Introduction aux tests statistiques
|
|
- Arlette Dumouchel
- il y a 7 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Itroductio aux tests statistiques Philippe Boeau 27 septembre 2006
2 Chapitre 1 Élémets de probabilités Exercice 1 O ote E l esemble des etiers aturels iférieurs ou égaux à 12 et A (respectivemet B et C) la partie de E dot les élémets sot divisibles par 2 (respectivemet par 3, par 4). 1. Parmi les propositios suivates lesquelles sot vraies : a) A est iclu das B b) B est iclu das A c) A est iclu das C d) C est iclu das A e) l itersectio de A et B est vide f) l itersectio de A etcest A g) l itersectio de A et C est C h) la réuio de A et C est A i) la réuio de A et C est C j) la réuio de A et B est A 2. Détermier : (a) Le complémetaire Ā de A das E et le complémetaire B de B das E, (b) l itersectio de A et B, (c) la réuio de A et B, (d) le complémetaire de l itersectio de A et B das E, (e) le complémetaire de la réuio de A et B das E. 1.1 Notio d expériece aléatoire Défiitio 1 Ue expériece, dot o coait les issues possibles, est appelé expériece aléatoire s il est impossible de savoir à l avace quelle e sera l issue. Exemple 1 jeux de hasard (pile ou face, dé, loto, roulette, etc) sexe d u efat à aitre poit d impact d u projectile temps d attete d u cliet au guichet d ue baque courbe des puissaces appelées sur le réseau EDF pedat ue période doée durée de vie d u atome radioactif... Défiitio 2 L esemble de toutes les issues possibles est appelé l uivers des possibles (ou simplemet uivers) associé à cette expériece. Il est gééralemet oté Ω et ses élémets ω. Exemple 2 Pour u tirage à pile ou face o a Ω = {P,F}. Pour u lacer de dé o a Ω = {1,2,3,4,5,6}. Pour u problème de temps d attete o peut predre Ω = R + (= [0,+ [) (même si de faço plus réaliste o peut majorer le temps d attete à 8 heures par exemple et plutot predre Ω = [0,8]). O peut aussi predre Ω = R + pour la durée de vie d u atome radioactif. Ituitivemet u évèemet est l occurece d u résultat ou d u esemble de résultats parmi les résultas possibles. Aisi o pose Défiitio 3 O appelle évèemet u sous-esemble de Ω. Chaque sous esemble de Ω coteat u seul élémet, c est à dire ue seule issue possible est appelé évéemet élémetaire. Exemple 3 Aisi, si o ote ω 1,...,ω chaque issue possible, l uivers est alors Ω = {ω 1,...,ω } et chaque {ω i } est alors u évéemet élémetaire. Par exemple si o lace u dé, l uivers est Ω = {1,2,3,4,5,6} et l évèemet {6} est l évèemet élémetaire obteir u 6". 1
3 Toujours pour u lacer de dé, l évèemet A = {2,4,6} est l évèemet obteir u ombre pair". Das le problème de temps d attete (Ω = R + ) l esemble A =]3,+ [ est l évèemet attedre plus de 3 heures". Das l expériece aléatoire tirer au hasard vers la Terre avec le super cao laser ouvellemet istallé sur la lue", o peut predre Ω = la sur f ace de la Terre et le sous-esemble A costitué de l aire située à 5 km à la rode du poit de latitude 49.08N et de logitude 06.10E est l évèemet tirer sur la ville de Metz".... ATTENTION : Parfois u évèemet élémetaire peut e jamais arriver das la réalité. Il peut être e sorte que virtuel", mais écessaire pour obteir ue descriptio simple et pratique de l expériece. O pourra doc cosidérer que l esemble de tous les évèemets est l esemble P(Ω) costitué de tous les sous-esembles de Ω. O dit l esemble de toutes les parties de Ω. ATTENTION : Quad Ω est fii o peut toujours cosidérer P(Ω) comme l esemble de tous les évèemets. Mais c est souvet FAUX QUAND Ω EST INFINI. L esemble de tous les évèemets est alors u esemble A iclu das P(Ω) mais parfois strictemet plus petit. U tel esemble A doit vérifier certaies boes propriétés cocerat l itersectio, la réuio et le passage au complémetaire, si tel est le cas o appelle ça ue tribu, ou ecore ue σ-algèbre. O dit alors que (Ω,A ) est u espace probabilisable. Exemple 4 (Ω,P(Ω)) est u espace probabilisable. 1.2 Vocabulaire des évéemets Soit E ue expériece aléatoire et Ω l uivers des possibles associé à cette expériece. Soit (Ω, A ) u espace probabilisable associée à cette expériece (o pesera toujours à (Ω,P(Ω)) même si, e toute rigueur, ça peut être différet). o a, pour A,B des sous-esemble de Ω (c-àd des évèemets), A,B A, Défiitio 4 Ω est l évèemet certai. /0 (l esemble vide) est l évèemet impossible. A B est l évèemet A est réalisé ou B est réalisé" ( ou" iclusif comme veut l usage e fraçais). A B est l évèemet A est réalisé et B est réalisé". Le complémetaire de A, Ā = Ω \ A, est appelé l évèemet complémetaire de A. C est l évèemet qui est réalisé que si A e l est pas. O dit que deux évèemet sot icompatibles si, par défiitio, A B= /0 (c-à-d A disjoit de B c-à-d A B c-à-d B Ā). 1.3 Notio de probabilité Soit E ue expériece aléatoire et Ω l uivers des possibles associé à cette expériece. Soit (Ω, A ) u espace probabilisable associée à cette expériece (o pesera toujours à (Ω,P(Ω)) même si, e toute rigueur, ça peut être différet). Défiitio 5 O dit que P est ue probabilité sur l espace probabilisable (Ω,A ) si P est ue applicatio de A das [0,1] vérifiat 1. P(Ω) = 1 2. Si (A i ) i N est ue suite d évèemets deux à deux icompatibles (c-à-d (A i ) i N est ue suite d élémets de A deux à deux disjoits) o a P( A i ) = P(A i ) i i O dit alors que (Ω,A,P) est u espace de probabilité. Das le cas où Ω est fii o peut simplifier la défiitio. O a Défiitio 6 (CAS Ω FINI) Si Ω est ue esemble fii o dit que P est ue probabilité sur l espace probabilisable (Ω,P(Ω)) si P est ue applicatio de P(Ω) das [0,1] vérifiat 1. P(Ω) = 1 2. Si A et B sot des évèemet icompatibles o a P(A B) = P(A) + P(B). Exemple 5 Pour u uivers fii Ω = {ω 1,ω 2,...,ω }, o défiit la probabilité "équiprobable" e doat à chaque évèemet élémetaire ue probabilité égale c-à-d, pour tout i variat de 1 à, P({ω i } = 1, état le cardial de Ω. ombre d élémets das A O a doc, pour tout évèemet A, P(A) = ombre d élémets das Ω C est la probabilité qui régit le lacer de pièce de moaie ou le lacer de dé, si la pièce ou le dé e sot pas truqués. Si o dispose d ue pièce truquée qui tombe deux fois plus sur face" que sur pile" o a Ω = { f, p} avec P({ f }) = 3 2 et P({p}) = 1 3. C est égalemet la probabilité décrivat, par exemple, le tirage d ue boule das ue ure coteat 20 boules blaches et 10 boules oires. 2
4 O déduit aisémet de la défiitio les propriétés suivates Propositio 1 1. Pour tout évèemet A, 0 P(A) P(/0) = Si A B alors P(A) P(B). 4. P(Ā) = 1 P(A). 5. Pour tout évèemet A et B o a P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Démostratio. Le faire e exercice. Remarque 1 (CAS Ω FINI) Pour u uivers fii Ω = {ω 1,ω 2,...,ω } le fait de coaitre tous les P({ω i }) pour i variat de 1 à détermie etièremet P. E effet si A est u évèemet il peut s écrire A = {ω j1,ω j2,...,ω jp } avec p et o a P(A) = P({ω j1 }) + P({ω j2 }) P({ω jp }), puisque les {ω i } sot des évèemets deux à deux idépedats. Exercice 2 1. Das u jeu, o vous propose les trois règles suivates : (a) o jette e même temps deux dés équilibrés à 6 faces et o gage si o obtiet la face (1) sur au mois l u des deux dés, (b) o jette deux fois u même dé équilibré et o gage si o obtiet la face (1) à au mois l u des deux jets, (c) o jette e même temps deux dés équilibrés et o gage si o obtiet la face (1) sur chacu des deux dés. Pour gager, quelle est la règle la plus avatageuse? Calculer la probabilité de gager pour chacue de ces règles. 2. O lace deux fois u même dé équilibré et o ote S la somme des poits obteus. (a) Quelles sot les valeurs possibles de S. (b) Quelle est la situatio la plus probable : obteir S=6 ou bie obteir S=7? Exercice 3 Ue equète effectuée auprès d u grad ombre d étudiats de l uiversité de Nacago a permis d estimer que 70% d etre eux sot itéressés par l iformatique, 40% sot itéressés par les mathématiques et 25% sot itéressés par les deux à la fois. Quelle est la probabilité pour qu u étudiat soit 1. itéressé par l ifo mais pas par les maths. 2. itéressé par l ifo ou par les maths. 3. itéressé i par l ifo i par les maths. Exercice 4 U composat électroique sert à déclecher ue alarme si ue coditio extraordiaire se présete. Ce composat est fiable à 96%. O evisage de mettre u certai ombre de ces composats e parallèle pour augmeter la fiabilité du système d alarme. Combie de composats doit-o placer e parallèle pour que la fiabilité soit d au mois 99,99%? 1.4 Probabilités coditioelles Défiitios Défiitio 7 Soit (Ω,A,P) u espace de probabilité. Soit A u évèemet de probabilité o ulle. O défiit l applicatio P A de A das R + P(A B) par, pour tout B A, P A (B) = P(A) O dit que P A (B) est la probabilité que l évéemet B soit réalisé sachat que A l est déjà. O ote souvet P A (B) par P(B A) et o dit probabilité de B sachat A". O l appelle probabilité coditioelle (relative à A). Propositio 2 P A est ue probabilité sur l espace probabilisable (Ω,A ). Démostratio. Le faire e exercice. Remarque 2 Soit A A l esemble costitué de tous les sous-esembles de Ω s écrivat X A avec X A. O a alors : P A est ue probabilté sur l espace probabilisable (A,A A ). Das le cas où Ω est fii, o a A A = P(A). Propositio 3 Soiet A et B deus évèemets de probabilité o ulle. O a Démostratio. Le faire e exercice. P(A B) = P(A B) P(B) = P(B A) P(A) 3
5 Exemple 6 Deux machies M1 et M2 fabriquet des tiges. Elles produiset respectivemet 1/3 et 2/3 de la productio. La machie M1 sort 5% de tiges défectueuses et M2 e sort 6%. Soit les évéemets A : «la tige est fabriquée par M1», B : «la tige est fabriquée par M2» et D : «la tige est défectueuse». 1. Quelle est la probabilité que la tige soit fabriquée par M1? 2. O tire ue tige de la productio de M1. Quelles est la probabilité qu elle soit défectueuse? 3. O tire ue tige de la productio. Quelle est la probabilité pour qu elle proviee de M1 et qu elle soit défectueuse? 4. O tire ue tige de la productio. Quelle est la probabilité pour qu elle soit défectueuse? 5. Quelle est la probabilité qu ue pièce défectueuse ait été fabriquée par M1? 6. Trouver les probabilités de tous les évèemets élémetaires. Solutios : 1. C est P(A) = 1/3. 2. C est p(d A) = 5/ C est P(A D) = p(d A)P(A) = 1/ C est P(D) = P((A D) (B D)) = P(A D) + P(B D) = P(D A)P(A) + P(D B)P(B) = 17/ C est P(A D) = P(A D) P(D) = = Évèemets idépedats Défiitio 8 Soit (Ω,A,P) u espace de probabilité. Deux évèemets A et B sot dits idépedats si, par défiitio, Par la formule des probabilités coditioelles o obtiet P(A B) = P(A) P(B). Propositio 4 Soiet A et B deux évèemets de probabilité o ulles. A et B sot idépedats SI et SEULEMENT SI 1. P(A B) = P(A) P(B) 2. P(B A) = P(B) 3. P(A B) = P(A) Doc deux évèemets sot idépedats si et seulemet si la réalisatio de l u iflue e rie sur la réalisatio de l autre. ATTENTION : L idépedace et l icompatibilité sot deux otios totalemet différetes! La propositio suivate e apporte ue preuve. Propositio 5 Si A et B sot des évèemets icompatibles, chacu de probabilité o ulle alors ils e sot pas idépedats. Démostratio. A et B sot icompatibles c-à-d A B= /0 et doc P(A B) = 0. Or A et B sot de probabilité o ulle doc P(A) P(B) 0 et doc P(A) P(B) P(A B) c-à-d A et B e sot pas idépedats (ou ecore A et B sot dépedats). Exercice 5 O lace deux fois de suite ue pièce de moaie. 1. O écrit l uivers des possibilités sous la forme : Ω 1 = {(2F);(2P);(1Fet1P)} où F désige "face" et P désige "pile". A-t-o équiprobabilité das cette situatio? 2. O écrit l uivers des possibilité sous la forme : Ω 2 = {(F,F);(P,P);(F,P);(P,F))} où (a,b) sigifie que a est le résultat du premier lacer et que b est le résultat du deuxième. A-t-o équiprobabilité das cette situatio? 3. O cosidère les évéemets suivats : A="obteir 2 F", B="obteir F au 1er lacer", C="obteir F au 2d lacer" et D="obteir P au 2d lacer" (a) Ecrire ces évéemets comme sous-esembles de Ω 2. (b) Parmi les propositios suivates, lesquelles sot vraies : - A et C sot icompatibles - A et D sot icompatibles A est le cotraire de D - C et D sot icompatibles - C est le cotraire de D - A et B sot idépedats - B et C sot idépedats - A et D sot idépedats - B et D sot idépedats 4. Calculer les probabilités des évéemets A, B, C, D. 5. Calculer les probabilités des évéemets : (A et D), (B et D), (A ou D), (B ou D). 4
6 1.5 Variables aléatoires Défiitio Défiitio 9 Soit (Ω,A,P) u espace de probabilité. Ue variable aléatoire X est ue foctio de Ω das R telle que, pour a,b R et a b, o a X 1 ([a,b]) = {ω Ω tels que X(ω) [a,b]} est u élémet de A. Das otre cas ous auros jamais à vérifier la coditio car ous e cosidèreros que des variables aléatoires classiques dot o admettra qu elles vérifiet la coditio. Exemple 7 Pour l expériece pile ou face", Ω = {p, f }, o peut cosidérer la variable aléatoire X défiie par X( f ) = 0 et X(p) = 1. Pour l expériece aléatoire 2 lacers de dé" (ou lacer de 2 dé" c est la même chose) o a Ω = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),...,(6,5),(6,6)} soit 36 élémets tels que (i, j) sigifie i est le résultat du premier lacer, j est le résultat du secod". O peut alors défiir de ombreuses variables aléatoires, par exemple la variable X défii par X(i, j) = i + j, somme des résultats des 2 lacers (ou des 2 dés). la variable Y défii par Y (i, j) = i j l écart etre les résultats des deux lacers. Notatios : Pour a,b R, a b, a ou b évetuellemet ifii, o défiit X 1 ([a,b]) = {ω Ω tels que X(ω) [a,b]} = {ω Ω tels que a X(ω) b} l esemble des élémets de Ω tels que X(ω) est compris etre a et b. O ote aussi cet esemble par {a X b}. Si a = o ote alors cet esemble par {X b} et si b = + par {X a}. Si a = b o ote {X = a} l esemblr des ω tels que X(ω) = a. O omet parfois les accolades. A partir de toute variable aléatoire X o va défiir ue probabilité sur u espace probabilisable dot l uivers est R. Comme R est ifii la questio du choix d ue tribu A se pose car, pour des raisos que l o e peut exposer ici, o e peut pas predre P(R) tout etier. O défiit la tribu B composée de tous les sous-esembles de R obteus par ue suite, évetuellemet ifiie, d itersectios, de réuio ou de passage au complémetaire sur des itervalles de type [a,b]. B est appelé l esemble des borélies. Défiitio 10 Soit X ue variable aléatoire défiie sur l espace de probabilité (Ω,A,P). O défiit alors ue loi de probabilité P X sur l espace probabilisable (R,B) par P X ([a,b]) = P(X 1 ([a,b]). (R,B,P X ) est alors u espace de probabilité. Par les otatios précédetes o a doc P X ([a,b]) = P(a X b) et o dit probabilité pour que la valeur de X soit comprise etre a et b". P X est appelée loi de probabilité de la variable aléatoire X ou plus simplemet loi de X Détermiatio de la loi d ue variable aléatoire Foctio de répartitio Défiitio 11 Soit X ue variable aléatoire défiie sur l espace de probabilité (Ω,A,P). La foctio de répartitio de X est la foctio F X : R R défiie, pour tout x R, par F X (x) = P(X x) Propositio 6 (Propriétés de la foctio de répartitio) 1. F X ( ) := lim F X(x) = 0 x 2. F X (+ ) := lim F X(x) = 1 x + 3. F X détermie complètemet P X. Exemple 8 Pour X défiie par X( f ) = 0 et X(p) = 1 das l expériece pile ou face" o a F X (x) = 0 si x < si 0 x < 1 1 si x 1 Exercice 6 Détermier et tracer le graphe de F X pour X la v.a. défiie, das le cas du lacer de u seul dé, par X(i) = i pour i allat de 1 à 6, puis pour les autres v.a. défiies à l exemple 7. 5
7 Foctio de desité Pour la prochaie otio ous avos besoi d u peu plus de vocabulaire de théorie des esembles. U esemble déombrable est u esemble ifii mais que l o peut éumérer, c-à-d où chaque élémet peut-être étiqueté" par u ombre etier. U esemble déombrable est doc de la forme {ω 1,ω 2,ω 3,...,ω k,...}. U esemble discret est soit u esemble fii, soit u esemble déombrable. Si u esemble ifii est pas déombrable o dira qu il est cotiu. Si toutes les valeurs possibles que peut predre ue v.a. doée X formet u esemble discret o dira que X est ue variable aléatoire discrète. Sio o dit que X est ue variable aléatoire cotiue (c-à-d que X peut predre ue ifiité o déombrable de valeurs). Exemple 9 Les v.a. décrites à l exemple 7 sot toutes discrètes. Si o cosidère pour uivers tous les étudiats de l uiversité de Metz et que l o cosidère la v.a. qui à tout étudiat associe so sexe (codé 1 pour u homme, 2 pour ue femme), c est ecore ue v.a. discrète puisque les seules valeurs possibles sot 1 ou 2. Toujours sur les étudiats, la v.a. qui à chacu associe leur performace sur ue course de 100m est cotiue, e effet ue valeur possible est 12 s mais ue autre est 12 s 3 dixièmes, ue autre 12 s 3 dixièmes 6 cetièmes, ue autre 12 s 3 dixièmes 6 cetièmes 5 millièmes, etc. O suppose évidemmet, de faço irréaliste, que l o dispose d u chroomètre de précisio ifiie. De faço plus réaliste o sera souvet obligé de discrétiser ue telle variable. E effet si o dispose d u chroo précis au cetième et e supposat que persoe e mette plus de 30s à courir le 100m, la v.a. e pourra au plus que 3000 valeurs différetes. Et doc ue v.a. discrète. Si X est ue v.a. discrète fiie c-à-d si X e peut predre qu u ombre fii de valeurs distictes. O ote x 1,x 2,...,x ces valeurs. O a alors Ω = {X = x i } et {X = x i } {X = x j } = /0 si i j (e effet ω {X = x i } X(ω) = x i. Doc X(ω) x j puisque x i x j et doc ω {X = x i }). Doc les {X = x i } pour i allat de 1 à formet ue famille d évèemet deux à deux icompatibles. O a doc 1 = P(Ω) = P( {X = x i }) = P(X = x i ) Défiitio 12 Soit X ue v.a. discrète fiie sur l espace de probabilité (Ω,A,P). Soiet x 1,x 2,...,x les valeurs distictes pouvat être prises par X. { P(X = xi ) si x = x La foctio f X (x) = i pour u i etre 1 et s appelle foctio de desité de la v. a. X. 0 si x x i pour tous les i etre 1 et Propositio 7 Avec les otatios de la défiitio précédete o a et doc f X défiie complètemet P. P(X x) = F X (x) = f X (x i ) = P(X = x i ) i t. q. x i x i t. q. x i x Si X est ue v.a. discrète ifiie (déombrable) formules e remplaçat par +. Avec u peu de précautios o peut défiir les mêmes otios et écrire les mêmes Si X est ue v.a. cotiue Défiitio 13 Soit X ue v. a. discrète sur l espace de probabilité (Ω,A,P). S il existe f X telle que P(X x) = F X (x) = x f X (u) du o dit que f X est la foctio de desité de X. ATTENTION : Il existe des v. a. cotiues dot la foctio de répartitio e peut pas être défiie par ue foctio de desité Espérace et variace CAS d ue v.a. discrète CAS d ue v.a. cotiue Défiitio 14 Soit X ue v.a. discrète fiie sur l espace de probabilité (Ω,A,P). Soiet x 1,x 2,...,x les valeurs distictes pouvat être prises par X. E (X) = de X. Var(X) = x i f X (x i ) = (x i E (X)) 2 f X (x i ) = est appelée variace de X. x i P(X = x i ) est appelée espérace (x i E (X)) 2 P(X = x i ) Défiitio 15 Soit X ue v.a. cotiue sur l espace de probabilité (Ω,A,P), admettat ue foctio de desité f X. E (X) = Var(X) = X. + + x f X (x) dx est appelée espérace de X. (x E (X)) 2 f X (x) dx est appelée variace de Das tous les cas l écart-type est la racie carrée de la variace. 6
8 1.6 Lois de probabilités usuelles 7
FEUILLE D EXERCICES 17 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI
FEUILLE D EXERCICES 7 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI Exercice - Lacer de dés O lace deux dés à 6 faces équilibrés. Calculer la probabilité d obteir : u double ; ue somme des deux dés égale à 8 ; ue
Plus en détailChapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1)
Uiversités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Aalyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 3 : Foctios d ue variable réelle (1) 1 Lagage topologique das R Défiitio 1 Soit a u poit de R. U esemble V R est u voisiage de a s
Plus en détailComportement d'une suite
Comportemet d'ue suite I) Approche de "ses de variatio et de ite d'ue suite" : 7 Soit la suite ( ) telle que = 5 ( + ) 2 Représetos graphiquemet la suite das u pla mui d' u repère. Il suffit de placer
Plus en détail1 Mesure et intégrale
1 Mesure et itégrale 1.1 Tribu boréliee et foctios mesurables Soit =[a, b] u itervalle (le cas où b = ou a = est pas exclu) et F ue famille de sous-esembles de. OditqueF est ue tribu sur si les coditios
Plus en détail. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1
Premières propriétés des ombres réels 2 Suites umériques 3 Suites mootoes : à faire 4 Séries umériques 4. Notio de série. Défiitio 4.. Soit (u ) ue suite de ombres réels ou complexes. Pour N N, o ote S
Plus en détailEXERCICES : DÉNOMBREMENT
Chapitre 7 ECE 1 - Grad Nouméa - 015 EXERCICES : DÉNOMBREMENT LISTES / ARRANGEMENTS Exercice 1 : Le code ativol Pour so vélo, Toto possède u ativol a code. Le code est ue successio de trois chiffres compris
Plus en détailSéquence 5. La fonction logarithme népérien. Sommaire
Séquece 5 La foctio logarithme épérie Objectifs de la séquece Itroduire ue ouvelle foctio : la foctio logarithme épérie. Coaître les propriétés de cette foctio : sa dérivée, ses variatios, sa courbe, sa
Plus en détailExo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X
Exo7 Détermiats Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable T : pour
Plus en détailLimites des Suites numériques
Chapitre 2 Limites des Suites umériques Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Limite fiie ou ifiie d ue suite. Limites et comparaiso. Opératios sur les ites. Comportemet
Plus en détailCHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES
CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES 2. Séries etières Défiitio 2.. O appelle série etière toute série de foctios ( ) f dot le terme gééral est de la forme f ()=a, où (a ) désige ue suite réelle ou complee et R.
Plus en détailProbabilités et statistique pour le CAPES
Probabilités et statistique pour le CAPES Béatrice de Tilière Frédérique Petit 2 3 jui 205. Uiversité Pierre et Marie Curie 2. Uiversité Pierre et Marie Curie 2 Table des matières Modélisatio de phéomèes
Plus en détailSéries réelles ou complexes
6 Séries réelles ou complexes Comme pour le chapitre 3, les suites cosidérées sot a priori complexes et les résultats classiques sur les foctios cotiues ou dérivables d ue variable réelle sot supposés
Plus en détailStatistique descriptive bidimensionnelle
1 Statistique descriptive bidimesioelle Statistique descriptive bidimesioelle Résumé Liaisos etre variables quatitatives (corrélatio et uages de poits), qualitatives (cotigece, mosaïque) et de types différets
Plus en détailEtude de la fonction ζ de Riemann
Etude de la foctio ζ de Riema ) Défiitio Pour x réel doé, la série de terme gééral,, coverge si et seulemet si x >. x La foctio zeta de Riema est la foctio défiie sur ], [ par : ( x > ), = x. Remarque.
Plus en détailExercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1
Bac blac TS Correctio Exercice I ( Spé ) / émotros par récurrece que 5x y = pour tout etier aturel 5x y = 5 8 = La propriété est doc vraie au rag = Supposos que la propriété est vraie jusqu au rag, o a
Plus en détail[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n =
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Eocés 1 Nombres réels Ratioels et irratioels Exercice 1 [ 9 ] [correctio] Motrer que la somme d u ombre ratioel et d u ombre irratioel est u ombre irratioel.
Plus en détailDénombrement. Chapitre 1. 1.1 Enoncés des exercices
Chapitre 1 Déombremet 1.1 Eocés des exercices Exercice 1 L acie système d immatriculatio fraçais était le suivat : chaque plaque avait 4 chiffres, suivis de 2 lettres, puis des 2 uméros du départemet.
Plus en détailDénombrement. Introduction. 1 Cardinaux d'ensembles nis. ECE3 Lycée Carnot. 12 novembre 2010. 1.1 Quelques dénitions
Déombremet ECE3 Lycée Carot 12 ovembre 2010 Itroductio La combiatoire, sciece du déombremet, sert comme so om l'idique à compter. Il e s'agit bie etedu pas de reveir au stade du CP et d'appredre à compter
Plus en détailLes Nombres Parfaits.
Les Nombres Parfaits. Agathe CAGE, Matthieu CABAUSSEL, David LABROUSSE (2 de Lycée MONTAIGNE BORDEAUX) et Alexadre DEVERT, Pierre Damie DESSARPS (TS Lycée SUD MEDOC LETAILLAN MEDOC) La première partie
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Exo7 Topologie Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Exercice **
Plus en détailx +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3.
EXERCICE 3 (6 poits ) (Commu à tous les cadidats) Il est possible de traiter la partie C sas avoir traité la partie B Partie A O désige par f la foctio défiie sur l itervalle [, + [ par Détermier la limite
Plus en détailIntégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé :
Itégratio et probabilités EN Paris, 202-203 TD 203 Lois des grads ombres, théorème cetral limite. Corrigé Lois des grads ombres Exercice. Calculer e cet leços Détermier les limites suivates : x +... +
Plus en détailPolynésie Septembre 2002 - Exercice On peut traiter la question 4 sans avoir traité les questions précédentes.
Polyésie Septembre 2 - Exercice O peut traiter la questio 4 sas avoir traité les questios précédetes Pour u achat immobilier, lorsqu ue persoe emprute ue somme de 50 000 euros, remboursable par mesualités
Plus en détailDeuxième partie : LES CONTRATS D ASSURANCE VIE CLASSIQUES
DEUXIEME PARTIE Deuième partie : LES CONTRATS D ASSURANCE VIE CLASSIQUES Chapitre. L assurace de capital différé Chapitre 2. Les opératios de retes Chapitre 3. Les assuraces décès Chapitre 4. Les assuraces
Plus en détailBaccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé
Bcclurét S Asie 9 jui 24 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice Commu à tous les cdidts 4 poits Questio - c. O peut élimier rpidemet les réposes. et d. cr les vecteurs directeurs des droites proposées e sot ps
Plus en détailProcessus et martingales en temps continu
Chapitre 3 Processus et martigales e temps cotiu 1 Quelques rappels sur les martigales e temps discret (voir [4]) O cosidère u espace filtré (Ω, F, (F ) 0, IP). O ote F = 0 F. Défiitio 1.1 Ue suite de
Plus en détailSÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES
1 ) POSITION DU PROBLÈME - VOCABULAIRE A ) DÉFINITION SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES O cosidère deux variables statistiques umériques x et y observées sur ue même populatio de idividus. O ote x 1
Plus en détailGroupe orthogonal d'un espace vectoriel euclidien de dimension 2, de dimension 3
1 Groupe orthogoal d'u espace vectoriel euclidie de dimesio, de dimesio Voir le chapitre 19 pour l'étude des espaces euclidies et des isométries. État doé u espace euclidie E de dimesio 1, o rappelle que
Plus en détailUV SQ 20. Automne 2006. Responsable d Rémy Garandel ( m.-el. remy.garandel@utbm.fr ) page 1
UV SQ 0 Probabilités Statistiques UV SQ 0 Autome 006 Resposable d Rémy Garadel ( m.-el. remy.garadel@utbm.fr ) page SQ-0 Probabilités - Statistiques Bibliographie: Titre Auteur(s) Editios Localisatio Niveau
Plus en détailSuites et séries de fonctions
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 avril 5 Eocés Suites et séries de foctios Propriétés de la limite d ue suite de foctios Eercice [ 868 ] [correctio] Etablir que la limite simple d ue suite de
Plus en détailConvergences 2/2 - le théorème du point fixe - Page 1 sur 9
Au sommaire : Suites extraites Le théorème de Bolzao-Weierstrass La preuve du théorème de Bolzao-Weierstrass3 Foctio K-cotractate4 Le théorème du poit fixe5 La preuve du théorème du poit fixe6 Utilisatios
Plus en détailcapital en fin d'année 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1 + T) = C 0 r en posant r = 1 + T 2 C 0 r + C 0 r T = C 0 r (1 + T) = C 0 r 2 3 C 0 r 3...
Applicatios des maths Algèbre fiacière 1. Itérêts composés O place u capital C 0 à u taux auel T a pedat aées. Quelle est la valeur fiale C de ce capital? aée capital e fi d'aée 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1
Plus en détailCours de Statistiques inférentielles
Licece 2-S4 SI-MASS Aée 2015 Cours de Statistiques iféretielles Pierre DUSART 2 Chapitre 1 Lois statistiques 1.1 Itroductio Nous allos voir que si ue variable aléatoire suit ue certaie loi, alors ses réalisatios
Plus en détailLES ÉCLIPSES. Éclipser signifie «cacher». Vus depuis la Terre, deux corps célestes peuvent être éclipsés : la Lune et le Soleil.
Qu appelle-t-o éclipse? Éclipser sigifie «cacher». Vus depuis la Terre, deu corps célestes peuvet être éclipsés : la Lue et le Soleil. LES ÉCLIPSES Pour qu il ait éclipse, les cetres de la Terre, de la
Plus en détailChap. 5 : Les intérêts (Les calculs financiers)
Chap. 5 : Les itérêts (Les calculs fiaciers) Das u cotrat de prêt, le prêteur met à la dispositio de l empruteur, à u taux d itérêt doé, ue somme d arget (le capital) qu il devra rembourser à ue certaie
Plus en détailSTATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES
STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES Préparatio à l Agrégatio Bordeaux Aée 203-204 Jea-Jacques Ruch Table des Matières Chapitre I. Gééralités sur les tests 5. Itroductio 5 2. Pricipe des tests 6 2.a. Méthodologie
Plus en détail20. Algorithmique & Mathématiques
L'éditeur L'éditeur permet à l'utilisateur de saisir les liges de codes d'u programme ou de défiir des foctios. Remarque : O peut saisir directemet des istructios das la cosole Scilab, mais il est plus
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Séries etières Eercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Eercice
Plus en détailUniversité Pierre et Marie Curie. Biostatistique PACES - UE4 2013-2014
Uiversité Pierre et Marie Curie Biostatistique PACES - UE4 2013-2014 Resposables : F. Carrat et A. Mallet Auteurs : F. Carrat, A. Mallet, V. Morice Mise à jour : 21 octobre 2013 Relecture : V. Morice,
Plus en détailSolutions particulières d une équation différentielle...
Solutios particulières d ue équatio différetielle......du premier ordre à coefficiets costats O cherche ue solutio particulière de y + ay = f, où a est ue costate réelle et f ue foctio, appelée le secod
Plus en détailTerminale S. Terminale S 1 F. Laroche
Termiale S Exercices. Rappels et exercices de base 3.. QCM (P. Egel) 3.. QCM, Atilles 005 4. 3. QCM, Liba 009, 3 poits 4. 4. QCM, C. étragers 007. 5. QCM, Frace 007 5 6. 6. QCM, N. Calédoie 007 7. 7. QCM
Plus en détailChapitre 3 : Transistor bipolaire à jonction
Chapitre 3 : Trasistor bipolaire à joctio ELEN075 : Electroique Aalogique ELEN075 : Electroique Aalogique / Trasistor bipolaire U aperçu du chapitre 1. Itroductio 2. Trasistor p e mode actif ormal 3. Courats
Plus en détail14 Chapitre 14. Théorème du point fixe
Chapitre 14 Chapitre 14. Théorème du poit fixe Si l o examie de plus près les méthodes de Lagrage et de Newto, étudiées au chapitre précédet, elles revieet das leur pricipe à remplacer la résolutio de
Plus en détailIntroduction : Mesures et espaces de probabilités
Itroductio : Mesures et espaces de probabilités Référeces : Poly cédric Berardi et Jea Michel Morel. J.-F. Le Gall, Itégratio, Probabilités et Processus Aléatoire J.-Y. Ouvrard, Probabilités 2, maîtrise-agrégatio,
Plus en détail4 Approximation des fonctions
4 Approximatio des foctios Ue foctio f arbitraire défiie sur u itervalle I et à valeur das IR peut être représetée par so graphe, ou de maière équivalete par la doée de l esemble de ses valeurs f(t) pour
Plus en détailTRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS TOTALEMENT CONNECTÉS (*) par Maryse BÉGUIN ( 1 )
RAIRO Operatios Research RAIRO Oper. Res. 34 (2000) 99-129 TRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS TOTALEMENT CONNECTÉS (*) par Maryse BÉGUIN ( 1 ) Commuiqué par Berard LEMAIRE Résumé. L étude
Plus en détailUNIVERSITE MONTESQUIEU BORDEAUX IV. Année universitaire 2006-2007. Semestre 2. Prévisions Financières. Travaux Dirigés - Séances n 4
UNVERSTE MONTESQUEU BORDEAUX V Licece 3 ère aée Ecoomie - Gestio Aée uiversitaire 2006-2007 Semestre 2 Prévisios Fiacières Travaux Dirigés - Séaces 4 «Les Critères Complémetaires des Choix d vestissemet»
Plus en détailExercices de mathématiques
MP MP* Thierry DugarDi Marc rezzouk Exercices de mathématiques Cetrale-Supélec, Mies-Pots, École Polytechique et ENS Coceptio et créatio de couverture : Atelier 3+ Duod, 205 5 rue Laromiguière, 75005 Paris
Plus en détailChap. 6 : Les principaux crédits de trésorerie et leur comptabilisation
1 / 9 Chap. 6 : Les pricipaux crédits de trésorerie et leur comptabilisatio Le cycle d exploitatio des etreprises (achats stockage productio stockage vetes) peut etraîer des décalages de trésorerie plus
Plus en détailModule 3 : Inversion de matrices
Math Stat Module : Iversio de matrices M Module : Iversio de matrices Uité. Défiitio O e défiira l iverse d ue matrice que si est carrée. O appelle iverse de la matrice carrée toute matrice B telle que
Plus en détailII LES PROPRIETES DES ESTIMATEURS MCO 1. Rappel : M1 LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 2009
M LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 009 I LES HYPOTHESES DE LA MCO. Hypothèses sur la variable explicative a. est o stochastique. b. a des valeurs xes das les différets échatillos. c. Quad ted
Plus en détail2 ième partie : MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES
2 ième partie : MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES 1. Défiitios L'itérêt est l'idemité que doe au propriétaire d'ue somme d'arget celui qui e a joui pedat u certai temps. Divers élémets itervieet das le calcul
Plus en détailUNIVERSITÉ DE SFAX École Supérieure de Commerce
UNIVERSITÉ DE SFAX École Supérieure de Commerce Aée Uiversitaire 2003 / 2004 Auditoire : Troisième Aée Études Supérieures Commerciales & Scieces Comptables DÉCISIONS FINANCIÈRES Note de cours N 3 Première
Plus en détailChap. 6 : Les principaux crédits de trésorerie et leur comptabilisation
Chap. 6 : Les pricipaux crédits de trésorerie et leur comptabilisatio Les etreprises ot souvet besoi de moyes de fiacemet à court terme : elles ot alors recours aux crédits bacaires (découverts bacaires
Plus en détailPROBLEMES DIOPTIMISATION EN NOMBRES ENTIERS J. L. NICOLAS
PROBLEMES DIOPTIMISATION EN NOMBRES ENTIERS ET APPROXIMATIONS DIOPHANTIENNES J. L. NICOLAS Cet article expose sup 3 e quelques iter'f~reces etre les pr'obl~res dloptimisatio e hombres etiers et la th~or-ie
Plus en détailDes résultats d irrationalité pour deux fonctions particulières
Collect. Math. 5, 00, 0 c 00 Uiversitat de Barceloa Des résultats d irratioalité pour deux foctios particulières Richard Choulet 7, Rue du 4 Août, 40 Aveay, Frace E-mail: richardchoulet@waadoo.fr Received
Plus en détailn tr tr tr tr tr tr tr tr tr tr n tr tr tr Nom:... Prénom :...
Nom:... Préom :... Chaque répose peut valoir : c) 2 poits si le choix est totalemet exact + poit si le choix est partiellemet exact + 0 poit si le choix est erroé + -i poit si le choix est u coeses Ue
Plus en détailc. Calcul pour une évolution d une proportion entre deux années non consécutives
Calcul des itervalles de cofiace our les EPCV 996-004 - Cas d u ourcetage ou d ue évolutio e oit das la oulatio totale des méages - Cas d u ourcetage ou d ue évolutio das ue sous oulatio das les méages
Plus en détail55 - EXEMPLES D UTILISATION DU TABLEUR.
55 - EXEMPLES D UTILISATION DU TABLEUR. CHANTAL MENINI 1. U pla possible Les exemples qui vot suivre sot des pistes possibles et e aucu cas ue présetatio exhaustive. De même je ai pas fait ue étude systématique
Plus en détailSTATISTIQUE AVANCÉE : MÉTHODES
STATISTIQUE AVANCÉE : MÉTHODES NON-PAAMÉTIQUES Ecole Cetrale de Paris Arak S. DALALYAN Table des matières 1 Itroductio 5 2 Modèle de desité 7 2.1 Estimatio par istogrammes............................
Plus en détail?,i- ' ^/mmmmmm. CACU ^..""'V ii\teimmies EîiiEsmmii ''?A y? K 1^ 1 - r Par le Moyede Formules Algébriques ) v-^' ET A 'AIDE DES OGARITHMES.../v:?i.'?Xi:: F, X, BURQUE, Ptr. Professeur de MatJu'matiques,
Plus en détailUniversité Victor Segalen Bordeaux 2 Institut de Santé Publique, d Épidémiologie et de Développement (ISPED) Campus Numérique SEME
Uiversité Victor Segale Bordeaux Istitut de Saté Publique, d Épidémiologie et de Développemet (ISPED) Campus Numérique SEME MODULE Pricipaux outils e statistique Versio du 8 août 008 Écrit par : Relu par
Plus en détailChapitre 2 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE OU A PROBABILITES EGALES. 2.1 DEFINITIONS 2.2 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE SANS REMISE (PESR) 2.2.
Chapitre 2 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE OU A PROBABILITES EGALES PLAN DU CHAPITRE 2 2.1 DEFINITIONS 2.2 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE SANS REMISE (PESR) 2.2.1 Pla de sodage 2.2.2 Probabilités d iclusio 2.3 SONDAGE
Plus en détailInitiation à l analyse factorielle des correspondances
Fiche TD avec le logiciel : tdr620b Iitiatio à l aalyse factorielle des correspodaces A.B. Dufour & M. Royer & J.R. Lobry Das cette fiche, o étudie l Aalyse Factorielle des Correspodaces. Cette techique
Plus en détailStatistiques appliquées à la gestion Cours d analyse de donnés Master 1
Aalyse des doées Statistiques appliquées à la gestio Cours d aalyse de doés Master F. SEYTE : Maître de coféreces HDR e scieces écoomiques Uiversité de Motpellier I M. TERRAZA : Professeur de scieces écoomiques
Plus en détailLe Sphinx. Enquêtes, Sondages. Analyse de données. Internet : http://www.lesphinxdeveloppement.fr/club/index.html
Equêtes, Sodages Aalyse de doées Le Sphix! Iteret : http://www.lesphixdeveloppemet.fr/club/idex.html Lagarde J. Aalyse statistique de doées, Duod. Réaliser vos equêtes Questioaire Traitemets et aalyses
Plus en détail16.1 Convergence simple et convergence uniforme. une suite de fonctions de I dans R ou C.
16 Suites de foctios Suf précisio cotrire, I est u itervlle réel o réduit à u poit et les foctios cosidérées sot défiies sur I à vleurs réelles ou complexes. 16.1 Covergece simple et covergece uiforme
Plus en détailRECHERCHE DE CLIENTS simplifiée
RECHERCHE DE CLIENTS simplifiée Nous ous occupos d accroître votre clietèle avec le compte Avatage d etreprise Pour trouver des cliets potetiels grâce à u simple compte bacaire Vous cherchez des idées
Plus en détailNous imprimons ce que vous aimez!
Nous imprimos ce que vous aimez! Persoalisé simple différet Catalogue de produits Tapis stadard tapis logo tapis publicitaire Nous imprimos ce que vous aimez! 2 I JOBET JOBET Vous et vos cliets serez coquis...
Plus en détail3.1 Différences entre ESX 3.5 et ESXi 3.5 au niveau du réseau. Solution Cette section récapitule les différences entre les deux versions.
3 Réseau Le réseau costitue u aspect essetiel d u eviroemet virtuel ESX. Il est doc importat de compredre la techologie, y compris ses différets composats et leur coopératio. Das ce chapitre, ous étudios
Plus en détailMESURE DE L'INFORMATION
MESURE DE L'INFORMATION Marc URO TABLE DES MATIÈRES INTRODUCTION... 3 INCERTITUDE D'UN ÉVÉNEMENT (OU SELF-INFORMATION)... 7 INFORMATION MUTUELLE DE DEUX ÉVÉNEMENTS... 9 ENTROPIE D'UNE VARIABLE ALÉATOIRE
Plus en détailUne action! Un message!
Ue actio! U message! Cotact Master est u service exclusif de relaces automatiques de vos actes vers vos cliets, par SMS, messages vocaux, e-mails, courrier... Il se décleche lorsque vous réalisez ue actio
Plus en détailTélé OPTIK. Plus spectaculaire que jamais.
Télé OPTIK Plus spectaculaire que jamais. Vivez toute la puissace de la télévisio sur IP grâce au réseau OPTIK 1 de TELUS et découvrez-e l extraordiaire potetiel. Télé OPTIK MC vous doe la parfaite maîtrise
Plus en détailCompte Sélect Banque Manuvie Guide du débutant
GUIDE DU DÉBUTANT Compte Sélect Baque Mauvie Guide du débutat Besoi d aide? Preez quelques miutes pour lire attetivemet votre Guide du cliet. Le préset Guide du débutat vous facilitera l utilisatio de
Plus en détailLes nouveaux relevés de compte
Ifo CR Les ouveaux relevés de compte Les relevés de compte actuels du Crédit Agricole de Champage-Bourgoge sot issus de la migratio iformatique sur le GIE AMT e 2001 : petit format (mais A4 pour les Professioels),
Plus en détailRESOLUTION DES FLOW SHOP STOCHASTIQUES PAR LES ORDRES STOCHASTIQUES. DERBALA Ali *)
RESOLUTION DES FLOW SHOP STOCHASTIQUES PAR LES ORDRES STOCHASTIQUES. DERBALA Ali *) *) Uiversité de Blida Faculté des scieces Départemet de Mathématiques. BP 270, Route de Soumaa. Blida, Algérie. Tel &
Plus en détailChaînes de Markov. Arthur Charpentier
Chaîes de Markov Arthur Charpetier École Natioale de la Statistique et d Aalyse de l Iformatio - otes de cours à usage exclusif des étudiats de l ENSAI - - e pas diffuser, e pas citer - Quelques motivatios.
Plus en détailRenseignements et monitoring. Renseignements commerciaux et de solvabilité sur les entreprises et les particuliers.
Reseigemets et moitorig. Reseigemets commerciaux et de solvabilité sur les etreprises et les particuliers. ENSEMBLE CONTRE LES PERTES. Reseigemets Creditreform. Pour plus de trasparece. Etreteir des rapports
Plus en détailDonnez de la liberté à vos données. BiBOARD. www.biboard.fr
Doez de la liberté à vos doées BiBOARD www.biboard.fr Le décisioel pour tous Le décisioel évolue. L etreprise quelle que soit sa taille, a besoi de piloter so activité à l aide d outils simples, fiables,
Plus en détailRESOLUTION PAR LA METHODE DE NORTON, MILLMAN ET KENNELY
LO 4 : SOLUTO P L MTHO OTO, MLLM T KLY SOLUTO P L MTHO OTO, MLLM T KLY MTHO OTO. toductio Le théoème de oto va ous pemette de éduie u cicuit complexe e gééateu de couat éel. e gééateu possède ue souce
Plus en détailDETERMINANTS. a b et a'
2003 - Gérard Lavau - http://perso.waadoo.fr/lavau/idex.htm Vous avez toute liberté pour télécharger, imprimer, photocopier ce cours et le diffuser gratuitemet. Toute diffusio à titre oéreux ou utilisatio
Plus en détailLa maladie rénale chronique
La maladie réale chroique Qu est-ce que cela veut dire pour moi? Natioal Kidey Disease Educatio Program La maladie réale chroique: l essetiel Vous avez été iformé(e) que vous êtes atteit(e) de la maladie
Plus en détailMUTUELLE D&O MUTUELLE D&O. Copilote de votre santé. AGECFA-Voyageurs CARCEPT CARCEPT-Prévoyance CRC CRIS CRPB-AFB
MUTUELLE D&O MUTUELLE D&O Copilote de votre saté AGECFA-Voyageurs CARCEPT CARCEPT-Prévoyace CRC CRIS CRPB-AFB DOMISSIMO-Assuraces DOMISSIMO-Services FONGECFA-Trasport IPRIAC MUTUELLE D&O OREPA-Prévoyace
Plus en détailProbabilités. I Petits rappels sur le vocabulaire des ensembles 2 I.1 Définitions... 2 I.2 Propriétés... 2
Probabilités Table des matières I Petits rappels sur le vocabulaire des ensembles 2 I.1 s................................................... 2 I.2 Propriétés...................................................
Plus en détailUn nouvel opérateur de fusion adaptatif. A new adaptive operator of fusion. 1. introduction
A ew adaptive operator of fusio par Fraçois DELMOTTE LAMIH, Uiversité de Valeciees et du Haiaut-Cambrésis, Le Mot Houy, BP 3, 5933 Valeciees CEDEX 9 fdelmott@flore.uiv-valeciees.fr résumé et mots clés
Plus en détailCours 5 : ESTIMATION PONCTUELLE
Cours 5 : ESTIMATION PONCTUELLE A- Gééralités B- Précisio d u estimateur C- Exhaustivité D- iformatio E-estimateur sas biais de variace miimale, estimateur efficace F- Quelques méthode s d estimatio A-
Plus en détailMobile Business. Communiquez efficacement avec vos relations commerciales 09/2012
Mobile Busiess Commuiquez efficacemet avec vos relatios commerciales 9040412 09/2012 U choix capital pour mes affaires Pour gérer efficacemet ses affaires, il y a pas de secret : il faut savoir predre
Plus en détailLa France, à l écoute des entreprises innovantes, propose le meilleur crédit d impôt recherche d Europe
1/5 Trois objectifs poursuivis par le gouveremet : > améliorer la compétitivité fiscale de la Frace > péreiser les activités de R&D > faire de la Frace u territoire attractif pour l iovatio Les icitatios
Plus en détailExamen final pour Conseiller financier / conseillère financière avec brevet fédéral. Recueil de formules. Auteur: Iwan Brot
Exame fial pour Coseiller fiacier / coseillère fiacière avec brevet fédéral Recueil de formules Auteur: Iwa Brot Ce recueil de formules sera mis à dispositio des cadidats, si écessaire. Etat au 1er mars
Plus en détailConsolidation. C r é e r un nouveau classeur. Créer un groupe de travail. Saisir des données dans un groupe
Cosolidatio La société THEOS, qui commercialise des vis, exerce so activité das trois villes : Paris, Nacy et Nice. Le directeur de la société souhaite cosolider les résultats de ses vetes par ville das
Plus en détailLe marché du café peut être segmenté en fonction de deux modes de production principaux : la torréfaction et la fabrication de café soluble.
II LE MARCHE DU CAFE 1 L attractivité La segmetatio selo le mode de productio Le marché du café peut être segmeté e foctio de deux modes de productio pricipaux : la torréfactio et la fabricatio de café
Plus en détailNeolane Message Center. Neolane v6.0
Neolae Message Ceter Neolae v6.0 Ce documet, aisi que le logiciel qu'il décrit, est fouri das le cadre d'u accord de licece et e peut être utilisé ou copié que das les coditios prévues par cet accord.
Plus en détailComment les Canadiens classent-ils leur système de soins de santé?
Novembre Les sois de saté au Caada, c est capital bulleti o 4 Commet les Caadies classet-ils leur système de sois de saté? Résultats du sodage iteratioal du Fods du Commowealth sur les politiques de saté
Plus en détailS-PENSION. Constituez-vous un capital retraite complémentaire pour demain tout en bénéficiant d avantages fiscaux dès aujourd hui.
S-PENSION Costituez-vous u capital retraite complémetaire pour demai tout e bééficiat d avatages fiscaux dès aujourd hui. Sommaire 1. Il est temps de predre l iitiative 4 2. Profitez dès aujourd hui des
Plus en détailPrincipes et Méthodes Statistiques
Esimag - 2ème aée 0 1 2 3 4 5 6 7 0 5 10 15 x y Pricipes et Méthodes Statistiques Notes de cours Olivier Gaudoi 2 Table des matières 1 Itroductio 7 1.1 Défiitio et domaies d applicatio de la statistique............
Plus en détailProbabilité. Table des matières. 1 Loi de probabilité 2 1.1 Conditions préalables... 2 1.2 Définitions... 2 1.3 Loi équirépartie...
1 Probabilité Table des matières 1 Loi de probabilité 2 1.1 Conditions préalables........................... 2 1.2 Définitions................................. 2 1.3 Loi équirépartie..............................
Plus en détailBac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)
Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre
Plus en détailLes algorithmes de tri
CONSERVATOIRE NATIONAL DES ARTS ET METIERS PARIS MEMOIRE POUR L'EXAMEN PROBATOIRE e INFORMATIQUE par Nicolas HERVE Les algorithmes de tri Souteu le mai JURY PRESIDENTE : Mme COSTA Sommaire Itroductio....
Plus en détailPROMENADE ALÉATOIRE : Chaînes de Markov et martingales
PROMENADE ALÉATOIRE : Chaîes de Markov et martigales Thierry Bodieau École Polytechique Paris Départemet de Mathématiques Appliquées thierry.bodieau@polytechique.edu Novembre 2013 2 Table des matières
Plus en détailCode de Déontologie Commercial Changer les choses avec intégrité
Code de Déotologie Commercial Chager les choses avec itégrité U message du Directeur gééral de Hospira Chers collaborateurs de Hospira, Je souhaite vous préseter le Code de Déotologie Commercial de Hospira.
Plus en détail