Sous la direction de Nikita Karpenko. Gilles Tauzin

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Sous la direction de Nikita Karpenko. Gilles Tauzin"

Transcription

1 Sous la direction de Nikita Karpenko Gilles Tauzin Années universitaires

2 Théorème de Bézout et applications Ici, k est un corps algébriquement clos. Lorsque l'on étudie des courbes dans le plan projectif, on doit rapidement s'interroger sur la façon dont elles s'intersectent. C'est un fait bien connu que dans P 2, si Y est une courbe de degré d et L une droite (qui n'est pas Y ), alors l'intersection Y L est constitué de d points, quitte à compter certains plusieurs fois, de la même façon qu'un polynôme non nul s'annule autant de fois que son degré sur un corps algébriquement clos. Plus précisément, on a les dénitions et propriétés suivantes : Dénition 0.1 (Multiplicités). Soit Y A 2 une courbe dénie par f(x, y) = 0 sur un corps algébriquement clos k, soit P = (a, b) un point dt A 2. Par un changement de coordonnées linéaire, on peut supposer P = (0, 0) et décomposer f en f 0 + f f d, où les f i sont tous homogènes de degré i. On dénit la multiplicité de P sur Y, µ P (Y ) comme le minimum des r tels que f r 0. Soient Z une autre courbe donnée par l'équation g(x, y) = 0 et P un point de Y Z, on dénit la multiplicité de l'intersection (Y Z) P de Y et Z en P comme la longueur du O P -module O P /(f, g). Ces dénitions se généralisent directement à P 2 au moyen d'un recouvrement. Le premier point important est que le point P de Y est un point régulier si et seulement si µ P (Y ) = 1 (µ P (Y ) > 0 P Y ). De plus, (Y Z) P est ni et on dispose de l'inégalité (Y Z) P µ P (Y ) µ P (Z), autrement dit, le degré du contact augmente. Enn, l'intersection d'une droite L avec une courbe Y comme ci-dessus est en général ce que l'on attend dans la mesure où pour toutes les droites passant par P, sauf un nombre ni, (L Y ) P = µ P (Y ). Le théorème de Bézout simple réunit ces résultats sous la forme : Proposition 0.1. Soit Y une courbe de P 2 de degré d et L une droite (L Y ), alors on a (L Y ) = (L Y ) P = d P Une première généralisation de ce théorème serait dans P n, si Y et Z sont des variétés de dimension r, s et de degré d, e, telles que les composantes irréductibles de Y Z soient de dimension r + s n( 0), alors pour chaque composante irréductible W de Y Z on dispose d'un nombre i(y, Z; W ), la multiplicité de l'intersection de Y et Z le long de W tel que : i(y, Z; W ) deg W = de La somme étant prise sur toutes les composantes irréductibles de Y Z. La diculté est de dénir convenablement chacun des termes. On utilise pour cela une théorie de l'intersection. 1 Groupe de Chow On considère désormais des schémas sur un corps, une variété comme un schéma irréductible et réduit et une sous-variété comme un sous-schéma fermé d'une variété qui est une variété. 1

3 Dénition 1.1. On appelle k-cycle sur un schéma X une somme nie formelle ni [V i ] où les V i sont des sous-variétés de dimension k de X et les n i des entiers. Les k-cycles sur X forment un groupe qui est libre et abélien, noté Z k (X). On construit ensuite l'équivalence rationnelle, l'intérêt étant de considérer non pas directement le groupes des k-cycles, mais le quotient de ce groupe modulo équivalence rationnelle. Soit X une variété et V une sous-variété de X de codimension 1. L'anneau local A = O V,X (localisé de O X en l'idéal premier qui déni V, ou encore tige de O X au point générique de V ) est un anneau local intègre de dimension 1. Son corps des fractions est le corps des fonctions de V, K(V ). Considérons maintenant r R(X) un élément non nul du corps des fonctions de X. Un tel élément peut s'écrire a/b avec a, b A. On pose Enn, on pose pour a A, ord V (r) = ord V (a) ord V (b) ord V (a) = l A (A/(a)) où l désigne la longueur du A-module entre parenthèses. Une telle construction fournit un morphisme R(X) Z, de plus, pour r R(X), il n'y a qu'un nombre ni de sous-variétés de codimension 1 de X pour lesquelles ord V (r) est non nul. Grossièrement dit, l'équivalence rationnelle, c'est dire que les diviseurs de Cartier principaux d'une sous-variété de dimension k + 1 (qui sont donc de dimension k) sont nuls. Dénition 1.2. Soit W une sous-variété de dimension k + 1 de X, alors tout r R(W ) dénit un k-cycle [div(r)] sur X via [div(r)] = ord V (r)[v ] où la somme est prise sur toutes les sous-variétés V de codimension 1 de W. Un k-cycle α est dit rationnellement équivalent à 0, α 0 s'il existe un nombre ni de sous-variétés de dimension k + 1 W i de X et des r i R(W i ) tels que α = [div(r i )]. L'ensemble des k-cycles rationnellement équivalents à 0 forme un groupe, Rat k (X) et le groupe des k-cycles modulo équivalence rationnelle est le quotient : A k (X) = Z k (X)/Rat k (X). On note Z (X) (resp. A (X)) la somme graduée des Z k (X) (resp. A k (X)). La première remarque que l'on peut faire est que considérer un schéma ou son schéma réduit associé revient au même. De plus, l'association X A k (X) est additive au sens où A k ( X i ) = Ak (X i ). Enn, on a une suite exacte : A k (X 1 X 2 ) A k (X 1 ) A k (X 2 ) A k (X 1 X 2 ) 0 2

4 On s'intéresse ensuite au push-forward et au pull-back de cycles. Si f : X Y est un morphisme propre et V une sous-variété de X, alors W = f(v ) est une sous-variété de Y, on dispose de plus d'un morphisme de corps R(W ) R(V ) qui est une extension nie si et seulement si W est de même dimension que V. On pose alors { [R(W ) : R(V )] si dim(w ) = dim(v ) deg(v/w ) = 0 sinon et f [V ] = deg(v/w )[W ]. Ce morphisme s'étend à Z k (X) Z k (Y ) et A k (X) A k (Y ) et est de plus fonctoriel. Si le schéma X est propre sur K, le morphisme A 0 (X) Z = A 0 (K) est noté deg et s'étend par 0 à tout A (X). Ensuite, si f : X Y est un morphisme plat de dimension relative n, alors on dénit le pull-back f par f [V ] = [f 1 (V )] pour V une sous-variété de Y. De plus ce morphisme se prolonge à Z et en fait même en un morphisme f : A k (Y ) A k+n (X) et est fonctoriel. Enn, si X est un schéma de composantes irréductibles X i, la multiplicité géométrique m i de X i dans X est dénie comme la longueur de O Xi,X et l'on pose [X] = m i [X i ] où la somme est prise sur toutes les composantes irréductibles de X, en tant qu'élément de A (X). De la même façon, si X est un sous-schéma fermé de Y, on le décompose ainsi et on utilise A (X) A (Y ) pour obtenir le cycle correspondant dans Y. De même, si X est purement de dimension n et de composantes irréductibles X 1,..., X r, de multiplicités géométriques m i, alors pour tout diviseur de Cartier eectif D tel que D i = D X i, on a [D] = m i [D i ]. On dispose aussi d'une suite exacte permettant de décrire les cycles d'un sous-schéma fermé : Proposition 1.1. Soit Y un sous-schéma fermé d'un schéma X, considérons U = X Y. Soient i : Y X et j : U X les inclusions. Alors la suite suivante est exacte pour tout k : A k (Y ) i A k (X) j A k (U) 0 Enn, une attention particulière est à apporter aux brés anes dans la mesure où si p : E X est un bré ane de rang n, alors le pull-back plat p : A k (X) A k+n (E) est surjectif pour tout k. De plus, si E est en fait un bré vectoriel, c'est un isomorphisme. On dispose maintenant d'un cadre agréable pour commencer à étudier ce qui se passe pour une intersection et notamment dans le cas des diviseurs. 3

5 2 Diviseurs et intersection Pour se faire, on commence par introduire la notion de pseudo-diviseur. Dénition 2.1. Un pseudo-diviseur sur un schéma X est un triplet (L, Z, s), où L est un bré en droites sur X, Z un sous-ensemble algébrique fermé de X et s une section de L qui ne s'annule pas sur X Z. On appelle L le bré en droites, Z le support et s la section du pseudo-diviseur. Deux données de bré, support et section dénissent le même pseudo-diviseur si les supports sont les mêmes et s'il existe un isomorphisme des brés dont la restriction à X Z rend isomorphes les sections. Enn, un diviseur de Cartier D dénit un pseudodiviseur par (O X (D), D, s D ) où s D est la section canonique de O X (D). On a de plus que tout pseudo-diviseur est représenté par un certain diviseur de Cartier, qui est unique si le support n'est pas toute la variété et unique à équivalence linéaire près sinon. Autrement dit, dans A, tout se passe bien. On désignera souvent un pseudo-diviseur par D. De plus, le pull-back d'un pseudodiviseur en est un aussi (ce qui peut être un problème si on prend des diviseurs de Cartier et non des pseudo-diviseurs) Construisons maintenant l'intersection voulue : Dénition 2.2. Soit D un pseudo-diviseur sur un schéma X, soit V une sousvariété de X de dimension k. On dénit une classe noté D [V ] ou D V dans A k 1 ( D V ) de la façon suivante : Soit j l'inclusion de V dans X, j D est un pseudo-diviseur sur V dont le support est D V et on peut dénir D [V ] comme étant le cycle associé au pseudo-diviseur obtenu. Cette dénition s'étend bien évidemment à A k (X) par linéarité. On a un certain nombre de propriétés utiles qui viennent directement de cette construction : Proposition 2.1. Soient D, D des pseudo-diviseurs sur X, α, α des k-cycles sur X, f : X X un morphisme propre, g : X X un morphisme plat et β un k-cycle sur X. Alors : 1. D (α + α ) = D α + D α 2. (D + D ) α = D α + D α 3. f (f D β) = D f (β) 4. g D g α = g (D α) 5. D [D ] = D [D] 6. si O X (D) est trivial, alors D α = 0 Enn, si α est un k-cycle sur X, β un l-cycle sur Y, p la projection de X Y sur X et D un pseudo-diviseur sur X, alors (p D) (α β) = (D α) β Tout ceci nous permet de dénir la classe de Chern d'un bré en droites. En eet, si L est un bré en droites sur X, alors pour toute sous-variété V de X de dimension k, la restriction L V de L à V est isomorphe à O V (C) pour un certain diviseur de Cartier C sur V, à équivalence linéaire près. Qui donne alors un élément [C] bien déni dans A k 1 (X), que l'on note c 1 (L) [V ]. Cette opération s'étend convenablement à A k (X) A k 1 (X). On a de plus les propriétés suivantes : 4

6 Proposition 2.2. Soient α un k-cycle sur X, β un k-cycle sur X, L, L deux brés en droites sur X, f : X X un morphisme propre et g : X X un morphisme plat, alors : 1. c 1 (L) (c 1 (L ) α) = c 1 (L ) (c 1 (L) α) 2. f (c 1 (f L) β) = c 1 (L) f β 3. c 1 (g L) g α = g (c 1 (L) α) 4. c 1 (L L ) α = c 1 (L) α + c 1 (L ) α 5. c 1 (L ) α = c 1 (L) α Ceci nous permet de dénir le degré d'un k-cycle α sur P n par p c 1 (O(1)) k α, où l'exposant désigne l'itération et p le morphisme structurel vers le corps de base. On peut construire aussi les classes de Chern d'un bré vectoriel quelconque sans se limiter aux brés en droites : Soit E un bré vectoriel de rang e + 1 sur X, soit P le bré projectif associé, p la projection de P sur X, et O(1) le bré canonique sur P. On dénit la classe de Segre, α s i (E) α de A k (X) dans A k i (X) par s i (E) α = p (c 1 (O(1)) e+i p α) Cette classe vérie les mêmes propriétés de commutation que la première classe de Chern d'un bré en droites. De plus, p : A k (X) A k+e (P) est un monomorphisme scindé. On dénit la série formelle s t (E) = i s i (E)t i et le polynôme de Chern c t (E) = i c i (E)t i comme étant la série formelle inverse (il s'agit bien d'un polynôme). On pose aussi la classe de Chern totale comme étant c(e) = i c i(e) et de même pour la classe de Segre totale. De la même façon, les classes de Chern vérient les mêmes propriétés de commutation que les premières classes de Chern d'un bré en droites, avec en plus que c i (E) = 0 pour tout i > rang(e) et que pour toute suite exacte 0 E E E 0 on a c t (E) = c t (E )c t (E ). Enn, on dispose d'un principe général : si on dispose d'une ltration de E par des sous-brés dont les quotients successifs sont des brés en droites L i, on a c t (E) = (1 + c 1 (L i )t) i Les c 1 (L i ) sont appelés racine de Chern de E, et du fait de cette décomposition, on peut exprimer toute fonction symétrique de ces racines par les classes de Chern de E. 5

7 Par conséquent, on peut factoriser de façon purement formelle un polynôme de Chern en c t (E) = (1 + α i t) i et utiliser cette décomposition pour dénir aisément des objet qui sont symétriques en ces racines. Par exemple, le caractère de Chern : ch(e) = i exp(α i ) ou le caractère de Todd td(e) = i α i 1 exp αi Enn, un dernier théorème nous précise un peu plus la structure de ces A k. On considère toujours E un bré vectoriel sur X, de rang r = e + 1, π : E X la projection, p : P X le bré projectif associé. On a alors Proposition 2.3. Le pull-back plat π : A k r (X) A k (E) est un isomorphisme pour tout k et on a des isomorphismes canoniques e A k e+i (X) A k (P). i=0 On commence à disposer d'un assez bon matériel pour décrire comment les sous-variétés s'intersectent, regardons ce que cela donne déjà pour l'instant. 3 RiemannRoch Un point important de la géométrie est de calculer la dimension d'un système linéaire D ou de nd pour n grand, où D est un diviseur. Lors de ce calcul, les théorèmes de type RiemannRoch mettent en relation la caractéristique d'euler et des intersection de diviseurs ainsi que des invariants de la variété. Combinés à certains résultats de cohomologie, cela permet d'eectuer les calculs souhaités. Rappelons que si E est un faisceau cohérent sur X, la caractéristique d'euler est dénie par χ(e) = ( 1) i dim k (H i (X, E)) i où k est le corps de base. On a alors des premiers résultats. Sur une courbe X, de genre g, pour un diviseur D, χ(l(d)) = deg D + 1 g où L(D) est le bré en droites associé à D. Pour une surface de genre arithmétique p a, χ(l(d)) = 1 2 D (D K) p a 6

8 où K est le diviseur canonique. On va chercher à exprimer χ(e) pour E un faisceau cohérent localement libre. Pour cela, commençons par introduire le groupe A (X) qui est déni comme le groupe A (X), à part qu'il est indexé par la codimension (les pull-backs sont alors de degré 0). Dénition 3.1 (Théorie de l'intersection). Soit B une certaine classe de variétés donnée avec certains morphismes. Une théorie de l'intersection sur B est la donnée d'un appariement A r (X) A s (X) A r+s (X) pour tous r, s, satisfaisant les axiomes suivants : (A1) L'appariement fait de A (X) un anneau commutatif unitaire gradué pour tout X B, l'anneau de Chow de X. (A2) Pour tout morphisme f : X X de variétés dans B, f : A (X) A (X ) est un morphisme d'anneaux, de plus si g : X X est un autre tel morphisme, (f g) = g f. (A3) Pour tout morphisme propre f : X X de variétés dans B, f : A (X ) A (X) est un morphisme de groupes gradués qui décale le degré. De plus, si g : X X est un autre tel morphisme, (f g) = f g. (A4) Si f : X X est un morphisme propre et sir x A (X ) et y A (X), alors f (x f y) = f (x) y. (A5) Si Y et Z sont des cycles sur X et si : X X X est le morphisme diagonal, alors Y Z = (Y Z). (A6) Si Y et Z sont des sous-variétés de X qui s'intersectent proprement (soit toute composante irréductible de Y Z de codimension la somme de la codimension de Y et de Z), alors on peut écrire Y Z = i(y, Z; W j )W j où la somme est faite sur les composantes irréductibles W j de Y Z et où l'entier i(y, Z; W j ), ne dépend que d'un voisinage autour du point générique de W j. On l'appelle multiplicité local d'intersection de Y et Z le long de W j. (A7) Si Y est une sous-variété de X et Z un diviseur de Cartier eectif qui rencontre Y proprement, alors Y Z est le cycle associé au diviseur de Cartier Y Z sur Y. Il se trouve que si B est la classe des variétés quasi-projectives régulières sur un corps algébriquement clos, alors il existe une unique théorie de l'intersection qui est celle que nous allons développer par la suite. On remarque de plus que (A6) nous donne presque le résultat que l'on cherchait initialement. Les résultats que l'on obtient sont alors assez satisfaisants : Théorème 3.1 (HirzebruchRiemannRoch). Pour un faisceau E localement libre de rang r sur une variété projective régulière X de dimension n, on a χ(e) = deg(ch(e) td(t )) n où T est le bré tangent et ( ) n désigne la composante de degré n dans A (X) Q. Une autre généralisation est le théorème de GrothendieckRiemannRoch qui exprime le comportement des caractères de Chern lors d'un morphisme projectif lisse sur des variétés régulières quasi-projectives. 7

9 4 Intersections La première construction classique d'une intersection est de considérer i : X Y une immersion fermée régulière de codimension d et de faisceau normal N X Y. Soit ensuite V un schéma de dimension k pure et f : V Y un morphisme. Soit W = f 1 (X). On dispose alors par le diagramme cartésien de j : W V et g : W X. Soit N = g N X Y, qui est un faisceau de rang d sur W et π : N W la projection. π se relève au-dessus de W par une immersion du cône normal C = C W V dans N, avec C purement de dimension k. Soit s la section zéro du bré N. On peut alors dénir le produit d'intersection de V par X sur Y comme (π ) 1 [C]. Si les C i sont les composantes irréductibles de C ; de multiplicité géométrique m i dans C et Z i leur support dans W, on appelle les Z i les variétés distinguées de l'intersection de V par X. On peut ensuite écrire X V = m i α i où les α i sont dénis comme suit : Soit N i la restriction de N à Z i, est s i la section 0 de N i (qui est l'inverse de la projection π i ) alors α i = s i [C i]. Chaque Z i peut avoir une dimension comprise entre k d et k, dans le cas où il s'agit de k d alors α i = [Z i ]. Si c'est le cas pour tous les Z i, on dit que X et V s'intersectent proprement. On obtient alors une multiplicité i(z, X V ; Y ) qui correspond à ce que l'on attendait. La bonne dénition à prendre pour i(z, X V ; Y ) est i(z, X V ; Y ) = ( 1) i l A [ Tor A (A/a, A/b) ] où A est l'anneau local du point générique de Z dans Y, a l'idéal de X et b celui de V. Dans le cas de variétés régulières (lisses sur un corps de base), on peut prendre la dénition diagonale donnée précédemment et on retrouve les mêmes résultats, de plus le théorème de Bézout généralisé recherché découle directement. 5 Conclusion et ouvertures Au total, la théorie de Chow contient beaucoup d'information géométrique sur les variétés que l'on considère et sur la façon dont certaines sous-variétés s'intersectent. Il est donc particulièrement important de pouvoir calculer la structure de l'anneau de Chow. Cependant, c'est une tâche très dicile de façon générale et notamment quand le corps de départ n'est pas algébriquement clos. On est amenés à s'intéresser à l'anneau de Chow d'une variété sur la clôture algébrique d'un corps de base et à essayer de déterminer par la suite l'image de ce plongement. Dans certains cas bien précis, en utilisant par exemple une décomposition cellulaire via une quadrique, on peut obtenir des informations sur l'appartenance ou non de certains cycles à cette image. C'est le cas du théorème suivant, dont la démonstration utilise des techniques de cobordisme algébrique, d'opérations symétriques et de Steenrod ainsi que de décomposition cellulaire. Théorème 5.1 ([3] Vishik th. 3.1). Soit k un corps de caractéristique 0. Soient Y une variété projective lisse et Q une quadrique projective lisse de dimension 8

10 n, sur k. Soit ȳ CH m (Y k)/2 un cycle d'ordre m. Si ȳ k(q) est déni sur k(q) ( i. e. est dans l'image du morphisme naturel CH(Y k(q) ) CH(Y k(q) )), alors : Pour tout j > m [(n + 1)/2], Sq j Y (ȳ) CH (Y ) est déni sur k ; Si j = m [(n + 1)/2], Sq j Y (ȳ) + x ȳ est déni sur k pour un certain x de CH j (Y k)/2 de la forme ac (π Y ) (z h [n/2] ) où z CH m (Q Y )/2. 9

11 Bibliographie [1] W. Fulton, Intersection Theory, Springer-Verlag, [2] R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer-Science, [3] A. Vishik, Generic points of quadrics and Chow groups, Manuscripta mathematica, mars 2007, Springer, vol. 122, n o 3,

Variétés dont le fibré cotangent est ample

Variétés dont le fibré cotangent est ample Variétés dont le fibré cotangent est ample Olivier Benoist Mémoire de magistère sous la direction d Olivier Debarre Table des matières Introduction 2 1 Variétés projectives lisses 3 1.1 Généralités..............................

Plus en détail

1. La notion d espace fibré au sens de Steenrod

1. La notion d espace fibré au sens de Steenrod FIBRES, CONNEXIONS ET HOMOLOGIE CYCLIQUE par Max KAROUBI. La notion d espace fibré au sens de Steenrod.. Dans l acceptation la plus simple, un espace fibré ξ de base B et de fibre F est la donnée d une

Plus en détail

À propos des limites inductives filtrantes et du théorème de Lazard sur les modules plats

À propos des limites inductives filtrantes et du théorème de Lazard sur les modules plats 1 À propos des limites inductives filtrantes et du théorème de Lazard sur les modules plats Cette note est écrite comme une section 7 du chapitre VIII du livre Algèbre Commutative. Méthodes Constructives.

Plus en détail

Les espaces vectoriels

Les espaces vectoriels Agrégation interne UFR MATHÉMATIQUES 1. Généralités Les espaces vectoriels Dans tout le chapitre, K représente un corps commutatif. 1.1. Notion d espace vectoriel On considère un ensemble E sur lequel

Plus en détail

et Transversalité par Pierre Vogel

et Transversalité par Pierre Vogel Université Paris 7 Denis Diderot Institut de Mathématiques de Jussieu Géométrie des Variétés et Transversalité par Pierre Vogel Introduction Ce cours est destiné à l étude des variétés différentiables

Plus en détail

Éclatements. X = Proj ( I d)

Éclatements. X = Proj ( I d) Éclatements 1 Définition Soit X un schéma et I un faisceau cohérent d idéaux définissant un sous-schéma fermé Y X. Définition 1.1 L éclatement de I (ou de Y) dans X est le X-schéma X défini par X = Proj

Plus en détail

11. Espaces vectoriels, homomorphismes, bases

11. Espaces vectoriels, homomorphismes, bases 11. Espaces vectoriels, homomorphismes, bases 11.1. Espaces vectoriels, algèbres 11.1.1. Structure d espace vectoriel et d algèbre 11.1.2. Combinaisons linéaires 11.1.3. Espaces vectoriels et algèbres

Plus en détail

Arithmétique Algorithmique. http://www.math.univ-lyon1.fr/~roblot/ens.html

Arithmétique Algorithmique. http://www.math.univ-lyon1.fr/~roblot/ens.html Arithmétique Algorithmique http://www.math.univ-lyon1.fr/~roblot/ens.html Partie III Algorithmes classiques 1 Coût de la multiplication et de la division 2 Exponentiation rapide 3 Algorithme d Euclide

Plus en détail

Intégration de polynômes Points de Gauss

Intégration de polynômes Points de Gauss Intégration de polynômes Points de Gauss Commençons par un exercice classique de premier cycle. Problème 1 Trouver trois réels α, β et γ tels que, pour tout polynôme P de degré au plus 2, on ait : ( )

Plus en détail

Chapitre IV Bases et dimension d un espace vectoriel

Chapitre IV Bases et dimension d un espace vectoriel Chapitre IV Bases et dimension d un espace vectoriel Objectif : Nous allons voir comment fabriquer des systèmes de coordonnées pour les vecteurs d un espace vectoriel général. Dans ce chapitre désigne

Plus en détail

Une note sur les fibrés holomorphes non-filtrables

Une note sur les fibrés holomorphes non-filtrables Une note sur les fibrés holomorphes non-filtrables Marian Aprodu, Matei Toma Un théorème de structure pour les fibrés vectoriels stables de rang deux sur les surfaces elliptiques algébriques a été démontré

Plus en détail

Le texte qui suit, rédigé en septembre 1958, diffère sensiblement de l exposé oral, ne serait ce que par sa longueur.

Le texte qui suit, rédigé en septembre 1958, diffère sensiblement de l exposé oral, ne serait ce que par sa longueur. Séminaire Chevalley 21 avril 1958 1958, exposé n o 1 ESPACES FIBRÉS ALGÉBRIQUES Le texte qui suit, rédigé en septembre 1958, diffère sensiblement de l exposé oral, ne serait ce que par sa longueur. Sommaire

Plus en détail

COURS M2 GÉOMÉTRIE ET TOPOLOGIE DIFFÉRENTIELLES 2013-2014 FEUILLE D EXERCICES NO. 2 : CHAMPS DE VECTEURS, COMPLÉMENT DE COURS : FIBRÉS VECTORIELS

COURS M2 GÉOMÉTRIE ET TOPOLOGIE DIFFÉRENTIELLES 2013-2014 FEUILLE D EXERCICES NO. 2 : CHAMPS DE VECTEURS, COMPLÉMENT DE COURS : FIBRÉS VECTORIELS COURS M2 GÉOMÉTRIE ET TOPOLOGIE DIFFÉRENTIELLES 203-204 FEUILLE D EXERCICES NO. 2 : CHAMPS DE VECTEURS, DÉRIVÉE DE LIE COMPLÉMENT DE COURS : FIBRÉS VECTORIELS ALEXANDRU OANCEA Exercice. (crochet, flots,

Plus en détail

QUOTIENT D UNE VARIÉTÉ AFFINE PAR UN GROUPE LINÉAIREMENT RÉDUCTIF. par. David

QUOTIENT D UNE VARIÉTÉ AFFINE PAR UN GROUPE LINÉAIREMENT RÉDUCTIF. par. David QUOTIENT D UNE VARIÉTÉ AFFINE PAR UN GROUPE LINÉAIREMENT RÉDUCTIF par David Le but de l exposé est de montrer que le quotient catégorique d une variété affine par un groupe algébrique linéairement réductif

Plus en détail

Polynômes à plusieurs variables. Résultant

Polynômes à plusieurs variables. Résultant Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \

Plus en détail

Quelques Remarques sur les Opérateurs et les q-algèbres de Banach

Quelques Remarques sur les Opérateurs et les q-algèbres de Banach E extracta mathematicae Vol. 19, Núm. 2, 233 241 (2004) Quelques Remarques sur les Opérateurs et les q-algèbres de Banach R. El Harti Département de Mathématiques, Faculté des Sciences et Techniques Université

Plus en détail

Université Paris Diderot U.F.R. de Mathématique 4 mai 2010. EXAMEN DE M2 Responsable : Mr O. DEBARRE

Université Paris Diderot U.F.R. de Mathématique 4 mai 2010. EXAMEN DE M2 Responsable : Mr O. DEBARRE Université Paris Diderot U.F.R. de Mathématique 4 mai 2010 EXAMEN DE M2 Responsable : Mr O. DEBARRE Les exercices sont indépendants. On pourra utiliser sans démonstration tous les résultats des notes de

Plus en détail

Exo7. Devoir à la maison et sujet de partiel. Énoncés : V. Gritsenko Corrections : J.-F. Barraud. Exercice 1 Soit d non rationel.

Exo7. Devoir à la maison et sujet de partiel. Énoncés : V. Gritsenko Corrections : J.-F. Barraud. Exercice 1 Soit d non rationel. Énoncés : V. Gritsenko Corrections : J.-F. Barraud Exo7 Devoir à la maison et sujet de partiel Exercice 1 Soit d non rationel. Dans l anneau on definit la conjugaison" z : Z[ d] = {n + m d n,m Z} si z

Plus en détail

Sur l image du groupe de tresses dans l algèbre de Hecke

Sur l image du groupe de tresses dans l algèbre de Hecke Sur l image du groupe de tresses dans l algèbre de Hecke conférence en l honneur de F. Digne, 1er avril 2015 Le groupe de tresses et l algèbre de Hecke B n = σ 1,..., σ n 1 σ i σ i+1 σ i = σ i+1 σ i σ

Plus en détail

CODES ET RÉSEAUX. par. Anne Quéguiner-Mathieu

CODES ET RÉSEAUX. par. Anne Quéguiner-Mathieu CODES ET RÉSEAUX par Anne Quéguiner-Mathieu Résumé. Ce texte, très largement inspiré du chapitre I du livre de Wolfgang Ebeling `Lattices and codes', correspond à la première partie d'un cours de master

Plus en détail

CHAPITRE V. de U U dans Hom(F, F ) est de classe C. b dans Hom(F,F ) est de classe C, l application b b. de U U

CHAPITRE V. de U U dans Hom(F, F ) est de classe C. b dans Hom(F,F ) est de classe C, l application b b. de U U CHAPITRE V FIBRÉS VECTORIELS 1. Fibrés vectoriels 1. Cartes et atlas vectoriels Soit B une variété différentielle. Considérons un B -ensemble, c est à-dire un ensemble M muni d une application p : M B.

Plus en détail

1 Séancs du 14/21.11.08

1 Séancs du 14/21.11.08 1 1 Séancs du 14/21.11.08 1.1 Le rayon spectral Le spectre d un opérateur (ici, élément d une algèbre stellaire) est un compact non vide. La compacité est immédiate, car, pour z > u, u zi peut être inversé

Plus en détail

Fiche n 1: Groupe, sous-groupe, ordre

Fiche n 1: Groupe, sous-groupe, ordre Université Lille 1 Algèbre 2010/11 M51.MIMP Fiche n 1: Groupe, sous-groupe, ordre Exercice 1 On considère sur R la loi de composition définie par x y = x + y xy. Cette loi est-elle associative, commutative?

Plus en détail

Structures algébriques : groupes, anneaux et corps

Structures algébriques : groupes, anneaux et corps Maths PCSI Cours Structures algébriques : groupes, anneaux et corps Table des matières 1 Groupes 2 1.1 Lois de composition interne..................................... 2 1.2 Groupes................................................

Plus en détail

.:: Module Mathématiques I : Algèbre ::.

.:: Module Mathématiques I : Algèbre ::. Université Mohammed V - Agdal Faculté des Sciences Département de Mathématiques et Informatique Avenue Ibn Batouta, B.P. 1014 Rabat, Maroc.:: Module Mathématiques I : Algèbre ::. Filière : Sciences de

Plus en détail

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 2013 2014 MATHS/STATS. Solution des exercices d algèbre linéaire

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 2013 2014 MATHS/STATS. Solution des exercices d algèbre linéaire UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 3 4 Master d économie Cours de M. Desgraupes MATHS/STATS Document : Solution des exercices d algèbre linéaire Table des matières

Plus en détail

Autour de la conjecture ε de Serre

Autour de la conjecture ε de Serre Autour de la conjecture ε de Serre M. Tibouchi 29 novembre 2006 Résumé On se propose de présenter, à un niveau aussi élémentaire que possible, un certain nombre des idées intervenant dans la preuve par

Plus en détail

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot. (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc) (a, 0) (b, 0) = (ab, 0)

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot. (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc) (a, 0) (b, 0) = (ab, 0) NOMBRES COMPLEXES 1 Corps C des nombres complexes 1.1 Construction de C Construction de C On munit R de deux lois internes + et de la manière suivante. Pour (a, b, c, d) R 4, on pose (a, b) + (c, d) =

Plus en détail

1.1.1 Cas le plus général d espace topologique

1.1.1 Cas le plus général d espace topologique Chapitre 1 Topologie 1.1 Espaces topologiques 1.1.1 Cas le plus général d espace topologique Définition 1 (Topologie) Une topologie T sur l ensemble X est une partie T P (X) vérifiant : L ensemble vide

Plus en détail

K-théorie et opérateurs de Fredholm

K-théorie et opérateurs de Fredholm K-théorie et opérateurs de Fredholm Notes d'exposé du groupe de travail sur l'invariant de Bauer-Furuta Aurélien DJAMENT Mars 2012 Table des matières 1 Rappel de la dénition classique de la K-théorie (réelle,

Plus en détail

Espaces de probabilités.

Espaces de probabilités. Université Pierre et Marie Curie 2010-2011 Probabilités et statistiques - LM345 Feuille 2 Espaces de probabilités. 1. Donner un exemple d'une famille de parties d'un ensemble qui ne soit pas une tribu.

Plus en détail

La preuve se fait en deux étapes dont les buts sont les suivants :

La preuve se fait en deux étapes dont les buts sont les suivants : Ce texte présente quelques notes concernant les résultats de l article de J.Kollár [Ko04] sur la R-équivalence en famille. Le théorème principal est le suivant : Théorème 1. Soit K un corps local et soit

Plus en détail

2010/2011. Espaces vectoriels

2010/2011. Espaces vectoriels Université Paris-Est Marne-la-Vallée 010/011 M1 enseignement CD/Préparation au CAPES Espaces vectoriels Dans toute la suite on considèrera des espaces vectoriels sur un corps commutatif K de caractéristique

Plus en détail

Les formes modulaires, la «cinquième opération de l arithmétique»

Les formes modulaires, la «cinquième opération de l arithmétique» Les formes modulaires, la «cinquième opération de l arithmétique» Cécile Armana, Institut de Mathématiques de Jussieu Séminaire lambda, Institut de Mathématiques de Bordeaux, 16 mai 2007 Selon une citation

Plus en détail

Espaces affines. 2 Applications affines 7. 2.2 Projections et symétries affines ; affinités... 8 2.3 Alignement et parallélisme...

Espaces affines. 2 Applications affines 7. 2.2 Projections et symétries affines ; affinités... 8 2.3 Alignement et parallélisme... Maths PCSI Cours Espaces affines Table des matières 1 Espaces et sous-espaces affines 2 1.1 Espaces affines et translations.................................... 2 1.2 Exemples d espaces affines......................................

Plus en détail

Algèbre approfondie - Automne 2007

Algèbre approfondie - Automne 2007 Algèbre approfondie - Automne 2007 ENS-Lyon ALGÈBRE COMMUTATIVE II : CORRIGÉ Exercice 1 (Localisation des modules) 1) Si (M,λ ) et (M,λ ) sont deux couples satisfaisant à la propriété universelle considérée,

Plus en détail

Algèbre linéaire avancée I Jeudi 8 Octobre 2015 Prof. A. Abdulle J =

Algèbre linéaire avancée I Jeudi 8 Octobre 2015 Prof. A. Abdulle J = Algèbre linéaire avancée I Jeudi 8 Octobre 205 Prof. A. Abdulle EPFL Série 4 (Corrigé) Exercice Soit J M 2n 2n (R) la matrice définie par J 0 In, I n 0 où I n est la matrice identité de M n n (R) et 0

Plus en détail

COHOMOLOGIE LOCALE DES FAISCEAUX COHÉRENTS ET LOCAUX ET GLOBAUX

COHOMOLOGIE LOCALE DES FAISCEAUX COHÉRENTS ET LOCAUX ET GLOBAUX SÉMINAIRE DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE DU BOIS MARIE 1962 COHOMOLOGIE LOCALE DES FAISCEAUX COHÉRENTS ET THÉORÈMES DE LEFSCHETZ LOCAUX ET GLOBAUX (SGA 2) Alexander Grothendieck (rédigé par un groupe d auditeurs)

Plus en détail

Enveloppe vectorielle ou. Transformer de l affine en du vectoriel

Enveloppe vectorielle ou. Transformer de l affine en du vectoriel Préparation à l Agrégation Année 2009 2010 ENS Cachan Vincent Beck Enveloppe vectorielle ou Transformer de l affine en du vectoriel 0 Mode d emploi. Cette note propose la construction de l enveloppe vectorielle

Plus en détail

Le Déterminant. par Alain Prouté Université Denis Diderot Paris 7. 1 Permutations. 1. 2 Application transposée, base duale. 3. 3 Mesures de volume.

Le Déterminant. par Alain Prouté Université Denis Diderot Paris 7. 1 Permutations. 1. 2 Application transposée, base duale. 3. 3 Mesures de volume. Ce cours peut être librement copié et distribué. Il est recommandé d en télécharger la version la plus récente à partir de : http://www.math.jussieu.fr/~alp. Toute remarque, correction ou suggestion doit

Plus en détail

Une axiomatisation du plan euclidien

Une axiomatisation du plan euclidien Nicole opp Strasbourg, avril 2007 Une axiomatisation du plan euclidien Le but de ce texte est de montrer comment on peut axiomatiser le plan euclidien d une manière qui se rapproche, autant que faire se

Plus en détail

Agrégation de Mathématiques Exercices d algèbre linéaire

Agrégation de Mathématiques Exercices d algèbre linéaire Agrégation de Mathématiques Exercices d algèbre linéaire P. HUBERT La plupart des exercices ci-dessous se trouvent dans les livres suivants : - E. Leichtnam, X. Schaeur, Exercices corrigés de mathématiques

Plus en détail

Classes Caratéristiques.

Classes Caratéristiques. Ce cours peut être librement copié et distribué. Il est recommandé d en télécharger la version la plus récente à partir de : http://www.math.jussieu.fr/~alp. Toute remarque, correction ou suggestion doit

Plus en détail

Cours de Mathématiques II Chapitre 1. Algèbre linéaire

Cours de Mathématiques II Chapitre 1. Algèbre linéaire Université de Paris X Nanterre UFR Segmi Année 7-8 Licence Economie-Gestion première année Cours de Mathématiques II Chapitre Algèbre linéaire Table des matières Espaces vectoriels Espaces et sous-espaces

Plus en détail

Construction de la mesure de Lebesgue. 1 Mesure positive engendrée par une mesure extérieure.

Construction de la mesure de Lebesgue. 1 Mesure positive engendrée par une mesure extérieure. Université d Artois Faculté des Sciences Jean Perrin Analyse Fonctionnelle (Licence 3 Mathématiques-Informatique Daniel Li Construction de la mesure de Lebesgue 28 janvier 2008 Dans ce chapitre, nous allons

Plus en détail

TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE

TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE P. Pansu 16 mai 2005 1 Qu est-ce que la topologie? C est l étude des propriétés des objets qui sont conservées par déformation continue. Belle phrase, mais qui nécessite d

Plus en détail

Mathématique - Cours

Mathématique - Cours Mathématique - Cours Filière STAV 2014-2015 Centre de Formation aux Métier de la Montagne Marine Estorge Le programme se compose ainsi : partie seconde partie 1/3 partie 2/3 partie 3/3 Sommaire 1 Ensemble

Plus en détail

Introduction à l étude des Corps Finis

Introduction à l étude des Corps Finis Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur

Plus en détail

Topologie des espaces vectoriels normés

Topologie des espaces vectoriels normés Topologie des espaces vectoriels normés Cédric Milliet Version préliminaire Cours de troisième année de licence Université Galatasaray Année 2011-2012 2 Chapitre 1 R-Espaces vectoriels normés 1.1 Vocabulaire

Plus en détail

Indication Prendre une combinaison linéaire nulle et l évaluer par ϕ n 1.

Indication Prendre une combinaison linéaire nulle et l évaluer par ϕ n 1. 1 Définition Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes (de E i dans F i ) sont linéaires : f 1 : (x, y) R 2 (2x + y, x y) R 2, f 2 : (x, y, z) R 3 (xy, x, y) R 3 f 3 : (x, y, z) R 3 (2x +

Plus en détail

Rappels d Algèbre Linéaire de P.C.S.I

Rappels d Algèbre Linéaire de P.C.S.I Rappels d Algèbre Linéaire de PCSI Table des matières 1 Structure d espace vectoriel sur IK 3 11 Définition et règles de calcul 3 12 Exemples de référence 3 13 Espace vectoriel produit 4 14 Sous-espaces

Plus en détail

GROUPES LIBRES ET PRÉSENTATIONS DE GROUPES

GROUPES LIBRES ET PRÉSENTATIONS DE GROUPES GROUPES LIBRES ET PRÉSENTATIONS DE GROUPES Nous verrons ici comment présenter un groupe en termes de générateurs relations. Le but est de préciser le groupe de manière en même temps minimaliste parlante.

Plus en détail

en dimension finie Table des matières

en dimension finie Table des matières Maths PCSI Cours Algèbre linéaire en dimension finie Table des matières 1 Rappels d algèbre linéaire 2 1.1 Applications linéaires......................................... 2 1.2 Familles libres, génératrices

Plus en détail

π 0 = réduction modulo t X s (k) = origine des arcs

π 0 = réduction modulo t X s (k) = origine des arcs FONCTION ZÊTA ET FIBRE DE MILNOR MOTIVIQUES DU POINT DE VUE DE LA GÉOMÉTRIE RIGIDE Dans ce qui suit on fixera : 1. Cadre et Notations k = corps, car(k) = 0, k = k R := k[[t]], K = k((t)) K(d) := k(( d

Plus en détail

Courbes elliptiques, fonctions L et conjecture de Zagier

Courbes elliptiques, fonctions L et conjecture de Zagier Courbes elliptiques, fonctions L et conjecture de Zagier François Brunault Exposé au séminaire de mathématiques pures, Université de Clermont-Ferrand, mardi 15 novembre 25 Les courbes elliptiques sont

Plus en détail

Exos corrigés darithmétique...classe : TS-Spé. Prof. MOWGLI Ahmed. Année scolaire 2015-2016

Exos corrigés darithmétique...classe : TS-Spé. Prof. MOWGLI Ahmed. Année scolaire 2015-2016 Exos corrigés darithmétique...classe : TS-Spé Prof. MOWGLI Ahmed Année scolaire 2015-2016 1 Pour des cours particuliers par petits groupes de 3 ou 4 élèves en maths et/ou physique-chimie, veuillez me contacter.

Plus en détail

TOPOLOGIE DIFFÉRENTIELLE

TOPOLOGIE DIFFÉRENTIELLE TOPOLOGIE DIFFÉRENTIELLE François LAUDENBACH INTRODUCTION 1 Pour la rédaction d un premier cours de Topologie Différentielle, l écueil est de gaspiller son énergie à mettre en place beaucoup d objets nouveaux,

Plus en détail

C H A P I T R E 2 C A L C U L S A L G E B R I Q U E S

C H A P I T R E 2 C A L C U L S A L G E B R I Q U E S Classe de Troisième C H A P I T R E C A L C U L S A L G E B R I Q U E S UTILISER DES LETTRES...4 EXPRESSIONS ÉQUIVALENTES...6 VOCABULAIRE DU CALCUL LITTÉRAL...7 RÉDUCTIONS D'ÉCRITURES...9 DÉVELOPPER UN

Plus en détail

Placements de tours sur les diagrammes de permutations

Placements de tours sur les diagrammes de permutations Placements de tours sur les diagrammes de permutations 5 août 0 Résumé Le problème des placements de tours consiste à compter le nombre de manières de placer k tours sur un échiquier sans que les tours

Plus en détail

Algèbre Année 2007-2008 ENS Cachan Vincent Beck. Action de groupes

Algèbre Année 2007-2008 ENS Cachan Vincent Beck. Action de groupes Algèbre Année 2007-2008 ENS Cachan Vincent Beck Action de groupes L idée centrale de cette note est de mettre en évidence le fait fondamental suivant une action d un groupe G sur un ensemble X, «c est»

Plus en détail

CODES CORRECTEURS D'ERREURS

CODES CORRECTEURS D'ERREURS CODES CORRECTEURS D'ERREURS Marc URO TABLE DES MATIÈRES DÉTECTION ET CORRECTION D'ERREURS... 6 CAS D'UN CANAL SANS SYMBOLE D'EFFACEMENT...6 CAS D'UN CANAL AVEC SYMBOLE D'EFFACEMENT...7 GÉNÉRATION ET DÉTECTION

Plus en détail

Actions de groupes. Exemples et applications

Actions de groupes. Exemples et applications 4 Actions de groupes. Exemples et applications G, ) est un groupe multiplicatif et on note ou G si nécessaire) l élément neutre. E est un ensemble non vide et S E) est le groupe des permutations de E.

Plus en détail

Introduction aux espaces quotients

Introduction aux espaces quotients Introduction aux espaces quotients Marc SAGE 7 février 2005 Table des matières 1 Introduction 2 1.1 Quotient d un groupe abélien par un sous-groupe........................... 2 1.2 Intérêt du quotient............................................

Plus en détail

Généralités sur les fonctions numériques

Généralités sur les fonctions numériques 7 Généralités sur les fonctions numériques Une fonction numérique est, de manière générale, une fonction d une variable réelle et à valeurs réelles. 7.1 Notions de base sur les fonctions Si I, J sont deux

Plus en détail

TD Dérivation n 2 : étude des variations de fonctions

TD Dérivation n 2 : étude des variations de fonctions 1) f (x) = 7x+3 TD Dérivation n : étude des variations de fonctions Étude de variations f est une fonction affine, de coefficient directeur négatif, on sait donc qu elle est décroissante surê. Le calcul

Plus en détail

1. a) question de cours b) P(f) est un polynôme de l endomorphisme f donc commute avec f.

1. a) question de cours b) P(f) est un polynôme de l endomorphisme f donc commute avec f. escp-eap 2(Ecole de commerce) OPTION SCIENTIFIQUEMATHEMATIQUES I adapté en retirant certaines question qui sont du cours de PC et en ajoutant le dernier exemple.. a) question de cours b) P(f) est un polynôme

Plus en détail

DÉTERMINANTS DANS LE PLAN ET DANS L'ESPACE. par. Benoît Kloeckner

DÉTERMINANTS DANS LE PLAN ET DANS L'ESPACE. par. Benoît Kloeckner DÉTERMINANTS DANS LE PLAN ET DANS L'ESPACE par Benoît Kloeckner L'objectif de ce cours est d'introduire le déterminant d'une famille de vecteurs dans R 2 et R 3, ainsi que le produit vectoriel. Les prérequis

Plus en détail

Cours d Analyse Réelle 4M003

Cours d Analyse Réelle 4M003 Cours d Analyse Réelle 4M003 Jean SAINT RAYMOND Université Pierre et Marie Curie Avant-propos Ce texte a été rédigé pour servir de support écrit à un cours de Master 1 de l Université Pierre-et-Marie Curie.

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Applications linéaires I) Applications linéaires - Généralités 1.1) Introduction L'idée d'application linéaire est intimement liée à celle d'espace vectoriel. Elle traduit la stabilité par combinaison

Plus en détail

Mathématiques et Philosophie en classe de seconde

Mathématiques et Philosophie en classe de seconde Mathématiques et Philosophie en classe de seconde Intervention du Professeur de mathématiques. Effectif de la classe : 34 élèves. Intervention : quinze heures en alternance avec le cours de Philosophie.

Plus en détail

Bissectrices. Daniel Perrin

Bissectrices. Daniel Perrin Bissectrices Daniel Perrin Introduction Le but de ce texte est d essayer de donner une référence fiable sur la question des bissectrices, pour traiter notamment l exposé de CAPES intitulé Droites remarquables

Plus en détail

Cours polycopié pour le module Mathématique II

Cours polycopié pour le module Mathématique II Université Paul Sabatier - UFR MIG - Département de Mathématique. Année scolaire 2009/2010. Cours polycopié pour le module Mathématique II Conventions. Dans ce qui suit, les mots en italiques sont ceux

Plus en détail

Autour de Perron, Frobenius et Markov

Autour de Perron, Frobenius et Markov Université Claude Bernard Lyon 1-2007/2008 Préparation Capes - Algèbre et Géométrie - Devoir à rendre le 12 février 2008 - Autour de Perron Frobenius et Markov Rappels et notations On note M mn (K) le

Plus en détail

Jacobiennes modulaires non hyperelliptiques de dimension 3

Jacobiennes modulaires non hyperelliptiques de dimension 3 Jacobiennes modulaires non hyperelliptiques de dimension 3 Roger Oyono University of Waterloo Séminaire de Théorie des nombres, Limoges 2007 Jacobiennes modulaires de dimension 3 1 Courbes non hyperelliptiques

Plus en détail

CH.2 CODES CORRECTEURS

CH.2 CODES CORRECTEURS CH.2 CODES CORRECTEURS 2.1 Le canal bruité 2.2 La distance de Hamming 2.3 Les codes linéaires 2.4 Les codes de Reed-Muller 2.5 Les codes circulaires 2.6 Le câblage des codes circulaires 2.7 Les performances

Plus en détail

1 Topologies, distances, normes

1 Topologies, distances, normes Université Claude Bernard Lyon 1. Licence de mathématiques L3. Topologie Générale 29/1 1 1 Topologies, distances, normes 1.1 Topologie, distances, intérieur et adhérence Exercice 1. Montrer que dans un

Plus en détail

concours externe de recrutement de professeurs certifiés et concours d accès à des listes d aptitude (CAFEP)

concours externe de recrutement de professeurs certifiés et concours d accès à des listes d aptitude (CAFEP) SESSION DE 2005 concours externe de recrutement de professeurs certifiés et concours d accès à des listes d aptitude (CAFEP) section : mathématiques deuxième composition de mathématiques (épreuve de remplacement)

Plus en détail

Exo7. Espaces vectoriels. 1 Définition, sous-espaces. Fiche amendée par David Chataur et Arnaud Bodin.

Exo7. Espaces vectoriels. 1 Définition, sous-espaces. Fiche amendée par David Chataur et Arnaud Bodin. Exo7 Espaces vectoriels Fiche amendée par David Chataur et Arnaud Bodin. Définition, sous-espaces Exercice Montrer que les ensembles ci-dessous sont des espaces vectoriels (sur R) : E = { f : [,] R } :

Plus en détail

Examen Partiel. Un soin particulier dans la rédaction est demandé. Les astérisques indiquent l importance des questions et non pas leur difficulté.

Examen Partiel. Un soin particulier dans la rédaction est demandé. Les astérisques indiquent l importance des questions et non pas leur difficulté. UFR de Mathématiques, Université de Paris 7 DEA 1996/97 premier semestre Introduction à la cohomologie de de Rham des variétés algébriques A. Arabia & Z. Mebkhout Vendredi 6 décembre 1996 Examen Partiel

Plus en détail

TRINÔME DU SECOND DEGRÉ

TRINÔME DU SECOND DEGRÉ TRINÔME DU SECOND DEGRÉ Définition On appelle fonction trinôme du second degré, toute fonction f définie sur IR qui, à x associe f(x) = ax 2 + bx + c, a, b et c étant trois réels avec a 0. Exemple Les

Plus en détail

Structures algébriques

Structures algébriques Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe

Plus en détail

Yves Laszlo COURS DE M2 INTRODUCTION À LA

Yves Laszlo COURS DE M2 INTRODUCTION À LA Yves Laszlo COURS DE M2 INTRODUCTION À LA GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE ÉCOLE POLYTECHNIQUE 2004-2005 Yves Laszlo École Polytechnique, CMLS, 91128 Palaiseau, France. E-mail : laszlo@math.polytechnique.fr COURS

Plus en détail

Anneaux, algèbres. Chapitre 2. 2.1 Structures

Anneaux, algèbres. Chapitre 2. 2.1 Structures Chapitre 2 Anneaux, algèbres 2.1 Structures Un anneau est un ensemble A muni de deux opérations internes + et et d éléments 0 A et 1 A qui vérifient : associativité de l addition : commutativité de l addition

Plus en détail

ALGEBRE: GROUPES ET ANNEAUX 1

ALGEBRE: GROUPES ET ANNEAUX 1 Université Blaise Pascal U.F.R. Sciences et Technologies Département de Mathématiques et Informatique Licence de Mathématiques Troisième année, U.E. 35MATF2 ALGEBRE: GROUPES ET ANNEAUX 1 Polycopié du cours

Plus en détail

Algèbre linéaire. 1 Espaces vectoriels R n. Jean-Paul Davalan. 1.1 Les ensembles R n. 1.2 Addition dans R n. (R n, +) désigne R n muni de l addition.

Algèbre linéaire. 1 Espaces vectoriels R n. Jean-Paul Davalan. 1.1 Les ensembles R n. 1.2 Addition dans R n. (R n, +) désigne R n muni de l addition. Algèbre linéaire. Jean-Paul Davalan 2001 1 Espaces vectoriels R n. 1.1 Les ensembles R n. Définition 1.1 R 2 est l ensemble des couples (x, y) de deux nombres réels x et y. D une manière générale, un entier

Plus en détail

Premier cours : jeudi 20 septembre.

Premier cours : jeudi 20 septembre. Premier cours : jeudi 20 septembre. 1 Préliminaires Espace projectif L espace projectif P n est le quotient de C n+1 \ {0} par les homothéties : P n = C n+1 \ {0}/ où (x 0,, x n ) (c.x 0,, c.x n ) avec

Plus en détail

Résumé de Math Sup et compléments : algèbre linéaire

Résumé de Math Sup et compléments : algèbre linéaire Résumé de Ma Sup et compléments : algèbre linéaire I - Espaces vectoriels - Sous espaces vectoriels 1) Structure de K-espace vectoriel Soient K un sous-corps de C et E un ensemble non vide muni d une l.d.c.i.

Plus en détail

Boîte à outils mathématiques de base pour l infographie et l animation par ordinateur. Yves Chiricota, professeur DIM, UQAC Cours 8TRD147

Boîte à outils mathématiques de base pour l infographie et l animation par ordinateur. Yves Chiricota, professeur DIM, UQAC Cours 8TRD147 Boîte à outils mathématiques de base pour l infographie et l animation par ordinateur Yves Chiricota, professeur DIM, UQAC Cours 8TRD147 14 Janvier 2015 2 Il est impossible d envisager l étude des méthodes

Plus en détail

Arithmétique et Tests de Primalité

Arithmétique et Tests de Primalité Arithmétique et Tests de Primalité Pierre Rouchon Centre Automatique et Systèmes Mines ParisTech pierre.rouchon@mines-paristech.fr Novembre 2012 P.Rouchon (Mines ParisTech) Arithmétique et Tests de Primalité

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. b) Soit (u n ) n N une suite d éléments de [0 ; 1]. Montrer

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. b) Soit (u n ) n N une suite d éléments de [0 ; 1]. Montrer [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 9 décembre 05 Enoncés Familles sommables Ensemble dénombrable a) Calculer n+ Exercice [ 03897 ] [Correction] Soit f : R R croissante. Montrer que l ensemble des

Plus en détail

Multiplication rapide : Karatsuba et FFT

Multiplication rapide : Karatsuba et FFT Université Bordeaux 1 Préparation à l agrégation Mathématiques Année 2009 2010 Multiplication rapide : Karatsuba et FFT Il est rappelé que le jury n exige pas une compréhension exhaustive du texte. Vous

Plus en détail

COHOMOLOGIE ET GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE

COHOMOLOGIE ET GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE COHOMOLOGIE ET GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE JEAN-PIERRE SERRE De nombreux problèmes de géométrie algébrique classique peuvent être formulés et étudiés de la façon la plus commode au moyen de la théorie des faisceaux:

Plus en détail

Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M. Topologie

Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M. Topologie Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M Topologie 1 Espaces métriques 1.1 Distance Dans toute cette partie E représente un ensemble qui n est pas forcément un espace vectoriel. Définition

Plus en détail

OLYMPIADES FRANÇAISES DE MATHÉMATIQUES ÉPREUVE DE SÉLECTION 2012 CORRIGÉ EXERCICES POUR LES ÉLÈVES DE COLLÈGE ET DE SECONDE

OLYMPIADES FRANÇAISES DE MATHÉMATIQUES ÉPREUVE DE SÉLECTION 2012 CORRIGÉ EXERCICES POUR LES ÉLÈVES DE COLLÈGE ET DE SECONDE OLYMPIADES FRANÇAISES DE MATHÉMATIQUES ÉPREUVE DE SÉLECTION 2012 CORRIGÉ EXERCICES POUR LES ÉLÈVES DE COLLÈGE ET DE SECONDE Exercice 1. Fred et Sarah sont les aînés d une même et grande famille. Fred a

Plus en détail

NOMBRES ALGÉBRIQUES ET NOMBRES p-adiques. cours préparatoire aux études doctorales 2003-04. par Loïc Merel

NOMBRES ALGÉBRIQUES ET NOMBRES p-adiques. cours préparatoire aux études doctorales 2003-04. par Loïc Merel NOMBRES ALGÉBRIQUES ET NOMBRES p-adiques cours préparatoire aux études doctorales 2003-04 par Loïc Merel Université Pierre et Marie Curie Université Denis Diderot I Les valeurs absolues des nombres rationnels

Plus en détail

RAPPELS ET COMPLÉMENTS CALCULATOIRES

RAPPELS ET COMPLÉMENTS CALCULATOIRES RAPPELS ET COMPLÉMENTS CALCULATOIRES ENSEMBLES DE NOMBRES ENSEMBLES,,,ET: On rappelle que : désigne l ensembleprivé de 0 idem pour, et, + désigne l ensemble des réels positifs ou nuls et l ensemble des

Plus en détail

ALGÈBRE BILINÉAIRE 1

ALGÈBRE BILINÉAIRE 1 3-8- 213 J.F.C. Eve p. 1 ALGÈBRE BILINÉAIRE 1 P mentionne des résultats particulièrement utiles et souvent oubliés dans la pratique de l algèbre bilinéaire... mentionne des erreurs à ne pas faire où des

Plus en détail

208 - Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples

208 - Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples 208 - Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples On se xe un corps K = R ou C. Tous les espaces vectoriels considérés auront K comme corps de base. 1 Généralités Remarque. Tout

Plus en détail

Matrices et déterminants

Matrices et déterminants Matrices et déterminants Matrices Définition.. Une matrice réelle (ou complexe) M = (m i,j ) (m, n) à m lignes et n colonnes est un tableau à m lignes et n colonnes de réels (ou de complexes). Le coefficient

Plus en détail

www.h-k.fr/publications/objectif-agregation

www.h-k.fr/publications/objectif-agregation «Sur C, tout est connexe!» www.h-k.fr/publications/objectif-agregation L idée de cette note est de montrer que, contrairement à ce qui se passe sur R, «sur C, tout est connexe». Cet abus de langage se

Plus en détail