Document d aide à l analyse des résultats et à la remédiation Mathématiques. Evaluations nationales CM2- janvier 2010

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1 Document d aide à l analyse des résultats et à la remédiation Mathématiques Evaluations nationales CM2- janvier 2010 Croisement évaluation / programmes / socle Fiches d aide à l analyse des résultats Pistes de remédiation CIRCONSCRIPTION AJA 1

2 Sommaire Tableaux de concordance entre les compétences et les fiches d aide à l analyse des résultats et à la remédiation... 3 Répartition des compétences dans les évaluations, dans le socle, dans les programmes par niveau Mathématiques... 4 Répartition des compétences par niveau Mathématiques Graphique... 6 Répartition des items par niveau Mathématiques Détail... 7 Répartition des items par niveau Mathématiques Graphique... 8 Détails des compétences du socle commun évaluées dans le protocole national Attestation de compétences Mathématiques... 9 FICHES Fiche 1 : Nombres Fiche 2 : Nombres - Écrire et nommer les nombres entiers, décimaux et les fractions Fiche 3 : Nombres - Ordonner, comparer, encadrer des nombres. Les placer sur une droite graduée Fiche 4 : Calcul - Restituer rapidement des produits, retrouver un quotient entier Fiche 5 : Calcul - calcul mental, calcul réfléchi Fiche 6 : Calcul - Poser et effectuer les opérations usuelles Fiche 11 : Grandeurs et mesures - Connaissance et utilisation des unités de mesure - longueurs Fiche 13 : Grandeurs et mesures - Connaissance et utilisation des unités de mesure Longueurs (2) Fiche 12 : Grandeurs et mesures - Connaissance et utilisation des unités de mesure dates et durées Fiche 7 : Organisation et représentation de données numériques Fiche 8 : Résoudre des problèmes relevant des quatre opérations Fiche 9 : Reconnaître, vérifier et construire des figures géométriques Fiche 10 : Tracer une figure Sources Page 2

3 Tableaux de concordance entre les compétences et les fiches d aide à l analyse des résultats et à la remédiation Champs Compétences Exercices/ Items Fiches Nombres Écrire et nommer les nombres entiers, décimaux et les fractions. EX 1 / Passer d'une écriture fractionnaire à une écriture à virgule et réciproquement. EX 2 / Fiche 2 : Nombres Fiche 1 : Nombres Ordonner, comparer, encadrer des nombres. Les placer sur une droite graduée. EX 4 / 71 EX 5 / 72 EX 6 / 73 Fiche 3 : Nombres Calculs Connaître les résultats des tables de multiplication. Les utiliser pour retrouver les facteurs d'un produit. EX 7 / 74 EX 8 / 75 Fiche 4 : restituer rapidement des produits, retrouver un quotient entier Calculer mentalement le résultat d'une opération ou d'une suite d'opérations, EX 3 / Fiche 5 : calcul mental réfléchi ou le terme manquant d'une opération Poser et effectuer une addition, une soustraction ou une multiplication sur des nombres entiers ou décimaux. EX 10 / Fiche 6 : poser et effectuer les opérations usuelles Poser et effectuer une division d'un nombre entier ou décimal par un nombre EX 10 / entier. Résoudre des problèmes relevant des quatre opérations EX 9 / Fiche 7 : organisation et représentation de données numériques Fiche 8 : Résoudre des problèmes relevant des quatre opérations Géométrie Reconnaître, et vérifier en utilisant les instruments, qu'une figure est un carré, EX 13 / un rectangle, un losange, un triangle particulier, un parallélogramme. Reconnaître, et vérifier à l'aide des instruments que des droites sont parallèles EX 12 / 87 Fiche 9 : Reconnaître, vérifier et construire des figures géométriques ou que des droites sont perpendiculaires.- Tracer une figure à partir d'un programme de construction, d'un EX 14 / 90 EX 15 / 91 Fiche 10 : Tracer une figure modèle ou d'un schéma codé, en utilisant les instruments. EX 16 / Grandeurs et Mesures Connaître les unités de temps et leurs relations, et calculer des durées. Lire l'heure sur un cadran à aiguilles. EX 11 / Fiche 12 : connaissances et utilisation des unités de mesure - dates et durées Fiche 7 : organisation et représentation de données numériques Organisation et Gestion de Données Estimer ou mesurer une longueur, calculer un périmètre, une aire, un volume. Connaître les différentes unités et leurs relations. Résoudre des problèmes concrets faisant intervenir des grandeurs et une ou plusieurs des quatre opérations EX 17 / Fiche 11 : connaissances et utilisation des unités de mesure longueurs Fiche 13 : Grandeurs et mesures - Connaissance et utilisation des unités de mesure Longueurs (2) EX 11 / 86 EX 18 / Fiche 11 : connaissances et utilisation des unités de mesure longueurs Fiche 13 : Grandeurs et mesures - Connaissance et utilisation des unités de mesure Longueurs (2) Fiche 7 : organisation et représentation de données numériques Lire ou produire des tableaux et les analyser EX 19 (F) / Fiche 7 : organisation et représentation de données Savoir organiser les données d'un problème en vue de sa résolution EX 19 (F) / 63 EX 18 / 98 numériques Résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité. EX 19 / Page 3

4 Calculs Nombres Répartition des compétences dans les évaluations, dans le socle, dans les programmes par niveau Mathématiques Compétences évaluées dans le protocole national Compétences du socle commun Compétences des programmes 2008 Écrire, nommer, comparer et utiliser Écrire et nommer les nombres entiers, les nombres entiers, les nombres décimaux et les fractions. décimaux (jusqu au centième) et Écrire et nommer les nombres entiers, décimaux et les fractions. CM1 CM2 quelques fractions simples Passer d'une écriture fractionnaire à une écriture à virgule et réciproquement. Ordonner, comparer, encadrer des nombres. Les placer sur une droite graduée. Connaître les résultats des tables de multiplication. Les utiliser pour retrouver les facteurs d un produit. Calculer mentalement le résultat d une opération ou d une suite d opérations, ou le terme manquant d une opération. Poser et effectuer une addition, une soustraction ou une multiplication sur des nombres entiers ou décimaux. Poser et effectuer une division d un nombre entier ou décimal par un nombre entier. Résoudre des problèmes relevant des quatre opérations. Écrire, nommer, comparer et utiliser les nombres entiers, les nombres décimaux (jusqu au centième) et quelques fractions simples Écrire, nommer, comparer et utiliser les nombres entiers, les nombres décimaux (jusqu au centième) et quelques fractions simples Restituer les tables d addition et de multiplication de 2 à 9 Calculer mentalement en utilisant les quatre opérations Utiliser les techniques opératoires des quatre opérations sur les nombres entiers et décimaux (pour la division, le diviseur est un nombre entier) Utiliser les techniques opératoires des quatre opérations sur les nombres entiers et décimaux (pour la division, le diviseur est un nombre entier) Résoudre des problèmes relevant des quatre opérations Savoir : (nombres décimaux) - passer d une écriture fractionnaire à une écriture à virgule et réciproquement. Savoir : - les repérer, les placer sur une droite graduée, - les comparer, les ranger, - les encadrer par deux nombres entiers consécutifs, - passer d une écriture fractionnaire à une écriture à virgule et réciproquement. - produire des décompositions liées à une écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; et 0,1 ; 0,01 ; 0, Mémoriser et mobiliser les résultats des tables d addition et de multiplication. Consolider les connaissances et capacités en calcul mental sur les nombres entiers et décimaux. Poser et effectuer une addition, une soustraction ou une multiplication sur des nombres entiers ou décimaux. Poser et effectuer une division d un nombre entier ou décimal par un nombre entier. CE2 CM1 CM1 CM2 CM2 CE2 CM1 CM2 Résoudre des problèmes relevant des quatre opérations. CE2 CM1 CM1 CM2 Page 4

5 Organisation et gestion de données Grandeurs et mesures Géométrie Reconnaître, et vérifier en utilisant les instruments, qu une figure est un carré, un rectangle, un losange, un triangle particulier, un parallélogramme. Reconnaître, et vérifier à l aide des instruments que des droites sont parallèles ou que des droites sont perpendiculaires. Tracer une figure à partir d un programme de construction, d un modèle ou d un schéma codé, en utilisant les instruments. Connaître les unités de temps et leurs relations, et calculer des durées. Lire l heure sur un cadran à aiguilles. Estimer ou mesurer une longueur, calculer un périmètre, une aire, un volume. Connaître les différentes unités et leurs relations. Résoudre des problèmes concrets faisant intervenir des grandeurs et une ou plusieurs des quatre opérations. Lire ou produire des tableaux et les analyser. Reconnaître, décrire et nommer les figures et solides usuels Utiliser la règle, l équerre et le compas pour vérifier la nature de figures planes usuelles et les construire avec soin et précision Percevoir et reconnaitre parallèles et perpendiculaires Utiliser la règle, l équerre et le compas pour vérifier la nature de figures planes usuelles et les construire avec soin et précision Résoudre des problèmes de reproduction, de construction Utiliser des instruments de mesure Utiliser les unités de mesures usuelles Connaître et utiliser les formules du périmètre et de l aire d un carré, d un rectangle et d un triangle Résoudre des problèmes dont la résolution implique des conversions Lire, interpréter et construire quelques représentations simples : tableaux, graphiques Reconnaître, décrire, nommer et reproduire, tracer des figures géométriques : carré, rectangle, losange, triangle rectangle. Vérifier la nature d une figure plane en utilisant la règle graduée et l équerre. Reconnaître que des droites sont parallèles. Utiliser en situation le vocabulaire géométrique : points alignés, droite, droites perpendiculaires, droites parallèles, segment, milieu, angle, axe de symétrie, centre d un cercle, rayon, diamètre. Tracer une figure simple à partir d un programme de construction ou en suivant des consignes. Tracer une figure (sur papier uni, quadrillé ou pointé), à partir d un programme de construction ou d un dessin à main levée (avec des indications relatives aux propriétés et aux dimensions). Connaître les unités de mesure suivantes et les relations qui les lient : - Temps : l heure, la minute, la seconde, le mois, l année. Lire l heure sur une montre à aiguilles ou une horloge. Calculer l aire d un carré, d un rectangle, d un triangle en utilisant la formule appropriée. Résoudre des problèmes dont la résolution implique les grandeurs ci-dessus. Résoudre des problèmes concrets faisant intervenir des grandeurs et une ou plusieurs des quatre opérations. Interpréter un tableau ou un graphique. Utiliser un tableau ou un graphique en vue d un traitement des données. CE2 CM1 CM1 CM2 CE2 CM2 CM1 CM2 CE2 CM1 CM2 Savoir organiser les données d'un problème en vue de sa résolution. Savoir organiser des informations numériques ou géométriques Savoir organiser les données d un problème en vue de sa résolution. CE2 Résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité. Résoudre un problème mettant en jeu une situation de proportionnalité Résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité, en utilisant des procédures variées (dont la règle de trois ). CM2 Page 5

6 Répartition des compétences par niveau Mathématiques Graphique 90,00% 80,00% 70,00% 60,00% 50,00% 40,00% 30,00% 20,00% 10,00% 0,00% Part des compétences en maths 82,35% 52,94% 35,29% CE2 CM1 CM2 Page 6

7 Répartition des items par niveau Mathématiques Détail Domaine Séquence Ex. Champ N Détails de l'item CE2 CM1 CM2 Français SEQUENCE 3 Ex.19 OGD 61 Item 61 : D/ dans la 6 ème édition de la course. Français SEQUENCE 3 Ex.19 OGD 62 Item 62 : E/ Christophe Auguin. Français SEQUENCE 3 Ex.19 OGD 63 Item 63 : F/ Michel Desjoyeaux. L écart entre ses deux performances est de 8 j 14 h 4 min. MATHEMATIQUES SEQUENCE 1 Ex.1 NOMBRES 64 Item 64 : les nombres ; ; sont correctement écrits. MATHEMATIQUES SEQUENCE 1 Ex.1 NOMBRES 65 Item 65 : les nombres 18,03 ; 0,25 ou 25/100 ; 0,4 ou 4/10 sont correctement écrits. MATHEMATIQUES SEQUENCE 1 Ex.2 NOMBRES 66 Item 66 : 38/100 est entouré MATHEMATIQUES SEQUENCE 1 Ex.2 NOMBRES 67 Item 67 : 0,2 est entouré. MATHEMATIQUES SEQUENCE 1 Ex.2 NOMBRES 68 Item 68 : les réponses sont exactes : 0,5 = 1/2, 5/10, ou tout autre fraction équivalente - 0,25, 0,250 MATHEMATIQUES SEQUENCE 1 Ex.3 CALCULS 69 Item 69 : la première opération est correctement complétée 1,5 x 4 = 6 (on acceptera 6,0). MATHEMATIQUES SEQUENCE 1 Ex.3 CALCULS 70 Item 70 : la seconde opération est correctement complétée = 400. MATHEMATIQUES SEQUENCE 1 Ex.4 NOMBRES 71 Item 71 : pour chacune des trois lignes, le bon symbole a été trouvé : > ; 234,8 < 238 ; 0,6 <1. MATHEMATIQUES SEQUENCE 1 Ex.5 NOMBRES 72 Item 72 : pour chacune des deux lignes, le nombre entier qui précède le nombre donné et celui qui suit le nombre donné ont bien été trouvés : 505 < 505,14 < 506 ; 60 < 60,2 < 61. MATHEMATIQUES SEQUENCE 1 Ex.6 NOMBRES 73 Item 73 : au moins quatre des cinq nombres suivants, 0,5-1 2,6 6,2 8,9, ont été correctement placés sur la droite graduée. MATHEMATIQUES SEQUENCE 1 Ex.7 CALCULS 74 Item 74 : neuf produits, au moins, ont été restitués correctement sur les dix. MATHEMATIQUES SEQUENCE 1 Ex.8 CALCULS 75 Item 75 : les réponses proposées sont correctes pour quatre résultats, au moins. MATHEMATIQUES SEQUENCE 1 Ex.9 CALCULS 76 Item 76 : la division a été correctement posée ou une autre démarche recevable a été mise en œuvre. MATHEMATIQUES SEQUENCE 1 Ex.9 CALCULS 77 Item 77 : la réponse donnée est 12,5 ou 12,5 ou 12,50 ou 12,50. On prendra en compte une réponse juste figurant dans le cadre réservé aux calculs même si l élève ne l a pas reportée dans la phrase indiquant la réponse. MATHEMATIQUES SEQUENCE 1 Ex.10 CALCULS 78 Item 78 : l opération 154,8 + 36,57 = 191,37 est correctement posée et correctement effectuée. MATHEMATIQUES SEQUENCE 1 Ex.10 CALCULS 79 Item 79 : l opération 138,85 49,2 = 89,65 est correctement posée et correctement effectuée. MATHEMATIQUES SEQUENCE 1 Ex.10 CALCULS 80 Item 80 : l opération 39 x 57 = est correctement posée et correctement effectuée. MATHEMATIQUES SEQUENCE 1 Ex.10 CALCULS 81 Item 81 : l opération 24,3 x 6 = 145,8 est correctement posée et correctement effectuée. MATHEMATIQUES SEQUENCE 1 Ex.10 CALCULS 82 Item 82 : l opération 544 : 17 = 32 est correctement posée et correctement effectuée. MATHEMATIQUES SEQUENCE 1 Ex.10 CALCULS 83 Item 83 : l opération 276 : 8 = 34,5 est correctement posée et correctement effectuée. MATHEMATIQUES SEQUENCE 2 Ex.11 MATHEMATIQUES SEQUENCE 2 Ex.11 MATHEMATIQUES SEQUENCE 2 Ex.11 GRANDEURS MESURES GRANDEURS MESURES GRANDEURS MESURES Item 84 : les horaires écrits sous chacune des horloges A et B correspondent à l heure qu elles indiquent. On acceptera les écritures en chiffres et en lettres sous leurs différentes formes (comme par exemple onze heures quinze, onze heures et quart, vingt-trois heures quinze pour l horloge A ; trois heures cinquante-cinq, quatre heures moins cinq, quinze heures cinquante-cinq pour l horloge B) sans pénaliser les erreurs orthographiques. Item 85 : la réponse exacte est 21 h 55 ; toutes les réponses au-delà sont acceptées. On prendra en compte une réponse juste figurant dans le cadre réservé aux calculs même si l élève ne l a pas reportée dans la phrase indiquant la réponse. Item 86 : la réponse exacte est avant 8 h 11 ; la réponse «avant 8 h 10» est acceptée (approximation admise dans le contexte). On prendra en compte une réponse juste figurant dans le cadre réservé aux calculs même si l élève ne l a pas reportée dans la phrase indiquant la réponse. MATHEMATIQUES SEQUENCE 2 Ex.12 GEOMETRIE 87 Item 87 : seules les deux droites, b et c, perpendiculaires à g, ont bien été repassées en rouge. MATHEMATIQUES SEQUENCE 2 Ex.13 GEOMETRIE 88 Item 88 : les côtés du parallélogramme sont repassés en bleu. MATHEMATIQUES SEQUENCE 2 GEOMETRIE 89 Item 89 : les côtés du triangle rectangle sont repassés en rouge. MATHEMATIQUES SEQUENCE 2 Ex.14 GEOMETRIE 90 Item 90 : la figure (c) est entourée. MATHEMATIQUES SEQUENCE 2 Ex.15 GEOMETRIE 91 Item 91 : la longueur du côté est correctement reportée pour le tracé des trois autres côtés (tolérance de plus ou moins un millimètre) ; les angles droits sont corrects (écarts de 3 maximum) ; les tracés sont rectilignes et soignés. MATHEMATIQUES SEQUENCE 2 Ex.16 GEOMETRIE 92 Item 92 : l allure générale de la figure prend bien en compte les composantes du modèle : un rectangle et un parallélogramme ont été produits (ou deux triangles rectangles et un parallélogramme) ; leurs sommets coïncident. MATHEMATIQUES SEQUENCE 2 Ex.16 GEOMETRIE 93 Item 93 : les mesures sont justes et le tracé est précis (tolérance de plus ou moins un millimètre). MATHEMATIQUES SEQUENCE 3 Ex.17 GRANDEURS MESURES 94 Item 94 : une démarche recevable a été mise en œuvre, par exemple : - l aire du grand rectangle (8 x 7) 4 fois l aire du petit carré *4 x (1 x 1)+ ; - la somme des aires de cinq rectangles [(5 x 1) + (6 x 1) + (6 x 1) + (5 x 1) + (5 x 6)] ; Page 7

8 - la somme des aires de trois rectangles [par exemple (8 x 5) + (6 x 1) + (6 x 1)] ; - un quadrillage en carrés 1 x 1. MATHEMATIQUES SEQUENCE 3 Ex.17 GRANDEURS Item 95 : le résultat du calcul de l aire est exact, soit 52 m², et l unité est indiquée. On prendra en compte une réponse juste figurant dans le 95 MESURES cadre réservé aux calculs même si l élève ne l a pas reportée dans la phrase indiquant la réponse. MATHEMATIQUES SEQUENCE 3 Ex.18 GRANDEURS MESURES 96 Item 96 : le résultat intermédiaire indispensable 100, correspondant au reste à payer par les élèves, a été trouvé. MATHEMATIQUES SEQUENCE 3 Ex.18 GRANDEURS Item 97 : les réponses acceptées sont : 1 ; 0,99 ; 99 centimes d euro ; 100/102 ; et même 0,98 ou 98 centimes d euro. On prendra en 97 MESURES compte une réponse juste figurant dans le cadre réservé aux calculs même si l élève ne l a pas reportée dans la phrase indiquant la réponse. MATHEMATIQUES SEQUENCE 3 Ex.18 OGD 98 Item 98 : la démarche est correcte même si les résultats ne sont pas exacts. MATHEMATIQUES SEQUENCE 3 Ex.19 OGD 99 Item 99 : la procédure utilisée pour chacun des trois ingrédients est correcte. MATHEMATIQUES SEQUENCE 3 Ex.19 OGD 100 Item 100 : réponses exactes : 5 œufs, 250 g de chocolat, 75 g de sucre. On prendra en compte les réponses justes figurant dans le cadre réservé aux calculs même si l élève ne les a pas reportées dans la phrase indiquant la réponse. Répartition des items par niveau Mathématiques Graphique 70,00% Répartition des items en maths 60,00% 50,00% 40,00% 30,00% 20,00% 10,00% 0,00% 57,50% 32,50% 17,50% CE2 CM1 CM2 Page 8

9 Détails des compétences du socle commun évaluées dans le protocole national Attestation de compétences Mathématiques Les principaux éléments de mathématiques NOMBRES ET CALCUL Écrire, nommer, comparer et utiliser les nombres entiers, les nombres décimaux (jusqu au centième) et quelques fractions simples Restituer les tables d addition et de multiplication de 2 à 9 Utiliser les techniques opératoires des quatre opérations sur les nombres entiers et décimaux (pour la division, le diviseur est un nombre entier) Ajouter deux fractions décimales ou deux fractions simples de même dénominateur Calculer mentalement en utilisant les quatre opérations Estimer l ordre de grandeur d un résultat Résoudre des problèmes relevant des quatre opérations Utiliser une calculatrice GÉOMÉTRIE Reconnaître, décrire et nommer les figures et solides usuels Utiliser la règle, l équerre et le compas pour vérifier la nature de figures planes usuelles et les construire avec soin et précision Percevoir et reconnaitre parallèles et perpendiculaires Résoudre des problèmes de reproduction, de construction GRANDEURS ET MESURES Utiliser des instruments de mesure ; effectuer des conversions Connaître et utiliser les formules du périmètre et de l aire d un carré, d un rectangle et d un triangle Utiliser les unités de mesures usuelles Résoudre des problèmes dont la résolution implique des conversions ORGANISATION ET GESTION DE DONNÉES Lire, interpréter et construire quelques représentations simples : tableaux, graphiques Savoir organiser des informations numériques ou géométriques, justifier et apprécier la vraisemblance d un résultat Résoudre un problème mettant en jeu une situation de proportionnalité Pour le socle commun, pourcentage de compétences évaluées dans le protocole - mathématiques 100,00% 80,00% 60,00% 40,00% 84,21% 20,00% 0,00% SOCLE COMMUN Page 9

10 FICHES Fiche 1 : Nombres Domaine : Nombres Compétences Écrire et nommer les nombres entiers, décimaux et les fractions Passer d'une écriture fractionnaire à une écriture à virgule et réciproquement. Ordonner, comparer, encadrer des nombres. Les placer sur une droite graduée. Exercices/items EX 1 / EX 2 / EX 4 / 71 EX 5 / 72 EX 6 / 73 Hypothèses sur les difficultés rencontrées par l'élève (livret de l enseignant) Item 64 : Les connaissances relatives à la désignation orale, littérale ou chiffrée des nombres entiers, décimaux et fractionnaires sont indispensables à la poursuite des apprentissages au collège. Elles sont complétées par une première approche de leur structure arithmétique, caractérisée par la maîtrise de certaines relations entre les nombres. En cas d erreur, il peut s agir : - d une confusion milliard / million : « » au lieu de « » ; - d une erreur liée au passage de la désignation orale à la numération écrite : « » au lieu de « » ; - d une mauvaise connaissance de l écriture chiffrée : rôle de séparation en tranches de 3 chiffres « » au lieu de L utilisation périodique du tableau numérique peut aider certains élèves : Classe des millions Classe des mille Classes des unités simples centaines de millions c dizaines de millions d unités de millions u centaines de mille c dizaines de mille d unités de mille u centaines c dizaines d unités u Item 65 : Deux types d erreurs peuvent être présents dans cet exercice : - confusion «centaine» et «centième» : des élèves peuvent écrire 318 au lieu de 18,03, ou encore pour 25 centièmes ; de la même manière, confusion «dizaine» et «dixième» : des élèves peuvent écrire 40 (quatre dizaines) au lieu de 0,4 (quatre dixièmes) ; - application, par similitude, de la séquence «unité, dizaine, centaine» de la partie entière à la partie décimale (l information «dizaine» est prélevée sur le deuxième chiffre ; par similitude, l information «dixième» serait prélevée sur le deuxième chiffre après la virgule), par exemple : o l élève écrit 18,003 au lieu de 18,03 ; o l élève écrit 0,025 au lieu de 0,25 ; o l élève écrit 0,04 au lieu de 0,4. Afin d aider les élèves à construire les nombres décimaux, il est possible de revenir sur la valeur et la signification des chiffres. Fraction Signification Écriture à virgule Lecture Items 66 et 67 : 1 1:10 10 L'unité est divisée en : L'unité est divisée en 100 0,1 Un dixième 0,01 Un centième Page 10

11 ou [0,02 pour + peuvent laisser penser que l élève a perçu une certaine relation entre écriture à virgule et écriture fractionnaire, mais il reste à travailler le rapport à l unité (un tableau est utile) ; - les autres écritures traduisent une méconnaissance soit des nombres décimaux, soit des fractions décimales. Item 68 : connaissance des fractions usuelles La capacité à associer quasi-automatiquement 0,5 et un demi (ou cinq dixièmes), et un quart et 0,25, est essentielle pour comprendre la relation entre la fraction partage et les nombres. Item 71 : Trois réponses inversées (< au lieu de >) peuvent traduire une incompréhension du symbole. A vérifier sur des nombres plus petits et entiers. Une erreur sur la comparaison des deux nombres entiers appelle un rappel des principes de l écriture décimale des nombres entiers. Une erreur sur la comparaison entre un entier et un nombre décimal appelle un rappel de ce qu est un nombre décimal. Si ces erreurs se produisent de manière systématique, on peut considérer que l élève s est construit des «règles» qui s avèrent «fonctionner» dans certains cas mais restent fausses. Par exemple : - pour comparer deux nombres entiers, il faut comparer leurs chiffres de gauche à droite : pour comparer et 1532 : 1=1 5=5 3=3 0<2 donc 15300<1532 ; - pour comparer deux nombres décimaux, il faut les comparer en ne prenant pas en compte la virgule : pour comparer 234,8 et 238, je compare 2348 et 238 pour comparer 0,6 et 1, je compare 6 et 1 ; - pour comparer deux nombres décimaux, je compare leur partie décimale : par exemple : 2,58 et 2,6 [ce qui n'est pas le cas dans l'item 71] se ramène à celle de leurs parties décimales, mais celles-ci ne doivent pas être considérées comme des entiers ; les élèves doivent comprendre qu'il s'agit en fait de comparer 5/10 avec 6/10 ou 58/100 avec 60/100. Item 72 : Encadrement à l unité la plus proche. Une des erreurs possibles est 505,13 < 505,14 < 505,15 ; 60,1 < 60,2 < 60,3. L élève n a pas compris la notion de nombre décimal ou ne la maîtrise pas suffisamment : entre deux nombres entiers consécutifs, il n y a pas de nombre entier ; entre deux nombres décimaux, il y a beaucoup de nombres décimaux. Item 73 : Un mauvais positionnement de 1 doit interroger sur la relation que l élève a construite entre nombre et mesure. Un positionnement de 0,5 à la place de 5 peut laisser penser que l élève confond avec 5 ou qu il sait que c est un demi et qu il partage la «bande» en deux en indiquant son milieu. Les erreurs sur les autres nombres traduisent une connaissance insuffisante des nombres décimaux et de leur rôle pour les mesures de grandeurs. Des réponses erronées indiquent un manque d entraînement à l usage d outils gradués (règle en premier lieu).. Principes pour guider les activités de re médiation à mettre en œuvre «A la fin du cycle 3, les élèves doivent maîtriser la lecture et l écriture des nombres entiers naturels. Ils doivent comprendre les principes de la numération décimale, en particulier que la valeur des chiffres dépend de leur position dans l écriture des nombres en relation avec les activités de groupements et d échanges qui la sous-tendent» (1). Il est rappelé que les connaissances relatives à la désignation orale, littérale ou chiffrée des nombres naturels, comme celles relatives à l ordre sur ces nombres, indispensables à la poursuite des apprentissages au collège sont complétées par une première approche de leur structuration arithmétique «Ces connaissances ne doivent pas fonctionner pour elles-mêmes. Elles doivent être envisagées en relation avec des activités de résolution de problèmes ; dénombrement, mesurage, graduation.» (2) Notre attention est attirée sur les activités indispensables pour la connaissance des nombres. Désignations orales et écrites (2) - groupements et mots à employer avec reformulations ; - décompositions de nombres ; - suites orales diverses ; - associations de désignation orale et écrite. Ordre (2) - comparaison et rangement, vocabulaire, symboles mathématiques ; - encadrements ; - placement précis ou approximatif de nombres sur droites graduées. Page 11

12 Structuration arithmétique (2) - utilisations d expressions telles que double, moitié, demi, triple, tiers ; associer le vocabulaire moitié, tiers, quart à des expressions du type : deux fois moins que, trois fois moins que, quatre fois moins que plutôt qu à son utilisation systématique dans la lecture de fractions ; - relations entre des nombres d usage courant ; - reconnaissance de multiples de 2, 5 et 10. Pour les élèves qui présentent de très graves difficultés, il ne faut pas hésiter à revenir à des activités conseillées pour le cycle 2 dans le livret CE1. Pour favoriser une bonne représentation mentale des nombres, il est utile de passer de la manipulation de matériel à la représentation imagée ou simplifiée de ce matériel ou à son évocation. Il est nécessaire d avoir une gradation dans les activités, que celle-ci porte sur le champ numérique, l évolution des supports, les aides proposées, la longueur des exercices, le temps laissé Il semble également important d avoir des pratiques régulières et quotidiennes afin de faciliter mémorisation et automatisation. Les élèves qui connaissent les nombres jusqu à 1000 peuvent avoir besoin d aide pourla lecture des grands nombres. Grouper les chiffres par classe peut alors être une aide. Exemples d activités Nombres : désignations et ordre - utilisation de matériel varié pour manipulation (groupements échanges) cubes, barres, plaques, gros cubes ou cartons, petites enveloppes, moyennes enveloppes, grandes enveloppes (Cf. CA3), jetons, sachets, sacs - utilisation de compteurs pour faire comprendre la suite 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - utilisation de bouliers ou d abaques puis de représentations de bouliers d abaques - affichage (pour s y référer) dans la classe des tableaux de nombres de formes et de natures diverses (droite numérique, tableaux de 1 en 1, de 10 en 10, de 100 en 100, de forme classique, en spirale : mise en évidence des régularités de notre système de numération) - utilisation de ces tableaux complets ou incomplets, lors d exercices spécifiques ou les proposer comme aides lors de jeux de calcul mental - jeux de calcul mental : le furet de 1 en 1, de 2 en 2, de 5 en 5, de 10 en 10 et à l envers. - productions orales ou écrites de suites numériques, pas uniquement de 1 en 1, en commençant par 1, 10, 14; 52, 65, 70, 410, 325 dans l ordre croissant ou décroissant. - jeux de portraits de nombres (avec ou sans support de droite numérique) sous des formes variées (chiffre ou nombres des dizaines, unités, ce nombre se termine par c est un nombre à n chiffres, il est après il est plus grand que, inférieur à, son chiffre des dizaines est le double de celui de ses unités - nombre pensé : un élève ou le maître pense à un nombre. Les autres, pour le trouver, posent des questions auxquelles on ne peut répondre que par oui ou non - utilisation d étiquettes pour écrire les nombres ou pour décomposer : /3 0 0/4 0/8 Chaque élève possède un jeu de 9 étiquettes de 1000 à 9000, de 9 étiquettes de 100 à 900, de 9 étiquettes de 10 à 90, de 9 étiquettes de 1 à 9. Avec ces étiquettes on écrira les nombres dictés par le maître en suivant les règles suivantes : on ne peut poser une étiquette que sur une plus grande, on pose bord droit contre bord droit de l étiquette précédemment posée (on peut tracer un trait rouge le long de tous les bords droits). Ainsi pour 1 040, l élève posera 1000 puis, par dessus, 40 et obtiendra : Pour écrire 2367 il faudra 4 étiquettes, pour 5509 il en faudra 3 - problèmes de nombres à décoder ou à coder dans d autres systèmes de numération : similitude avec notre système actuel et différences (nombre de signes, écriture additive ou autre, rôle du zéro ) - chercher le plus grand nombre (dans un autre système de numération) - chercher les irrégularités dans la numération orale, les régularités dans l écriture des nombres, voir sur quelles opérations cachées cela repose (addition ou multiplication ou les deux) - lotos de nombres écrits sous formes diverses - explorer des phénomènes numériques grâce à une calculatrice (3) - passer d un nombre à un autre sans effacer le premier grâce à une calculatrice (3) - trouver tous les nombres de n chiffres en utilisant des chiffres donnés (comportant ou non un zéro) - les classer en ordre croissant ou décroissant. - pour classer des nombres, utilisation d étiquettes, référence à des supports écrits dans la classe, verbalisation de procédure et acquisition de méthodologie Page 12

13 - pour choisir, parmi une liste de nombres, ceux qui se situent dans un intervalle donné, proposer une aide méthodologique pour des élèves en grande difficulté : par exemple, entre 527 et 603, barrer tous les nombres inférieurs à 527, puis tous ceux supérieurs à trouver tous les nombres possibles en utilisant des mots donnés ; les écrire en chiffres. - trouver toutes les écritures possibles d un nombre (additives, canoniques, mixtes, du type 34 centaines 6 unités ou 340 dizaines 6 unités ou 6unités 34 centaines Structuration arithmétique (double, moitié ) - profiter de toutes les situations de classe, pas seulement en mathématiques (partage en groupes, distribution à parts égales, comparaison exprimant le rapport entre deux quantités ) pour la construction des concepts de demi, quart, tiers, double ) - rendre explicites les expressions de la langue courante contenant demi, tiers, quart (demi-journée, double décimètre, ruban adhésif double face ) dont celles concernant la lecture de l heure - avoir sur un mur de la classe une horloge à aiguilles, l observer et l utiliser - travailler sur les homophones pour quart (confusion car /quart). - travail sur les multiples (voir fiche CA1) - trouver un double en justifiant oralement et par des écritures mathématiques sa réponse : 40 est le double de 20 parce que20 x2 = 40, = 40 - pour l appropriation du vocabulaire, pour chaque phrase exprimant une relation arithmétique, demander à l oral et à l écrit la phrase utilisant la relation réciproque : 5 est le tiers de 15 ; 15 est le triple de 5. Références 1) Horaires et programmes d enseignement de l école primaire - BO HS n 3 du 19 juin 2008 (2) Documents d accompagnement, mathématiques école primaire : utiliser les calculatrices en classe, p 62 et 63 Fiche 2 : Nombres - Écrire et nommer les nombres entiers, décimaux et les fractions Domaine : Nombres Compétences Écrire et nommer les nombres entiers, décimaux et les fractions Passer d'une écriture fractionnaire à une écriture à virgule et réciproquement. Exercices/items EX 1 / EX 2 / Hypothèses sur les difficultés rencontrées par l'élève (livret de l enseignant) Item 64 : Les connaissances relatives à la désignation orale, littérale ou chiffrée des nombres entiers, décimaux et fractionnaires sont indispensables à la poursuite des apprentissages au collège. Elles sont complétées par une première approche de leur structure arithmétique, caractérisée par la maîtrise de certaines relations entre les nombres. En cas d erreur, il peut s agir : - d une confusion milliard / million : « » au lieu de « » ; - d une erreur liée au passage de la désignation orale à la numération écrite : « » au lieu de « » ; - d une mauvaise connaissance de l écriture chiffrée : rôle de séparation en tranches de 3 chiffres « » au lieu de L utilisation périodique du tableau numérique peut aider certains élèves : centaines de millions c Classe des millions Classe des mille Classes des unités simples dizaines de millions d unités de millions u centaines de mille c dizaines de mille d unités de mille u centaines c dizaines d unités u Item 65 : Deux types d erreurs peuvent être présents dans cet exercice : - confusion «centaine» et «centième» : des élèves peuvent écrire 318 au lieu de 18,03, ou encore pour 25 centièmes ; de la même manière, confusion «dizaine» et «dixième» : des élèves peuvent écrire 40 (quatre dizaines) au lieu de 0,4 (quatre dixièmes) ; - application, par similitude, de la séquence «unité, dizaine, centaine» de la partie entière à la partie décimale (l information Page 13

14 «dizaine» est prélevée sur le deuxième chiffre ; par similitude, l information «dixième» serait prélevée sur le deuxième chiffre après la virgule), par exemple : o l élève écrit 18,003 au lieu de 18,03 ; o l élève écrit 0,025 au lieu de 0,25 ; o l élève écrit 0,04 au lieu de 0,4. Afin d aider les élèves à construire les nombres décimaux, il est possible de revenir sur la valeur et la signification des chiffres. Fraction Signification Écriture à virgule Lecture Items 66 et 67 : 1 1:10 10 L'unité est divisée en : L'unité est divisée en 100 0,1 Un dixième 0,01 Un centième ou [0,02 pour + peuvent laisser penser que l élève a perçu une certaine relation entre écriture à virgule et écriture fractionnaire, mais il reste à travailler le rapport à l unité (un tableau est utile) ; - les autres écritures traduisent une méconnaissance soit des nombres décimaux, soit des fractions décimales. Item 68 : connaissance des fractions usuelles La capacité à associer quasi-automatiquement 0,5 et un demi (ou cinq dixièmes), et un quart et 0,25, est essentielle pour comprendre la relation entre la fraction partage et les nombres. Exemples d activités Ecriture des nombres entiers Déterminer la valeur de chacun des chiffres composant l'écriture d'un nombre entier en fonction de sa position Donner diverses décompositions d'un nombre en utilisant 10, 100, 1000, etc. Retrouver rapidement l'écriture chiffrée d'un nombre à partir d'une décomposition utilisant 10, 100, 1000, etc. La valeur des chiffres doit être constamment envisagée en relation avec les activités de groupements et d'échanges qui la soustendent. Les mots dizaines, centaines, milliers sont employés comme synonymes et reformulés sous la forme de paquets de 10, de 100, de Ainsi: - dans 5324, le 3 signifie 3 paquets de 100, c'est-à-dire 300 ou encore 3 centaines (et non 3 unités); - dans 8926, il y a 89 paquets de 100 ou 892 paquets de 10. Les formulations du type Combien y a-t-il de paquets de 10 dans 8 926? accompagnent celles comme Quel est le nombre de dizaines dans 8926? Dans cette perspective, il convient d'éviter les activités formelles et l'utilisation trop systématique du tableau de numération. Exemple d'activité : utilisation d étiquettes pour écrire les nombres ou pour décomposer : Chaque élève possède un jeu de 9 étiquettes de 1000 à 9000, de 9 étiquettes de 100 à 900, de 9 étiquettes de 10 à 90, de 9 étiquettes de 1 à 9. Avec ces étiquettes on écrira les nombres dictés par le maître en suivant les règles suivantes : on ne peut poser une étiquette que sur une plus grande, on pose bord droit contre bord droit de l étiquette précédemment posée (on peut tracer un trait rouge le long de tous les bords droits). Ainsi pour 1 040, l élève posera 1000 puis, par dessus, 40 et obtiendra : Pour écrire 2367 il faudra 4 étiquettes, pour 5509 il en faudra 3 Ces décompositions peuvent être du type suivant: 5324 = (5 x 1000) + (3 x 100) + (2 x 10) = (53 x 100) Mais aussi: (3 x 100) + (5 x 1 000) + (6 x 10) = 5360 (3 x 100) + (12 x 10) (5 x 1000) = De telles égalités sont produites en référence à la valeur des chiffres en fonction de leur position plutôt qu'à l'utilisation du Page 14

15 tableau de numération. Elles peuvent également être contrôlées par un calcul. Les notations du type 10², 10 3 ne sont pas utilisées à l'école primaire. Produire des suites orales et écrites de 1 en 1, 10 en 10, Il s'agit de mettre en évidence les régularités des suites de nombre 100 en 100, à partir de n'importe quel nombre. écrits en chiffres (en liaison, par exemple, avec le fonctionnement du compteur) ainsi que les régularités et les accidents des suites des nombres dits oralement. La production de suites de nombres (écrits en chiffres) de 10 en 10, 100 en 100 doit être mise en relation avec les effets d'ajouts successifs de 10 (ou d'une dizaine), de 100 (ou d'une centaine) A partir de ces activités, les élèves peuvent commencer à envisager le caractère infini de ces suites. Associer la désignation orale et la désignation écrite (en Exemples: chiffres), pour des nombres jusqu'à la classe des millions se lit 56 millions 246 mille 789 -cent sept millions cinquante-trois mille cent trente-quatre s'écrit L'intérêt du découpage en tranches de trois chiffres pour la lecture usuelle des nombres (fondée sur les classes: mille, millions, milliards) est souligné et les difficultés inhérentes à l'écriture en chiffres des nombres ayant un ou plusieurs zéros intermédiaires font l'objet d'une attention particulière. L'étude se limite aux nombres de la classe des millions, mais des nombres plus grands peuvent être rencontrés. Ecriture des nombres décimaux et fractionnaires La plupart des connaissances relatives à ces nouveaux nombres peuvent être travaillées et interprétées dans les contextes énoncés précédemment et utilisées dans des activités relevant d'autres champs disciplinaires (sciences et technologie, géographie). Dans toutes les utilisations des nombres décimaux en situation, l'attention des élèves est attirée sur le choix des décimales pertinentes : précisions permises par les instruments et la taille des objets, compatibilité avec les usages sociaux. Associer les désignations orales et l'écriture chiffrée d'un nombre décimal. Produire des suites écrites ou orales de 0,1 en 0,1, de 0,01 en 0,01... Ecrire et interpréter sous forme décimale une mesure donnée avec plusieurs unités (et réciproquement). Exemples: 14,5 se lit 14 et demi ou 14 et 5 dixièmes ; 5,23 se lit 5 et 23 centièmes ou 5 et 2 dixièmes et 3 centièmes. La lecture courante (5 virgule 23) n'est pas exclue, mais il s'agit de ne pas la systématiser dans la mesure où son usage trop fréquent contribue à envisager le nombre décimal 5,23 comme deux entiers juxtaposés (5 d'un côté et 23 de l'autre). Les observations de régularités sur de telles suites peuvent être comparées à celles faites sur les suites obtenues avec des entiers naturels en comptant de 1 en 1, de 10 en 10, etc. Dans le cas où une grandeur est exprimée à l'aide des unités usuelles, il s'agit de mettre en relation des désignations telles que 3 m 25 cm et 3,25 m ou 3 m 5 cm et 3,05 m. C'est aussi l'occasion de relier centime d'euro et centième d'euro. Mise en relation des différentes formes d'écriture d'un même nombre décimal. Déterminer la valeur de chacun des chiffres composant Les écritures à virgule prennent sens en étant mises en relation une écriture à virgule, en fonction de sa position. avec les fractions décimales, ce qui correspond à l'introduction historique des décimaux. Cela permet de comprendre que la valeur d'un chiffre est dix fois plus petite que celle du chiffre écrit immédiatement à sa gauche et dix fois plus grande que celle du chiffre qui est écrit immédiatement à sa droite (ce qui est vrai aussi bien pour la partie entière que pour la partie décimale). Exemples d'égalités qui peuvent être utilisées : Fiche 3 : Nombres - Ordonner, comparer, encadrer des nombres. Les placer sur une droite graduée. Domaine : Nombres Compétences Ordonner, comparer, encadrer des nombres. Les placer sur une droite graduée. Exercices/items Page 15

16 EX 4 / 71 EX 5 / 72 EX 6 / 73 Hypothèses sur les difficultés rencontrées par l'élève (livret de l enseignant) Item 71 : Trois réponses inversées (< au lieu de >) peuvent traduire une incompréhension du symbole. A vérifier sur des nombres plus petits et entiers. Une erreur sur la comparaison des deux nombres entiers appelle un rappel des principes de l écriture décimale des nombres entiers. Une erreur sur la comparaison entre un entier et un nombre décimal appelle un rappel de ce qu est un nombre décimal. Si ces erreurs se produisent de manière systématique, on peut considérer que l élève s est construit des «règles» qui s avèrent «fonctionner» dans certains cas mais restent fausses. Par exemple : - pour comparer deux nombres entiers, il faut comparer leurs chiffres de gauche à droite : pour comparer et 1532 : 1=1 5=5 3=3 0<2 donc 15300<1532 ; - pour comparer deux nombres décimaux, il faut les comparer en ne prenant pas en compte la virgule : pour comparer 234,8 et 238, je compare 2348 et 238 pour comparer 0,6 et 1, je compare 6 et 1 ; - pour comparer deux nombres décimaux, je compare leur partie décimale : par exemple : 2,58 et 2,6 [ce qui n'est pas le cas dans l'item 71] se ramène à celle de leurs parties décimales, mais celles-ci ne doivent pas être considérées comme des entiers ; les élèves doivent comprendre qu'il s'agit en fait de comparer 5/10 avec 6/10 ou 58/100 avec 60/100. Item 72 : Encadrement à l unité la plus proche. Une des erreurs possibles est 505,13 < 505,14 < 505,15 ; 60,1 < 60,2 < 60,3. L élève n a pas compris la notion de nombre décimal ou ne la maîtrise pas suffisamment : entre deux nombres entiers consécutifs, il n y a pas de nombre entier ; entre deux nombres décimaux, il y a beaucoup de nombres décimaux. Item 73 : Un mauvais positionnement de 1 doit interroger sur la relation que l élève a construite entre nombre et mesure. Un positionnement de 0,5 à la place de 5 peut laisser penser que l élève confond avec 5 ou qu il sait que c est un demi et qu il partage la «bande» en deux en indiquant son milieu. Les erreurs sur les autres nombres traduisent une connaissance insuffisante des nombres décimaux et de leur rôle pour les mesures de grandeurs. Des réponses erronées indiquent un manque d entraînement à l usage d outils gradués (règle en premier lieu). Pistes de travail Comparer deux entiers naturels, utiliser les signes < et > (lus «La compréhension de l'ordre (savoir quel est le plus petit ou le plus petit et plus grand»). plus grand nombre, savoir ranger des nombres) doit précéder Ranger des nombres en ordre croissant ou décroissant. l'utilisation des symboles < ou >. Le vocabulaire inférieur à, Situer un nombre dans une série ordonnée de nombres. supérieur à commence à être utilisé en même temps que plus petit, plus grand. L'usage simultané des symboles =, < et > pour rendre compte de la comparaison d'écritures arithmétiques permet de renforcer la signification mathématique du symbole d'égalité. Au cours de l'apprentissage, les procédures de comparaison font l'objet d'une explicitation par les élèves. Comparer deux nombres décimaux donnés par leurs écritures à virgule. Traduire le résultat de la comparaison en utilisant les signes < et >. Encadrer un nombre décimal par deux entiers consécutifs ou par deux nombres décimaux. Intercaler des nombres décimaux entre deux nombres entiers consécutifs ou entre deux nombres décimaux. Page 16 La comparaison de nombres tels que 2,58 et 2,6 se ramène à celle de leurs parties décimales, mais celles-ci ne doivent pas être considérées comme des entiers : les élèves doivent comprendre qu'il s'agit en fait de comparer 5/10 avec 6/10 ou 58/100 avec 60/100 Le recours à des graduations peut être une aide pour les élèves. Il s'agit, sans étude systématique et sans utiliser de formulation spécifique, d'approcher la notion d'encadrement à l'unité ou au dixième prés, par exemple : 35 < 35,46 < 36 ou 35,4 < 35,46 < 35,5. Ces activités permettent aux élèves de prendre conscience que la notion de nombres consécutifs, valable pour les nombres entiers, ne l'est plus pour les nombres décimaux: intercaler un nombre (décimal) entre deux nombres

17 Situer exactement ou approximativement des nombres décimaux sur une droite graduée de 1 en 1, de 0,1 en 0,1. (décimaux) devient toujours possible. Ces questions d'intercalation peuvent également être l'occasion de rencontrer des nombres décimaux qui s'écrivent avec plus de trois chiffres dans leur partie décimale. Sur une droite graduée de 0,1 en 0,1, on peut placer exactement 12,7 mais approximativement 12,83 (plus prés de 12,8 que de 12,9). Exemples d'activités utilisation de compteurs pour faire comprendre la suite 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 utilisation de bouliers ou d abaques puis de représentations de bouliers d abaques affichage (pour s y référer) dans la classe des tableaux de nombres de formes et de natures diverses (droite numérique, tableaux de 0,1 en 0,1, de 1 en 1, de 10 en 10, de 100 en 100, de forme classique, en spirale : mise en évidence des régularités de notre système de numération) utilisation de ces tableaux complets ou incomplets, lors d exercices spécifiques ou les proposer comme aides lors de jeux de calcul mental jeux de calcul mental : le furet de 1 en 1 puis de 0,1 en 0,1 ; de 0,2 en 0,2 ; de 0,5 en 0,5 ; de 10 en 10 et à l envers. productions orales ou écrites de suites numériques, en commençant par 1, 10, 14; 52, 65, 70, 410, 325 dans l ordre croissant ou décroissant avec un pas décimal. jeux de portraits de nombres (avec ou sans support de droite numérique) sous des formes variées (chiffre ou nombres des dizaines, unités, ce nombre se termine par c est un nombre à n chiffres, il est aprés il est plus grand que, inférieur à, son chiffre des dizaines est le double de celui de ses unités..., il a 2 chiffres aprés la virgule... nombre pensé : un élève ou le maître pense à un nombre entier ou décimal. Les autres, pour le trouver, posent des questions auxquelles on ne peut répondre que par oui ou non pour classer des nombres, utilisation d étiquettes, référence à des supports écrits dans la classe, verbalisation de procédure et acquisition de méthodologie pour choisir, parmi une liste de nombres, ceux qui se situent dans un intervalle donné, proposer une aide méthodologique pour des élèves en grande difficulté : par exemple, entre 527 et 603, barrer tous les nombres inférieurs à 527, puis tous ceux supérieurs à 603. trouver tous les nombres possibles en utilisant des mots donnés ; les écrire en chiffres. trouver toutes les écritures possibles d un nombre (additives, canoniques, mixtes, du type 34 centaines 6 unités ou 340 dizaines 6 unités ou 6 unités 34 centaines Fiche 4 : Calcul - Restituer rapidement des produits, retrouver un quotient entier Domaine : Calcul Compétences Connaître les résultats des tables de multiplication. Les utiliser pour retrouver les facteurs d'un produit. Exercices/items EX 7 / 74 EX 8 / 75 Hypothèses sur les difficultés rencontrées par l'élève (livret de l enseignant) Item 74 : Dans cet exercice, neuf produits sur dix sont exigés, car la connaissance complète des tables de multiplication est attendue à ce niveau, avec une tolérance, notamment pour inattention. Les difficultés portent généralement sur certains produits : 8 x 9, 9 x 7, 8 x 7, 6 x 7. Un entraînement systématique est à reprendre de façon à ce que l ensemble des tables soit installé en mémoire. Connaître les tables par cœur est indispensable pour tous les calculs, mentaux ou posés, que l élève aura à effectuer dans son parcours scolaire ultérieur et pour sa vie sociale. Item 75 : Connaître les tables de multiplication signifie également une capacité à répondre aux questions posées. En 18 combien de fois 6? L élève qui donne la réponse 3 sait que 6 x 3 =18 et a compris la relation entre multiplication et division. Pour un élève qui n aurait pas su répondre correctement à cet item, il est intéressant d examiner les résultats au précédent. Dans le cas peu probable où l élève a bien répondu à l item 74, et mal à l item 75, on doit s interroger sur le sens que l élève donne à la multiplication. Principes pour guider les activités de re médiation à mettre en œuvre Il convient de ne pas oublier qu avant d être automatisé, tout calcul a, le plus souvent, d abord été obtenu par les élèves au moyen d un calcul réfléchi, pendant une phase plus ou moins longue. De plus, l automatisation des calculs simples, orientée vers la production de résultats immédiatement disponibles, peut en temps limité relever de la récupération en mémoire aussi bien Page 17