On voit que même pour les nombres premiers la situation n est pas claire, néanmoins c est le cas le plus simple et donc on va l étudier en premier.

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1 Chitre 3 : Résidus qudrtiques Dns ce chitre on v essyer d extrire des rcines crrés dns ZnZ. Dns le cors des nombres réels tous les nombres ositifs sont des crrés et les nombres négtifs ne le sont s, dns le cors des nombres comlexes tous les nombres sont des crrés, mis dns ZnZ, comme on v le voir ici, c est déjà ssez comliqué de déterminer si un élément est le crré d un utre. On v donner une méthode ermettnt de le svoir, uis le cs échént on v résenter un moyen de déterminer le nombre de rcines crrés distinctes d un élément de ZnZ. On verr ensuite comment cluler ces rcines crrées dns des cs rticuliers. I Dé nition - Exemles Dé nition I.1 Soit x ZnZ, on dit que x est un crré (ou un résidu qudrtique) si il existe y ZnZ tel que x y, dns ce cs on dit que y est une rcine crrée de x. Exemle I.1 Dns Z10Z les crrés sont 0; 1; 4; 5; 6; 9. Dns Z11Z les crrés sont 0; 1; 3; 4; 5; 9. Dns Z1Z les crrés sont 0; 1; 4; 9. Dns Z13Z les crrés sont 0; 1; 3; 4; 9; 10; 1. On voit que même our les nombres remiers l sitution n est s clire, nénmoins c est le cs le lus simle et donc on v l étudier en remier. II Résidus qudrtiques dns ZZ Attention : dns cette rtie désigner un nombre remier imir, donc 6. Donnons tout d bord le nombre de crrés dns ZZ. Proosition II.1 Le nombre de crrés dns ZZ est +1 Démonstrtion. Comme 0 est crré, il su t de montrer que le nombre de crrés non nuls qu on v noter N vut 1. Soit 6 0 ZZ, comme est imir on 6 et ( ) donc N 1. D utre rt l éqution x b dmet u lus deux solutions donc N 1 ce qui ermet de conclure N 1. Nous llons mintennt voir une crctéristion des crrés de (ZZ). Proosition II. Soit x (ZZ), on x 1 1 et Démonstrtion. On x est un crré () x 1 1 x 1 x 1 1, donc d rès le corollire III.1 du chitre 1 on x 1 1. Si x est un crré, soit y tel que y x on x 1 y 1 1. Réciroquement, suosons que x 1 1. Comme (ZZ) est cyclique on eut en choisir un générteur g. Donc g l 1, l est multile de 1, et il existe un entier k tel que g k x donc x 1 g k 1 k 1 est multile de 1 donc k est ir donc k m et x g m (g m ) donc x est un crré. Corollire II.1 1 est un crré dns ZZ si et seulement si 1 [4]. 1 donc Démonstrtion. D rès l roosition récédente on 1 est un crré dns ZZ si et seulement ( 1) 1 1 et cel est vri si et seulement si 1 est ir ce qui équivut à 1 [4]. Mintennt que l on sit déterminer les crrés de ZZ, le roblême nturel est de chercher leurs (deux) rcines crrées. C est un roblême très di cile en générl, mis en se restreignnt à un cs rticulier on eut y rvenir : 1

2 Proosition II.3 Si est congru à 3 modulo 4 et si est un crré de ZZ lors les solutions de x sont +1 4 et Démonstrtion. Soit un crré de ZZ, on D utre rt, on sit que x dmet u lus deux solutions dns le cors ZZ (roosition III.1 du chitre 1), donc on les toutes. Dé nition II.1 Si est un crré de ZZ lors +1 4 est elle même un crré, cette rcine s elle l rcine rincile de ; et on note cette rcine :. Exemle II.1 On ose 19. Dns Z19Z, on ( 3) 5 (9) ( 3) 15 4 et ( ) 6 5. On mis ( 6), cel montre que n est s un crré sns Z19Z. Remrque II.1 Si est congru à 1 modulo 4 lors on 1 e s vec s imir et e, si est un crré de ZZ, il y un lgorithme our trouver les rcines crrées de : Il s elle l lgorithme de Tonelli et Shnks et n est s simle à mettre en oeuvre, nénmoins on eut fcilement résenter l remière éte qui su t rfois! On clcule s, et si on trouve 1 lors les rcines crrées de sont s+1 en e et s+1 s+1 s. Exemle II. Si 9; s 7. Cherchons les rcines crrés de 3 dns Z9Z, on 3 7 mod 9 1 donc ce sont III Symbole de Legendre est toujours un nombre remier imir. Dé nition III.1 Soit Z On dé nit le symbole de Legendre noté r < : 0 si est un multile de 1 si est un crré modulo 1 si n est s un crré modulo A riori, il s git d une nottion ermettnt de re-écrire les résultts du rgrhe récédent. Mis comme on v le voir, ce symbole de Legendre ossède des roriétés qui ermettent de le clculer très fcilement et donc de svoir isément si un nombre est un crré modulo ou s. Tout d bord reformulons vec ce symbole ce que l on sit : Proosition III.1 Soit x (ZZ), on x x 1 Exemle III.1 On rend 101, si on clcule dns Z101Z on trouve 1 et donc 56 est un crré dns Z101Z. On v en déduire le résultt suivnt:

3 Corollire III.1 Soit et b deux entiers non divisibles r, on b si b [] b b Démonstrtion. Le remier oint est immédit. Le suivnt découle de l formule récédente cr 1 b 1 (b) 1. b 56 Exemle III On v mintennt énoncer un théorème célèbre qui v nous ermettre de clculer fcilement tout symbole de Legendre : Théorème III.1 Récirocité qudrtique. Soient et q deux nombres remiers imirs, on q ( 1) 1 q 1 q Démonstrtion. Admise. Remrque III.1 On eut énoncer le théorème de récirocité qudrtique de l fçon suivnte : Soient et q deux nombres remiers imirs, on ( q si 3 [4] et q 3 [4] q q sinon 7 Exemle III et donc Pour tout nombre remier, 5 est un crré dns ZZ si et seulement si est un crré dns Z5Z c est à dire si et seulement si 1 [5]. Pour ouvoir clculer tout symbole de Legendre il nous mnque encore le résultt suivnt : Théorème III. Lois comlémentires. Pour remier imir on 1 1 si 1 [4] 1 si 1 [] et 1 si 3 [4] 1 sinon Démonstrtion. le remier oint découle de l roosition récédente, le deuxième oint est dmis. Exemle III [] donc donc et donc 56 est un crré dns Z101Z. 3

4 Exemle III.5 On v de nouveu utiliser les règles énoncées ci-dessus our clculer 011 : récirocité, 1 [4] cr [] 97 cr : récirocité, 1 [4] cr 56 [97] cr : récirocité, 97 1 [4] cr 97 1 [7] 7 97 ( 1) 1 3 : lois comlémentires : IV Crrés modulo un entier quelconque On v étendre l dé nition du symbole de Legendre ux "dénominteurs" non nécéssirement remiers, mis imirs. Dé nition IV.1 Soit et m deux entiers vec m > 1 imir et soit m Q k fcteurs remiers. On dé nit le symbole de Jcobi, noté m r >< ky i i si ^ m 1 m >: i1 0 si ^ m 6 1 i1 i i l décomosition de m en Bien sûr les di érentes roriétés du symbole de Legendre s étendent u symbole de Jcobi, c est à dire que l on : Proosition IV.1 Soient m; n; ; b qutre entiers vec m; n > 1 imirs. On 1 si ^ m 1 m b si b [m] m m b b m m m m n mn 4

5 Démonstrtion. Si ^ m 1 comme our tout nombre remier on 1; l formule de dé nition montre que m 1: Si b [m] lors on ^ m b ^ m. Premier cs : ^ m 6 1 lors m b m 0. Deuxième cs : ^ m 1. Comme b [m], our tout fcteur remier de m on b [] donc b et donc les roduits sont égux. Le troisième oint est une conséquence immédite de l formule b b. Montrons le qutrième oint. Si ^ mn 6 1 l églité devient 0 0. Sinon on ^ m 6 1 et ^ n 6 1 il su t lors de voir que l décomosition en fcteurs remiers de mn est égle u roduit des décomositions de m et de n et l formule en découle. Théorème IV.1 Récirocité qudrtique (bis). Soient m et n deux nombres imirs et remiers entre eux, on m n ( 1) m 1 m 1 n m Démonstrtion. Admise. Peut se déduire du cs récédent. Pour voir l nlogie comlête vec le cs des nombres remiers, il nous mnque encore le résultt suivnt Théorème IV. Lois comlémentires (bis). Pour m imir on 1 1 si m 1 [4] 1 si m 1 [] et m 1 si m 3 [4] m 1 sinon Remrque IV.1 On étendu les roriétés clcultoires du symbole de Legendre, ce qui v nous ermettre de clculer le symbole de Jcobi mis celui-ci ne orte s utnt d informtion que le symbole de Legendre 1 ; est un crré dns ZmZ m r exemle 9 3 ( 1) 1 mis n est s un crré dns Z9Z. V Nombre de rcines crrées modulo n. Le but de ce rgrhe est de déterminer le nombre de solutions de x dns ZnZ: Dns ZZ, où est remier imir, si un nombre non nul est un crré lors il deux rcines crrées, si ce n est s un crré il n en s, donc dns les deux cs son nombre de rcines crrées est 1 +. On v voir qu en fit ce n est s lus comliqué dns le cs où n r. Théorème V.1 Soit un nombre remier imir, r N et Z tel que -. Le nombre de solutions de l éqution x dns Z r Z est 1 +. Démonstrtion. Il y deux choses à montrer : tout d bord qu un crré de (Z r Z) dmet exctement deux rcines crrées et ensuite qu un nombre est un crré dns (Z r Z) si et seulement si s réduction modulo est un crré dns ZZ. Montrons le remier oint. Soit un crré de (Z r Z), soient x et y deux rcines crrées de, on donc x y donc x y 0 dns Z r Z et donc il existe un entier k tel que on it dns Z : (x y) (x + y) k r. Si x y et x + y sont tous deux multiles de lors leur somme églement et donc x est multile de et donc x est multile de (cr imir) ce qui est imossible cr x ne l est s! Donc on soit x y multile de r et lors x y dns Z r Z, soit x + y multile de r et lors x y dns Z r Z. Donc n dmet que deux rcines crrées qui sont oosées l une de l utre, il y en bien deux cr seul 0 est son rore oosé dns Z r Z, en e et si x x lors x 0 et donc x 0 cr est inversible. Montrons mintennt le second oint. Il y une imliction simle, si x dns Z r Z lors il existe un entier k tel que x + k r et donc dns ZZ cel donne x :-) 5

6 Plus générlement il est fcile de voir qui si est un crré modulo r lors il l est églement modulo s our s <. Pour démontrer l utre imliction on v utiliser le lemme suivnt : Lemme V.1 Soit un nombre remier imir, m N et Z tel que -, si est un crré modulo m lors est un crré modulo m Ce lemme ermet lors fcilement de conclure, en e et on eut en deduire r récurrence que si est un crré modulo lors c est un crré modulo k our tout k N, r suite il su t de choisir k our que k > r et on en déduit grce à l remrque récédent le lemme que est un crré modulo r. Démonstrtion du lemme.: Soit x une rcine crrée de modulo m et soit x 0 x+y m, on v chercher à trouver une vleur de y our que x 0 soit une rcine crrée de modulo m. On x 0 (x + y m ) x + xy m + y m donc modulo m on x 0 x + xy m on ur donc x 0 si et seulement si il existe y tel que x + xy m 0 m c est à dire si il existe y tel que x m + xy 0 [m ] our cel il su t de rendre y x (x) 1 Z m Z cr x est inversible dns Z m Z. m Remrque V.1 Dns l reuve récédente, on construit une rcine crrée de modulo m, si on réduit celle-ci modulo m lors on retrouve une rcine crrée de modulo m. Donc our trouver des rcines crrées dns Z m Z on eut rtir de rcines crrées dns ZZ: Pr exemle, our résoudre x dns Z7 Z on commence à résoudre x dns Z7Z; les solutions sont lors 3 et 4, on cherche ensuite des solutions de l éqution initile de l forme x 3 + 7k et x 4 + 7k, et on trouve nlement x 10 et x 39 10: Mintennt il nous fut exminer le cs n r et on : Théorème V. Soit r N et N imir. Le nombre de solutions modulo r de l éqution x est donné r Si r 1; toujours une solution Si r ; deux solutions si 1 [4] ; zéro sinon. Si r 3; qutre solutions si 1 [] ; zéro sinon. Démonstrtion. Seul le troisième oint n est s évident. Soit x une rcine crrée de modulo r, lors x est imir on note x k + 1 mis lors on x (k + 1) 4k (k + 1) [] cr k (k + 1) est ir. Donc 1 [] sinon il n y s de solutions. Avec cette hyothèse on v montrer r récurrence sur r que dmet qutres rcines crrées. Si r 3 lors 1 et il y qutres rcines crrées : 1; 3; 5 et 7. Suosons que our un rng r xé, soit un crré modulo r, donc il existe x et k deux entiers tels que x + k r. Alors our y N on x + y r 1 x + xy r r+1 x + y r r+1 cr x est imir. + k r + y r r+1 donc si on choisit y de l même rité que k on x + y r 1 r+1 6

7 Donc est un crré modulo r+1. De lus si z est une rcine crrée de lors z est est une utre et (z + r ) en sont deux utres donc il y bien qutres solutions. Ce qui ermet de conclure l récurrence. Les résultts récédents combinés vec le théorème des restes chinois nous ermettent lors de connître les crrés de ZnZ: Théorème V.3 Soit (ZnZ), est un crré si et seulement si >< 1 our tout diviseur remier de n et 1 [4] si n 4 [] >: 1 [] si n est multile de : On eut même donner le nombre de rcines crrées : Théorème V.4 Soit un crré de (ZnZ), le nombre de rcines crrées de dns (ZnZ) est donné r Y! si 4 - n >< si n 4 [] et 1 [4] vec! 4 si j n et 1 [] >: 0 sinon jn remier imir Exemle V.1 On v résoudre l éqution x dns Z531Z. Comme our voir si deux est crré il su t de clculer 7 et 17 or on d 0 rès les loi comlémentires Donc est un crré dns Z531Z et l éqution dmet 4 solutions. On v l résoudre dns Z7 3 Z et dns Z17Z. Les solutions dns Z17Z sont 6, on vu que les solutions dns Z7 Z sont 10 et donc dns Z7 3 Z on cherche des solutions de l forme k;, k Z. On trouve lors 10. Aliquons mintennt le théoréme des restes chinois, comme on : les solutions sont donc et on trouve : 10 et x (6) (10) modulo 531 VI Entiers de Blum Dé nition VI.1 Un entier de Blum est un roduit de deux nombres remiers distincts et tous deux congrus à 3 modulo 4. Comme on v le voir, si n est un entier de Blum lors on eut fcilement clculer les rcines crrés dns (ZnZ), sur cette roriété reose un lgorithme de chi rement à clef ublique célèbre que nous étudierons lus trd : le chi rement de Rbin. Proosition VI.1 Soit n q un entier de Blum et soit un crré de (ZnZ) lors ossède qutre rcines crrées dont une (et une seule) est elle-même un crré de (ZnZ) : Cette rcine est elée rcine rincile de. Démonstrtion. On vu dns le rgrhe récédent que le nombre de rcines crrées de est qutre. De lus, on eut écrire que les rcines crrées de sont +1 4 ; q+1 4 dns (ZZ) (ZqZ) (qui s identi e à (ZnZ) grce u théorème des restes chinois), seul le coule formé r les deux rcines rinciles de modulo et modulo q est un crré modulo n. 7

8 Proosition VI. Soit n q un entier de Blum, notons Q l ensemble des crrés de (ZnZ), l liction est une bijection. Et l liction réciroque est Q! Q x! x ( 1)(q 1)+4 y! y Démonstrtion. y ( 1)(q 1)+4 ( 1)(q 1) y y 4 : Si y (; b) dns (ZZ) (ZqZ), comme y est un crré modulo n, est un crré modulo et b est un crré modulo q donc 1 1 et b q 1 1 donc ( 1)(q 1) ( 1)(q 1) ( 1)(q 1) (; b) 4 4 ; b 4 1 q 1 1 ; 1 (1; 1) donc ( 1)(q 1) y 4 1 ce qui ermet de conclure.

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