Axiomatique de N, construction de Z

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1 Axiomatique de N, construction de Z Table des matières 1 Axiomatique de N Axiomatique ordinale Propriété fondamentale : Le principe de récurrence Construction de lois internes La loi + dans N La loi dans N Construction de Z L'idée d'étendre N Le groupe (Z, +) Synthèse des constructions L'anneau (Z, +, ) Propriétés de Z Remarques et Conseils 5 1

2 1 Axiomatique de N 1.1 Axiomatique ordinale On admet l'existence d'un ensemble E non vide muni de la relation d'ordre qui vérie les axiomes suivants : A1 E n'est pas majoré. A2 Toute partie non vide de E admet un plus petit élément. A3 Toute partie non vide majorée de E admet un plus grand élément. Nous verrons plus loin que cet ensemble est unique à isomorphisme près. On choisi donc l'un de ces ensemble, et on l'appelle l'ensemble des entiers naturels et on le note N. Dénition On note 0 le plus petit élément de N, et N = N {0} Si n N alors l'ensemble k N k > n n'est pas vide. Il possède donc un plus petit élement, noté n appelé successeur de n. On constate que n < n et ]n; n [=. Si n N l'ensemble k N k < n est non vide et majoré donc il admet un plus grand élément que l'on notera n appelé prédécesseur de n. ]n ; n[= L'application a : N N n n est bijective d'inverse s 1 (n) = n. Idée de la démonstration : On doit montrer que (n ) = (n ) = n La dénition du successeur de n permet d'écrire : n < m = n m N vérie aussi les axiomes A1, A2, A3 1.2 Propriété fondamentale : Le principe de récurrence du principe de récurrence Soit E N. Si 0 E et si l'implication (n E = n E) est vraie, alors E = N Démonstration Raisonnons par l'absurde en supposant que E N. Donc le complémentaire de E dans N n'est pas vide, et d'après A2 il possède un plus petit élément. Notons le e. On sait que 0 E donc m 0. e possède donc un prédécesseur f qui appartient à E. L'implication de l'énoncé entraine f = e E, ce qui est absurde. Le principe usité de récurrence est le même que celui de la propriété, il sut de poser E = {n N P (n) est vraie }. 1.3 Construction de lois internes La loi + dans N On dénit une loi interne + dans N par récurrence en posant : 1 n N n + 0 = n, 2 n N n + 1 = n, 2

3 3 n N, p N n + p = (n + p ) + 1. Cette loi est associative, commutative, et tout entier naturel est régulier par rapport à cette opération. L'addition est compatible avec la relation d'ordre. Idée de la démonstration : Pour l'associativité on raisonne par récurrence sur q, n, p étant xés : (n+p)+q = n + (p + q) Pour la commutativité, on raisonne par récurrence sur p pour n xé, et en utilisant l'associativité : n + p = p + n Pour la régularité, raisonnement par récurrence sur n : x + n = y + n Pour la compatibilité, on raisonne par récurrence sur p pour n, m xés : n m n + p m + p On voit donc que la loi + possède les propriétés qui vont permettre de la symétriser. L'ensemble N déni par les axiomes A1, A2, A3 est unique à isomorphisme près. Idée de la démonstration : On montre que φ : N Ñ n + 1 φ(n + 1) = φ(n) + 1 est une bijection croissante La loi dans N On dénit la loi interne dans N par : 1 n N, n 0 = 0, 2 n N, n 1 = n, 3 n N, p N n p = [n p ] + n, La loi est associative, commutative, distributive par rapport à +, tout entier naturel non nul est régulier pour la loi, et est compatible avec la relation d'ordre. Idée de la démonstration : Commutativité np = pn par récurrence sur n + p = r. Distributivité n(p + q) = np + nq par récurrence sur r = n + p + q. Associativité n(pq) = (np)q Récurrence Régularité xn = xm x = y On xe n, et récurrence sur x + y = N Compatibilité x y xn yn par récurrence sur n N est donc archimédien. 3

4 2 Construction de Z 2.1 L'idée d'étendre N Une fois l'ensemble des entiers naturels déni, avec ses lois + et, on peut s'interesser à l'étude de l'équation suivante : a + x = b On voit que pour a b, cette équation possède toujours une unique solution (existence par récurrence, unicité par la régularité). Seulement, lorsque a > b il n'existe pas de solution dans N. Aussi l'on va tenter de construire un ensemble contenant N, compatible avec les lois + et de N et dans lequel cette équation possède une solution. Autrement dit, on va tenter de symétriser la loi +, en ajoutant un opposé (i.e. un symétrique pour la loi +). Notons N N l'ensemble des couples d'entiers naturels. Dans cet ensemble de couple, on a (a, b) = (a, b ) a = a et b = b. On dénit alors la relation R entre couple d'entiers par : Dénition (a, b)r(a, b ) a + b = a + b Les classes d'équivalences de N N pour la relation d'équivalence R forment un ensemble noté Z et appelé ensemble des entiers relatifs. Si (a, b) = {(x, y) N N (x, y)r(a, b)} On a donc : 2.2 Le groupe (Z, +) On dénit maintenant une loi en posant : Z = (N N)/R = {(a, b), a, b N} (a, b) (c, d) = (a + c, b + d) La loi est commutative, associative et admet (0, 0) comme élément neutre. De plus, la compatibilité de + dans N avec la relation d'équivalence permet de noté par +. Enn, tout élément de Z est symétrisable car : Notation : (a, b) Z (b, a) Z (a, b) + (b, a) = (a + b, a + b) = (0, 0) On note (a, b) l'opposé de l'élément (a, b) (Z, +) est un groupe commutatif. 2.3 Synthèse des constructions L'application f : N Z a (a, 0) 4

5 est un morphisme injectif pour la loi + puisque f(a + b) = f(a) + f(b) et (a, 0) = (b, 0) a = b. f est donc un plongement de N dans Z ce qui permet d'identier N et f(n) en écrivant a = (a, 0). N devient donc une partie de Z. L'opposé a de a dans Z est (0, a). Soit N la partie de Z formée des opposés des éléments de N. On a : Z = N N N N = 0 L'unique entier (noté a-b) solution de l'équation b + x = a coincide avec la somme a + ( b) La relation dans Z dénie par a b b a N est une relation d'ordre total sur Z qui généralise celle de N. 2.4 L'anneau (Z, +, ) On pose (a, b) (c, d) = (ac + bd, bc + ad). Cette dénition a un sens puisque les égalités (a, b) = (a, b ) et (c, d) = (c, d ) entrainent (ac + bd, bc + ad) = (a c + b d, b c + a d ) L'opération est commutative, associative, distributive par rapport à l'addition, d'élément neutre (1, 0) et généralise la multiplication dans N. (Z, +, ) est un anneau commutatif unitaire, intã gre, et l'application f dénie précédemment est un morphisme injectif pour + et. 2.5 Propriétés de Z La relation d'ordre est compatible avec + et dans Z Z est archimédien Tout suite décroissante de N est stationnaire. Toute suite croissante et majorée (resp. décroissante et minorée) de Z est stationnaire. Toute partie non vide et majorée (resp. minorée) de Z admet un plus petit élément (resp. pus grand élément). 3 Remarques et Conseils On peut aussi dénir N par les axiomes de Peano. Il existe une injection s : NrightarrowN 0 Im(s) Si la partie E de N contient 0 et vérie n E s(n) E alors E = N 5