Probabilités stationnaires d une chaîne de Markov sur TI-nspire Louis Parent, ing., MBA École de technologie supérieure, Montréal, Québec 1

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1 Introduction Probabilités stationnaires d une chaîne de Markov sur TI-nspire Louis Parent, ing., MBA École de technologie supérieure, Montréal, Québec 1 L auteur remercie Mme Sylvie Gervais, Ph.D., maître d enseignement au SEG, pour ses utiles suggestions. La solution d une chaîne de Markov pour ses probabilités stationnaires peut s avérer une alternative intéressante à une simulation Monte Carlo pour effectuer une analyse de risque. Si on peut décrire le problème par un nombre fini d états dont on connaît les probabilités de transition, cette méthode possède l avantage de n exiger aucune hypothèse sur les distributions de variables aléatoires individuelles ou sur leurs degrés de corrélation. De plus, le problème peut être exposé d une manière très visuelle, ce qui en facilitera la compréhension par les décideurs. La capacité de la TI-nspire à effectuer directement des opérations sur les matrices en fait un outil efficace pour résoudre une chaîne de Markov. Le problème suivant est adapté de l exemple 13.9 du manuel «Analyse économique en ingénierie» de Chan S. Park, 2009, pp Mise en situation Une société envisage acheter une nouvelle machine au coût de $. La demande et le prix pour le produit devant être fabriqué sur cette machine est incertaine. La société estime que le prix pourrait prendre 3 valeurs 48$, 50$ et 53$ et que la demande en unités pourrait être de 1 500, ou unités. Ces valeurs représentent le milieu d intervalles de 500 unités. Par exemple unités est le point milieu de l intervalle 1 750$ à 2 250$. Il y a donc 9 possibilités de couple prix-volume. Ces possibilités définissent les «états» possibles des conditions du marché. Lors d une séance de planification, les responsables du marketing de l entreprise, s appuyant sur des données de vente et leur expérience, ont produit le diagramme suivant qui présente les probabilités de passer d un état à un autre: 1 L auteur est chargé de cours et coordonateur du cours d analyse de rentabilité de projets. On peut retrouver ce texte sur le site de l École de technologie supérieure dédié à la calculatrice TI-nspire:

2 Les coûts variables de production sont de 15$ l'unité et les coûts fixes sont de $ par année. Le taux de la déduction pour amortissement (DPA) est de 30% avec règle de demi-année. Enfin, la valeur de récupération de la machine à la fin du projet dans 5 ans est de $. Quelle est la probabilité que ce projet ne soit pas rentable? Peut-on recommander à l'entreprise d'aller de l'avant avec ce projet, avec un niveau de confiance de 95%? Le modèle financier On accepte un projet si sa valeur présente équivalente (PE) est supérieure à 0. Le modèle financier du projet est présenté à l Annexe A. Le modèle démontre que la PE en fonction des variables aléatoires P, V est donnée par l équation suivante : PE = (0.6)(V)(P-15)(P/A, 15%, 5) où, selon la notation utilisée en analyse économique d ingénierie: (P/A, 15%, 5) est le facteur d actualisation à 15% de l annuité de 5 ans (0.6)V(P 15); est la valeur présente des flux monétaires indépendants de P ou V. En utilisant la fonction TvmPV disponibles sur nspire et en y entrant les valeurs au milieu des fourchettes de P = 50$, V = on obtient PE = $. La PE est positive et on devrait accepter le projet. Par contre, si on entre dans l équation ci-haut des valeurs minimales de P = 48$ et V= 1 500, la PE est de -771$. Sous ces dernières conditions, le projet ne serait donc pas rentable. La syntaxe de la fonction TvmPV est la suivante: TvmPV(N, i, A, F) où N: le nombre de périodes (d années) i: le taux d actualisation A: le montant de l annuité F: le montant futur Nous désirons donc évaluer le risque que la PE soit négative. Pour ce faire, nous allons évaluer les probabilités stationnaires de la chaîne de Markov. Celles-ci nous donneront la probabilité que le marché, après plusieurs transitions d un état à l autre, en vienne à se stabiliser dans un état où la PE est négative. La chaîne de Markov Étape 1: Entrer la matrice de transition Sur une feuille de calcul (c1), entrer la matrice de transition «t» correspondant au diagramme. (t 9 x 9). Chaque ligne représente les probabilités de passer d un état donné à tous les autres. La probabilité de rester dans cet état est 1 moins la somme des probabilités de passer aux autres états. 2

3 Étape 2: Calculer les probabilités stationnaires Pour une matrice de transition t, les probabilités stationnaires de chaque état, π i, sont données par la solution du système d équation suivant, ou π est le vecteur ligne des probabilités π i : πt = π i π = 1 La figure suivante démontre, étape par étape, le calcul du vecteur π (dénoté fr) sur nspire: Une fonction peut être programmée pour effectuer cette procédure: b911, Fonction: 3

4 Examen de la distribution de la PE Sur une page tableur et liste (~46), entrer les valeurs de P et V pour chacun des 9 états, calculer la PE correspondant à ces valeurs et insérer la liste des probabilités stationnaires fr: Comme les fonctions TVM ne peuvent accepter comme argument les listes des colonnes B et C, on doit donc écrire dans la colonne D: pe = ( p-15) (0.6)( v) tvmpv(5,15,-1,0) Nous pouvons maintenant faire les calculs suivants: L'espérance de la PE est de $ et l'écart-type de $. La probabilité que la PE<0 est de 2.8%, ce qui correspond à la probabilité stationnaire de l'état 1. L'espérance du prix est de 50.68$ avec un écart-type de 1.99$. L'espérance du volume est de unités avec un écart-type de 411 unités. Le coefficient de corrélation entre le prix est le volume est de On doit effectivement s'attendre à ce que le prix et le volume soient inversement corrélés. 4

5 Le tableau suivant présente le calcul détaillé pour P et V des moyennes, écart-type, de la covariance et du coefficient de corrélation à partir des probabilités stationnaires : ('p-w1)^2*fr ('v-w3)^2*fr ('p-w1)('v-w3)*fr w1=sum(p1:p9) w2=sqrt(sum(q1:q9)) w3=sum(r1:r9) w4=sqrt(sum(s1:s9)) w5=sum(t1: t9) w6=w5/(w2*w4) Conclusion Comme la probabilité que la PE<0 n est que de 2.8% on devrait accepter le projet. Pour la plupart des entreprises de taille moyenne, une probabilité inférieure à 5% d une perte de valeur d au maximum 771$ sur un enjeu initial de $ sera probablement considérée comme un risque acceptable, car ce montant serait relativement faible en regard du total de leurs capitaux propres. 5

6 Annexe A : Le modèle financier npv(b4,b22,c22:g22) PE Totale =(0.6)(V)(P-15)(P/A, 15%, 5)