS Décembre 00

2 Globalsaton de l Algorthme de Nelder-Mead : Applcaton aux Compostes - Introducton Ce rapport présente une méthode d'optmsaton globale basée sur l'algorthme de Nelder-Mead. La méthode orgnale s'applque à des problèmes sans bornes, et elle s arrête quand un mnmum local est trouvé. Un attrbut de l'algorthme de Nelder-Mead est qu'l et d'ordre zéro, c'est-à-dre, l ne requert pas de calcul de gradent. Or le calcul de sensbltés est souvent une étape laboreuse et délcate dans les modèles de systèmes physques complexes. Le second avantage de Nelder-Mead est d'être une méthode rapde est robuste, relatvement aux méthodes d'ordre zéro. Par exemple, les algorthmes génétques présentent une perte d effcacté quand on a beson de résultats précs (Renders & Bersn, 994). La concepton de structures compostes se dstngue par la présence de contrantes d'optmsaton et de nombreux optma locaux. Ce pourquo, dans ce traval, on modfe Nelder- Mead pour en fare une méthode globale, d'ordre zéro avec varables bornées. La secton est consacrée à la descrpton de la méthode mse en œuvre. Des exemples avec certanes fonctons analytques ans que des applcatons aux compostes sont présentés dans la secton 3.

3 3 Un algorthme type Nelder-Mead globalsé et à domane borné. L'algorthme de Nelder-Mead La méthode de mnmsaton de Nelder-Mead est basée sur la comparason des valeurs de la foncton dans les (n+) sommets d'un smplexe général. Le smplexe se modfe à travers les opératons de réflexon, d'expanson et de contracton, en changeant le sommet avec la plus grande valeur de la foncton coût par un autre pont de valeur plus pette (Nelder & Mead, 965). La Fgure montre l'organgramme de la méthode classque. Le premer sommet du smplexe ntal (pont ntal) peut être fourn par l'utlsateur. Les autres sommets peuvent être défns à partr de celu, en sommant une longueur en chaque drecton des n coordonnées : x,..., n x 0 a e () où x 0 est le pont ntal, a la talle ntale, et e le vecteur de la base canonque dans la e drecton. Dans Haftka & Gürdal (993) est suggérée l'équaton suvante pour postonner les sommets d'un smplexe de talle a et pont ntal x 0 : n x x0 p e q e l k k k,..., n () avec p a nn et q a n (3) n n

4 4 Fgure : Organgramme de la méthode de Nelder-Mead classque.. Prse en compte des bornes La majorté des problèmes de concepton en mécanque ont des varables bornées. Pour leur applquer la méthode de Nelder-Mead l faut trater les ponts qu sortent des bornes. Pour ces ponts là, on fat une projecton sur les bornes. Pour =,.., n, le projeté p x de x sur les bornes est défnt par :

5 5 S ( x < x mn ) x = x mn p S ( x > Snon p x max ) x x = max p x = x La projecton peut ntervenr après les étapes de réflexon ou d'expanson. Une conséquence de la projecton sur les bornes est que le smplexe peut dégénérer dans l'hyperplan des bornes actves. S le smplexe a convergé avec des bornes actves, on peut sot avor convergé vers un mnmum local, sot avor convergé vers un mnmum dégénéré, c'est à dre un mnmum dans l'hyperplan de dégénérescence. Usuellement, en programmaton mathématque, les fonctons et contrantes sont consdérées comme dfférentables, et l'optmalté locale est vérfée sous la forme des condtons de Karush, Kuhn et Tucker. Ic cependant, on consdère des fonctons pas nécessarement dfférentables. En guse de test d'optmalté, le long des contrantes, un redémarrage est réalsé à partr d'un pett smplexe au pont de convergence. S la recherche retourne au même pont, l s'agt d'un mnmum local sur les bornes et vce-versa. Remarquons que la talle du pett smplexe est un peu plus grande que la tolérance utlsée comme crtère d'arrêt (des détals sur le crtère d'arrêt sont présentés dans la secton.3). S le pont de convergence avec bornes actves est un mnmum dégénéré, la recherche contnue vers un autre mnmum. Dans ce cas, elle peut être coûteuse, pusque la talle ntale du smplexe est très pette. La dégénérescence dans le domane est dscutée dans la secton.3..3 Globalsaton Un nconvénent de la méthode classque de Nelder-Mead est qu'elle peut aboutr à un mnmum local. Pour des fonctons ayant pluseurs mnma, le pont sur lequel l'algorthme converge dépend du pont ntal, de la talle ntale du smplexe, et des paramètres de l'algorthme (coeffcents d'expanson, de contracton et de réflexon). L'algorthme de Nelder-Mead, comme tous les algorthmes à convergence locale, peut être rendu global par ré-ntalsaton (Törn, 978 ; Voudours, 998 ; Huyer & Neumaer, 999). Pour l'algorthme de Nelder-Mead, la réntalsaton sgnfe qu'un smplexe est construt à partr d'un nouveau pont ntal x 0, en utlsant l'équaton (). La talle ntale a du smplexe vare auss aléatorement dans un ntervalle ( à 0% de la plus pette dmenson du domane) :

6 6 a random(0.0,0.0)* mn x x max mn (4) Le nouveau pont ntal peut être chost aléatorement (ré-ntalsaton aléatore) ou sa génératon peut être basée de manère à ne pas retourner dans des bassns déjà vstés (réntalsaton probablsée). La ré-ntalsaton probablsée utlse une densté de probablté de ne pas avor échantllonné un pont. Parm nb_random_ponts ponts choss aléatorement, celu ayant la plus fable probablté d'avor été échantllonné devent le nouveau pont ntal. Chaque fos qu'un mnmum est trouvé, on l'enregstre dans un fcher (.best). La procédure se termne quand le nombre d'appels de la foncton coût attent un maxmum fxé par l'utlsateur. L'estmaton de ces probabltés est présenté dans la sub-secton suvante, et la mse en place de la globalsaton dans l'algorthme est llustrée en Fgure. Nous appellerons la méthode de Nelder-Mead globalsée et borné de GBNM (Globalzed Bounded Nelder-Mead).

7 7 Fgure : Organgramme de la méthode GBNM (Nelder-Mead avec globalsaton et domane borné)..3. Ré-ntalsaton probablsée Dans cette sub-secton nous montrons comment estmer une densté de probablté d échantllonner un nouveau pont ( (x) ). Cette probablté est en fat la probablté de ne pas avor exploré une régon autour de x. Elle sert à ré-ntalser l' algorthme GBNM..3.. Estmaton de la densté de probablté d avor échantllonné un pont p~ ( x ) Connassant un certan nombre de ponts déjà explorés, on estme la probablté d' avor échantllonné un pont x par une méthode de fenêtres de Parzen gaussennes. Cette méthode peut

8 8 être comprse comme une verson lssée de technques d'hstogrammes, les hstogrammes étant centrés sur les ponts échantllonnés. p(x), la probablté qu'un pont at été échantllonné est p( N x ) p( x) (5) N où N est le nombre de ponts déjà échantllonnés. En fasant l`estmaton de p( x) par noyaux gaussens (Parzen, estmaton non paramétrque), p est la foncton densté de probablté normale multdmensonnelle donnée par: p( x) exp n/ / det T x x xx (6) où : n est la dmenson (nombre de varables), la matrce de covarance :, (7) 0 0 n j étant estmé comme : max x mn x j, (8) j j où est un paramètre qu contrôle l'étalement des gaussennes, x max j et x mn j étant les bornes dans la drecton j. La densté de probablté est telle que p( x )dx, mas comme on travalle dans un domane borné, on défnt p~ ( x ) telle que ~ p ( x )d x.

9 9 p~ ( x ), l estmaton de la densté de probablté d avor échantllonné un pont dans le domane p( x) s' exprme p~ ( x), avec M x) dx M p(. La Fgure 3 montre, schématquement, les fonctons p( x ) et p~ ( x ). p~ ( x ) p( x) 0 Xmn Xmax Fgure 3 : Fonctons densté de probabltés sans les bornes p( x ), et bornée p~ ( x )..3.. Estmaton de la densté de probablté d échantllonner un nouveau pont : (x) La densté de probablté d' échantllonner un nouveau pont, (x), est une densté de probablté de ne pas avor échantllonné une régon proche de x. Deux stratéges sont possbles pour construre (x). Méthode On ntrodut (x), tel quel : x ) p~ ( x ) et ( ( x) p~ ( x) et la densté (x) est ( x) p~ ( x) normalsée, ( x) p~ ( x) ( x ) (9) ( x) p~ ( x) dx Ans

10 0 ( x) 0 et (x)dx donc (x) est ben une densté de probablté. Le Fgure A. montre, schématquement, les fonctons p~ ( x ), (x) et (x). (x) p~ ( x ) ( x ) ( x) p~ ( x) 0 Xmn Xmax Fgure 4 : Les fonctons p~ ( x ), (x) et (x). Une dffculté numérque vent du chox de (x). On peut, par exemple, calculer (x) par nterpolaton lnéare. D: utlser les plus proches vosns de x D: utlser les 3 plus proches vosns de x nd: utlser les (n+) plus proches vosns de x Avec (x) construt par nterpolaton lnéare, l est possble que ( x) p~ (x ). Dans ces cas, on chosra, arbtrarement, ( x) 0 Coût numérque:. fare l ntégraton p ( x) d x échantllonnés - la constructon de (x) par nterpolaton lnéare mplque d'ordonner les N ponts 3 fare l ntégraton ( x ) dx Dû à ces dffcultés numérques, une seconde méthode est proposée.

11 Méthode Seul le pont le plus haut de p~ ( x ) a une probablté nulle de n'avor pas été échantllonné à l tératon suvante. (x) est défnt comme où H max p~ ( x). x H p~ ( x) ( x ) (0) H p~ ( x) dx Cette stratége, qu est beaucoup mons chère que la méthode, est celle mplémentée. La Fgure 5 montre H p~ ( x). H p~ ( x H ) ( x ) H p~ ( x) p~ ( x ) 0 Xmn x Xmax H Fgure 5 : Illustraton de la défnton de (x) dans la méthode. En résumé, la méthode mplque les étapes suvantes : Calculer p( x ) en utlsant les ponts déjà échantllonnés (équaton (5)). Calculer M p( x) dx, pus p( x) p~ ( x). M Trouver H max p~ ( x). Calculer H p~ ( x) dxh dx p~ ( x) dx H (max x mn x ), donc,n Trouver arg max ( x). x ( x) H,n H M (max x p( x) mn x )

12 On chosra le pont x pour lequel (x) est maxmum, mas ce calcul peut encore être smplfé. On remarque que le maxmum de (x) est le mnmum de p( x ). On approche le mnmum de p( x ) par la stratége suvante. Nous effectuons nb_random_ponts trages au hasard, et celu qu mnmse p( x ) sera le pont de départ du prochan smplexe. L'nfluence de et nb_random_ponts est dscuté dans la sub-secton c-après..3. Analyse des paramètres de l'algorthme globalsé En utlsant la ré-ntalsaton probablsée, on cherche à maxmser la probablté de vster tous les bassns d'attracton d'une foncton générque sans connaître le nombre de réntalsatons à pror. S le nombre de ré-ntalsatons état connu, les redémarrages pourraent avor leu suvant une grlle. Tros paramètres nfluencent drectement sur le calcul de la densté de probablté et le nouveau pont de départ : les ponts qu sont gardés pour le calcul de la probablté ; le paramètre qu contrôle l'étalement des gaussennes, (vor équaton 8) ; le nombre de ponts aléatores (nb_random_ponts) utlsé pour trouver lequel a la plus basse probablté de ne pas avor été échantllonné auparavant. Ces tros paramètres sont dscutés c-dessous. Ponts à garder : les tros stratéges consdérées sont : garder tous les ponts, garder le pont de départ et le pont de convergence, garder seulement le pont de départ. S on garde tous les ponts, les nconvénents sont : l'utlsaton de mémore pour garder ces ponts ; le temps d'exécuton pour calculer la densté de probablté est augmenté (vor équatons 5 et 6) ; dans la régon de convergence l y a une accumulaton de ponts, pénalsant en excès cette régon. Ans, s au vosnage d'un pont de convergence l y a d'autres mnma, la dffculté de les trouver augmente. La Fgure 6(a) montre les ponts parcourus lors d'une convergence, et la Fgure 6(b) la densté de probablté assocée lorsque tous les ponts sont conservés. Cet exemple concerne la maxmsaton de Ex pour un composte à couches. Le pont de départ est [75/75], et le pont de convergence [0/0]. On remarque que la régon de convergence est sévèrement pénalsée.

13 3 pont ntal (a) Ponts échantllonnés et pont du prochan départ. pont du prochan départ (b) Foncton densté de probablté p(x) utlsant tous les ponts sur lesquels le smplexe est passé. Fgure 6: Premer re-ntalsaton (coef_sze_gauss = 0,0, nb_random_ponts = 000)

14 4 La seconde stratége, garder le premer et le derner ponts, a l'avantage sur l'antéreure en relaton à mémore et au temps d'exécuton, mas encore pénalse le vosnage d'un pont de convergence avec un grand bassn d'attracton, pus certanement plus de une fos la convergence sera sur ce pont. Par contre, la trosème stratége, garder seulement le premer pont, ne pénalse pas les régons de convergence, augmentant la possblté de trouver plus d'un mnmum dans la même régon. Nous avons utlsé cette stratége! On remarque que les deux dernères stratéges ne sont pas capables de garder des nformatons sur le chemn que le smplexe a parcouru. Le paramètre de contrôle de l'étalement des gaussennes ( ) : en se rappelant l'expresson (8) : max x mn x j max mn x x () j j j j j on peut fare nterpréter. Conforment à la sub-secton précédente, pour estmer la densté de probablté p, nous utlsons la lo normale gaussenne d'écart type j. Rappelons auss l'nterprétaton de l'écart type dans une courbe normale : x p (x)dx 0,683, () x c'est-à-dre, la probablté d'un pont d'être stué entre la moyenne plus ou mons l'écart type est de 68,3%. Ans contrôle des trages en foncton du chox de. j. Le Tableau c-dessous présente l'étendu où se concentre 68,3% Tableau : Rapport entre et 0,00 0,0 0, (nfluence à 68,3%) x max x mn 0 x max x mn 5 x max x mn 3 0,5 max mn x x

15 5 La Fgure 7 montre, pour un pont postonné au centre d'un domane bdmensonnel, la foncton densté de probablté p, en utlsant dfférentes valeurs de. (b) = 0,005 (c) = 0,0 (a) = 0,005 (b) = 0,0 (c) = 0, (d) = 0,5 Fgure 7 : Représentaton de l'estmaton de la foncton densté de probablté p, pour dfférentes valeurs de. Le nombre de ponts aléatores (nb_random_ponts). Le pont ntal de la recherche locale suvante est celu, parm les nb_random_ponts, qu a la plus basse probablté p, d'avor été échantllonné. S nb_random_ponts est égal à, la re-ntalsaton est complètement aléatore ; s nb_random_ponts est grand, l y a formaton d'un motf géométrque parfat, comme le

16 6 montre les Fgures 8(a) et 8(b). Ans, en chosssant par nb_random_ponts un nombre pett, plus grand que un, on donne une caractérstque aléatore-basée à ré-ntalsaton pont ntal (a) pont ntal (b) Fgure 8 : Ponts de ré-ntalsaton du smplexe, en utlsant nb_random_ponts grand (000). Des tests comparatfs sont présentés dans secton 3 où nb_random_ponts vare.

17 7.3 Dégénérescence et crtère de convergence Il est possble que lors des opératons sur le smplexe certanes arêtes attachés à un même sommet devennent lnéarement dépendantes. Dans ce cas, la méthode de Nelder-Mead n'est plus capable que de rechercher un mnmum dans un sous-espace de l'espace ntal, l'espace décrt par les arêtes. On dt qu'l y a dégénérescence du smplexe. Une vérfcaton de la dégénérescence a été mse en œuvre à chaque tératon. Pour cette vérfcaton, deux tests sont fats sur les côtés du smplexe qu partent du sommet de plus fable foncton coût. La Fgure 9 montre comment est fate la défnton des côtés pour le calcul de la dégénérescence, dans des espaces b et trdmensonnel. Le premer test vérfe s'l y a un côté très pett, c'est-à-dre, s la norme eucldenne de chaque côté est nféreure à la tolérance de convergence (sze_stop) : S (norme côté_ (=,..,n) < sze_stop) smplexe dégénéré où n est le nombre de côtés consdérés (n est égal auss au nombre de varables). Le second test analyse la dépendance lnéare des côtés, en calculant le détermnant de la matrce formée par ses composantes. Le détermnant est ensute normalsé par le produt de la norme eucldenne des côtés. On consdère que le smplexe est dégénéré s cette valeur est nféreure à la tolérance de dégénérescence (sze_degeneraton) : ln_ndep = détermnant/produt_des_côtés S (ln_ndep < sze_degeneraton) smplexe dégénéré On remarque par exemple que, s les tros sommets d'un smplexe bdmensonnel sont algnes, les deux vecteurs attachés à un sommet sont lnéarement dépendants, et le détermnant est nul.

18 8 Défnton des vecteurs des côtés à partr d'un sommet sommet avec la plus basse valeur de la foncton coût (a) Smplexe bdmensonnel (n=) sommet avec la plus basse valeur de la foncton coût (b) Smplexe trdmensonnel (n=3) Fgure 9 : Défnton des côtés utlsés pour le calcul de dégénérescence. S la dégénérescence est détectée pour un smplexe ntéreur au domane de défnton des varables, l est ré-ntalsé en utlsant comme pont ntal celu qu présente la foncton coût la plus basse. Les autres sommets du smplexe sont défns en utlsant l'équaton (). Le test de dégénérescence n'est pas réalsé lorsque des sommets touchent les bornes des varables car, dans ce cas, la dégénérescence est légtme. On remarque que le test de dégénérescence est fat après le test de convergence, comme le montre l'organgramme de la Fgure. De plus, l faut qu at un comproms entre les valeurs de tolérance pour les crtères de dégénérescence et d'arrêt. Dans le domane, l'algorthme peut consdérer dégénéré un smplexe proche d'un mnmum. Ans, s une dégénérescence est détectée deux fos consécutves au même pont, on enregstre ce pont là, pus l est un possble mnmum. Ensute, on appelle la ré-ntalsaton probablsé pour redémarrer une nouvelle recherche (cf. Fgure ).

19 9 On examne mantenant les crtères de convergence. Nelder & Mead (965) ont proposé le crtère suvant : f f( ) tol n n x (3) où f est la valeur de la foncton coût en x, f( x ) est le coût en x, x étant le barycentre du smplexe. Le sommet x 0, le plus grande foncton coût, est oms dans le calcul. tol est une tolérance spécfée par l'utlsateur. Comme pour ce crtère l faut encore calculer la foncton coût en x, qu est parfos coûteuse, nous proposons et utlsons un autre crtère, basé sur les talles normalsées des côtés du smplexe : k n xk max sze_stop,...,n (4) xmax xmn où k x est la coordonnée dans la drecton du vecteur assocés au côté k ; x max et x mn sont les bornes dans la drecton, sze_stop est la tolérance. On consdère ans qu'un mnmum est trouvé s le smplexe est pett. Ic, contrarement au calcule de la dégénérescence, tous les côtés du smplexe sont consdérés. Un autre crtère de convergence est utlsé, qu commande un redémarrage de la méthode lorsque le smplexe est dans une régon plate de foncton coût : f H f tny (5) L où f H et f L sont la valeur la plus haute et la plus basse de la foncton coût parm les sommets du smplexe, respectvement; tny est une valeur qu représente le zéro numérque, de l'ordre de x0 0. On remarque que le crtère de l'équaton 5 est smlare à celu de l'équaton 4.

20 0.4 Mse en œuvre dans LAMKIT La méthode globalsée de Nelder-Mead décrte c-dessus a été mse en œuvre dans LAMKIT. LAMKIT est un logcel d analyse et d optmsaton de structures compostes. En mode calcul smple l peut réalser des calculs statques, des calculs de rupture, des calculs de flambement de plaques smplement supportées, des calculs du temps d njecton par les procédés type RTM et CRTM avec njecton latérale, et des calculs de dspersons par smulaton de Monte Carlo de pluseurs caractérstques. En mode optmsaton, les caractérstques physques du stratfé peuvent être manpulées par un des optmseurs mono-crtère sous contrantes ou multcrtères. 44 crtères d optmsaton son dsponbles dans LAMKIT, et les optmseurs, à l' excepton de celu présenté dans cette étude, sont basés sur des algorthmes évolutonnares. LAMKIT est écrt en C++ et systématse le chargement dynamque des données, ans que l nstancaton dynamque des classes (Besson & Foerch, 997 et 988). La modularté du programme est favorsée par des nterfaces propres et logques. L utlsateur de LAMKIT peut ajouter des fonctonnaltés au logcel, sans en posséder les sources. Cec faclte la mantenance du logcel et donne la possblté à l utlsateur d ajouter faclement des modules méter (Le Rche & Gaudn, 00(b)). Pour des compostes, nous montrons en Annexe A que des mnma locaux apparassent, même pour des problèmes smples comme la maxmsaton des modules de rgdté suvant x et y (Ex et Ey) 3, ce qu justfe la globalsaton de la méthode. La mse en donnée de l' optmseur de Nelder-Mead est montrée c-dessous (fcher.opt) pour un problème de maxmsaton de Ex sur un composte de 4 couches. Les varables sont les orentatons des fbres. Le composte est symétrque, l n' y a donc que deux varables. Resn Transfer Moldng Compressed Resn Transfer Moldng 3 En fat, pour maxmser E x, LAMKIT mnmse la foncton fourne par l' utlsateur. f E E x, ref ref E étant une valeur de référence

21 nelder.opt ****optmze nelder_mead ***varables **cont_ply_angle *contnuous name t ref. nt 65. mn -90. max 90. *specfc seq lam_type sym **cont_ply_angle *contnuous name t ref. nt 65. mn -90. max 90. *specfc seq lam_type sym ***crtera Ex 35.e+09 ***convergence length 5.0 reflecton.0 contracton 0.5 expanson.0 coef_sze_gauss 0.0 nb_random_ponts 3 sze_stop sze_degeneraton max_nb_teraton 000 ****return Le mot clé qu actve l'optmseur de Nelder-Mead est nelder_mead, au début du fcher. Les autres paramètres sont : length : talle du smplexe ntal reflecton : coeffcent de réflexon (vor Fgure ) contracton : coeffcent de contracton (vor Fgure ) expanson : coeffcent d'expanson (vor Fgure ) coef_sze_gauss : paramètre qu contrôle l'étalement des fenêtres de Parzen nb_random_ponts (gaussennes) : nombre de ponts aléatores générés pour la réntalsaton probablsée sze_stop : tolérance pour vérfer la convergence (cf. secton.3) sze_degeneraton : tolérance pour vérfer s un smplexe est dégénéré (cf. secton.3) max_nb_teraton : nombre maxmum d'analyses de la foncton coût. S on veut une ré-ntalsaton aléatore, on utlse nb_random_ponts égal à.

22 3 - Résultats Les valeurs recommandées par Nelder & Mead (965) pour les coeffcents de réflexon, contracton et expanson sont, / et. Ce sont ces valeurs que nous utlsons pour les exemples. Des essas avec la foncton analytque de Rosenbrock sont montrés dans la secton 3.. La secton 3. présente des résultats avec des fonctons analytques mult-modales bdmensonnels, et dans la secton 3.3 des résultats avec une foncton très mult-modale d'ordre sont montrés (foncton de Grewank). La secton 3.3 est consacrée à des applcatons aux compostes Mnmsaton de la foncton de Rosenbrock La foncton de Rosenbrock, x x x y 00, (6) est convexe. Son mnmum se trouve en x. Les Fgures 0 et montrent la foncton de x Rosenbrock. C'est une foncton en forme de vallée étrote à fond peu nclné, et courbe dans le plan x, x. Malgré sa convexté, la foncton de Rosenbrock a un Hessen mal condtonné, ce qu rend les algorthmes de type plus forte pente neffcaces. Du fat de cette caractérstque, la foncton de Rosenbrock est très utlsée pour tester de nouvelles méthodes d'optmsaton.

23 3 (a) (b) Fgure 0 : Foncton de Rosenbrock dans les domanes, x 0,0 (a) et, x 0,0 (b). x x (a) (b) Courbes de nveau. Fgure : Foncton de Rosenbrock au vosnage du mnmum, (,). Nous consdérons le domane, x 0,0, qu content le mnmum ( x ). x L'utlté du test d'optmalté aux bornes est llustré par l'exemple suvant. x Exemple de dégénérescence sur les bornes : La méthode avec projecton, mas sans test d'optmalté dans les bornes (re-ntalsaton avec le pett smplexe) ne réusst pas à trouver le mnmum dans cet exemple. Le pont ntal est (0,0), et la talle ntale égale à 5. La Fgure 9 montre les ponts par où le smplexe est passé. On observe que le smplexe dégénère rapdement sur la borne x 0, pus converge sur le pont (0,0), qu n'est pas le mnmum. S on fat le test d'optmatlé, le mnmum (,) est trouvé, comme le montré le Tableau.

24 =8= smplexe ntal Fgure : Cas de dégénérescence sur les bornes, en mnmsant la foncton de Rosenbrock dans un domane borné et utlsant la projecton sur les bornes. Le Tableau présente le comportement de l'algorthme avec projecton et test d'optmalté, en utlsant une tolérance d'arrêt (sze_stop) égal à x0-6. L'optmum est trouvé pour tous les tests. Tableau : Mnmsaton de la foncton de Rosenbrock avec bornes [0,0] X [0,0] et test d'optmalté (GBNM). Pont ntal Longueur ntale du Pont de convergence Nombre d analyses (x,x) smplexe (0,0) (,) 30 (0,0) 5 (,) 3 (0,0) 5 (,) 33 (0,) 5 (,) 33 (5,5) 5 (,) 33 (5,5) 5 (,) 35 (0,0) 5 (,) 38 (0,0) 5 (,) 36 (5,5) 5 (,) 4 (5,5) 5 (,) 47 (0,0) (,) 43 (0,0) 5 (,) 36 (0,0) 5 (,) 3 (0,0) 5 (,) 4

25 5 Le test d'optmalté peut représenter un coût mportant sur les ressources dsponbles. Dans le Tableau B. du Annexe B sont montrés de résultats de mnmsaton de la foncton de Rosenbrock en utlsant la méthode classque de Nelder-Mead (sans consdérer les bornes et sans redémarrage). Dans ce cas là, comme l n'y a pas de bornes, la convergence est toujours sur le mnmum. Pour mesurer ce coût, on peut rapporter le nombre d'analyses du Tableau B. avec celles du Tableau Mnmsaton de fonctons mult-modales bdmensonnels Nous avons testé tros fonctons mult-modales : f (x,x ) 0,0(x x ) ( x ) ( x ) 7sn(0,5x )sn(0,7xx ) x, x 0,5 3 f 4 (x,x ) (4,x x )x xx ( 44x ) x x, x 3,3 (7) (8) f (x,x ) x 5, x 5 x 6 0 cos(x ) x 5,0 et x 0,5 (9) f présente quatre mnma, f sx et f 3 tros, comme le montre le Tableau 3. f est auss connue comme la foncton sx-hump camel. La Fgure 0 présente les tros fonctons testées. Tableau 3 : Postonnement des mnma des fonctons Mnma Foncton f Foncton f Foncton f 3 er x =,50443 x = e x = 0,7588 x =, e x = 3,7894 x = 3, e x = 4,7096 x = 5 5 e e - - x = 0, x = -0,7656 x =-0, x = 0,7656 x =,7036 x = -0,79608 x = -,7036 x = 0,79608 x =,607 x = 0,56865 x = -,607 x = -0,56865 x = - x =,75 x = x,75 x = 9,4478 x =,

26 6 (a) (b) (c) Fgure 3 : Fonctons testées : f (a), f (b) et f 3 (c).

27 7 Le Tableau 4 présente la probablté de ne pas trouver un des mnma locaux (P_erreur), en utlsant dfférents nb_random_ponts, en lmtant à 500 les appels de la foncton coût, et en fxant le paramètre qu contrôle l'étalement des gaussennes à 0,0. L'estmaton de la probablté a été fate sur 000 essas, et P_erreur est calculé comme : P_erreur P P... (0) PN où N est le nombre de mnma, et P la probablté de trouver le mnmum. Tableau 4 : Probablté de ne pas trouver un des mnma locaux (500 analyses ; 0, 0) nb_random_ponts P_erreur f P_erreur f P_erreur f 3 0, , ,50544 (re-ntalsaton aléatore) 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , Comme on a déjà dscuté, s on utlse nb_random_ponts =, la ré-ntalsaton est aléatore, et s nb_random_ponts est grand, c'est smlare à utlser une grlle. On remarque, pourtant, qu'elle est construte au fur et à mesure de ré-ntalsatons, c'est-à-dre que la méthode ne nécesste pas la connassance à pror du nombre fnal de ré-ntalsatons. Au contrare des méthodes de génératon de séquences aléatores (cf. Press, Teukolsky, Vetterlng & Flannery, 99) qu dovent connaître le nombre de trages. Comme toujours, la stratége optmale dépend de la foncton test. S les optma locaux sont régulèrement dstrbués (et leurs bassns d'attracton auss), alors nb_random_ponts grand sera probablement bénéfque, et vce versa. Comme un exemple de cec on a la foncton f3. La stratége aléatore a, sur l'ensemble des tests, une probablté mportante de trouver tous les mnma. Ans, en utlsant nb_random_ponts = 3 ou 0, on a un bon comproms entre les deux extrêmes (exemple : les fonctons f e f).

28 8 Pour analyser l'nfluence du paramètre qu contrôle les étalements des gaussennes ( ), nous avons testé la foncton f, dans les mêmes condtons que c-dessus, mas en varant la valeur de. Les résultats de P_erreur sont rapportés dans le Tableau 5. Nous observons que l'nfluence de sur les résultats n'est pas très vsble. nb_random_ponts 0, Tableau 5 : Influence de sur P_erreur (foncton f ) 0, ,0 (Tableau 4) 0, 005 0, 00 0,9748 0, , , , , , , , , , , ,9589 0, ,9369 0, , , , , , , , , Mnmsaton de la foncton de Grewank (n = ) La foncton test de Grewanks est ecrte, de forme général, comme : F(x,...,x n ) 400 n x n n x cos, () et nous consdérons le domane x 000, 000. Cette foncton présente pluseurs mnma locaux, et un seul mnmum global, qu est -, et se trouve en (0, 0,..., 0). Dans les Tableaux 6, 7 et 8 nous présentons les résultats de la méthode GBNM, en utlsant nb_random_ponts égal à 0, et d'un algorthme evolutonnare (EA), en 5.000, appels de la foncton coût. Les résultats rapportés sont les moyennes sur 00 essas. Pour le EA nous utlsons les paramètres suvants : probablté de crosement = 0,5 probablté de mutaton = 0,5 talle de la populaton = 500

29 9 Tableau 6 : Mnmsaton de la foncton de Grewank appels de la foncton coût. fmn (moyenne) écart type fmn Probablté de trouver le mn. global GBNM -0,806 0,50 9/00 EA,908 0,643 0/00 Tableau 7 : Mnmsaton de la foncton de Grewank appels de la foncton coût. fmn (moyenne) écart type fmn Probablté de trouver le mn. global GBNM -0,9688 0,0454 7/00 EA 0,494 0,568 0/00 Tableau 8 : Mnmsaton de la foncton de Grewank appels de la foncton coût. fmn (moyenne) écart type fmn Probablté de trouver le mn. global GBNM -0,999 0,005 89/00 EA -0,4607 0,947 3/00 suvant : Pour consdérer que le EA a convergé sur le mnmum global, nous utlsons le crtère xˆ x n * () où n est la dmenson, xˆ est le pont avec la valeur plus basse de la foncton coût que l'algorthme a trouvé, et x * est le pont du mnmum global. On remarque que, pour ce problème, en consdérant les ressources dsponbles, la méthode GBNM trouve des melleurs ponts que l'algorthme evolutonnare Applcaton aux compostes Nous présentons tout d'abord la maxmsaton du module d'élastcté Ex, pus la maxmsaton de la charge crtque de flambement de plaques compostes. En forme normalsée, on mnmse Ex, où E 9 E x_ref 35x0. Deux matéraux sont utlsés dont les proprétés sont donnés x_ref dans le Tableau 9 (Berthelot, 999).

30 30 Tableau 9 : Proprétés des matéraux. Proprété Carbone-époxyde Verre-époxyde Module d élastcté E 5x0 9 Pa 45x0 9 Pa Module d élastcté E 5x0 9 Pa 0x0 9 Pa Module de csallement G 5x0 9 Pa 4,5x0 9 Pa Coeffcent de Posson 0,35 0,3 Les varables sont les orentatons des fbres. Le premer cas présenté est la maxmsaton de Ex par un composte symétrque à quatre couches de verre-époxyde. Dû à symétre, le problème présente varables, bornées par -90 et 90 degrés. Ce cas, smlare à celu montré dans l' Annexe A pour un composte à deux couches, présente 9 mnma, dont un global (vor postonnement des mnma dans Fgure 0). Le maxmum global est tel que toutes les couches sont à 0 degré. On constate que même pour un problème auss smple, des mnma locaux apparassent. Le Tableau 0 présente, sur 00 essas, le nombre moyen d' optma locaux trouvés, en.000 appels de la foncton coût et en varant nb_random_ponts. Tableau 0 : Maxmsaton de Ex - Verre-époxyde - varables appels de la foncton coût. nb_random_ponts Nombre moyen de Écart type optma trouvés 3,04 0,88 3,3 0,87 3 3,4 0,89 0 4,0 0, ,83 0, ,59 0,99 Dans le Tableau sont rapportés les résultats, sur 00 essas, de la maxmsaton de Ex pour un composte de verre-époxyde, symétrque et équlbrée avec 6 couches (4 varables). Chaque optmsaton coûte.000 analyses. Ce cas présente 6 mnma.

31 3 Tableau : Maxmsaton de Ex - Verre-époxyde - 4 varables appels de la foncton coût. nb_random_ponts Nombre moyen de Écart type optma trouvés 8,0,30 8,46,6 3 8,38,6 0 8,55,0 50 8,95, ,3,48 On remarque que, pour ces deux problèmes, plus nb_random_ponts est grand, plus l y a optma trouvés. Cec se justfe car les optma sont placés régulèrement sur le domane. Pour le problème de deux varables, les optma sont postonnés à : [0/0] [0/90], [0/-90], [90/0], [- 90/0], [90/90], [90/90], [-90/90] et [-90/-90], comme le montre la fgure suvante : 90 optmum Fgure 4 : Localsaton des optma de Ex par un composte de verre- époxyde, symétrque à 4 couches ( varables) Nous remarquons auss que l'optmum global ([0/0]) est trouvé plus souvent que les autres, pusque son bassn d'attracton est le plus grand (vor annexe B). Ce cas est partculer. Dans les cas généraux on ne peut pas fare de relaton drecte entre l'optmum global et la talle du bassn d'attracton. Une analyse smlare peut être réalsée sur le problème à 6 couches (4 varables).

32 3 Comme autre exemple, on maxmse la charge crtque de flambement d'une plaque carrée, de carbone-époxyde, symétrque et équlbrée avec 6 couches. La plaque est smplement supportée sur ses 4 cotés, et est soumse à un chargement de membrane Nx et Ny, comme on peut vsualser dans la Fgure 5. Les hypothèses utlsées pour la soluton du problème de flambement de plaques sont présentés dans Le Rche & Gaudn (00(a)), en utlsant la théore classque de plaques stratfés. N y N x a a Fgure 5 : Plaque carrée smplement supportée, soumse à charge de flambement. Comme le stratfé est symétrque et équlbré, le nombre de varables est 4, les lmtes des angles étant de 0 à 90 degrés. L'unque soluton pour ce cas est toutes les couches à 45o. Dans le Tableau 9, nous comparons les résultats de la méthode de Nelder-Mead avec prse en compte des bornes et globalsé (GBNM) et d'un algorthme evolutonnare (EA) avec le paramètres suvants : probablté de crosement = 0,4 probablté de mutaton = 0, talle de la populaton = 00 Le pont ntal et la talle ntale du smplexe utlsés pour les essas avec la méthode GBNM sont choss aléatorement (la talle cf. équaton 4), et la tolérance sze_stop utlsé est x0-6. Les résultats rapportés dans le Tableau 9 sont les moyennes sur 00 essas. Concernant la

33 33 méthode GBNM, le Tableau présente le nombre d'analyses pour trouver le mnmum une fos (ce qu a un sens car l n'y a qu'un optmum local). Nous avons chost cet exemple pour montrer la précson des résultats obtenus par la méthode de Nelder-Mead par rapport à un algorthme evolutonnare, quand on a un nombre pett de varables. Tableau : Maxmsaton de charge crtque de flambement - 6 couches - 4 varables. Méthode Pont de convergence Ecart type du Nombre Ecart type du pont de convergence d analyses nb. d'analyses GBNM [45,0000] 4 [0,0000] 4 88,6 59,44 EA [45, ,355 45,05 44,7363] [45,06 44, , ,55] [45, ,937 44, ,4456] [,735 3,970 6,603 6,949] [,5640,49 4,0046 0,30] [0,567 0,8983,3347 3,3959] Pour analyser la performance de l'algorthme GBNM quand on utlse pluseurs varables, nous avons testé le problème de flambement décrt c-dessus, mas en utlsant 48 couches, cet-àdre, varables. Les résultats, sur 00 essas, sont montrés dans le Tableau 3, en utlsant deux valeurs pour sze_stop : x0 - et x0-6. En utlsant un algorthme evolutonnare avec probablté de crosement = 0,4, probablté de mutaton = 0, et talle de la populaton = 00, ce problème a fourn les résultats présentes dans le Tableau 4.

34 34 Tableau 3 : Résultats de la méthode GBNM pour la maxmsaton de la charge crtque d'une plaque à 48 couches ( varables) Nombre moyen d analyses et l'écart type 045,5 85,4 4,3 36,6 Pont moyen de convergence et l'écart type sze_stop = x0 - [45,03 45,006 45, ,0 45,000 45,005 45, , , ,963 45, ,050] [ 0,0603 0,0736 0,0697 0,0786 0,0977 0,06 0,88 0,478 0,038 0,363 4,5553 9,796] sze_stop = x0-6 [45, ,00 45,07 45, ,997 44,994 45, , ,965 44, ,68 49,393] [ 0,069 0,064 0,0700 0,0945 0,0985 0,0989 0,0959 0,458 0,000 0,477 0,835 8,0387] Tableau 4 : Résultats d'un algorthme evolutonnare (EA) pour la maxmsaton de la charge crtque d'une plaque à 48 couches ( varables) Nombre Pont moyen de convergence et d analyses l'écart type 000 [44,786 45, ,364 45,088 44, ,540 45,969 45, , ,757 47,067 48,935] [,7300,664,83 3,470 3,633 4,0894 4,99 6,5408 8,8870,63 4,8 8,4585] 00 [45,805 45,98 45,400 45,868 45, , ,406 44, , , ,903 44,49] [,8978,399,563,8569 3,377 3,9748 4,4699 4,8558 7,366 9,659 3,674 6,84] 500 [44,878 44, ,439 45,048 44, ,903 44, , ,985 44,54 45,347 43,706] [,836,889,9457,499,956 3,359 3,5405 5,883 5,6633 7,903 0,603 6,8999] Dans cet exemple, on ne peut pas vsualser clarement la dfférence entre les résultats moyens des deux méthodes. Cependant, les écarts-types pour l'algorthme evolutonnare sont plus grands que pour l'algorthme GBNM, sof la dernère varable, qu représente l'orentaton des fbres de la couche centrale de la plaque. Celle a la plus basse nfluence sur la rgdté de flexon et, par sute, sur la charge crtque de flambement. Nous constatons auss que le smplexe se dégénère de 3 à 4 fos dans le domane, avant de trouver le mnmum.

35 Conclusons Les problèmes d'optmsaton de structures compostes présentent les caractérstques suvantes : l y a pluseurs optma locaux ; les varables ont un sens physque, et sont donc bornées ; on ne veut pas calculer de sensblté ; car ce calcul est souvent laboreux, numérquement coûteux (dfférences fnes), ou ben les sensbltés n'exstent pas (varables dscrètes) ; le temps de calcul est lmté à quelques mllers d'analyses de la foncton coût. Les dées de la méthode développé, l'algorthme GBNM, pour l'optmsaton de compostes sont : l'utlsaton de l'algorthme de Nelder-Mead, car l ne nécesste pas de calculer de gradent et l est assez rapde. Cependant, la méthode classque de Nelder-Mead est une méthode locale et sans bornes ; la prse en compte des bornes par projecton ; un test d'optmalté, sur les bornes, sans calcul de gradents ; l'mplémentaton d'une méthode fable pour détecter les cas de dégénérescence, qu peuvent arrver avec la méthode de Nelder-Mead ; la globalsaton par ré-ntalsaton probablsée, pour ne pas échantllonner des régons déjà connues. Nous observons que la ré-ntalsaton probablsé avec nb_random_ponts grand produt des ponts ntaux réparts suvant un motf géométrque parfat, ce qu s'avère, en général, neffcace, sauf s les mnma sont auss postonnés suvant un motf réguler. En comparant la re-ntalsaton totalement aléatore (nb_random_ponts égal à ) et la réntalsaton basée (nb_random_ponts = 3 ou 0), quand les mnma ne sont pas régulèrement postonnés, nous remarquons l'avantage de cette dernère stratége, qu trouve une plus grande varété de mnma On constate que, quand l y un nombre pett de varables, l'algorthme GBNM est plus précs que le calcule evolutonnare. Quand le nombre de varables est grand (n ), le GBNM peut présenter des dffcultés pour trouver un mnmum. Toutefos, pour ces cas là, en consdérant les exemples montrés dans ce rapport, les résultats sont, en moyenne, smlares où melleurs à l'algorthme evolutonnare.

36 36 La globalsaton par ré-ntalsaton probablsée n'est pas restrctve à l'algorthme de Nelder-Mead. Elle peut être applquée à d'autres optmseurs locaux. Par contre, la prse en compte des bornes par projecton ne peut pas être utlsée pour un optmseur quelconque. Il faut vérfer s'elle ne détrute pas les caractérstques de la méthode de chercher le mnmum. Pour la sute de l'étude, on peut parallélser cet algorthme, en ntalsant pluseurs smplexes et en affectant les ressources de calcul aux plus prometteurs.

37 37 Références Berthelot, J.-M., Matéraux Compostes, Tec & Doc, Pars, France, 3 Edton, 999. Besson J. and Foerch, R., Large scale object-orented fnte element code desgn, Computer methods n appled mechancs and engneerng, 4:65-87, 997. Besson J. and Foerch, R., Object-orented programmng appled to the fnte element methodpart : General concepts, Revue Européenne des Eléments Fns, 7(5): , 998. Haftka, R. T. and Gürdal, Z, Elements of Structural Optmzaton, Thrd Edton, Kluwer Academc Publshers, Boston, 993. Huyer, W., Neumaer, A., Global Optmzaton by Multlevel Coordnate Search, J. Global Optmzaton, 4:33-355, 999. Le Rche, R. et Gaudn, J., Etude du flambage dans LAMKIT - Rapport Fnal d Etude, LMR INSA de Rouen EADS CCR, 00. Le Rche, R. et Gaudn, J., Interfaçage dynamque dans LAMKIT - Rapport Fnal d Etude, LMR INSA de Rouen EADS CCR, 00. Nelder, J. A. and Mead, R., A smplex for functon mnmzaton, Computer J., 7:308-33, 965. Press, W.H., Teukolsky, S.A., Vetterlng, W.T., Flannery, B.P., Numercal Recpes n C - The Art of Scentfc Computng, Second Edton, Cambrdge Unversty Press, 99. Renders, J.-M. and Bersn, H., Hybrdzng Genetc Algorthmes wth Hll-Clmbng Methods for Global Optmzaton: Two Possble Ways, IEEE, 994. Törn, A.A., A Search-Clusterng Approach to Global Optmzaton, Towards Global Optmzaton, 49-6, 978. Voudours, C., Guded Local Search - an llustratve example n functon optmsaton, BT Technol. J., 6(3): 46-50, 998.

38 38 Annexe A : Présence de mnma locaux en concepton de compostes - Exemples partculers Dans cette annexe, nous montrons comment des crtères auss smples que les modules d élastcté Ex et Ey de compostes à une et deux couches peuvent présenter des maxma locaux. Les Fgures A. et A. montrent, pour une couche, la varaton du module d' élastcté Ex, en foncton de l' angle de fbres,, pour les matéraux carbone-époxyde et verre-époxyde, respectvement (vor proprétés des matéraux dans le Tableau A., selon Berthelot, 999)). On remarque que pour les deux matéraux le maxmum global se trouve à 0 degré. On remarque auss que pour le carbone-époxyde le mnmum de Ex se trouve à -90 et 90 degrés, et pour le verre-époxyde vers 78 et -78 degrés. En outre, pour le verre-époxyde l y a un maxmum local de Ex en 900, et comme la courbe est symétrque, un autre maxmum local se trouve en 900. Un optmseur local, comme Nelder-Mead, peut s arrêter là. La Fgure A.3 montre le comportement de Ey pour une couche de verre-époxyde. On remarque que les maxma globaux de Ey sont à 90 et -90 degrés, mas l y a un maxmum local à 0 degré. Pour le carbone-époxyde l n' y a pas de tels maxma locaux. Remarquons que pour maxmser, par exemple, Ex, LAMKIT mnmse E E x, une forme normalsée. Ans, un mnmum de f est un maxmum de Ex. Le même rasonnement s' applque à Ey. f ref

39 39 Tableau A. : Proprétés des matéraux. Proprété Carbone-époxyde Verre-époxyde Module d élastcté E 5x0 9 Pa 45x0 9 Pa Module d élastcté E 5x0 9 Pa 0x0 9 Pa Module de csallement G 5x0 9 Pa 4,5x0 9 Pa Coeffcent de Posson 0,35 0,3 (a) Varaton de l' angle : -90 à 90 degrés. (b) Varaton de l' angle : 70 à 90 degrés. Fgure A. : Module Ex en foncton de, carbone-époxyde.

40 40 (a) Varaton de l'angle : -90 à 90 degrés. (b) Varaton de l'angle : 70 à 90 degrés. Fgure A. : Module Ex, verre-époxyde.

41 4 (a) Varaton de l'angle : -90 à 90 degrés. (a) Varaton de l'angle : -0 à 0 degrés. Fgure A.3 : Module Ey, verre-époxyde. La Fgure A.4 montre la varaton de Ex pour un composte à deux couches de carboneépoxyde, La Fgure A.5 montre la varaton de Ex pour un composte à deux couches de verreépoxyde, /. Il y a un unque maxmum (global) en [0/0] degrés. /. Pour ce matérau le maxmum global se trouve auss en [0/0] et l y hut maxma locaux : [0/90], [0/-90], [90/0], [-90/0], [90/90], [90/90], [-90/90] et [-90/-90]. Notons de plus que quatre mnma globaux se trouvent vers [78/78], [78/-78], [-78/ 78] et [-78/-78]. La Fgure A.5(c) montre le mnmum en [78/78], les autres mnma sont postonnés de manère symétrque.

42 4 (a) Varaton des angles de -90 à 90 degrés. maxmum [0/0] (b) Courbes de nveau : varaton des angles de -90 à 90 degrés. maxmum (c) Agrandssement des courbes de nveau Fgure A.4: Ex pour un stratfé /, en carbone-époxyde.

43 43 (a) Varaton des angles de -90 à 90 degrés. maxmum global [0/0] (b) Courbes de nveau. Varaton des angles de -90 à 90 degrés. maxmum local un mnmum global (c) Agrandssement des courbes de nveau, montrant un maxmum local et un mnmum de Ex Fgure A.5 : Ex pour un stratfé composte / de verre-époxyde.

44 44 Annexe B : Nelder-Mead classque : mnmsaton de la foncton de Rosenbrock Le Tableau B. montre de résultats de mnmsaton de la foncton de Rosenbrock en utlsant la méthode classque de Nelder-Mead, c'est-à-dre sans consdérer les bornes et sans redémarrage. Le nombre d'tératons vare selon le pont ntal et la longueur ntale du smplexe. Tableau B. : Mnmsaton de la foncton de Rosenbrock, sans bornes et sans redémarrage (Nelder-Mead classque) Pont ntal Longueur ntale du Pont de convergence Nombre d analyses (x,x) smplexe (0,0) (,) 65 (0,0) 5 (,) 7 (0,0) 5 (,) 98 (5,5) (,) 97 (5,5) 5 (,) 98 (5,5) 5 (,) 00 (0,0) 5 (,) 0 (0,0) 50 (,) 88 (0,0) 000 (,) 480 (000,000) (,) 63 (000,000) 5 (,) 68 (000,000) 50 (,) 604 (000,000) 000 (,) 50 (-000,-000) (,) 385 (-000,-000) 5 (,) 367 (-000,-000) 50 (,) 456 (-000,-000) 000 (,) 3

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