2 PGCD, PPCM, petit théorème de Fermat

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1 Université de Paris-Sud, année 2012/2013 Filière Math/Info-L2 Maths 209 Feuille d exercices de soutien 1 Congruences et arithmétique sur Z Exercice 1. a) Soit n un nombre entier. Combien de valeurs peut prendre n 3 modulo 8? b) Soit n un nombre entier. Combien de valeurs peut prendre n 2 modulo 4? c) Montrer qu il n existe aucun couple d entiers (x, y) tels que x 2 +y 2 = Exercice 2. a) Soit n un nombre entier. Quels sont les restes possibles de la division euclidienne de n 2 par 13? et de n 3 par 7? b) Démontrer que l équation x 2 8xy +3y 2 = 2013 n admet pas de solutions entières. c) Déterminer toutes les solutions entières de l équation 7x y 3 = 1. Exercice 3. a) Soit n un nombre entier. Montrer que si n n est pas divisible par 3, alors n 2 1 [3]. b) En déduire qu il n existe pas de couple d entiers (x, y) Z Z tel que x 2 3y 2 = Exercice 4. a) Montrer que si 8 divise n 7 alors n ne peut pas être la somme de trois carrés d entiers. b) Montrer que si a 3 + b 3 + c 3 est un multiple de 7, l un au moins des entiers a, b et c est un multiple de 7. 2 PGCD, PPCM, petit théorème de Fermat Exercice 5. Soient a et b deux entiers. a) Montrer que ab(a 2 + b 2 )(a 2 b 2 ) est divisible par 30. b) Montrer que ab(a 60 b 60 ) est divisible par Exercice 6. Calculer modulo 5, 7, 11 et 13. Exercice 7. Soient a et b deux éléments de Z que l on suppose premiers entre eux. Calculer le pgcd de ab et a + b. Exercice 8. Soient a et b deux entiers. a) Supposons que a et b soient premiers entre eux. Calculer leur ppcm. b) On ne suppose plus maintenant que a et b sont premiers entre eux. Calculer le produit PGCD(a,b)PPCM(a,b). 1

2 Exercice 9. Le but de cet exercice est de résoudre l équation x 2 + y 2 = z 2 où x, y et z sont des entiers relatifs. 1. Montrer que si a, b et c sont des entiers relatifs tels que pgcd(a, b) = 1 et c 2 = ab, alors a et b sont des carrés. 2. On considère maintenant l équation où x, y et z sont des entiers relatifs. x 2 + y 2 = z 2 (1) (a) Si (x, y, z) est un triplet solution, montrer qu il s écrit (dx, dy, dz ) où d est élément de Z et x, y et z sont premiers entre eux. (b) Supposons que le triplet (x, y, z) soit formé d entiers premiers entre eux et soit solution de l équation 1. Montrer que x et y sont de parité différente et que z est impair (Indication : on pourra trouver les carrés dans Z/4Z). On suppose désormais (x, y, z) un triplet solution formé d entiers premiers entre eux et x pair. (c) Montrer que le pgcd de z y et z + y est égal à 2. (d) Montrer qu il existe deux entiers a et b premiers entre eux tels que y = b a et z = a + b. (e) Montrer que a et b sont les carrées de deux entiers premiers entre eux. (Indication : écrire (z y)(z + y) en fonction de x et utiliser la question 1) ). (f) Décrire tous les triplets (x, y, z) premiers entre eux et solutions de l équation 1. Conclure (Cette équation est un des cas triviaux de l équation de Fermat). 3 Bézout Exercice 10. a et b sont-ils premiers entre eux pour (a, b)=(241,120), (2221,15), (721,13) et (346,12)? Exercice 11. Calculer les pgcd suivants d abord par factorisation, puis en utilisant l algorithme d Euclide : pgcd(94, 267), pgcd(106, 317), pgcd(82, 519), pgcd(9348, 1640), pgcd(1050, 735), pgcd(306, 198). Exercice 12. Pour chaque couple (a, b) ci-dessous, démontrer que a et b sont premiers entre eux et construire une relation de Bézout de la forme au+bv = 1 : (a, b) = (25, 38), (19, 54), (18, 29), (51, 148), (94, 205), (293, 107). Exercice 13. Résoudre dans Z 2 les équations : a) 95x + 71y = 46. b) 20x 53y = 3. c) 23x 13y = 5. d) 10x 3y = 2. e) 91x 112y = 14 2

3 f) 91x 112y = 10 Exercice 14. Pour chaque paire d entiers (a, b) donnée ci-dessous, calculer le pgcd de a et b par chacune des deux méthodes suivantes : 1. en utilisant l algorithme d Euclide (auquel cas on déterminera de plus un jeu de coefficients pour l identité de Bezout) ; 2. en utilisant la décomposition en facteurs premiers de a et de b. i) a = , b = ; ii) a = 1 970, b = ; iii) a = 3 534, b = ; iv) a = 5 052, b = Systèmes de congruences, lemme chinois Exercice Résoudre le système de congruences suivant et en donner la plus petite solution positive : { x 3 (mod 7) x 4 (mod 9) 2. Si x et y sont deux solutions de ce système, a-t-on x y divisible par 63? par 49? Exercice Résoudre les systèmes de congruences ci-dessous et en donner la plus petite solution positive : { x 2 (mod 11) x 5 (mod 15) { x 12 (mod 13) x 1 (mod 14) Exercice 17. Résoudre les systèmes de congruences ci-dessous en utilisant l une des deux méthodes suivantes : a) en regroupant les équations par paires (pour chaque système) ; b) en exploitant la linéarité du problème (une fois pour toutes). x 3 (mod 11) x 103 (mod 13) x 3 (mod 15) x 25 (mod 11) x 35 (mod 13) x 31 (mod 15) Dans chaque cas, déterminer la plus petite solution positive. Exercice 18. Résoudre l équation y 2 = 1 dans Z/119Z. Indication : on remarquera que 119 =

4 5 Groupes et sous-groupes Exercice 19. On considère le groupe S 3 des permutations de l ensemble {1, 2, 3}. (On rappelle que c est un groupe pour la loi.) a) Montrer que S 3 contient exactement trois sous-groupes de cardinal 2 que l on notera T 1, T 2 et T 3. b) Montrer que S 3 contient un et un seul sous-groupe de cardinal 3 que l on notera C. c) Que peut-on dire des C T i, i {1, 2, 3}? Exercice 20. On munit l ensemble G := Q 2 \{(0, 0)} de la loi définie par (x, y) (x, y ) := (xx yy, xy + x y). a) Montrer que (G, ) est un groupe. Est-il commutatif? b) Est-ce que H := Z 2 G est un sous-groupe de G? Justifier. c) Pour tout élément (x, y) G, on note (x, y) 1 G l inverse de l élément (x, y) pour la loi. Montrer que {(x, y) H (x, y) 1 H} est un sous-groupe de G. Exercice 21. Soit (G, +) un groupe commutatif. On définit H comme l ensemble des éléments de G de la forme 2x := x + x avec x G. Montrer que H est un sous-groupe de G. Exercice 22. a) Montrer que si (G, ) est un groupe fini, alors l ensemble de ses sousgroupes est un ensemble fini. b) Soit maintenant (G, ) un groupe. Supposons que l ensemble E des sousgroupes de G est un ensemble fini. i) Montrer que tout élément de G est d ordre fini. ii) En déduire que G s écrit comme une réunion finie d ensembles finis. c) En déduire une condition nécessaire et suffisante pour qu un groupe admette un nombre fini de sous-groupes. Exercice 23. a) Soient (G, ) un groupe et H, K deux sous-groupes de G. Montrer que H K est encore un sous-groupe de G. b) Soit (G, ) un groupe. Montrer que si H et K sont deux sous-groupes de G tels que H K et K H, alors H K n est pas un sous-groupe de G. Exercice 24. Soit G un groupe dont on note la loi multiplicativement et e l élément neutre. On suppose que pour tout élément x de G, on a : x 2 = e. a) Montrer que pour tout x appartenant à G, on a x 1 = x. (On rappelle que x 1 désigne le symétrique de x.) b) Montrer que si x et y sont deux éléments de G, alors le symétrique (xy) 1 de xy est égal à yx. c) En déduire que G est commutatif. 4

5 6 Groupes cycliques, Z/nZ Exercice 25. Montrer qu un groupe fini de cardinal un nombre premier est nécessairement cyclique et que tout élément différent de l élément neutre en est un générateur. Exercice 26. On considère le groupe additif G = Z/18Z. On pose H := {x G 6x = 0}. a) Montrer que H est un sous-groupe de G. b) Déterminer le cardinal de H, que l on notera d dans la suite. c) Montrer que si K est un sous-groupe de G de cardinal d, alors K = H. d) Combien H contient-il d éléments d ordre 6? Exercice 27. Soient G un groupe cyclique d ordre n et d un diviseur de n. a) Montrer que l ensemble des éléments x de G tels que x d = e contient exactement d éléments. b) Montrer que x G est de la forme y d (avec y G) si et seulement si x n d = e. Exercice 28. a) Montrer que dans le groupe (Z/nZ, +), l ordre d une classe ā est égal à n n a. b) Montrer que deux classes ā et b engendrent le même sous-groupe de Z/nZ si et seulement si n a = n b. c) En déduire que si p est un nombre premier, les seuls sous-groupes de Z/pZ sont { 0} et Z/pZ. Exercice 29. Soit G un groupe d ordre 4. a) Montrer que si G contient un élément d ordre 4, alors il est cyclique et isomorphe à Z/4Z. b) Montrer que si G ne contient aucun élément d ordre 4, alors il est abélien et isomorphe à Z/2Z Z/2Z. Exercice 30. Soient G et H deux groupes cycliques d ordres respectifs m et n. Montrer que le groupe produit G H est cyclique si et seulement si m et n sont premiers entre eux. Dans ce cas, exhiber un générateur possible. 7 Morphismes de groupes Exercice 31. Parmi les assertions suivantes, déterminer lesquelles sont vraies (en justifiant chaque réponse). a) L application x x 2 est un homomorphisme de groupes de Z/4Z vers Z/4Z. b) Si G est un groupe et si f, g : G G sont deux homomorphismes de groupes, alors ker g ker(f g). 5

6 c) Si G est un groupe et si f : G G est un homomorphisme de groupes injectif, alors f est aussi surjectif. Exercice 32. a) Soient G, H deux groupes et f : G H un homomorphisme de groupes. Montrer que si x G est un élément de G d ordre fini n, alors f(x) est un élément de H d ordre fini divisant n. b) Déterminer tous les homomorphismes de groupes G H lorsque : i) G = Z/7Z et H = Z/13Z ; ii) G = Z/3Z et H = Z/12Z ; iii) G = H = Z/6Z. Exercice 33. Le théorème de Cauchy dans le cas abélien L objectif de cet exercice est de prouver le résultat suivant : Soient G un groupe abélien d ordre fini n et p un diviseur premier de n. Alors G contient un élément d ordre p. Pour cela, on note g 1,..., g n les éléments de G et a 1,..., a n leurs ordres respectifs. On définit aussi l application suivante : Z/a 1 Z... Z/a n Z G (k 1 mod a 1,..., k n mod a n ) g k gkn n a) Vérifier que cette application est bien définie et que c est un homomorphisme de groupes surjectif. En déduire que n divise le produit a 1... a n. b) Montrer qu il existe un élément x de G dont l ordre est divisible par p, puis que le sous-groupe engendré par x contient un élément d ordre p. 8 (Z/nZ), fonction φ Exercice 34. On considère la fonction d Euler φ (on rappelle que φ(n) désigne le nombre d éléments inversibles de Z/nZ). a) Rappeler pourquoi φ(nm) = φ(n)φ(m) lorsque n et m sont deux entiers premiers entre eux. b) Calculer φ(462), φ(105), φ(60), φ(25), φ(27). c) Calculer le reste de la division euclidienne de par 462 ; de par 60. Exercice 35. a) Déterminer les générateurs du groupe additif Z/8Z. En déduire le cardinal du groupe multiplicatif (Z/8Z). b) Montrer que pour tout élément a de (Z/8Z), on a a 2 = 1. c) En déduire que (Z/8Z) n est pas cyclique. 6