On voit que même pour les nombres premiers la situation n est pas claire, néanmoins c est le cas le plus simple et donc on va l étudier en premier.
|
|
- Cécile Laporte
- il y a 7 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Chitre 3 : Résidus qudrtiques Dns ce chitre on v essyer d extrire des rcines crrés dns ZnZ. Dns le cors des nombres réels tous les nombres ositifs sont des crrés et les nombres négtifs ne le sont s, dns le cors des nombres comlexes tous les nombres sont des crrés, mis dns ZnZ, comme on v le voir ici, c est déjà ssez comliqué de déterminer si un élément est le crré d un utre. On v donner une méthode ermettnt de le svoir, uis le cs échént on v résenter un moyen de déterminer le nombre de rcines crrés distinctes d un élément de ZnZ. On verr ensuite comment cluler ces rcines crrées dns des cs rticuliers. I Dé nition - Exemles Dé nition I.1 Soit x ZnZ, on dit que x est un crré (ou un résidu qudrtique) si il existe y ZnZ tel que x y, dns ce cs on dit que y est une rcine crrée de x. Exemle I.1 Dns Z10Z les crrés sont 0; 1; 4; 5; 6; 9. Dns Z11Z les crrés sont 0; 1; 3; 4; 5; 9. Dns Z1Z les crrés sont 0; 1; 4; 9. Dns Z13Z les crrés sont 0; 1; 3; 4; 9; 10; 1. On voit que même our les nombres remiers l sitution n est s clire, nénmoins c est le cs le lus simle et donc on v l étudier en remier. II Résidus qudrtiques dns ZZ Attention : dns cette rtie désigner un nombre remier imir, donc 6. Donnons tout d bord le nombre de crrés dns ZZ. Proosition II.1 Le nombre de crrés dns ZZ est +1 Démonstrtion. Comme 0 est crré, il su t de montrer que le nombre de crrés non nuls qu on v noter N vut 1. Soit 6 0 ZZ, comme est imir on 6 et ( ) donc N 1. D utre rt l éqution x b dmet u lus deux solutions donc N 1 ce qui ermet de conclure N 1. Nous llons mintennt voir une crctéristion des crrés de (ZZ). Proosition II. Soit x (ZZ), on x 1 1 et Démonstrtion. On x est un crré () x 1 1 x 1 x 1 1, donc d rès le corollire III.1 du chitre 1 on x 1 1. Si x est un crré, soit y tel que y x on x 1 y 1 1. Réciroquement, suosons que x 1 1. Comme (ZZ) est cyclique on eut en choisir un générteur g. Donc g l 1, l est multile de 1, et il existe un entier k tel que g k x donc x 1 g k 1 k 1 est multile de 1 donc k est ir donc k m et x g m (g m ) donc x est un crré. Corollire II.1 1 est un crré dns ZZ si et seulement si 1 [4]. 1 donc Démonstrtion. D rès l roosition récédente on 1 est un crré dns ZZ si et seulement ( 1) 1 1 et cel est vri si et seulement si 1 est ir ce qui équivut à 1 [4]. Mintennt que l on sit déterminer les crrés de ZZ, le roblême nturel est de chercher leurs (deux) rcines crrées. C est un roblême très di cile en générl, mis en se restreignnt à un cs rticulier on eut y rvenir : 1
2 Proosition II.3 Si est congru à 3 modulo 4 et si est un crré de ZZ lors les solutions de x sont +1 4 et Démonstrtion. Soit un crré de ZZ, on D utre rt, on sit que x dmet u lus deux solutions dns le cors ZZ (roosition III.1 du chitre 1), donc on les toutes. Dé nition II.1 Si est un crré de ZZ lors +1 4 est elle même un crré, cette rcine s elle l rcine rincile de ; et on note cette rcine :. Exemle II.1 On ose 19. Dns Z19Z, on ( 3) 5 (9) ( 3) 15 4 et ( ) 6 5. On mis ( 6), cel montre que n est s un crré sns Z19Z. Remrque II.1 Si est congru à 1 modulo 4 lors on 1 e s vec s imir et e, si est un crré de ZZ, il y un lgorithme our trouver les rcines crrées de : Il s elle l lgorithme de Tonelli et Shnks et n est s simle à mettre en oeuvre, nénmoins on eut fcilement résenter l remière éte qui su t rfois! On clcule s, et si on trouve 1 lors les rcines crrées de sont s+1 en e et s+1 s+1 s. Exemle II. Si 9; s 7. Cherchons les rcines crrés de 3 dns Z9Z, on 3 7 mod 9 1 donc ce sont III Symbole de Legendre est toujours un nombre remier imir. Dé nition III.1 Soit Z On dé nit le symbole de Legendre noté r < : 0 si est un multile de 1 si est un crré modulo 1 si n est s un crré modulo A riori, il s git d une nottion ermettnt de re-écrire les résultts du rgrhe récédent. Mis comme on v le voir, ce symbole de Legendre ossède des roriétés qui ermettent de le clculer très fcilement et donc de svoir isément si un nombre est un crré modulo ou s. Tout d bord reformulons vec ce symbole ce que l on sit : Proosition III.1 Soit x (ZZ), on x x 1 Exemle III.1 On rend 101, si on clcule dns Z101Z on trouve 1 et donc 56 est un crré dns Z101Z. On v en déduire le résultt suivnt:
3 Corollire III.1 Soit et b deux entiers non divisibles r, on b si b [] b b Démonstrtion. Le remier oint est immédit. Le suivnt découle de l formule récédente cr 1 b 1 (b) 1. b 56 Exemle III On v mintennt énoncer un théorème célèbre qui v nous ermettre de clculer fcilement tout symbole de Legendre : Théorème III.1 Récirocité qudrtique. Soient et q deux nombres remiers imirs, on q ( 1) 1 q 1 q Démonstrtion. Admise. Remrque III.1 On eut énoncer le théorème de récirocité qudrtique de l fçon suivnte : Soient et q deux nombres remiers imirs, on ( q si 3 [4] et q 3 [4] q q sinon 7 Exemle III et donc Pour tout nombre remier, 5 est un crré dns ZZ si et seulement si est un crré dns Z5Z c est à dire si et seulement si 1 [5]. Pour ouvoir clculer tout symbole de Legendre il nous mnque encore le résultt suivnt : Théorème III. Lois comlémentires. Pour remier imir on 1 1 si 1 [4] 1 si 1 [] et 1 si 3 [4] 1 sinon Démonstrtion. le remier oint découle de l roosition récédente, le deuxième oint est dmis. Exemle III [] donc donc et donc 56 est un crré dns Z101Z. 3
4 Exemle III.5 On v de nouveu utiliser les règles énoncées ci-dessus our clculer 011 : récirocité, 1 [4] cr [] 97 cr : récirocité, 1 [4] cr 56 [97] cr : récirocité, 97 1 [4] cr 97 1 [7] 7 97 ( 1) 1 3 : lois comlémentires : IV Crrés modulo un entier quelconque On v étendre l dé nition du symbole de Legendre ux "dénominteurs" non nécéssirement remiers, mis imirs. Dé nition IV.1 Soit et m deux entiers vec m > 1 imir et soit m Q k fcteurs remiers. On dé nit le symbole de Jcobi, noté m r >< ky i i si ^ m 1 m >: i1 0 si ^ m 6 1 i1 i i l décomosition de m en Bien sûr les di érentes roriétés du symbole de Legendre s étendent u symbole de Jcobi, c est à dire que l on : Proosition IV.1 Soient m; n; ; b qutre entiers vec m; n > 1 imirs. On 1 si ^ m 1 m b si b [m] m m b b m m m m n mn 4
5 Démonstrtion. Si ^ m 1 comme our tout nombre remier on 1; l formule de dé nition montre que m 1: Si b [m] lors on ^ m b ^ m. Premier cs : ^ m 6 1 lors m b m 0. Deuxième cs : ^ m 1. Comme b [m], our tout fcteur remier de m on b [] donc b et donc les roduits sont égux. Le troisième oint est une conséquence immédite de l formule b b. Montrons le qutrième oint. Si ^ mn 6 1 l églité devient 0 0. Sinon on ^ m 6 1 et ^ n 6 1 il su t lors de voir que l décomosition en fcteurs remiers de mn est égle u roduit des décomositions de m et de n et l formule en découle. Théorème IV.1 Récirocité qudrtique (bis). Soient m et n deux nombres imirs et remiers entre eux, on m n ( 1) m 1 m 1 n m Démonstrtion. Admise. Peut se déduire du cs récédent. Pour voir l nlogie comlête vec le cs des nombres remiers, il nous mnque encore le résultt suivnt Théorème IV. Lois comlémentires (bis). Pour m imir on 1 1 si m 1 [4] 1 si m 1 [] et m 1 si m 3 [4] m 1 sinon Remrque IV.1 On étendu les roriétés clcultoires du symbole de Legendre, ce qui v nous ermettre de clculer le symbole de Jcobi mis celui-ci ne orte s utnt d informtion que le symbole de Legendre 1 ; est un crré dns ZmZ m r exemle 9 3 ( 1) 1 mis n est s un crré dns Z9Z. V Nombre de rcines crrées modulo n. Le but de ce rgrhe est de déterminer le nombre de solutions de x dns ZnZ: Dns ZZ, où est remier imir, si un nombre non nul est un crré lors il deux rcines crrées, si ce n est s un crré il n en s, donc dns les deux cs son nombre de rcines crrées est 1 +. On v voir qu en fit ce n est s lus comliqué dns le cs où n r. Théorème V.1 Soit un nombre remier imir, r N et Z tel que -. Le nombre de solutions de l éqution x dns Z r Z est 1 +. Démonstrtion. Il y deux choses à montrer : tout d bord qu un crré de (Z r Z) dmet exctement deux rcines crrées et ensuite qu un nombre est un crré dns (Z r Z) si et seulement si s réduction modulo est un crré dns ZZ. Montrons le remier oint. Soit un crré de (Z r Z), soient x et y deux rcines crrées de, on donc x y donc x y 0 dns Z r Z et donc il existe un entier k tel que on it dns Z : (x y) (x + y) k r. Si x y et x + y sont tous deux multiles de lors leur somme églement et donc x est multile de et donc x est multile de (cr imir) ce qui est imossible cr x ne l est s! Donc on soit x y multile de r et lors x y dns Z r Z, soit x + y multile de r et lors x y dns Z r Z. Donc n dmet que deux rcines crrées qui sont oosées l une de l utre, il y en bien deux cr seul 0 est son rore oosé dns Z r Z, en e et si x x lors x 0 et donc x 0 cr est inversible. Montrons mintennt le second oint. Il y une imliction simle, si x dns Z r Z lors il existe un entier k tel que x + k r et donc dns ZZ cel donne x :-) 5
6 Plus générlement il est fcile de voir qui si est un crré modulo r lors il l est églement modulo s our s <. Pour démontrer l utre imliction on v utiliser le lemme suivnt : Lemme V.1 Soit un nombre remier imir, m N et Z tel que -, si est un crré modulo m lors est un crré modulo m Ce lemme ermet lors fcilement de conclure, en e et on eut en deduire r récurrence que si est un crré modulo lors c est un crré modulo k our tout k N, r suite il su t de choisir k our que k > r et on en déduit grce à l remrque récédent le lemme que est un crré modulo r. Démonstrtion du lemme.: Soit x une rcine crrée de modulo m et soit x 0 x+y m, on v chercher à trouver une vleur de y our que x 0 soit une rcine crrée de modulo m. On x 0 (x + y m ) x + xy m + y m donc modulo m on x 0 x + xy m on ur donc x 0 si et seulement si il existe y tel que x + xy m 0 m c est à dire si il existe y tel que x m + xy 0 [m ] our cel il su t de rendre y x (x) 1 Z m Z cr x est inversible dns Z m Z. m Remrque V.1 Dns l reuve récédente, on construit une rcine crrée de modulo m, si on réduit celle-ci modulo m lors on retrouve une rcine crrée de modulo m. Donc our trouver des rcines crrées dns Z m Z on eut rtir de rcines crrées dns ZZ: Pr exemle, our résoudre x dns Z7 Z on commence à résoudre x dns Z7Z; les solutions sont lors 3 et 4, on cherche ensuite des solutions de l éqution initile de l forme x 3 + 7k et x 4 + 7k, et on trouve nlement x 10 et x 39 10: Mintennt il nous fut exminer le cs n r et on : Théorème V. Soit r N et N imir. Le nombre de solutions modulo r de l éqution x est donné r Si r 1; toujours une solution Si r ; deux solutions si 1 [4] ; zéro sinon. Si r 3; qutre solutions si 1 [] ; zéro sinon. Démonstrtion. Seul le troisième oint n est s évident. Soit x une rcine crrée de modulo r, lors x est imir on note x k + 1 mis lors on x (k + 1) 4k (k + 1) [] cr k (k + 1) est ir. Donc 1 [] sinon il n y s de solutions. Avec cette hyothèse on v montrer r récurrence sur r que dmet qutres rcines crrées. Si r 3 lors 1 et il y qutres rcines crrées : 1; 3; 5 et 7. Suosons que our un rng r xé, soit un crré modulo r, donc il existe x et k deux entiers tels que x + k r. Alors our y N on x + y r 1 x + xy r r+1 x + y r r+1 cr x est imir. + k r + y r r+1 donc si on choisit y de l même rité que k on x + y r 1 r+1 6
7 Donc est un crré modulo r+1. De lus si z est une rcine crrée de lors z est est une utre et (z + r ) en sont deux utres donc il y bien qutres solutions. Ce qui ermet de conclure l récurrence. Les résultts récédents combinés vec le théorème des restes chinois nous ermettent lors de connître les crrés de ZnZ: Théorème V.3 Soit (ZnZ), est un crré si et seulement si >< 1 our tout diviseur remier de n et 1 [4] si n 4 [] >: 1 [] si n est multile de : On eut même donner le nombre de rcines crrées : Théorème V.4 Soit un crré de (ZnZ), le nombre de rcines crrées de dns (ZnZ) est donné r Y! si 4 - n >< si n 4 [] et 1 [4] vec! 4 si j n et 1 [] >: 0 sinon jn remier imir Exemle V.1 On v résoudre l éqution x dns Z531Z. Comme our voir si deux est crré il su t de clculer 7 et 17 or on d 0 rès les loi comlémentires Donc est un crré dns Z531Z et l éqution dmet 4 solutions. On v l résoudre dns Z7 3 Z et dns Z17Z. Les solutions dns Z17Z sont 6, on vu que les solutions dns Z7 Z sont 10 et donc dns Z7 3 Z on cherche des solutions de l forme k;, k Z. On trouve lors 10. Aliquons mintennt le théoréme des restes chinois, comme on : les solutions sont donc et on trouve : 10 et x (6) (10) modulo 531 VI Entiers de Blum Dé nition VI.1 Un entier de Blum est un roduit de deux nombres remiers distincts et tous deux congrus à 3 modulo 4. Comme on v le voir, si n est un entier de Blum lors on eut fcilement clculer les rcines crrés dns (ZnZ), sur cette roriété reose un lgorithme de chi rement à clef ublique célèbre que nous étudierons lus trd : le chi rement de Rbin. Proosition VI.1 Soit n q un entier de Blum et soit un crré de (ZnZ) lors ossède qutre rcines crrées dont une (et une seule) est elle-même un crré de (ZnZ) : Cette rcine est elée rcine rincile de. Démonstrtion. On vu dns le rgrhe récédent que le nombre de rcines crrées de est qutre. De lus, on eut écrire que les rcines crrées de sont +1 4 ; q+1 4 dns (ZZ) (ZqZ) (qui s identi e à (ZnZ) grce u théorème des restes chinois), seul le coule formé r les deux rcines rinciles de modulo et modulo q est un crré modulo n. 7
8 Proosition VI. Soit n q un entier de Blum, notons Q l ensemble des crrés de (ZnZ), l liction est une bijection. Et l liction réciroque est Q! Q x! x ( 1)(q 1)+4 y! y Démonstrtion. y ( 1)(q 1)+4 ( 1)(q 1) y y 4 : Si y (; b) dns (ZZ) (ZqZ), comme y est un crré modulo n, est un crré modulo et b est un crré modulo q donc 1 1 et b q 1 1 donc ( 1)(q 1) ( 1)(q 1) ( 1)(q 1) (; b) 4 4 ; b 4 1 q 1 1 ; 1 (1; 1) donc ( 1)(q 1) y 4 1 ce qui ermet de conclure.
Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mthémtiques nnée 2009-2010 Chpitre 2 Le prolème de l unicité des solutions 1 Le prolème et quelques réponses : 1.1 Un exemple Montrer que l éqution différentielle :
Plus en détailThéorème de Poincaré - Formule de Green-Riemann
Chpitre 11 Théorème de Poincré - Formule de Green-Riemnn Ce chpitre s inscrit dns l continuité du précédent. On vu à l proposition 1.16 que les formes différentielles sont bien plus grébles à mnipuler
Plus en détailANALYSE NUMERIQUE NON-LINEAIRE
Université de Metz Licence de Mthémtiques - 3ème nnée 1er semestre ANALYSE NUMERIQUE NON-LINEAIRE pr Rlph Chill Lbortoire de Mthémtiques et Applictions de Metz Année 010/11 1 Tble des mtières Chpitre
Plus en détailModule 2 : Déterminant d une matrice
L Mth Stt Module les déterminnts M Module : Déterminnt d une mtrice Unité : Déterminnt d une mtrice x Soit une mtrice lignes et colonnes (,) c b d Pr définition, son déterminnt est le nombre réel noté
Plus en détailSynthèse de cours (Terminale S) Calcul intégral
Synthèse de cours (Terminle S) Clcul intégrl Intégrle d une onction continue positive sur un intervlle [;] Dns cette première prtie, on considère une onction continue positive sur un intervlle [ ; ] (
Plus en détailCorrection de l épreuve CCP 2001 PSI Maths 2 PREMIÈRE PARTIE ) (
Correction de l épreuve CCP PSI Mths PREMIÈRE PARTIE I- Soit t u voisinge de, t Alors ϕt t s = ϕt ρt s ρs Pr hypothèse, l fonction ϕt ϕt est lorsque t, il en est donc de même de ρt s ρt s ρs cr ρ s est
Plus en détailUniversité Paris-Dauphine DUMI2E. UFR Mathématiques de la décision. Notes de cours. Analyse 2. Filippo SANTAMBROGIO
Université Pris-Duphine DUMI2E UFR Mthémtiques de l décision Notes de cours Anlyse 2 Filippo SANTAMBROGIO Année 2008 2 Tble des mtières 1 Optimistion de fonctions continues et dérivbles 5 1.1 Continuité........................................
Plus en détailLICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER
LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE Unité d enseignement LCMA 4U ANALYSE 3 Frnçoise GEANDIER Université Henri Poincré Nncy I Déprtement de Mthémtiques . Tble des mtières I Séries numériques. Séries
Plus en détailModule : réponse d un système linéaire
BSEL - Physique aliquée Module : réonse d un système linéaire Diaoramas () : diagrammes de Bode, réonse Résumé de cours - Caractérisation d un système hysique - Calcul de la réonse our une entrée donnée
Plus en détailChapitre VI Contraintes holonomiques
55 Chpitre VI Contrintes holonomiques Les contrintes isopérimétriques vues u chpitre précéent ne sont qu un eemple prticulier e contrintes sur les fonctions y e notre espce e fonctions missibles. Dns ce
Plus en détailSTI2D Logique binaire SIN. L' Algèbre de BOOLE
L' Algère de BOOLE L'lgère de Boole est l prtie des mthémtiques, de l logique et de l'électronique qui s'intéresse ux opértions et ux fonctions sur les vriles logiques. Le nom provient de George Boole.
Plus en détailTechniques d analyse de circuits
Chpitre 3 Tehniques d nlyse de iruits Ce hpitre présente différentes méthodes d nlyse de iruits. Ces méthodes permettent de simplifier l nlyse de iruits ontennt plusieurs éléments. Bien qu on peut résoudre
Plus en détailBaccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé
Bcclurét S Asie 9 jui 24 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice Commu à tous les cdidts 4 poits Questio - c. O peut élimier rpidemet les réposes. et d. cr les vecteurs directeurs des droites proposées e sot ps
Plus en détailLicence M.A.S.S. Cours d Analyse S4
Université Pris I, Pnthéon - Sorbonne Licence MASS Cours d Anlyse S4 Jen-Mrc Brdet (Université Pris 1, SAMM) UFR 27 et Equipe SAMM (Sttistique, Anlyse et Modélistion Multidisiplinire) Université Pnthéon-Sorbonne,
Plus en détailCOURS D ANALYSE. Licence d Informatique, première. Laurent Michel
COURS D ANALYSE Licence d Informtique, première nnée Lurent Michel Printemps 2010 2 Tble des mtières 1 Éléments de logique 5 1.1 Fbriquer des énoncés........................ 5 1.1.1 Enoncés élémentires.....................
Plus en détailTout ce qu il faut savoir en math
Tout ce qu il fut svoir en mth 1 Pourcentge Prendre un pourcentge t % d un quntité : t Clculer le pourcentge d une quntité pr rpport à une quntité b : Le coefficient multiplicteur CM pour une ugmenttion
Plus en détailSciences Industrielles Précision des systèmes asservis Papanicola Robert Lycée Jacques Amyot
Scence Indutrelle Précon de ytème erv Pncol Robert Lycée Jcque Amyot I - PRECISION DES SYSTEMES ASSERVIS A. Poton du roblème 1. Préentton On vu que le rôle d un ytème erv et de fre uvre à l orte (t) une
Plus en détailsemestre 3 des Licences MISM annnée universitaire 2004-2005
MATHÉMATIQUES 3 semestre 3 des Licences MISM nnnée universitire 24-25 Driss BOULARAS 2 Tble des mtières Rppels 5. Ensembles et opértions sur les ensembles.................. 5.. Prties d un ensemble.........................
Plus en détailToyota Assurances Toujours la meilleure solution
Toyot Assurnces Toujours l meilleure solution De quelle ssurnce vez-vous besoin? Vous roulez déjà en Toyot ou vous ttendez s livrison. Votre voiture est neuve ou d occsion. Vous vlez les kilomètres ou
Plus en détailLANGAGES - GRAMMAIRES - AUTOMATES
LANGAGES - GRAMMAIRES - AUTOMATES Mrie-Pule Muller Version du 14 juillet 2005 Ce cours présente et met en oeuvre quelques méthodes mthémtiques pour l informtique théorique. Ces notions de bse pourront
Plus en détailprix par consommateur identiques différents prix par identiques classique 3 unité différents 2 1
3- LE MONOOLE DISCRIMINANT Le monoole eut vendre ertaines unités de roduit à des rix différents. On arle de disrimination ar les rix. Selon une terminologie due à igou (The Eonomis of Welfare, 1920), on
Plus en détailChapitre 1 : Fonctions analytiques - introduction
2e semestre 2/ UE 4 U : Abrégé de cours Anlyse 3: fonctions nlytiques Les notes suivntes, disponibles à l dresse http://www.iecn.u-nncy.fr/ bertrm/, contiennent les définitions et les résultts principux
Plus en détailUn modèle de composition automatique et distribuée de services web par planification
Un modèle de comosition automatique et distribuée de services web ar lanification Damien Pellier * Humbert Fiorino ** * Centre de Recherche en Informatique de Paris 5 Université Paris Descartes 45, rue
Plus en détail3- Les taux d'intérêt
3- Les tux d'intérêt Mishkin (2007), Monnie, Bnque et mrchés finnciers, Person Eduction, ch. 4 et 6 Vernimmen (2005), Finnce d'entreprise, Dlloz, ch. 20 à 22 1- Mesurer les tux d'intérêt comprer les différents
Plus en détailSéquence 8. Probabilité : lois à densité. Sommaire
Séquence 8 Proilité : lois à densité Sommire. Prérequis 2. Lois de proilité à densité sur un intervlle 3. Lois uniformes 4. Lois exponentielles 5. Synthèse de l séquence Dns cette séquence, on introduit
Plus en détailAccès optiques : la nouvelle montée en débit
Internet FTR&D Dossier du mois d'octobre 2005 Accès otiques : la nouvelle montée en débit Dans le domaine du haut débit, les accès en France sont our le moment très majoritairement basés sur les technologies
Plus en détailQuelques tests de primalité
Quelques tests de primalité J.-M. Couveignes (merci à T. Ezome et R. Lercier) Institut de Mathématiques de Bordeaux & INRIA Bordeaux Sud-Ouest Jean-Marc.Couveignes@u-bordeaux.fr École de printemps C2 Mars
Plus en détailS2I 1. quartz circuit de commande. Figure 1. Engrenage
TSI 4 heures Calculatrices autorisées 214 S2I 1 L essor de l électronique nomade s accomagne d un besoin accru de sources d énergies miniaturisées. Les contraintes imosées à ces objets nomades sont multiles
Plus en détailDécouvrez les bâtiments* modulaires démontables
Découvrez les bâtiments* modulaires démontables w Industrie w Distribution * le terme «bâtiment» est utilisé our la bonne comréhension de l activité de Locabri. Il s agit de structures modulaires démontables
Plus en détailChapitre 11 : L inductance
Chpitre : inductnce Exercices E. On donne A πr 4π 4 metn N 8 spires/m. () Selon l exemple., µ n A 4π 7 (8) 4π 4 (,5) 5 µh (b) À prtir de l éqution.4, on trouve ξ ξ 4 3 5 6 6,3 A/s E. On donne A πr,5π 4
Plus en détaildénombrement, loi binomiale
dénombrement, loi binomiale Table des matières I) Introduction au dénombrement 1 1. Problème ouvert....................................... 2 2. Jeux et dénombrements...................................
Plus en détailCours d Analyse IV Suites et Séries de fonctions
Université Clude Bernrd, Lyon I Licence Sciences, Technologies & Snté 43, boulevrd 11 novembre 1918 Spécilité Mthémtiques 69622 Villeurbnne cedex, Frnce L. Pujo-Menjouet pujo@mth.univ-lyon1.fr Cours d
Plus en détailAlgorithmes sur les mots (séquences)
Introduction Algorithmes sur les mots (séquences) Algorithmes sur les mots (textes, séquences, chines de crctères) Nomreuses pplictions : ses de données iliogrphiques ioinformtique (séquences de iomolécules)
Plus en détail- Phénoméne aérospatial non identifié ( 0.V.N.I )
ENQUETE PRELIMINAIRE ANALYSE ET REFEREWCES : Phénoméne érosptil non identifié ( 0VNI ) B8E 25400 DEF/GEND/OE/DOlRENS du 28/9/1992 Nous soussigné : M D L chef J S, OPJ djoint u commndnt de l brigde en résidence
Plus en détailCours d arithmétique Première partie
Cours d arithmétique Première partie Pierre Bornsztein Xavier Caruso Pierre Nolin Mehdi Tibouchi Décembre 2004 Ce document est la première partie d un cours d arithmétique écrit pour les élèves préparant
Plus en détailIntroduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
Plus en détailTurbine hydraulique Girard simplifiée pour faibles et très faibles puissances
Turbine hydrulique Girrd simplifiée pour fibles et très fibles puissnces Prof. Ing. Zoltàn Hosszuréty, DrSc. Professeur à l'université technique de Kosice Les sites hydruliques disposnt de fibles débits
Plus en détail/HVV\VWqPHVFRPELQDWRLUHV
/HVV\VWqPHVFRPELQDWRLUHV I. Définition On ppelle système combintoire tout système numérique dont les sorties sont exclusivement définies à prtir des vribles d entrée (Figure ). = f(x, x 2,,, x n ) x x
Plus en détailLe produit semi-direct
Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.
Plus en détailCompression Compression par dictionnaires
Compression Compression par dictionnaires E. Jeandel Emmanuel.Jeandel at lif.univ-mrs.fr E. Jeandel, Lif CompressionCompression par dictionnaires 1/25 Compression par dictionnaire Principe : Avoir une
Plus en détailIntégrale et primitives
Chpitre 5 Intégrle et primitives 5. Ojetif On herhe dns e hpitre à onstruire l opérteur réiproue de l opérteur de dérivtion. Les deux uestions suivntes sont lors nturelles. Question : Soit f une pplition
Plus en détailPartie 4 : La monnaie et l'inflation
Prtie 4 : L monnie et l'infltion Enseignnt A. Direr Licence 2, 1er semestre 2008-9 Université Pierre Mendès Frnce Cours de mcroéconomie suite 4.1 Introduction Nous vons vu dns l prtie introductive que
Plus en détailUniversité Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications
Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au
Plus en détail1 Définition et premières propriétés des congruences
Université Paris 13, Institut Galilée Département de Mathématiques Licence 2ème année Informatique 2013-2014 Cours de Mathématiques pour l Informatique Des nombres aux structures Sylviane R. Schwer Leçon
Plus en détailChapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence
Chapitre 3 Mesures stationnaires et théorèmes de convergence Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée p.1 I. Mesures stationnaires Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée
Plus en détailLITE-FLOOR. Dalles de sol et marches d escalier. Information technique
LITE-FLOOR Dlles de sol et mrches d esclier Informtion technique Recommndtions pour le clcul et l pose de LITE-FLOOR Générlités Cette rochure reprend les règles de se à respecter pour grntir l rélistion
Plus en détailChapitre VI - Méthodes de factorisation
Université Pierre et Marie Curie Cours de cryptographie MM067-2012/13 Alain Kraus Chapitre VI - Méthodes de factorisation Le problème de la factorisation des grands entiers est a priori très difficile.
Plus en détailInfluence du milieu d étude sur l activité (suite) Inhibition et activation
Influence du milieu d étude sur l ctivité (suite) Inhibition et ctivtion Influence de l tempérture Influence du ph 1 Influence de l tempérture Si on chuffe une préprtion enzymtique, l ctivité ugmente jusqu
Plus en détailL information sera transmise selon des signaux de nature et de fréquences différentes (sons, ultrasons, électromagnétiques, électriques).
CHAINE DE TRANSMISSION Nous avons une information que nous voulons transmettre (signal, images, sons ). Nous avons besoin d une chaîne de transmission comosée de trois éléments rinciaux : 1. L émetteur
Plus en détailNotes de révision : Automates et langages
Préprtion à l grégtion de mthémtiques 2011 2012 Notes de révision : Automtes et lngges Benjmin MONMEGE et Sylvin SCHMITZ LSV, ENS Cchn & CNRS Version du 24 octore 2011 (r66m) CC Cretive Commons y-nc-s
Plus en détailLe canal étroit du crédit : une analyse critique des fondements théoriques
Le cnl étroit du crédit : une nlyse critique des fondements théoriques Rfl Kierzenkowski 1 CREFED Université Pris Duphine Alloctire de Recherche Avril 2001 version provisoire Résumé A l suite des trvux
Plus en détailRelation d ordre. Manipulation des relations d ordre. Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 Feuille d exercices
Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 MPSI 1 Feuille d exercices Manipulation des relations d ordre. Relation d ordre Exercice 1. Soit E un ensemble fixé contenant au moins deux éléments. On considère la relation
Plus en détailProposition. Si G est un groupe simple d ordre 60 alors G est isomorphe à A 5.
DÉVELOPPEMENT 32 A 5 EST LE SEUL GROUPE SIMPLE D ORDRE 60 Proposition. Si G est un groupe simple d ordre 60 alors G est isomorphe à A 5. Démonstration. On considère un groupe G d ordre 60 = 2 2 3 5 et
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détail108y= 1 où x et y sont des entiers
Polynésie Juin 202 Série S Exercice Partie A On considère l équation ( ) relatifs E :x y= où x et y sont des entiers Vérifier que le couple ( ;3 ) est solution de cette équation 2 Déterminer l ensemble
Plus en détailObjets Combinatoires élementaires
Objets Combinatoires élementaires 0-0 Permutations Arrangements Permutations pour un multi-ensemble mots sous-ensemble à k éléments (Problème du choix) Compositions LE2I 04 1 Permutations Supposons que
Plus en détailGuide d'utilisation Easy Interactive Tools Ver. 2
Guide d'utilistion Esy Interctive Tools Ver. 2 Guide d'utilistion Esy Interctive Tools Ver.2 Présenttion de Esy Interctive Tools 3 Crctéristiques Fonction de dessin Vous pouvez utiliser Esy Interctive
Plus en détailSommaire. 6. Tableau récapitulatif... 10. Sophos NAC intégré Vs. NAC Advanced - 17 Février 2009 2
Sommire 1. A propos de Sophos... 3 2. Comprtif des solutions Sophos NAC... 4 3. Sophos NAC pour Endpoint Security nd Control 8.0... 4 3.1. Administrtion et déploiement... 4 3.2. Gestion des politiques
Plus en détailAvant d utiliser l appareil, lisez ce Guide de référence rapide pour connaître la procédure de configuration et d installation.
Guide de référence rpide Commencer Avnt d utiliser l ppreil, lisez ce Guide de référence rpide pour connître l procédure de configurtion et d instlltion. NE rccordez PAS le câle d interfce mintennt. 1
Plus en détailManuel de l'utilisateur
0 Manuel de l'utilisateur Mise en route... 4 Votre Rider 0... 4 Réinitialiser le Rider 0... 5 Accessoires... 5 Icônes d'état... 5 Connexion, synchro et chargement... 6 Allumer/éteindre le Rider 0... 6
Plus en détailANALYSE : FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE
Jen-Pierre Dedieu, Jen-Pierre Rymond ANALYSE : FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE Institut de Mthémtiques Université Pul Sbtier 31062 Toulouse cedex 09 jen-pierre.dedieu@mth.univ-toulouse.fr jen-pierre.rymond@mth.univ-toulouse.fr
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailFONDATION CLEMENTINE ET MAURICE ANTILLE
FONDATION CLEMENTINE ET MAURICE ANTILLE Règlement d ttriution de ourses et de prêts d études et de formtion du déemre 006 Artile premier Ojet et hmp d pplition Le présent règlement est étli en pplition
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailD'UN THÉORÈME NOUVEAU
DÉMONSTRATION D'UN THÉORÈME NOUVEAU CONCERNANT LES NOMBRES PREMIERS 1. (Nouveaux Mémoires de l'académie royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, année 1771.) 1. Je viens de trouver, dans un excellent
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailChapitre 2. Eléments pour comprendre un énoncé
Chapitre 2 Eléments pour comprendre un énoncé Ce chapitre est consacré à la compréhension d un énoncé. Pour démontrer un énoncé donné, il faut se reporter au chapitre suivant. Les tables de vérité données
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailFaites connaissance avec votre Rubik s Cube Étape 1
Faites connaissance avec votre Rubik s Cube Étape 1 ÉFIN ITION ES IÈCES U RUBIK S CUBE LES RTIES LES IÈCES RÊTES CE SONT ES IÈCES COMORTNT EUX (2) COULEU RS. IL Y OUZE (12) IÈCES RÊTES, SITUÉES U CENT
Plus en détailBois. P.21 Bois-béton à Paris. Carrefour du Bois. Saturateurs. Usinage fenêtres. Bardages P.25 P.34 P.31 P.37. La revue de l activité Bois en France
CMP Bois n 19-12 avril - mai 2010 P.25 Carrefour du Bois P.34 cm La revue de l activité Bois en France Bois Saturateurs P.31 Usinage fenêtres P.37 Bardages Tout our l usinage du bois massif. Tout d un
Plus en détailNFE107 Urbanisation et architecture des systèmes d information. Juin 2009. «La virtualisation» CNAM Lille. Auditeur BAULE.L 1
Juin 2009 NFE107 Urbanisation et architecture des systèmes d information CNAM Lille «La virtualisation» Auditeur BAULE.L 1 Plan INTRODUCTION I. PRINCIPES DE LA VIRTUALISATION II. DIFFÉRENTES TECHNIQUES
Plus en détailMoments des variables aléatoires réelles
Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................
Plus en détailNombres premiers. Comment reconnaître un nombre premier? Mais...
Introduction Nombres premiers Nombres premiers Rutger Noot IRMA Université de Strasbourg et CNRS Le 19 janvier 2011 IREM Strasbourg Definition Un nombre premier est un entier naturel p > 1 ayant exactement
Plus en détailDes familles de deux enfants
Des familles de deux enfants Claudine Schwartz, IREM de Grenoble Professeur, Université Joseh Fourier Les questions et sont osées dans le dernier numéro de «Pour la Science» (n 336, octobre 2005, article
Plus en détailCommencer DCP-7055W / DCP-7057W /
Guide d instlltion rpide Commencer DCP-7055W / DCP-7057W / DCP-7070DW Veuillez lire ttentivement le livret Sécurité et réglementtion vnt d'effectuer les réglges de votre ppreil. Consultez ensuite le Guide
Plus en détailSous le feu des questions
ARTICLE PRINCIPAL Assureurs Protection juridique Sous le feu des questions Comment les assureurs Protection juridique vont-ils désormais romouvoir leurs roduits? Seraient-ils artisans d une assurance Protection
Plus en détailAUTOUR D UN MÉMOIRE INÉDIT : LA CONTRIBUTION D HERMITE AU DÉVELOPPEMENT DE LA THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. Bruno BELHOSTE (*)
Revue d histoire des mthémtiques, 2 (1996), p. 1 66. AUTOUR D UN MÉMOIRE INÉDIT : LA CONTRIBUTION D HERMITE AU DÉVELOPPEMENT DE LA THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES Bruno BELHOSTE (*) RÉSUMÉ. Dns cet rticle,
Plus en détailPremière partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015
Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k
Plus en détailTriangle de Pascal dans Z/pZ avec p premier
Triangle de Pascal dans Z/pZ avec p premier Vincent Lefèvre (Lycée P. de Fermat, Toulouse) 1990, 1991 1 Introduction Nous allons étudier des propriétés du triangle de Pascal dans Z/pZ, p étant un nombre
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détail3. Conditionnement P (B)
Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte
Plus en détailCHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.
CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires
Plus en détailCryptographie et fonctions à sens unique
Cryptographie et fonctions à sens unique Pierre Rouchon Centre Automatique et Systèmes Mines ParisTech pierre.rouchon@mines-paristech.fr Octobre 2012 P.Rouchon (Mines ParisTech) Cryptographie et fonctions
Plus en détailStatuts ASF Association Suisse Feldenkrais
Sttuts ASF Assocition Suisse Feldenkris Contenu Pge I. Nom, siège, ojectif et missions 1 Nom et siège 2 2 Ojectif 2 3 Missions 2 II. Memres 4 Modes d ffilition 3 5 Droits et oligtions des memres 3 6 Adhésion
Plus en détailVous êtes un prestataire touristique dans les Monts de Guéret? L Office de Tourisme du Grand Guéret peut vous accompagner!
Le guide 2015 e u q i t s i r u o t e r i du artena Vous êtes un restataire touristique dans les Monts de Guéret? L Office de Tourisme du Grand Guéret eut vous accomagner! Qui sommes nous? 2 Edito Nouveau
Plus en détailFONDEMENTS DES MATHÉMATIQUES
FONDEMENTS DES MATHÉMATIQUES AYBERK ZEYTİN 1. DIVISIBILITÉ Comment on peut écrire un entier naturel comme un produit des petits entiers? Cette question a une infinitude d interconnexions entre les nombres
Plus en détailStructures algébriques
Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe
Plus en détailTP : Outils de simulation. March 13, 2015
TP : Outils de simulation March 13, 2015 Chater 1 Initialisation Scilab Calculatrice matricielle Exercice 1. Système Unix Créer sous Unix un réertoire de travail outil_simulation dans votre home réertoire.
Plus en détailConseils et astuces pour les structures de base de la Ligne D30
Conseils et stuces pour les structures de bse de l Ligne D30 Conseils et stuces pour l Ligne D30 Ligne D30 - l solution élégnte pour votre production. Rentbilité optimle et méliortion continue des séquences
Plus en détailDéterminants. Marc SAGE 9 août 2008. 2 Inverses et polynômes 3
Déterminants Marc SAGE 9 août 28 Table des matières Quid des formes n-linéaires alternées? 2 2 Inverses et polynômes 3 3 Formule de Miller pour calculer un déterminant (ou comment illustrer une idée géniale)
Plus en détailSanté et hygiène bucco-dentaire des salariés de la RATP
Santé et hygiène bucco-dentaire des salariés de la RATP Percetion des salariés et examen clinique du raticien Période 2006-2009 14 juin 2012 Dominique MANE-VALETTE, Docteur en Chirurgie dentaire dominique.mane-valette@rat.fr
Plus en détailIntroduction à la modélisation et à la vérication p. 1/8
Introduction à l modélistion et à l vériction Appliction ux systèmes temporisés Ptrici Bouyer LSV CNRS & ENS de Cchn Introduction à l modélistion et à l vériction p. 1/8 Modélistion & Vériction Introduction
Plus en détailDéveloppement décimal d un réel
4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce
Plus en détailLes emprunts indivis. Administration Économique et Sociale. Mathématiques XA100M
Les emprunts indivis Administration Économique et Sociale Mathématiques XA100M Les emprunts indivis sont les emprunts faits auprès d un seul prêteur. On va étudier le cas où le prêteur met à disposition
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailCours de mathématiques
DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................
Plus en détailCatalogue 3 Chaine sur Mesure
Catalogue 3 Chaine sur Mesure SUBAKI Les Chaines 2009 CAALGUE 3 Classification chaine sur mesure sériés de chaîne ye de chaîne subaki Caractéristiques RUNNER BS Performance suérieure Général Chaînes à
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.
Plus en détailExo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détailCh.G3 : Distances et tangentes
4 e - programme 2011 mathématiques ch.g3 cahier élève Page 1 sur 14 1 DISTC D U PIT À U DRIT Ch.G3 : Distances et tangentes 1.1 Définition ex 1 DÉFIITI 1 : Soit une droite et un point n'appartenant pas
Plus en détail