Licence 2 nde année Jussieu, année 2014/2015

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1 Licence 2 nde année Jussieu, année 2014/2015

2 INTRODUCTION Rappel Dans le cas où système matériel et champ de rayonnement sont en déséquilibre, les interactions entre molécules et photons conduisent à des flux macroscopiques d énergie sous forme de rayonnement.

3 INTRODUCTION Restriction Dans le cadre de ce cours, on se limite aux échanges d énergie radiative entre corps opaques à travers un milieu transparent. Les transferts radiatifs n apparaissent alors dans le bilan d un système qu au niveau des conditions aux limites. N.B.: la généralisation à des media semi-transparents ne sera pas abordée mais sa nécessité sera soulevée lors de l établissement de l Equation du Transfert Radiatif.

4 INTRODUCTION Restriction Dans le cadre de ce cours, on se limite aux échanges d énergie radiative entre corps opaques à travers un milieu transparent. Les transferts radiatifs n apparaissent alors dans le bilan d un système qu au niveau des conditions aux limites. N.B.: la généralisation à des media semi-transparents ne sera pas abordée mais sa nécessité sera soulevée lors de l établissement de l Equation du Transfert Radiatif.

5 INTRODUCTION Restriction Dans le cadre de ce cours, on se limite aux échanges d énergie radiative entre corps opaques à travers un milieu transparent. Les transferts radiatifs n apparaissent alors dans le bilan d un système qu au niveau des conditions aux limites. N.B.: la généralisation à des media semi-transparents ne sera pas abordée mais sa nécessité est soulevée dans le cadre de l établissement de l Equation du Transfert Radiatif.

6 INTRODUCTION Objectif Exprimer le flux surfacique radiatif ϕ R qui intervient dans l expression du flux d énergie à la frontière d un corps opaque. ϕ R est la somme sur tout le spectre de longueurs d onde λ du flux surfacique, défini pour l intervalle spectral [λ, λ+dλ]: exprimer

7 INTRODUCTION Objectif Exprimer le flux surfacique radiatif ϕ R qui intervient dans l expression du flux d énergie à la frontière d un corps opaque. ϕ R est la somme sur tout le spectre de longueurs d onde λ du flux surfacique, défini pour l intervalle spectral [λ, λ+dλ]: exprimer

8 DOMAINE spectral Energie:le rayonnement est constitué de quanta, appelés photons, d énergie hυ (υ: fréquence) Dans ce cours, on considèrera que le rayonnement se propage dans des milieux semi-transparents non-dispersifs d indice absolu n=c/c 0 =1 N.B.: hypothèse valide pour le vide et les gaz transparents tels N 2 et O 2 υ et λ = = ν c 0 0 = c nν c nν sont invariants lors des réflexions et des transmissions dans de tels milieux

9 DOMAINE spectral Energie:le rayonnement est constitué de quanta, appelés photons, d énergie hυ (υ: fréquence) Dans ce cours, on considèrera que le rayonnement se propage dans des milieux semi-transparents non-dispersifs d indice absolu n=c/c 0 =1 N.B.: hypothèse valide pour le vide et les gaz transparents tels N 2 et O 2 υ et λ = = ν c 0 0 = c nν c nν sont invariants lors des réflexions et des transmissions dans de tels milieux

10 DOMAINE spectral Energie:le rayonnement est constitué de quanta, appelés photons, d énergie hυ (υ: fréquence) Dans ce cours, on considèrera que le rayonnement se propage dans des milieux non-dispersifs d indice absolu n=c/ c 0 =1 N.B.: hypothèse valide pour le vide et les gaz transparents tels N 2 et O 2 υ et sont invariants lors des réflexions et des transmissions dans de tels milieux

11 DOMAINE spectral domaine spectral du rayonnement usuel 0,8 à 70 µm (IR) 0,4 à 0,8 µm (visible)

12 FLUX MONOCHROMATIQUE Définition directionnel hémisphérique Grandeur directionnelle: relative à un angle solide dω s étendant autour d une direction orientée par un vecteur unitaire M θ

13 FLUX MONOCHROMATIQUE Définition directionnel hémisphérique A priori, le flux directionnel proportionnel à: d 5 / φ λ doit être la surface apparente ds 1 dans la direction O 1 O 2 : ds 1 cosθ 1 l angle solide dω 1 : ds2 cosθ 2 2 O O 1 la largeur de la bande spectrale d émission [λ,λ+dλ] 2

14 FLUX MONOCHROMATIQUE Définition directionnel hémisphérique A priori, le flux directionnel proportionnel à: d 5 / φ λ doit être la surface apparente ds 1 dans la direction O 1 O 2 : ds 1 cosθ 1 l angle solide dω 1 : ds2 cosθ 2 2 O O 1 la largeur de la bande spectrale d émission [λ,λ+dλ] 2

15 FLUX MONOCHROMATIQUE Définition directionnel hémisphérique A priori, le flux directionnel proportionnel à: d 5 / φ λ doit être la surface apparente ds 1 dans la direction O 1 O 2 : ds 1 cosθ 1 l angle solide dω 1 : ds2 cosθ 2 2 O O 1 la largeur de la bande spectrale d émission [λ,λ+dλ] 2

16 FLUX MONOCHROMATIQUE Définition directionnel hémisphérique A priori, le flux directionnel proportionnel à: doit être la surface apparente ds 1 dans la direction O 1 O 2 : ds 1 cosθ 1 l angle solide dω 1 : la largeur de la bande spectrale d émission [λ,λ+dλ]

17 FLUX MONOCHROMATIQUE Définition directionnel hémisphérique La luminance directionnelle est alors définie comme le coefficient de proportionnalité: / L λ ( O u) 1, N.B.: définition invariante en tout point du trajet O 1 O 2 si le milieu est transparent

18 FLUX MONOCHROMATIQUE Définition directionnel hémisphérique La luminance directionnelle est alors définie comme le coefficient de proportionnalité: N.B.: définition invariante en tout point du trajet O 1 O 2 si le milieu est transparent

19 FLUX MONOCHROMATIQUE Définition directionnel hémisphérique θ O 1 1 dω1 hémisphérique partant de ds 1 : θ φλ = λ 2π λ ( ) θ cos 3 p / p ds2 2 d ds1 d L O1, u cos 1 2 O O u 1 2 dω 1 C.P.: pour un rayonnement isotrope

20 FLUX MONOCHROMATIQUE Définition directionnel hémisphérique O 1 θ 1 hémisphérique partant de ds 1 : u dω 1 C.P.: pour un rayonnement isotrope

21 VECTEUR FLUX RADIATIF directionnel hémisphérique M θ Définition Du point de vue du corps de surface ds 1 : où est le flux émis par ds 1 le flux absorbé par ds 1 Du point de vue du milieu extérieur ce corps: p dϕ λ d λ où est le flux partant de ds 1 i ϕ le flux incident sur ds 1

22 directionnel hémisphérique M VECTEUR FLUX RADIATIF θ n dω Définition Du point de vue du corps de surface ds 1 : où est le flux émis par ds 1 le flux absorbé par ds 1 Du point de vue du milieu extérieur ce corps: où est le flux partant de ds 1 le flux incident sur ds 1

23 directionnel hémisphérique M VECTEUR FLUX RADIATIF θ n dω Définition Du point de vue du milieu extérieur ce corps: p dϕ λ d λ où est le flux partant de ds 1 i ϕ le flux incident sur ds 1 Ainsi

24 directionnel hémisphérique M VECTEUR FLUX RADIATIF θ n Distribution de la luminance dω On peut alors définir la distribution de luminance à partir des luminances partante et incidente: M cosθ>0 cosθ<0 d où

25 directionnel hémisphérique M VECTEUR FLUX RADIATIF θ n Distribution de la luminance dω On peut alors définir la distribution de luminance à partir des luminances partante et incidente: M cosθ>0 cosθ<0 ' L ' L ' p ( M, u) L ( M, u) λ = ' i ( M, u) L ( M, u) λ = λ λ d où

26 VECTEUR FLUX RADIATIF directionnel hémisphérique M n radiatif θ dω On vient ainsi de définir le vecteur flux radiatif : d R ϕλ 4 ( ' dλ L ( M, u) udω) = n π λ N.B.: ce vecteur peut être directement introduit par dénombrement des photons traversant ds 1.

27 VECTEUR FLUX RADIATIF n radiatif directionnel hémisphérique M θ dω On vient ainsi de définir le vecteur flux radiatif : N.B.: ce vecteur peut être directement introduit par dénombrement des photons traversant ds 1.

28 VECTEUR FLUX RADIATIF n radiatif directionnel hémisphérique M θ dω On définit alors le vecteur flux radiatif tel que

29 PROPRIETES RADIATIVES Définitions générales Propriétés radiatives à l équilibre Les phénomènes d absorption, d émission et de réflexion sont caractérisés par des grandeurs s directionnelles, appelées respectivement absorptivité, émissivité et réflectivité. Ces grandeurs dépendent du corps opaque considéré et de l indice n du milieu faisant face au corps opaque.

30 PROPRIETES RADIATIVES Définitions générales Propriétés radiatives à l équilibre Les phénomènes d absorption, d émission et de réflexion sont caractérisés par des grandeurs s directionnelles, appelées respectivement absorptivité, émissivité et réflectivité. Ces grandeurs dépendent du corps opaque considéré et de l indice n du milieu faisant face au corps opaque.

31 PROPRIETES RADIATIVES Propriétés radiatives à l équilibre x ϕ M Absorptivité directionnelle θ n dω Par conservation de l énergie radiative, on peut écrire: où est le flux incident dans dω autour de le flux absorbé par ds 1 le flux réfléchi par ds 1 dans les 2π-stéradians

32 PROPRIETES RADIATIVES Propriétés radiatives à l équilibre x ϕ M Absorptivité directionnelle θ n dω On peut alors définir l absorptivité directionnelle : N.B.:

33 PROPRIETES RADIATIVES Propriétés radiatives à l équilibre x ϕ M Réflectivité directionnelle θ n dω On peut également définir la réflectivité directionnelle : N.B.:

34 PROPRIETES RADIATIVES Propriétés radiatives à l équilibre x ϕ M Absorptivité/réflectivité directionnelle θ n dω Or par conservation de l énergie radiative: D où N.B.: cette relation reste vérifiée même pour un corps opaque hors d équilibre

35 PROPRIETES RADIATIVES Rayonnement d équilibre Postulat: (démontré en physique statistique) Propriétés radiatives à l équilibre Dans un milieu transparent, non-dispersif d indice 1, en équilibre avec les corps opaques avoisinants, il existe un tout point un rayonnement d équilibre. La luminance de ce rayonnement est indépendante de la direction et ne dépend que de la longueur d onde et de la température.

36 PROPRIETES RADIATIVES Loi de Planck La loi dite de Planck donne l expression de cette luminance: 0 Propriétés radiatives à l équilibre B avec h=6, J.s (constante de Planck) k B =1, J/K (constante de Boltzmann) c 0 =2, m/s (célérité du rayonnement dans le vide) N.B.: seule l isothermie du domaine est nécessaire pour aboutir à ce résultat.

37 PROPRIETES RADIATIVES Emissivité directionnelle Propriétés radiatives à l équilibre D après le postulat énoncé, dans des conditions d équilibre à la température T d un système, le flux partant dans dω depuis un élément de surface ds 1 d un corps opaque a pour expression:

38 PROPRIETES RADIATIVES Emissivité directionnelle Propriétés radiatives à l équilibre Or ce flux se compose d un flux émis, caractérisé par la luminance : et d un flux réfléchi dans l angle solide dω en provenance de toutes les directions du demi-espace vu par le corps opaque, tel que:

39 PROPRIETES RADIATIVES Emissivité directionnelle Propriétés radiatives à l équilibre apparaît comme une référence limite pour caractériser la luminance du rayonnement émis par un corps opaque. On définit alors l émissivité directionnelle du corps opaque, telle que: ' ε λ N.B.:

40 PROPRIETES RADIATIVES Emissivité directionnelle x ϕ M θ De même que l on avait défini la réflectivité directionnelle : Propriétés radiatives à l équilibre on peut définir la réflectivité hémisphérique directionnelle d équilibre: représente la réflectivité dans un angle solide élémentaire dω, associé à un rayonnement incident de luminance isotrope.

41 PROPRIETES RADIATIVES Emissivité directionnelle x ϕ M θ Propriétés radiatives à l équilibre Principe de réciprocité d Helmholtz: Or et D où la loi de Kirchhoff (vérifiée par tout système matériel proche de l ETL):

42 PROPRIETES RADIATIVES Propriétés radiatives à l équilibre Cas particulier 1: corps gris Définition: un corps gris est un corps dont les propriétés sont indépendantes de la longueur d onde. Dans ce cas: Ex: plâtre autour de λ=10 µm (i.e. pour des rayonnements issus de sources à faible température): dans le visible (i.e. pour le rayonnement solaire) Application: modélisation par corps gris par bande

43 PROPRIETES RADIATIVES Cas particulier 2: corps à propriétés radiatives isotropes Propriétés radiatives à l équilibre Application: 2 cas limites de validité 1. Parois optiquement lisses ( l rugosité << λ ) profil d émissivité directionnelle stationnaire autour de la direction normale Rayonnement pondérés par cosθ 2 donc éventuellement négligés

44 PROPRIETES RADIATIVES Cas particulier 2: corps à propriétés radiatives isotropes Propriétés radiatives à l équilibre Application: 2 cas limites de validité 1. Parois optiquement lisses ( l rugosité << λ ) 2. Parois rugueuses: à l échelle de la longueur d onde, la distribution des pentes de la paroi est aléatoire. on peut supposer l isotropie

45 PROPRIETES RADIATIVES Propriétés radiatives à l équilibre Cas particulier 3: corps noir Définition: un corps noir est un corps qui absorbe tout rayonnement. Dans ce cas: On en déduit 2 propriétés fondamentales: 1. Aucun rayonnement n est réfléchi par un corps noir 2. Pour un corps noir: Ex: plâtre ou verre au-delà de 3 µm

46 PROPRIETES RADIATIVES Propriétés du rayonnement d équilibre Rappel: B 0 Propriétés radiatives à l équilibre Propriété 1: les courbes ne se croisent pas Propriété 2: à T fixée, une courbe passe par un maximum λ m tel que

47 PROPRIETES RADIATIVES Propriétés du rayonnement d équilibre Rappel: B 0 Propriétés radiatives à l équilibre Propriété 2: à T fixée, une courbe passe par un maximum λ m tel que Application: définition de la plage principale de rayonnement d un corps

48 PROPRIETES RADIATIVES Propriétés du rayonnement d équilibre Rappel: B 0 Propriétés radiatives à l équilibre 98% Propriété 3: en coordonnées normalisées, on obtient une courbe universelle Application: la plage 0,5<x<8 contient 98% de l énergie du rayonnement d équilibre x =

49 PROPRIETES RADIATIVES Propriétés du rayonnement d équilibre Rappel: B 0 Propriétés radiatives à l équilibre 98% Application: la plage 0,5<x<8 contient 98% de l énergie du rayonnement d équilibre Or avec propriété vérifiée pour tout corps opaque proche de l ETL x =

50 PROPRIETES RADIATIVES Luminance totale du rayonnement d équilibre Loi dite de Stefan-Boltzmann: avec la constante de Stefan Signification: le flux total de rayonnement isotrope, incident sur un élément de surface ou partant de cet élément, à l équilibre à la température T, s écrit:

51 CONCLUSIONS En pratique En pratique, pour obtenir le flux total de rayonnement isotrope, on utilise la fonction tabulée Z: Propriétés radiatives à l équilibre N.B.: on cherche généralement 2 1