1 Nombres complexes Rappel : équations de degré

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2 Table des Matières 1 Nombres complexes Rappel : équations de degré Théorie générale Exemples Nombres complexes Définitions Conjugué et module d un nombre complexe Inverse d un nombre complexe Rappels de trigonométrie Coordonnées polaires Applications à la trigonométrie Racine n-ième d un nombre complexe Racines n-ièmes de l unité Racines n-ièmes de z Équations de degré à coefficients complexes Racines carrées d un nombre complexe Résolution d équations de degré Exercices supplémentaires Algèbre linéaire 5.1 Résolution de systèmes linéaires par la méthode de Gauss Structure d espace vectoriel sur R et R Définition de R et de R R et R 3 comme espaces vectoriels Vecteurs colinéaires dans R Vecteurs colinéaires et coplanaires dans R Vecteurs colinéaires Vecteurs coplanaires Sous-espaces vectoriels Matrices Généralités i

3 0 TABLE DES MATIÈRES.6. Opérations sur les matrices Matrices inversibles Systèmes d équations linéaires et matrices Applications linéaires Applications linéaires et matrices Opérations sur les applications linéaires Produit scalaire, produit vectoriel, produit mixte Produit scalaire Produit vectoriel Produit mixte

4 Chapitre 1 Nombres complexes 1.1 Rappel : équations de degré Théorie générale. Dans de nombreux problèmes 1, on est amené à résoudre une équation du type : (E) ax + bx + c = 0 avec a, b, c des réels et a 0. Pour résoudre cette équation, on complète le carré : ax + bx + c =a (x + ba ) x + c ( =a x + b ) a x + c et on reconnaît le début du développement de ( x + b ) = x + b ( ) b a a x +, a d où [ ( ax + bx + c =a x + b a [ ( =a x + b a ) ( b a ) 4a ] ) ] ( + c = a x + b ) + c b a 4a (1.1) où = b 4ac. On distingue alors trois cas : Premier cas, > 0 : Dans ce cas, on a 4a = ( a x + b ) ( a + a ( a x + b a ) et (1.1) implique alors ) = 0. (1.) a 1 Exemple: déterminer les longueurs des côtés des rectangles d aire 8cm, de périmètre 4cm 1

5 CHAPITRE 1. NOMBRES COMPLEXES Il y a alors solutions distinctes et (1.1) s écrit x 1 = b a et x = b + a ax + bx + c = a(x x 1 )(x x ). Ceci permet également de déterminer le signe de ax + bx + c. Si on appelle r 1 la plus petite des deux racines x 1, x et r la plus grande, on a r > r 1, et le signe de ax + bx + c est donné par x r 1 r ax + bx + c sgn a 0 sgn a 0 sgn a ( Deuxième cas, = 0 : Dans ce cas (1.1) s écrit a x + b ) = 0. Il y a alors une seule a solution (double) x 0 = b et on a la factorisation a ( ax + bx + c = a(x x 0 ) = a x + b ). a Troisième cas, < 0 : Il n y a pas de racine (réelle) puisque [ ( ax + bx + c = a x + b ) ] + a 4a. } {{ } positif car < Exemples. Résoudre et factoriser x 8x + 6 = 0. Le discriminant de cette équation est = ( 8) 4 6 = 16 = 4 > 0. Les solutions sont donc x 1 = ( 8) 4 = 1 et x = ( 8)+4 = 3 d où Résoudre et factoriser 3x 1x + 1 = 0. x 8x + 6 = (x 1)(x 3). Le discriminant de cette équation est = ( 1) = 0. Il y a donc une seule solution x 0 = 1 3 = et 3x 1x + 1 = 3(x ). si a est un réel non nul, on désigne son signe par sgn

6 1.. NOMBRES COMPLEXES 3 Résoudre et factoriser x + 8x + 9 = 0. Le discriminant de cette équation est = = 8 < 0. Il n y a donc pas de solution réelle. Toutefois x + 8x + 9 =(x + 4x) + 9 Exercice -1- Résoudre et factoriser : = ( (x + ) ) + 9 = (x + ) =(x + ) + 1 x + x 6 = 0; 3x + 3x 6 = 0; 6x x 1 = 0; x + x 1 = 0; x x + = 0; 3x 3x + 1 = 0; x + x + 1 = 0; 1 x + x + 5 = 0. (1.3) 1. Nombres complexes 1..1 Définitions. Nous venons de voir qu une équation de degré n admet pas nécessairement de racine réelle 3. Par exemple, une équation aussi simple que x = 1 n admet pas de solution réelle. Afin de remédier à cela, les mathématiciens ont introduit un nombre imaginaire appelé i tel que i = 1. On considère alors C, l ensemble des nombres z = x + iy avec x, y R. On dit que z est un nombre complexe. 4 Il est pratique d assimiler tout élément x + iy de C au vecteur (x, y) du plan R (muni du repère orthonormé usuel ( e 1, e ) où e 1 = (1, 0) et e = (0, 1)). 5 L addition de deux nombres complexes et la multiplication d un nombre complexe par un réel sont l addition des vecteurs et la multiplication d un vecteur par un réel. Pour définir le produit de deux nombres complexes, on tient compte de la relation i = 1 et des règles usuelles d associativité et de distributivité. Plus précisément, en notant z = x + iy et z = x + iy, on définit : l addition, z + z =(x + iy) + (x + iy ) = x + iy + x + iy =(x + x ) + i(y + y ); 3 Cardan (1545, dans son Ars Magna) fut le premier à rencontrer des nombres complexes en cherchant à déterminer les rectangles d aire 40cm et de périmètre 0cm. 4 Le symbole i a été introduit par Euler en Avant on utilisait la notation 1, ce qui est encore en usage dans certains livres mais vous est strictement interdit cette année. 5 Cette interprétation géométrique fondamentale apparaît pour la première fois dans la thèse de Gauss en C est également Gauss qui a introduit le terme nombre complexe. Avant, on disait nombre imaginaire ou nombre impossible.

7 4 CHAPITRE 1. NOMBRES COMPLEXES iz=-y+ix -y i y x z z=x+iy x z+z -y z=z-iy Figure 1.1: Le plan complexe : coordonnées cartésiennes La multiplication, zz =(x + iy)(x + iy ) = xx + xiy + iyx + iyiy =xx + ixy + iyx + i yy =xx yy + i(yx + x y), puisqu on a posé i = 1. (On a en particulier, si λ R : λz = λ (x + iy) = λx + iλy.) Toutes les propriétés de + et dans R restent vraies pour + et dans C (il suffit de se rappeler que i = 1). Ainsi 1. z + 0 = 0 + z = z, 1z = z1 = z et 0z = z0 = 0.. (Commutativité de l addition et du produit) z + z = z + z et zz = z z. 3. (Associativité de l addition) z + (z + z ) = (z + z ) + z qu on note donc z + z + z (l ordre n a pas d importance). 4. (Associativité du produit) z(z z ) = (zz )z qu on note donc zz z (l ordre n a pas d importance). 5. (Distributivité du produit par rapport à l addition) z(z + z ) = zz + zz. 6. (z + z )(z z ) = z (z ), (z + z ) = z + zz + (z ). Définition 1..1 Soit z = x + iy un nombre complexe. Alors x, qu on note x = Re z, est appelé partie réelle de z et y, qu on note Im z, est appelé partie imaginaire de z. Remarque 1.. Par définition, deux nombres complexes sont égaux si et seulement s ils ont même partie réelle et même partie imaginaire. Autrement dit, soient z = x + iy et z = x + iy C; alors z = z si et seulement si x = x et y = y.

8 1.. NOMBRES COMPLEXES 5 Comme i correspond au vecteur (0, 1), c est-à-dire à l image du vecteur e 1 = (1, 0) (assimilé au nombre complexe 1) par la rotation d angle π, et que i i = 1 correspond au vecteur ( 1, 0), c est-à-dire à l image du vecteur e = (0, 1) (assimilé au nombre complexe i) par la rotation d angle π, la multiplication par i correspond à la rotation d angle π (voir figure 1.1). Exercices Montrer que si z = x + iy, alors zz = x + y (en particulier, c est un réel positif).. Soient z, z C. Montrer par récurrence que, pour n 1, on a! nx (z + z ) n n = z k z n k (1.4) k Rappel. où les `n k sont les coefficients du binôme. Pour n N et 0 k n, les coefficients binômiaux ( n k) sont définis par ( ) n n! = k k!(n k)! où 0! = 1 et k! = 1... (k 1) k si k > 0. On vérifie (à faire en exercice) que ( n ( k) = n 1 ) ( k 1 + n 1 ) ( k. Cette formule montre que les n ) k se calculent à l aide du triangle de Pascal. On met des 1 sur le bord du triangle, et chaque élément est la somme des deux éléments au-dessus de lui : 1 k= ( n ) k est alors le k-ième élément de la n-ième ligne (les lignes sont comptées à partir de 0, de même que les éléments de chaque ligne, par exemple ( 6 ) = 15). 1.. Conjugué et module d un nombre complexe. Définition 1..3 Soit z = x + iy un nombre complexe. Le nombre complexe z = x iy est appelé complexe conjugué de z. On note z et on appelle module de z la longueur du vecteur associé à z. Autrement dit, on a z = x + y. Remarque 1..4 L image (dans le plan R ) du conjugué de z est symétrique de l image de z par rapport à l axe (Ox) (voir figure 1.1).

9 6 CHAPITRE 1. NOMBRES COMPLEXES Proposition 1..5 Soit z C. On a 1. Re z = 1 (z + z) ; Im z = 1 (z z) ; i. z = zz ; z = z ; 3. z = 0 z = 0 ; z R z = z. Démonstration. À chercher comme exercice. Proposition 1..6 Soient z, z C. On a 1. z + z = z + z ; zz = zz ;. zz = z z ; 3. z + z = z + Re (zz ) + z. Démonstration. Contentons-nous de démontrer la dernière formule. On a z + z = (z + z )(z + z ) = (z + z )(z + z ) = zz + z z + zz + z z = z + z z + z z + z = z + Re (z z) + z. Les autres relations sont laissées en exercice. Proposition 1..7 Soient z, z C. On a 1. Re z z ; Im z z ;. (Inégalité triangulaire) z + z z + z ; 3. z z z z. Démonstration. 1. Écrivons z = x + iy. On a x x + y et y x + y, d où Re z = x = x x + y = z et Im z = y = y x + y = z, car la fonction racine carrée est croissante.. Remarquons d abord que puisque les nombres z + z et z + z sont positifs ou nuls, on a z + z z + z si et seulement si z + z ( z + z ). Or ( z + z ) z + z = z + z z + z ( z + Re (zz ) + z ) = ( z z Re (zz ) ) 0, d après 3. de la proposition 1..6, puis 1. ci-dessus appliqué à zz, puisque zz = z z. 3. Pour démontrer 3., on applique l inégalité triangulaire à z = (z z ) + z, ce qui donne z z z + z, d où z z z z. En échangeant z et z, on obtient z z z z. Mais z z = (z z ), d où z z = z z. En rassemblant les inégalités obtenues, on voit que ce qui termine la démonstration. z z z z z z

10 1.. NOMBRES COMPLEXES Inverse d un nombre complexe. Théorème Soient z et z C. Si zz = 0, on a alors z = 0 ou z = 0.. Pour tout z C \ {0}, il existe un unique z C tel que zz = 1 et on a z = z z. Démonstration. 1. On a vu précédemment qu un nombre complexe est nul si et seulement si il est de module nul. Ainsi, si zz = 0 alors zz = 0. Par ailleurs, zz = z z, or le produit de deux nombres réels est nul si et seulement si au moins l un d entre eux est nul. On en déduit que ou bien z = 0 et alors z = 0, ou bien z = 0 et alors z = 0.. Si zz = 1, en multipliant cette égalité par z, on trouve z z = z. Or on a z 0 puisque z 0. 0n obtient donc que z = z z. Réciproquement, on a bien z = 1. Ainsi, z z l équation zz = 1 d inconnue z a z = z comme seule solution. z Définition 1..9 Le nombre complexe z ci-dessus est noté z = 1 z ou z = z 1. On dit que z est l inverse de z (pour la multiplication). Plus généralement, si z 1, z C et si z 0, on pose z 1 z = z 1 1 z = z 1 z 1. Attention : Même dans C on ne peut pas diviser par 0. (En effet le produit de tout nombre complexe par 0 vaut 0). Remarque Le calcul en coordonnées cartésiennes de z 1 z = x + iy 0 s obtient comme suit : z avec z 1 = x 1 + iy 1 et z 1 z = z 1z z z = z 1z z = (x 1 + iy 1 )(x iy ) x + y = x 1x + y 1 y x + y = x 1x + y 1 y + i(x y 1 x 1 y ) x + y + i x y 1 x 1 y x +. y Évidemment, seule la méthode est à connaître! Proposition Si z, z sont deux nombres complexes avec z 0, on a ( ) z = z et z = z z z z z. Démonstration. Il suffit de vérifier le résultat pour 1 z puis d appliquer la proposition 1..6 au produit z 1. Pour la première égalité on voit que z ( ) ( ) 1 1 = z z z = 1 z z = 1 zz z = 1 z.

11 8 CHAPITRE 1. NOMBRES COMPLEXES Pour la deuxième égalité, on a d où 1 = 1 en prenant la racine carrée. z z Exercices -3- Calculer z avec z 1 = 1 ( ) 1 = 1 1 z z z z z = 1 z, 1. z = 1 i, z = + i ; z = 1 i, z = 1 + i 3 ; z = 3 i, z = i.. z = 1 + i, z = 3 i ; z = 3 + i, z = 1 + 3i ; z = i, z = 6 + 4i. Une autre façon de représenter les nombres complexes est donnée par les coordonnées polaires du vecteur associé à z. L expérience montre que cette représentation facilite souvent les calculs faisant intervenir produits et quotients de nombres complexes. Une bonne connaissance de la trigonométrie étudiée au lycée est ici indispensable Rappels de trigonométrie. On note U le cercle du plan R de centre 0 et de rayon 1, c est-à-dire l ensemble des points (x, y) R tels que x + y = 1. Notons que U s identifie aussi à l ensemble des nombres complexes de module 1. Rappelons que pour tout θ R, on a bien sûr (cos θ, sin θ) U. De plus, on a (cos θ, sin θ) = (cos α, sin α) pour deux nombres réels θ, α si et seulement si il existe k Z tel que α θ = kπ. Dans ce cas, on dit que α et θ sont égaux modulo π ou que α est congru à θ modulo π. Cela s écrit α θ [π]. Rappelons aussi que pour tout M = (x, y) U, i.e. tel que x + y = 1, il existe un nombre réel θ tel que cos θ = x et sin θ = y. En général, on convient de prendre θ dans l intervalle [0, π[, ce qui détermine θ de façon unique. On dit que θ est la mesure en radians de l angle orienté ( e 1, OM). On dit que U est le cercle trigonométrique. Le dessiner n est jamais une perte de temps. Par exemple les formules utiles suivantes : sin( θ) = sin θ sin(π + θ) = sin θ sin(π θ) = sin θ cos( θ) = cos θ cos(π + θ) = cos θ cos(π θ) = cos θ cos ( θ + π ) = sin θ sin ( θ + π ) = cos θ. se retrouvent RAPIDEMENT, en utilisant le cercle trigonométrique (voir figures 1. et 1.3).

12 1.. NOMBRES COMPLEXES 9 sin sin _π +θ _π cosθ θ π θ sin θ θ sin θ θ - cosθ cosθ cos sin θ sin θ cosθ cos θ+π - sin θ θ sin θ θ _π θ cosθ _π +θ Figure 1.: Figure 1.3: Le tableau ci-dessous des valeurs de cos et sin est à retenir : θ 0 π 6 π 4 π 3 π cos θ sin θ Les deux formules suivantes doivent également être sues par cœur : cos(θ + θ ) = cos θ cos θ sin θ sin θ, (1.5) sin(θ + θ ) = sin θ cos θ + cos θ sin θ. (1.6) Il faut savoir en déduire rapidement les autres formules. Par exemple cos θ = cos θ sin θ = cos θ 1 = 1 sin θ = 1 tan θ 1 + tan θ, sin θ = sin θ cos θ = cos θ = 1 (1 + cos(θ)), tan θ 1 + tan θ, sin θ = 1 (1 cos(θ)), cos p + cos q = cos p + q cos p q, sin p + sin q = sin p + q etc... cos p q,

13 10 CHAPITRE 1. NOMBRES COMPLEXES 1..5 Coordonnées polaires. Soit z un nombre complexe de module 1. D après la section précédente, on sait qu il existe un unique réel θ [0, π[ tel que z = cos θ + i sin θ. Plus généralement, si z est un nombre complexe non nul, le nombre complexe z est de module 1, ce qui justifie la définition z suivante. Définition 1..1 Pour tout nombre complexe z différent de 0, l unique réel θ [0, π[ tel que z = z (cos θ + i sin θ) s appelle l argument de z et se note Arg z. En particulier, si z = x + iy alors cos θ = x x + y et sin θ = y x + y. Notation 6 : Pour tout θ R, on note e iθ = cos θ + i sin θ. Cette notation est justifiée par l assertion. de la proposition ci-dessous. i( θ + π ) iz = r e y i r iθ z = r e θ x - -i θ z = r e Figure 1.4: Le plan complexe : coordonnées polaires Proposition Pour tout θ R, on a e iθ = cos θ + sin θ = 1.. Pour tous θ, θ R, on a e i(θ+θ ) = e iθ e iθ. 3. Soient θ, θ R. On a e iθ = e iθ si et seulement si θ θ [π]. 6 due à Euler

14 1.. NOMBRES COMPLEXES 11 Démonstration. L assertion 1. est évidente. Pour. on a, en utilisant les formules trigonométriques (1.5) et (1.6), e i(θ+θ ) = cos(θ + θ ) + i sin(θ + θ ) = cos θ cos θ sin θ sin θ + i(cos θ sin θ + sin θ cos θ ) = (cos θ + i sin θ)(cos θ + i sin θ ) = e iθ e iθ. L assertion 3. est immédiate, car cos θ + i sin θ = e iθ = e iθ = cos θ + i sin θ si et seulement si cos θ = cos θ et sin θ = sin θ. Proposition Pour tout z C, différent de 0, on a z = z e iarg z.. Si un nombre complexe z est écrit sous le forme re iα avec r réel > 0, alors r = z et α Arg z [π]. 3. Soient z, z deux nombres complexes non nuls. On a (z = z ) ( z = z et Arg z Arg z [π]). Démonstration. L assertion 1. est évidente, par définition du module et de l argument. Démontrons. Si z = re iα on voit que z = r e iα = r1 = r, puisque r > 0. On a alors e iarg z = e iα, d où la conclusion d après la proposition précédente. L assertion 3. est maintenant immédiate. Proposition Si z = re iθ et z = r e iθ, alors zz = rr e i(θ+θ ). En particulier, on a zz = rr et Arg(zz ) Arg(z) + Arg z [π]. Démonstration. Résulte immédiatement des propositions et Remarque L écriture z = x + iy avec x, y R est appelée la forme algébrique ou aussi la forme cartésienne de z. Si z 0, l écriture z = re iθ (avec r > 0) est appelée la forme polaire ou aussi la forme trigonométrique de z. Ces deux écritures sont reliées par les relations x = r cos θ y = r sin θ et r = x + y cos θ = sin θ = x x +y y x +y Insistons sur le fait que θ est seulement défini modulo π, sauf si on précise que θ = Arg z.

15 1 CHAPITRE 1. NOMBRES COMPLEXES Exercices Écrire sous forme polaire 1 i, 1 + i, i, 1 + i 3, 3 i.. Écrire sous forme cartésienne Réponse partielle : e i π 6, 3e i π 3, e i π 6, 3e iπ, 3e i π Soit z = 1 i. Alors z = re iθ avec r = z = 1 + ( 1) =. Ensuite, 1 i = ( 1 i 1 ). Mais alors cos θ = 1 et sin θ = 1. On a donc θ = π 4 et 1 i = e i π 4. - Soit z = e i π 6. Alors ( z = cos π 6 + i sin π ) ( ) 3 = 6 + i1 = 3 + i. Exercices Soient z = re iθ et z = r e iθ deux nombres complexes avec r > 0 et r > 0. Déterminer la forme polaire de z z.. Soit z un nombre complexe non nul et n N. Démontrer que Arg ` 1 Arg z [π]; z Arg(z n ) narg z [π] Applications à la trigonométrie. a) Formules d Euler. De la formule e iθ = cos θ + i sin θ, on déduit : Proposition (Formules d Euler) cos θ = eiθ +e iθ sin θ = eiθ e iθ i. Démonstration. En effet, en additionnant les deux égalités e iθ = cos θ + i sin θ, (1.7) e iθ = cos( θ) + i sin( θ) = cos θ i sin θ, (1.8) on obtient e iθ + e iθ = cos θ d où cos θ = eiθ + e iθ. Par ailleurs la soustraction donne e iθ e iθ = i sin θ d où sin θ = eiθ e iθ. i

16 1.. NOMBRES COMPLEXES 13 Ces formules permettent de retrouver bon nombre de formules de trigonométrie. Par exemple, cos(θ + θ ) + i sin(θ + θ ) =e i(θ+θ ) = e iθ e iθ =(cos θ + i sin θ)(cos θ + i sin θ ) = cos θ cos θ sin θ sin θ + i(cos θ sin θ + sin θ cos θ ). En comparant les parties réelles et imaginaires des deux membres, on retrouve cos(θ + θ ) = cos θ cos θ sin θ sin θ sin(θ + θ ) = cos θ sin θ + sin θ cos θ. On peut en déduire cos(θ θ ) et sin(θ θ ), soit en remplaçant θ par θ soit en recommençant : cos(θ θ ) + i sin(θ θ ) = e i(θ θ ) = e iθ e iθ = La formule d Euler sert aussi à exprimer cos n θ et sin n θ, n 1 (et plus généralement des produits de cos et sin), en fonction linéaire de cos kθ ou sin kθ. Ce genre de linéarisation est très utile pour calculer des primitives (voir cours du second semestre). Voyons sur des exemples comment procéder. Exemple (i) : Linéarisation de cos 3 θ et sin 3 θ On écrit, grâce à la formule du binôme, ( e cos 3 iθ + e iθ ) 3 θ = = (eiθ + e iθ ) 3 3 = 1 [ 3 e 3iθ + 3e iθ e iθ + 3e iθ e iθ + e 3iθ] = 1 ] [e 3iθ 3 + e 3iθ + 3(e iθ + e iθ ) = 1 4 cos 3θ cos θ ( e sin 3 iθ + e iθ ) 3 θ = = (eiθ e iθ ) 3 3 i 3 = 1 [ ] 3 e 3iθ e 3iθ + 3(e iθ e iθ ) i = 1 4 sin 3θ + 3 sin θ. 4 Exemple (ii) Linéarisation de cos 4 θ sin θ.

17 14 CHAPITRE 1. NOMBRES COMPLEXES Pour transformer l expression, on peut écrire cos 4 θ sin θ = ( e iθ + e iθ ) 4 (e iθ e iθ i = 1 64 (eiθ + e iθ ) ( (e iθ + e iθ )(e iθ e iθ ) ) = 1 64 (eiθ + e iθ ) (e iθ e iθ ) = 1 64 (eiθ + + e iθ )(e 4iθ + e 4iθ ) = 1 64 (e6iθ + e 6iθ + (e 4iθ + e 4iθ ) (e iθ + e iθ ) 4) = 1 (cos 6θ + cos 4θ cos θ ). 3 (Remarquer qu on prend bien soin de faire apparaître des quantités de la forme e kiθ +e kiθ ou e kiθ e kiθ.) b) Formule de Moivre. À l inverse, cette formule sert à exprimer cos nθ et sin nθ, n N, en fonction de puissances de cos θ et sin θ. Proposition (Formule de Moivre.) Pour tout θ R et tout entier n N, on a (cos θ + i sin θ) n = cos nθ + i sin nθ. Démonstration. La formule de Moivre s écrit aussi (e iθ ) n = e inθ, mais elle est très utilisée sous la forme donnée dans l énoncé. On la démontre par récurrence. Elle est évidemment vraie pour n = 1. Supposons la formule vraie pour l entier n 1, c est-à-dire que (e iθ ) n 1 = e i(n 1)θ. On en déduit que ( ) (e iθ ) n = e iθ (e iθ ) n 1 = e iθ e i(n 1)θ = e i θ+(n 1)θ ) = e inθ. (L hypothèse de récurrence est utilisée pour obtenir la deuxième égalité et la troisième égalité résulte de l assertion. dans la proposition ) Exemple : Exprimer cos 3θ et sin 3θ en fonction de cos θ et sin θ. On écrit cos 3θ + i sin 3θ = (cos θ + i sin θ) 3. Le développement de la puissance à l aide de la formule (1.4) et du triangle de Pascal donne (cos θ + i sin θ) 3 = cos 3 θ + 3i cos θ sin θ + 3i cos θ sin θ + i 3 sin 3 θ = cos 3 θ 3 cos θ sin θ + i(3 cos θ sin θ sin 3 θ). En comparant les parties réelles et imaginaires des deux membres, on obtient cos 3θ = cos 3 θ 3 cos θ sin θ sin 3θ =3 cos θ sin θ sin 3 θ.

18 1.. NOMBRES COMPLEXES 15 Exercice -6- En posant z = cos θ + i sin θ, démontrer à l aide de la formule de Moivre que pour tout n N, on a cos nθ = z n + 1 z n et i sin nθ = z n 1 z n. (1.9) Les formules (1.9) sont très pratiques pour linéariser. Par exemple, elles permettent de retrouver immédiatement les expressions de cos 3 θ et sin 3 θ déjà déterminée plus haut : ( z + 1 ) 3 = 1 z 8 cos 3 θ = 1 8 sin 3 θ = 1 ( (i) 3 z 1 z Exercices -7- ((z 3 + 1z 3 ) + 3(z + 1z ) ) = 1 4 cos 3θ + 3 cos θ, 4 ((z 3 1z 3 ) 3(z 1z ) ) = 1 4 sin 3θ sin θ ) 3 = 1 8i 1. Linéariser cos 4 θ, sin 4 θ et cos 3 θ sin θ.. Écrire cos 4θ, sin 4θ et cos 3θ sin θ en fonction de puissances de cos θ, sin θ. c) Transformation de a cos x + b sin x. On suppose que a et b ne sont pas tous les deux nuls. On écrit le nombre complexe a + ib sous forme polaire re iθ = r cos θ + ir sin θ, c est-à-dire a = r cos θ et b = r sin θ. On en déduit alors que a cos x + b sin x = r cos θ cos x + r sin θ sin x = r cos(x θ). Exemple : Résoudre l équation cos x + 3 sin x = 3. On écrit sous forme polaire, 1 + i 3 = ( cos(π/3) + i sin(π/3) ), et l équation donnée est donc équivalente à cos(x π/3) = Or, on a (dessiner le cercle trigonométrique!) L ensemble des solutions est donc c est-à-dire x = π [π] et x = π 6 [π]. 3 = cos(π/6). (cos α = cos β) (α ±β [π]). { x π 3 π 6 [π], x π 3 π 6 [π],

19 16 CHAPITRE 1. NOMBRES COMPLEXES 1.3 Racine n-ième d un nombre complexe Les nombres complexes permettent de résoudre l équation z = 1 (solutions ±i). En fait, il est possible de résoudre l équation z n = z 0 pour n importe quel nombre complexe z 0 C et n importe quel entier n 1. Les solutions sont appelées racines n-ièmes de z 0. Nous allons commencer par le cas le plus important, celui où z 0 = Racines n-ièmes de l unité. Théorème Soit n 1. L équation z n = 1 a exactement n solutions distinctes dans C. Ce sont les nombres ω k = e i kπ n où k {0, 1,, n 1}. Démonstration. En écrivant, sous forme polaire, z = re iθ, on a z n = r n e inθ, d où z n = 1 si et seulement si r n = 1 et nθ 0 [π], c est-à-dire si et seulement si r = 1 et θ = kπ n avec k {0, 1,, n 1} (les autres valeurs entières de k donnent les mêmes nombres, modulo π). Remarque 1.3. Ces n nombres complexes sont appelés les racines n-ièmes de l unité.. Ce sont les sommets d un polygone régulier à n côtés, inscrit dans le cercle trigonométrique. A titre d exercice, dessiner ces polygones pour n = 3, 4, Racines n-ièmes de z 0. L equation z n = 0 n admet que 0 comme solution. Nous écartons désormais ce cas particulier évident z 0 = 0. Théorème Soit n 1 et soit z 0 = r 0 e iθ 0 un nombre complexe non nul écrit sous forme polaire (on rappelle que r 0 > 0). L équation z n = z 0 a exactement n solutions distinctes dans C. Ce sont les nombres n r0 e i θ0n + kπ n où k {0, 1,, n 1}. Démonstration. On écrit à nouveau, sous forme polaire, z = re iθ. L équation z n = z 0 devient r n e inθ = r 0 e iθ 0. Elle est donc équivalente aux deux équations r n = r 0 et nθ θ 0 [π), ce qui donne le résultat annoncé. Définition Les solutions l équation z n = z 0 s appellent les racines n-ièmes de z 0. Chaque solution est appelée une racine n-ième de z 0 (et non pas la racine n-ième de z 0 ). Pour n = on emploie le terme racine carrée au lieu de racine -ième Pour n = 3, on dit racine cubique.

20 1.3. RACINE N-IÈME D UN NOMBRE COMPLEXE 17 Remarques Les racines n-ièmes se cherchent en polaire (pour n = on verra toutefois dans la section suivante une autre méthode). -- La notation n z est INTERDITE. En effet elle est ambigüe puisqu on ne sait pas de laquelle des racines n-ièmes de z il s agit. Pour un nombre réel r > 0, par convention, n r est le seul nombre réel positif dont la puissance n-ième vaut r. Dans C, une telle convention est impossible. Même si dans certains livres vous recontrerez la notation 1 pour le nombre complexe i, nous vous l interdisons, car elle est source d erreurs. Par exemple on pourrait croire, en utilisant les règles usuelles pour, que 1 = ( 1) = 1 = 1 alors que 1 = i = 1!!!. -3- Si z 1 est une solution de l équation z n = z 0, alors toutes les solutions sont de la forme z 1 ω k, où k {0, 1, n 1} et ω k = e i kπ n. En particulier, si n =, les deux solutions de z = z 0 sont z 1 et z 1. Exemple : Calculons les racines quatrièmes de 1 i. En coordonnés polaires, on a 1 i = e i π 4. Donc, si z = re iθ est solution de z 4 = 1 i, alors z 4 = r 4 e 4iθ = e i π 4, d où { r 4 = 4θ = π 4 + kπ c est-à-dire où k Z. Les 4 racines sont donc { r = 8 θ = π 16 + k π z 1 = 8 e i π 16 ; z = 8 e i 7π 16 ; z3 = 8 e i 15π 16 ; z4 = 8 9π i e 16., 4 7i--- π e 16 π 15i--- 4 e 16 π 4 -i--- e i--- π e 16 Figure 1.5: Les racines de z 4 = 1 i. Exercice -8- Calculer les racines cubiques de 1 i, 1 + i, i, 1 + i 3, 3 i.

21 18 CHAPITRE 1. NOMBRES COMPLEXES 1.4 Équations de degré à coefficients complexes Racines carrées d un nombre complexe. Soit z 0 C différent de 0 et étudions l équation z = z 0. L utilisation des coordonnées polaires est très pratique si on connait z 0 sous forme polaire z 0 = r 0 e iθ 0. Rappelons que les deux racines carrées de z 0 sont alors r 0 e i θ 0 et r 0 e i( θ 0 +π). Cette méthode est simple à condition qu on puisse écrire facilement z 0 sous forme polaire. On peut également chercher les solutions sous forme cartésienne. Pour cela écrivons z = x + iy et z 0 = x 0 + iy 0. Comme z = x y + ixy, l égalité z = z 0 équivaut à { x y = x 0 xy = y 0. Remarquons par ailleurs que si z = z 0, alors z = z 0, c est-à-dire que x + y = z 0. On est donc amené à résoudre le système non linéaire de 3 équations à inconnues. x y = x 0 x + y = z 0. xy = y 0 d où x = x 0 + z 0 = z 0 + Re z 0 et y = z 0 x 0 = z 0 Re z 0. On observe ensuite que z 0 + Re z 0 0 et z 0 Re z 0 0 car on a toujours Re z 0 z 0. On peut donc calculer les racines carrées dans R de ces nombres positifs ou nuls. On trouve alors x = ± y = ± z 0 +Re z 0 z 0 Re z 0 La condition xy = y 0 = Im z 0 permet maintenant de déterminer les signes ±. Ainsi, si Im z 0 0, alors xy 0 et par conséquent x et y sont de même signe. Les solutions sont alors z et z avec z0 + Re z 0 z0 Re z 0 z = x + iy = + i. Par contre, si Im z 0 0, alors xy 0 et par conséquent x et y sont de signe opposé. Les solutions sont alors z et z avec z0 + Re z 0 z0 Re z 0 z = x + iy = i. Ces formules ne sont évidemment pas à savoir, par contre la méthode est à connaître..

22 1.4. ÉQUATIONS DE DEGRÉ À COEFFICIENTS COMPLEXES 19 Exemple : Calculons les racines carrées de 1 i par les deux méthodes. -1- Par la méthode des coordonnées polaires. On a 1 i = e i π 4. Donc si z = re iθ est solution de z = 1 i alors z = r e iθ = e i π 4 d où { r = θ = π, c est-à-dire 4 + kπ où k Z. Les deux solutions sont donc { r = z 1 = 4 e i π 8 et z = 4 e i 7π Par la méthode des coordonnées cartésiennes. 4 θ = π 8 + kπ, Si z = x+iy est solution de z = z 0 alors z = (x y )+ixy = 1 i donc x y = 1 et xy = 1. Par ailleurs, z = 1 i donne x + y = et avec x y = 1, on trouve x = d où x = ± et y = d où y = ±. Enfin, comme xy = 1, x et y sont de signe opposé. Ainsi, les solutions sont z 1 = i et z = + i = z 1. En comparant les deux méthodes, on en déduit que 4 cos π 8 1+ = 1 (1+, soit ) cos π 8 = Résolution d équations de degré. et sin π 8 = 1 (1 + ). = 1+ et 4 sin π 8 = Nous sommes maintenant en mesure de résoudre l équation az +bz +c = 0 avec a, b, c C et a 0. Comme pour (1.1), on obtient ( en complétant les carrés ) [ ( az + bz + c = a z + b ) ] a 4a (1.10) où = b 4ac C. Soit alors δ une racine carrée de. On réécrit alors (1.10) comme [ ( az + bz + c = a z b ) ] ( δ a 4a = a z b δ ) ( z b + δ ) a a Ainsi, les solutions de l équation az + bz + c sont z 1 = b δ a et z = b + δ a,

23 0 CHAPITRE 1. NOMBRES COMPLEXES où δ est une racine de = b 4ac. (L autre racine de est δ qui donne bien sûr le même couple de solutions.) Exemples : -1- Résolution de l équation x + x + 1 = 0. On a = = 3 = (i 3) dont une racine carrée est δ = i 3. Les solutions de x + x + 1 = 0 sont donc x 1 = 1 i 3 = e iπ 3 et x = 1+i 3 = e iπ Résolution de l équation z + z + 1+i 4 = 0. On a = i 4 = 1 i dont une racine est 4 e i π 8. Les solutions de z + z + 1+i 4 = 0 sont donc z 1 = 4 e i π 8 et z = + 4 e i π 8. Si on recherche les solutions sous forme cartésienne, on écrit z 1 = 1 ( + 4 cos π 8 ) + i 4 sin π 8, z = 1 ( 4 cos π 8 ) i 4 sin π 8. Exercices Résoudre les équations suivantes : a. x + x + = 0 ; b. x = 0 ; c. x + ix 5 = 0 ; d. (1 i)z z i 1 i. Discuter les solutions de l équation z λz + 1 = 0 en fonction du paramètre λ R. Représenter le lieu des racines dans le plan complexe z lorsque λ varie de 1 à Montrer que l équation z 4 z 3 + z + = 0 admet pour racines z 1 = 1 + i et z = e iπ 3. En déduire les autres racines ainsi qu une factorisation du polynôme z 4 z 3 + z + sur R et sur C. 4. Déterminer les zéros complexes du polynôme x En déduire que x = (x + x + 1)(x x + 1). 5. Montrer que z = 3 i est une racine quatrième de Z = 8(1 + i 3). En déduire les solutions de l équation z i 3 = 0. «n z Résoudre dans C l équation = cos nx + i sin nx où x est un réel fixé. z 1 7. Déterminer les racines cubiques de ( i) (on donnera leur expression sous forme trigonométrique et sous forme cartésienne). Quelles sont les solutions de l équation ((1 + i)z) 3 + i = 0? = Exercices supplémentaires -1- Donner l argument des nombres complexes suivants : cos θ i sin θ, sin θ + i cos θ, sin θ + i cos θ, sin θ i cos θ. -- Soient les nombres complexes suivants : z 1 = 1 + i 3, z = 1 i 3, z 3 = 1 + i, z 4 = 3 i. a. Calculer z 1 + z, z 1 + z 3, z 1 + z 4, z 3 + z. Puis donner les solutions sous forme géométrique.

24 1.5. EXERCICES SUPPLÉMENTAIRES 1 b. Donner z 1, z, z 3, z 4 sous forme polaire. c. Calculer z 1 z, z 1 z 3, z 1 z 4, z 3 z sous forme cartésienne et sous forme polaire. Donner ensuite les solutions sous forme géométrique. d. Calculer z z3 + z 3 + z 4. e. Donner les complexes conjugués de z 1, z, z 3, z 4. Représenter-les dans le plan complexe. f. Reprendre les questions ci-dessus avec z 1 = -3- Calculer de deux façons différentes i, z = 1 i i 3 + i. En déduire la valeur de cos π 1 et sin π Trouver l ensemble des points M d affixe z tels que le nombre Z = imaginaire pur. iz + (1 + i)z soit -5- Montrer que pour tout z C on a Re (z) < 1 si et seulement si z z 1 < Montrer que pour tous z et z dans C on a z + z + z z = ( z + z ). Quelle est l interprétation géométrique de ce résultat? -7- Soit λ R. Montrer que z = 1 + λi est de module 1. Peut-on écrire sous cette forme 1 λi tout nombre complexe de module 1? { z = 1-8- Discuter de l existence et du nombre de solutions du système d équations z + a = 1 où a C est donné.

25 CHAPITRE 1. NOMBRES COMPLEXES

26 Chapitre Algèbre linéaire.1 Résolution de systèmes linéaires par la méthode de Gauss Définition.1.1 Une équation de degré 1 ou (équation linéaire à n inconnues) est une équation de la forme a 1 x 1 + a x + + a n x n = b n. Les nombres a 1, a,, a n, b n sont des nombres réels donnés. Les variables x 1, x,, x n sont les inconnues. Résoudre l équation, c est trouver tous les n-uplets (x 1, x,, x n ) de nombres réels, s il en existe, tels que a 1 x 1 + a x + + a n x n = b n. Un système de m équations de degré 1 (ou linéaires) à n inconnues est un système de m équations, chacune étant linéaire à n inconnues. Résoudre le système, c est trouver tous les n-uplets (x 1, x,, x n ) de nombres réels, s il en existe, qui vérifient chaque équation du système. Exemple : { x +5y z = x 5y = 3, { x +5y z = x 5y = 3 sont deux systèmes de équations à 3 inconnues. Le premier est linéaire alors que le second ne l est pas. La résolution d un système d équations de degré 1 est basée sur les principes suivants : 1. les solutions d un système ne changent pas quand on échange deux lignes ;. les solutions d un système ne changent pas quand on ajoute un multiple d une ligne à une autre ligne ; 3. Un système sous forme triangulaire (ou, plus généralement, échelonné) est extrêmement simple à résoudre. 3

27 4 CHAPITRE. ALGÈBRE LINÉAIRE Considérons par exemple: x +5y z = y +z = 1 +3z = La dernière ligne donne z = 3 ; la seconde ligne donne alors y + 3 y = 1 3 qui, reporté dans la première, donne x = 1. = 1 et donc Définition.1. On dit qu un système d équations de degré 1 est échelonné si, pour chaque ligne, la première inconnue qui apparaît avec un coefficient non nul est affectée, ainsi que les inconnues précédentes, d un coefficient nul dans les lignes suivantes. Exemple : x +z +t = 1 y +z t = 0, 3t = x +z +t = 1 y +z t = 0 y +z t = 0 Le premier système est échelonné alors que le deuxième ne l est pas. 3t = La résolution d un système d équations de degré 1 par la méthode de Gauss se fait en trois étapes. Première étape : Réduction sous forme échelonnée à l aide de permutations et de combinaisons de lignes. On choisit une ligne pivot parmi les lignes qui contiennent la première inconnue (avec un coefficient non nul) et on la place en premier. On prend la ligne la plus simple possible. On retranche aux lignes suivantes un multiple de la première ligne de façon à éliminer la première inconnue dans toute les lignes, sauf la ligne pivot. Exemple : Résoudre x +5y z t = x y +z +3t = 1 x +3z +4t = x +y z t = 0 (.1) La dernière ligne est un peu plus simple, car le coefficient de x est 1. Choisissons-la comme ligne pivot et échangeons-la avec la première. Le système est donc équivalent à x +y z t = 0 x y +z +3t = 1 L 1 L 4 x +3z +4t = x +5y z t = L L +L 1 L 3 L 3 +L 1 L 4 L 4 L 1 x +y z t = 0 y +z +t = 1 y +z +t = y +z +t =

28 .1. RÉSOLUTION DE SYSTÈMES LINÉAIRES PAR LA MÉTHODE DE GAUSS 5 On recommence avec la deuxième inconnue, puis la troisième,... jusqu à obtenir un système échelonné. Exemple : Dans le système précédent, on a éliminé l inconnue x des lignes à 4. Éliminons maintenant y des lignes 3 et 4 et ensuite z de la ligne 4 : x +y z t = 0 y +z +t = 1 y +z +t = y +z +t = L 3 L 3 L L 4 L 4 L x +y z t = 0 y +z +t = 1 0 = 0 t = 1 Comme l équation 0 = 0 est toujours vérifiée, on peut l éliminer et le système est équivalent au système échelonné x +y z t = 0 y +z +t = 1 t = 1 Deuxième étape : Séparation des inconnues. On sépare les inconnues en deux parties : celles qui restent sur la diagonale : inconnues principales les autres : inconnues secondaires. On fait passer les inconnues secondaires au second membre : elles serviront de paramètre. Exemple : Dans le système x +y z t = 0 y +z +t = 1, t = 1 les inconnues principales sont x, y et t et la seule inconnue secondaire est z. Le système est alors équivalent à x + y t = z y + t = 1 z. t = 1 Troisième étape : On remonte le système de la dernière inconnue à la première. Exemple : Dans le système x + y t = z y + t = 1 z, t = 1

29 6 CHAPITRE. ALGÈBRE LINÉAIRE la dernière équation donne t = 1, puis la deuxième équation donne y + 1 = 1 z, soit y = z. Enfin la première équation donne x z = z, soit x = 3z +. L ensemble des solutions du système x +5y z t = x y +z +3t = 1 x +3z +4t = x +y z t = 0 est donc S = {(3z +, z, z, 1) : z R}. Remarque.1.3 Pour un système linéaire, on a trois possibilités : Soit il n a aucune solution. Par exemple, la résolution du système x +5y z t = 0 x y +z +3t = 0 x +3z +4t = 3 x +y z t = 0 par les opérations ci-dessus conduit à x +y z t = 0 y +z +t = 0 0 = 3 t = 0 Ce système n a pas de solution puisque 0 3! Soit il a une infinité de solutions (l exemple (.1 ci-dessus). Soit il a une solution unique. C est le cas si et seulement si il n y a pas d inconnues secondaires, par exemple pour le système x + y z = 0 y + z = 1. z = 1 Exercices -1- Résoudre les systèmes suivants : 8 8 >< x + y + z = 0 >< x + y + z = 1 x y z = 0 x y z = 3 >: >: x + y z = 0 x + y z = 8 8 x + y + z + t = >< x + y + z = 1 >< x + 4y + 4z t = 0 x y z = 3 >: x y z + t = 0 x + 6y + 3z = >: x + y + z t = 1 8 >< x + y + z = 0 x y z = 0 >: x + 6y + 3z = 0 8 x + ay + a >< z = α a x + y + az = β. >: ax + a y + z = γ Pour le dernier système, il faut discuter suivant a R.

30 .. STRUCTURE D ESPACE VECTORIEL SUR R ET R 3 7 z (0,y,z) projection de u sur les axes y j u = (x,y) (x,0,z) k u = (x,y,z) projection de u sur les plans de coordonnees i x i j y IR x (x,y,0) 3 IR Figure.1: Les vecteurs du plan et de l espace. Structure d espace vectoriel sur R et R 3..1 Définition de R et de R 3. On désigne par R l ensemble des couples (x, y) avec x, y R. Ces couples sont appelés vecteurs du plan. On peut alors définir l addition de deux couples (x, y) et (x, y ) ainsi que la multiplication d un couple par un scalaire λ R à l aide des opérations correspondantes sur les vecteurs. Plus précisément pour l addition : si u = (x, y), u = (x, y ) R, alors u + u R est défini par u + u = (x, y) + (x, y ) = (x + x, y + y ) la multiplication par un scalaire : si u = (x, y), λ R, alors λ u R est défini par λ u = λ(x, y) = (λx, λy). On désigne par R 3 l ensemble des triplets (x, y, z) avec x, y, z R. C est l ensemble des vecteurs de l espace. On définit alors l addition et la multiplication par un scalaire comme ci-dessus : l addition : si u = (x, y, z), u = (x, y, z ) R 3, alors u + u = (x, y, z) + (x, y, z ) = (x + x, y + y, z + z ) R 3 la multiplication par un scalaire : si u = (x, y, z), λ R, alors λ u = λ(x, y, z) = (λx, λy, λz) R 3. On notera les vecteurs nuls 0 = (0, 0) R et 0 3 = (0, 0, 0) R 3. Si aucune confusion n est possible on notera indifféremment 0 pour 0 ou 0 3. Remarque..1 La multiplication de deux vecteurs n est pas définie!

31 8 CHAPITRE. ALGÈBRE LINÉAIRE u u + v v v λ u u Figure.: Opérations sur les vecteurs, ici λ > 1.. R et R 3 comme espaces vectoriels. Les additions et multiplications définies ci-dessus ont les mêmes propriétés que l addition et la multiplication dans R, à savoir, pour u, v, w R n, (n = ou n = 3) et λ, µ R : 1. u + 0 = 0 + u = u.. u + v = v + u. 3. u + ( v + w) = ( u + v) + w u = u, 0 u = λ(µ u) = (λµ) u = µ(λ u). 6. λ( u + v) = λ u + λ v. 7. (λ + µ) u = λ u + µ u. En particulier u u = 1 u + ( 1) u = (1 1) u = 0 u = 0. Définition.. Un ensemble E sur lequel on peut définir une opération + et une multiplication par λ R et contenant un élément 0 tels que les propriétés 1. à 7. ci-dessus soient vérifiées s appelle un R-espace vectoriel. On notera que, par définition, un espace vectoriel n est jamais vide. Il contient au moins l élément 0. Par exemple F([0, 1]), l espace des fonctions sur [0, 1] à valeurs dans R, avec les opérations usuelles, est un espace vectoriel. Dans la suite, nous verrons aussi que les solutions de certaines équations différentielles et l ensemble des matrices (n, m) sont également des espaces vectoriels.

32 .3. VECTEURS COLINÉAIRES DANS R 9.3 Vecteurs colinéaires dans R Définition.3.1 On dit que deux vecteurs u, v de R sont colinéaires (ou liés) s il existe λ, µ R, non tous deux nuls, tels que λ u + µ v = 0. Si les vecteurs ne sont pas colinéaires, on dit qu ils sont linéairement indépendants. Ainsi, u et v sont linéairement indépendants si et seulement si λ, µ R, (λ u + µ v = 0 λ = 0 et µ = 0). On pose Vect( u) = {λ u : λ R}. Si u 0, alors Vect( u) est une droite vectorielle, notée aussi D u. On dit qu elle est engendrée par u. Proposition.3. Soient u et v deux vecteurs de R. 1. Si v = 0, alors les vecteurs u et v sont liés.. Si v 0, les vecteurs u et v sont liés si et seulement si il existe λ R tel que u = λ v. Démonstration. Si v = 0, l égalité λ u + µ v = 0 est vérifiée avec λ = 0 et µ = 1, et par conséquent u et v sont liés. Supposons maintenant que v 0. Supposons que u et v sont liés : il existe α et β non tous deux nuls tels que α u + β v = 0. On a nécessairement α 0. En effet si α = 0, on a β v = 0, d où β = 0 puisque v 0, ce qui est impossible (car α et β ne peuvent pas être tous deux nuls). Comme α 0, le vecteur u s écrit u = β α v, d où u = λ v avec λ = β α. Réciproquement, si u = λ v, alors u λ v = 0 et par conséquent u et v sont liés. Remarque.3.3 On remarquera que u et v sont liés dès que l un de ces deux vecteurs est nul. Proposition.3.4 Soient u = (a, b) et v = (a, b ) deux vecteurs de R. Alors u et v sont colinéaires si et seulement si ab a b = 0. Démonstration. Nous nous plaçons dans le cas où v 0 (dans le cas où v = 0 on a bien sûr ab a b = 0 et on sait d autre part que u et v sont colinéaires). Supposons par exemple que a 0. Alors si ab a b = 0, on vérifie immédiatement que u = a a v ; s il existe λ tel que u = λ v, on a a = λa et b = λb. On obtient λ = a a puis b = a a b, c est-à-dire ab a b = 0 en remplaçant λ par sa valeur dans l égalité b = λb. Si b 0, on raisonne de façon analogue. Notation : On pose det( u, v) = ab a a a b = b b. Ce nombre est appelé le déterminant de u et v.

33 30 CHAPITRE. ALGÈBRE LINÉAIRE D après la proposition précédente les vecteurs u et v sont linéairement indépendants si et seulement si leur déterminant est non nul. Dans le cas où a 0 et b 0, cette a condition s écrit aussi a = b b. Exercice -- Soient u et v deux vecteurs de R. Vérifier que det( u, v) = det( v, u) et que pour tout λ R on a det(λ u, v) = λ det( u, v) = det( u, λ v). Proposition.3.5 (Équation cartésienne de droite.) Soit u = (a, b) un vecteur non nul. La droite D u est l ensemble des points (x, y) R qui vérifient l équation xb ya = 0, x a c est-à-dire aussi y b = 0. Démonstration. C est une conséquence immédiate de la proposition.3.4. La droite D u a donc comme équation cartésienne xb ya = 0. Exercice -3- Soient α, β deux réels non nuls tous les deux. Démontrer que l ensemble des points (x, y) vérifiant l équation αx + βy = 0 est la droite engendrée par le vecteur u = (β, α). Proposition.3.6 Soient u, v R deux vecteurs linéairement indépendants. Alors, pour tout w R, il existe un unique couple (x, y) R tel que w = x u + y v. Démonstration. Si u = (a, b), v = (a, b ) et w = (α, β), l égalité x u+y v = w est équivalente au système de deux équation à deux inconnues ax + a y bx + b y Comme u et v sont indépendants, on a en particulier u 0. On suppose par exemple que a 0 (si b 0, on raisonne de façon analogue). En remplaçant la ligne L du système = α = β par L b a L 1, on voit que le système est équivalent à ax + a y = α (b b a a )y = β b a α Comme u et v sont indépendants, on a ab ba aβ bα 0. On en déduit que y = ab ba puis, en remplaçant y par la valeur trouvée dans la première équation, on obtient x = αb βa ab. Ceci montre l existence et l unicité du couple (x, y) tel que w = x u + y v. ba Définition.3.7 Un couple ( u, v) de vecteurs de R tel que tout vecteur w s écrive de façon unique sous la forme w = x u + y v (avec x, y R) s appelle une base de R. On dit que les nombres x, y sont les coordonnées de w dans la base ( u, v). Exemple : ( i, j), avec i = (1, 0) et j = (0, 1) est une base de R, dite naturelle ou canonique

34 .4. VECTEURS COLINÉAIRES ET COPLANAIRES DANS R3 31 Remarque.3.8 La proposition.3.6 montre que si les vecteurs u et v sont linéairement indépendants, alors ils forment une base de R. Réciproquement, toute base ( u, v) de R est formée de vecteurs indépendants. En effet, supposons que λ u + µ v = 0. Comme 0 s écrit aussi 0 = 0 u + 0 v, l unicité de l écriture de 0 comme combinaison linéaire de u et v donne λ = 0 et µ = 0. a a Remarque.3.9 Soient a, b, c, d quatre nombres réels tels que b b 0. La proposition précédente énonce que pour tout w = (α, β) R le système ax + a y = α bx + b y = β admet une unique solution. La démonstration a de plus montré que cette solution est donnée par les formules x = det( w, v) det( u, v), det( u, w) y = det( u, v). Ces formules sont connues sous le nom de formules de Cramer..4 Vecteurs colinéaires et coplanaires dans R Vecteurs colinéaires. La définition de la colinéarité dans R 3 est la même que dans R (et elle se généralise à tout espace vectoriel). Nous reproduisons donc ce qui a été dit dans la section précédente. Définition.4.1 On dit que deux vecteurs u, v de R 3 sont colinéaires (ou liés) s il existe λ, µ R, non tous deux nuls, tels que λ u + µ v = 0. Si les vecteurs ne sont pas colinéaires, on dit qu ils sont linéairement indépendants. Ainsi, u et v sont linéairement indépendants si et seulement si λ, µ R, (λ u + µ v = 0 λ = 0 et µ = 0). On pose Vect( u) = {λ u : λ R}. Si u 0, alors Vect( u) est une droite vectorielle, notée aussi D u. On dit qu elle est engendrée par u. Proposition.4. Soient u et v deux vecteurs de R Si v = 0, alors les vecteurs u et v sont liés.. Si v 0, les vecteurs u et v sont liés si et seulement si il existe λ R tel que u = λ v.

35 3 CHAPITRE. ALGÈBRE LINÉAIRE Pour la démonstration voir celle de.3.. L énoncé.3.4 est remplacé par le suivant : Proposition.4.3 Soient u = (a, b, c) et u = (a, b, c ) deux vecteurs de R 3. Ces vecteurs sont liés si et seulement si a a b b = b b c c = a a c c = 0. Démonstration. De même que dans R, le seul cas intéressant à traiter est celui où les vecteurs ne sont pas nuls. Nous supposons ainsi que v 0 et que a 0 (les cas b 0 ou c 0 ou u 0 se traitant de façon analogue). Dans le cas où les trois déterminants de l énoncé sont nuls, on voit que u = (a, b, c) = a a (a, b, c ) = a a v. Réciproquement, supposons qu il existe λ = R tel que u = λ v, c est-à-dire tel que a = λa, b = λb, c = λc. En reportant la valeur λ = a a dans les deux dernières égalités, on trouve ab ba = 0 et ac ca = 0. On en déduit que ab c ba c = 0 puis en remplaçant ac par ca on trouve a (b c bc ) = 0, d où bc cb = 0 en simplifiant par a 0. On conclut que les trois déterminants s annulent. Remarque.4.4 Si a, b et c sont tous différents de 0, la condition énoncée dans la proposition précédente se lit bien sûr :.4. Vecteurs coplanaires. a a = b b = c c. Définition.4.5 On dit que trois vecteurs u, v, w sont coplanaires (ou liés) s il existe α, β, γ R, non tous nuls, tels que α u + β v + γ w = 0. Si les vecteurs ne sont pas coplanaires, on dit qu ils sont linéairement indépendants. Ainsi, u, v et w sont linéairement indépendants si et seulement si λ R, µ R, ν R, (λ u + µ v + ν w = 0 λ = 0, µ = 0 et ν = 0). Exercice -4- Soient v et w deux vecteurs non colinéaires dans R 3 et soit u R 3. Démontrer que u, v, w sont coplanaires si et seulement si il existe λ, µ dans R tel que u = λ v + µ w. On note Vect( u, v) l ensemble des vecteurs de la forme λ u + µ v. On se trouve dans l une des trois situations suivantes : u et v sont nuls : alors Vect( u, v) = { 0} ; u et v sont liés mais pas tous les deux nuls : alors Vect( u, v) est une droite vectorielle ;

36 .4. VECTEURS COLINÉAIRES ET COPLANAIRES DANS R3 33 u, v ne sont pas colinéaires : alors Vect( u, v) est un plan vectoriel. C est l ensemble des vecteurs w tels que u, v, w soient coplanaires. Dans ce dernier cas, Vect( u, v) est aussi noté P u, v. On dit que P u, v est le plan engendré par les vecteurs u et v. Proposition.4.6 (Représentation paramétrique de P u, v.) Soient u = (a, b, c) et v = (a, b, c ) deux vecteurs de R 3 non colinéaires. Alors w = (x, y, z) P u, v si et seulement si il existe λ, µ R tel que ( ) x = λa + µa y = λb + µb z = λc + µc Démonstration. Immédiat, compte-tenu de l exercice 4. Nous allons maintenant chercher une condition faisant seulement intervenir (x, y, z) (et pas de paramètres) nécessaire et suffisante pour que w = (x, y, z) appartienne à P u, v. Proposition.4.7 (Équation cartésienne d un plan vectoriel de R 3.) Soient u = (a, b, c) et v = (a, b, c ) deux vecteurs de R 3 non colinéaires. Alors w = (x, y, z) P u, v si et seulement si x(bc cb ) y(ac a c) + z(ab ba ) = 0. Démonstration. Comme u et v ne sont pas colinéaires, d après.4.3 l une au moins des trois quantités ab ba, ac ca, bc cb n est pas nulle. Nous pouvons supposer par exemple que ab ba 0. Soit w = (x, y, z) R 3. D après la remarque.3.9, le système x = λa + µa possède une unique solution y = λb + µb λ = xb ya ab ba, ay bx µ = ab ba. Alors w P u, v si et seulement si la dernière équation du système (*) est satisfaite lorsqu on remplace λ et µ par les valeurs trouvées ci-dessus, c est-à-dire si et seulement si Cette condition s écrit aussi z = xb ya ay bx ab c + ba ab ba c. x(bc cb ) y(ac a c) + z(ab ba ) = 0. Nous allons indiquer une autre façon d écrire cette équation utilisant la définition suivante.

37 34 CHAPITRE. ALGÈBRE LINÉAIRE Définition.4.8 Soient u = (a, b, c), v = (a, b, c ), w = (a, b, c ) trois vecteurs de R 3. On appelle déterminant des vecteurs u, v, w, le nombre réel noté det( u, v, w) ou encore a a a b b b, c c c défini par det( u, v, w) = a b b c c b a a c c + c a a b b. Exercice -5- Soient u, v, w trois vecteurs de R 3. Vérifier que det( u, v, w) change de signe lorsqu on permute deux vecteurs (par exemple det( u, v, w) = det( w, v, u)) et que pour tout λ R on a det(λ u, v, w) = λ det( u, v, w) = det( u, λ v, w) = det( u, v, λ w). Remarque.4.9 D après la proposition.4.7, l équation cartésienne du plan engendré par deux vecteurs indépendants u = (a, b, c) et v = (a, b, c ) est x a a y b b = 0. z c c Proposition.4.10 Soit (a, b, c) un élément non nul de R 3. Alors ax + by + cz = 0 est l équation cartésienne d un plan vectoriel de R 3. Démonstration. Supposons par exemple que a 0. Alors (x, y, z) satisfait à l équation ax + by + cz = 0 si et seulement si x = b a y c z, donc si et seulement si a (x, y, z) = y( b a, 1, 0) + z( c, 0, 1). a Par conséquent, ax + by + cz = 0 est l équation cartésienne du plan vectoriel engendré par les vecteurs indépendants ( b a, 1, 0) et ( c, 0, 1). a Proposition.4.11 Les plans P d équation ax + by + cz = 0 et P d équation a x + b y + c z = 0 sont confondus si et seulement si il existe un réel λ 0 tel que a = λa, b = λb, c = λc. Démonstration. S il existe λ 0 tel que a = λa, b = λb, c = λc alors les deux équations ax + by + cz = 0 et 0 = a x + b y + c z = 1 λ (ax + by + cz) ont les mêmes solutions et donc P = P. Réciproquement supposons que P = P. Comme (a, b, c ) 0 nous pouvons par exemple supposer que a 0. Les vecteurs ( b, a, 0) et ( c, 0, a ) appartiennent à P et donc aussi à P. Il en résulte que b a + a b = 0 et c a + a c = 0, c est-à-dire b = a a b et c = a a c. Comme a = a a a, on voit que (a, b, c) = λ(a, b, c ) avec λ = a/a. De plus, on a λ 0 car (a, b, c) 0.