EPREUVE DE RAISONNEMENT LOGIQUE ET MATHEMATIQUE

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1 EPREUVE DE RAISONNEMENT LOGIQUE ET MATHEMATIQUE Nombre de pages de l épreuve Durée de l épreuve 0 pages 3h00 Compte teu du fait qu il s agissait d u cocours d etraiemet, cette épreuve à été prise sur le site L épreuve se décompose e 3 parties de 6 questios chacue. Chaque questio se compose de 4 propositios pour lesquelles le cadidat doit idiquer si elles sot vraies ou fausses. Toutes les réposes sot possibles. Par eemple, das ue même questio, les propositios peuvet être toutes vraies, ou toutes fausses. re partie : Raisoemet logique Le cadidat mettra e œuvre des outils simples adaptés à la résolutio des eercices proposés. Il devra faire preuve d adaptatio rapide d ue questio à l autre, les questios état idépedates. e partie : Raisoemet mathématique Das cette partie plus classique, le cadidat devra démotrer sa maîtrise des outils faisat partie du programme de mathématiques des filières géérales du baccalauréat. Les questios y sot égalemet idépedates. 3e partie : Problème mathématique Das cette partie, les questios peuvet être dépedates. Le cadidat pourra doc eploiter les résultats obteus précédemmet pour répodre au questios suivates. Chaque questio comporte quatre items, otés A. B. C. D. Pour chaque item, vous devez sigaler s il est vrai e l idiquat sur la grille de réposes e marquat la case sous la lettre V ; ou fau e l idiquat sur la grille de réposes e marquat la case sous la lettre F. Importat : l utilisatio d ue calculatrice est strictemet iterdite.

2 Eercices à 6: Logique ) Soit le triagle équilatéral yz où y = 4. Soit le cercle iscrit de cetre v et le rayo VW= /3 w. X V Y W Z A partir de ces iformatios, o peut coclure que : A. Le rayo B. La surface du C. La surface du cercle D. La surface coloriée vw = 3 triagle de yz est iscrit π. vaut égale à 3 3 ( 3 π ) 3 ) Nous disposos de 4 haltères W, X, Y et Z. L haltère W pèse 8 kg. L haltère X équivalet à l haltère Y plus l haltère W ; et 5 fois l haltère Y équivaut à l haltère X. L haltère Z équivaut à l haltère X plus l haltère Y. A partir de ces iformatios, o peut coclure que : A. L haltère W est plus B. L haltère Y est plus C. Le poids des 4 D. Le poids total lourd que l haltère Z. lourd que l haltère Z ; haltères est égal haltère W et X à 40 kg. est plus grad que le poids total des haltères Y et Z. 3) Devat vous, se trouvet 3 gobelets dot l u cache u bijou. Les 3 gobelets sot discerables par les lettres X, Y et Z. Sur chaque gobelet est portée ue iscriptio. Ue seule iscriptio parmi les 3 est vraie. Sur le gobelet X, o lit l iscriptio «le bijou est das ce gobelet». Sur le gobelet Y, o lit l iscriptio «le bijou est pas ce gobelet». Sur le gobelet Z, o lit l iscriptios «le bijou est das le gobelet X». A partir de ces iformatios, o peut coclure que : A. Le bijou est pas B. Le bijou est pas das C. Le bijou est das le D. Les iscriptios das le gobelet Y le gobelet X. gobelet Z. portées sur les gobelets Y et Y sot fausses. 4) U couple a trois efats : fils aîé et deu filles qui sot jumelles. O dispose des iformatios suivates : La somme des âges de la famille est égale à 7 as ; Le père est as plus âgé que sa femme ;

3 La différece d âge etre la mère est égale au double de la différece d âges etre le garço et ue de ses sœurs. Quad les filles aurot l âge qu a actuellemet leur mère, le fils sera deu fois plus âgé qu il l est aujourd hui. A partir de ces iformatios, o peut coclure que : A. La différece d âge B. Le père a eu so C. L âge moye de la D. La mère a 30 as etre le garço et premier efat à famille est iférieur plus que ses filles. ue de ses sœurs 5 as. à 30 as. est de 0 as. 5) Nous possédos les iformatios suivates cocerat trois revues ( otées L, M et N) lues par les 30 élèves de première aée d ue grade école de maagemet : 80 liset la revue L, 00 la revue M et 30 la revue N ; Il y a autat d élèves à lire les trois revues qu à lire la seule revue L ; Ceu qui liset seulemet les revues L et N sot au ombre de élèves liset eactemet deu revues ; 60 liset les revues L et M. A partir de ces iformatios, o peut coclure que : A. Il y a eactemet B. Il y a eactemet 5 C. Aucu élève e lit D. Il y a eactemet 6 00 élèves qui e élèves qui e liset la revue N seule élèves qui liset les liset aucue revue que la revue L seule. 3 revues. 6) Ue etreprise est composée uiquemet de 3 catégories de persoel : les cadres supérieurs, les cadres moyes et les employés. Il y a au total 70 employés qui travaillet das cette etreprise. 90% des cadres supérieurs, soit 9 persoes, y travaillet à plei temps. Alors que le reste des cadres supérieurs est à temps partiel. 80% des cadres moyes, soit 6 persoes, y travaillet à plei temps. Alors que le reste des cadres moyes est à temps partiel. U tiers des employés y travaillet à temps partiel. Alors que le reste des employés est à temps complet. A partir de ces iformatios, o peut coclure que : A. L effectif total de B. Il ya au total 4 cadres C. Il y a au total 00 D. les cadres l etreprise est égal moyes qui travaillet persoes qui représetet à 305. à temps partiel. travaillet à temps 0% du du persoel de l etreprise 3

4 Eercices 7 à 8: Mathématiques 7) O cosidère la foctio f défiie par : f ( ) = 4 et T la tagete à la courbe représetative de la foctio f au poit d abscisse = 0 lim A. f ( ) = B. Pour tout π 4 o a f ( ) = où f est la foctio dérivée de f C. Pour tout ],4] o a f ( ) D. La courbe représetative de la fotio f est au dessus de la droite T. I 8) O cosidère la foctio f défiie par : ( ) ( + ) f I( ) A. L esemble de défiitio de la foctio f est l esemble ] 0,+ [ B. La foctio f peut être reformulée de la faço suivate : f ( ) = + l + I ( ) = où l désige le logarithme répérie. C. La courbe représetative de la foctio f est symétrique par rapport à l ae des ordoées. D. L équatio ( ) = 0 f admet au mois ue solutio sur l esemble de défiitio. 9) Soiet f et g les foctios défiies sur l esemble ],+ [ par : f ( ) = I( + ) + e et g( ) = e ( +) où I désige le logarithme épérie. A. Pour tout φ e + et f ( ) = g( ) B. La foctio g est croissat sur l esemble ],+ [ 0 C. L itégrale ( ) g d est positive. où f est la foctio dérivée D. La foctio F défiie par : F( ) = ( + ) I( + ) + e est ue primitive de la foctio f a 9 0) Soiet a et b deu réels, f la foctio défiie par : f ( ) = + b pour tout IR et b. O ote par C la courbe représetative de la foctio f A. Si a = la droite d équatio y = b est ue asymptote oblique à la courbe représetative C 4

5 B. Il eiste au mois ue valeur de a telle que la courbe représetative C admettre ue asymptote horizotale. C. Si a = et b = la courbe représetative C est tagete au poit d abscisse = à la droite D passat par les poits A (, ) et B ( 3,) D. Si a a = et b = la courbe représetative C est e dessous de so asymptote au voisiage de + ) O cosidère l équatio suivate ( ) A. Si m m l équatio ( ) 0 l équatio ( ) m alors l équatio ( ) π m alors l équatio ( ) B. Si m C.Si = D. Si 0 π E : m + m + = Où IR et m est u paramètre réel doée et m φ 0 E est bie défiie E est équivalete à l équatio suivate : E admet pas de solutio E admet comme uique solutio : m m + = m m ) Soit la suite ( ) relatio u de ombres u u, u,...; u,... défiie par so premier terme u et par la + 0, u + u + = vérifiée pour tout etier aturel. u Soit ( a ) ue suite telle que, pour tout etier aturel, o a : ( b ) la suite défiie par : b = a A. Le premier terme 0 a vaut a vérifie la relatio : a = 3a B. La suite ( ) C. La suite ( ) D. lim u = a de la suite ( ) + b est ue suite géométrique de raiso 3 3a u = et 3a 3) Avat l eame de fi d aée, les étudiats passet deu tests successivemet. Les ¾ réussisset le premeir test. La probabilité de réussir le deuième test est de 0,7 si le premier a été réussi et de 0,3 si le premier a été raté. L epériece des aées précédetes permet d affirmer que : 80% des étudiats qui échouet au deu test ratet l eame de fi d aée ; 60% des étudiats qui réussisset l u des deu tests réussiset l eame de fi d aée ; 95% des étudiats réussissat les deu tests réussisset l eame de fi d aée. A. La probabilité qu u étudiat réussisse le deuième test est 3/40 B. La probabilité qu u étudiat réussisse les deu tests est /40 C. Si u étudiat réussit le deuième test la probabilité qu il ait réussi le premier test est 7/8 D. Le tau prévisible de succès à l eame de fi d aée est 6% 0 = + = I et F sa courbe représetative 4) Soit la foctio f ( ) 5

6 A. L esemble de défiitio de f est l esemble des réels privé de = et B. La foctio f est impaire, apparteat à l esemble de défiitio lim C. ( ) = 0 f D. La droite D d équatio y = est asymptote à la courbe F quad ted vers + 5) Soit la foctio f défiie sur [ 3, ] par f ( ) = + + et g défiie par : g( ) e A. La foctio dérivée f ( ) est égale à B. Il eiste u seul réel, π a π, C. Si ( a) = 0 g avec π a π, e g ( ) ( e +) e e + = a tel que g ( a) = 0 alors f ( a) = a D. e = d I I ( + e ) e. d e + e e 6) 400 sportifs sot iscrits das u club de sport : 40 jouet au football ; 0 jouet au teis ; 80 e fot i l u i l autre. O désige par F l évéemet ( tirer au sort u iscrit das le club qui joue au football), T l évéemet (tirer au sort u iscrit das le club qui joue au teis) et l évéemet F T veut dire (tirer au sort u sportif iscrit das le club qui joue au football et au teis.) O doe P ( F T ) = 0, 0 O tire au hasard u iscrit. A. La probabilité qu il joue au football est 0,6 B. La probabilité qu il e pratique i le football i le teis est 0,0 C. La probabilité de tirer au sort u sportif qui joue au football ou au teis est 0,0 D. O tire au hasard u joueur de teis, la probalitité qu il joue au football est 0,0 7) Soit le système S de 3 équatios ou, y sot icoues réelles et a u paramètre réel. a + y = + ay = + y = a A. Si a = alors le système S a pas de solutio B. Si a alors le système S admet ue ifiité de solutios C. Si a est égal à, ou, le système S admet ue solutio uique D. Si =, a, le système S admet comme solutio le couple ( ) 6

7 ρ ρ 8) Das u pla P mui d u repère orthoormé ( o, i, j ), o cosidère la droite D passat par le poit M ( 0;3,5 ) et de pete, G la courbe représetative d ue foctio f d équatio 7 y = + + A. f ( 0 ) = 3, 5 B. La droite D coupe la courbe G au poit N ( ;7,5) C. Le ombre dérivé de f au poit M vaut D. La tagete pasat par le poit N ( ;7,5) à la courbe G est parallèle à la droite D Eercices 9 à 4: Problème mathématique Certaies questios peuvet être traitées idépedammet. D autres écessitet les résultats obteus das les questios précédetes. U restaurateur éophyte veut ouvrir u restaurat. Plusieurs possibilités s offret à lui. Il peut ouvrir u restaurat offrat ue cuisie chioise ou u restaurat offrat ue cuisie italiee. Cet établissemet peut être implaté e cetre ville ou o. Quelle que soit la cuisie proposée, le restaurat peut être améagé ou o pour offrir u cadre typique associé à la cuisie proposée ( décor, musique, ambiace, ) Ne coaissat pas a priori la formule qui serait susceptible d itéresser u maimum de persoes, il décide de faire appel à u ami pour réaliser ue equête auprès du public. O vous commuique ci-dessous le questioaire utilisé aisi que les résultats obteus. Toutes les persoes iterrogées ot répodu à toutes les questios. Questioaire : Aimez-vous la cuisie chioise? OUI/ NON Aimez-vous la cuisie italiee? OUI/ NON Préférez-vous u restaurat au cadre typique? OUI/ NON Préférez-vous u restaurat e cetre ville? OUI/ NON Le dépouillemet de cette equête a permis d établir les résultats suivats : Parmi les persoes iterrogées, persoe aime à la fois la cuisie italiee et la cuisie chioise. 5 persoes aimet la cuisie chioise. 3 d etre-elles souhaitet u cadre o-typique et hors du cetre ville. 60 persoes aimet la cuisie italiee. 5 d etre-elles souhaitet u cadre o-typique et hors du cetre ville. 03 persoes préfèret u cadre typique. parmi celles-ci e veulet i cuisie chioise, i cuisie italiee et surtout pas de restaurat e cetre ville. 45 parmi les 03 préfèret e plus du cadre typique, u restaurat italie. 33 parmi les 03 préfèret e plus du cadre typique, u restaurat chiois. 9 persoes souhaitet u restaurat e cetre ville. 37 qui préfèret la cuisie chioise et 35 la cuisie italiee. Parmi ces 9 persoes, 7 e veulet i cuisie chioise, i cuisie italiee, i cadre typique. 7

8 Parmi les persoes iterrogées, aucue a souhaité u restaurat hors cetre ville, au cadre o typique et qui e propose i cuisie italiee i cuisie chioise. 9) A partir des iformatio précédetes, o peut coclure que : A. persoes préfèret u restaurat chiois au cadre typique hors du cetre ville. B. 5 persoes préfèret u restautat chiois au cadre typique e cetre ville. C. 0 persoes préfèret u restaurat italie au cadre o typique e cetre ville. D. 5 persoes préfèret u restaurat italie au cadre typique hors du cetre ville. 0) A partir des iformatios précédetes, o peut coclure que : A. Plus de 30 persoes ot été iterrogées. B. Plus de 0% des persoes iterrogées aimet i la cuisie chioise, i la cuisie italiee. C. Parmi les 8 possibilités d ouverture de restaurat, la mois plébiscitée représete mois de 3% des persoes iterrogées. D. E admettat que l esemble de la populatio ait des goûts similaires à l échatillo de persoes iterrogées, il doit ouvrir u restaurat chiois au cadre typique e cetre ville. Sas teir compte des résultats de l equête meée précedemmet, le restaurateur décide d ouvrir u restaurat italie et de proposer uiquemet deu types de plat : des lasages et des spaghettis sauce bologaise. Les igrédiets pour préparer des lasages et des spaghettis sauce bologaise sot de la pâte et de la sauce à la viade. Pour faire des spaghettis sauce bologaise, il faut deu fois plus de pâte que de sauce à la viade ( e : pour kg de pâte, il faut 500g de sauce). U plat de lasages écessite deu fois plus de sauce à la viade que de pâte. Le chef a commadé à des fourisseurs 5 kilogrammes de sauce à la viade et 5 kilogrammes de pâte. ) A partir des iformatio précédetes, o peut coclure que : A. Si le chef e prépare que des spaghettis sauce bologaise, il lui restera eactemet 7kg de sauce à la viade. B. Si le chef prépare 5 kg de spaghettis sauce bologaise, il pourra ecore préparer 8kg de sauce et kg de pâte e serot pas utilisés. C. Si le chef prépare 5 kg de lasage, il pourra ecore égalemet préparer ue certaie quatité de spaghettis sauce bologaise et utiliser complètemet l esemble des igrédiets commadés. D. Il eiste qu ue seule combiaiso (poids de spaghettis sauce bologaise poids de lasage) qui permette d utiliser les igrédiets commadés. U jour doé, la livraiso est de kilogrammes de pâte et y kilogrammes de sauce. Notos : S, le ombre de kilogrammes de spaghettis sauce bologaise préparés par le chef ; L, le ombre de kilogrammes de lasages préparées par le chef. Sachat qu il faut 00 grammes de pâte pour faire ue assiette de spaghettis sauce bologaise et 00 grammes de sauce pour faire ue assiette de lasages, otos : σ, le ombre d assiettes de spaghettis sauce bologaise préparées par le chef ; 8

9 λ, le ombre d assiettes de lasages préparées par le chef. Ue assiette de spaghettis sauce bologaise est vedue 7 et ue assiete de lasages est vedue 9. ) A partir des iformatios précédetes, o peut coclure que : A. La quatité de pâte utilisée sera à S + L. 3 3 B. Si tous les igrédiets sot utilisés alors S = y. 0 0 C. Si tous les igrédiets sot utilisés alors σ = + y. 3 3 D. Si le chef utilise tous les igrédiets et ved tous les plats, le chiffre d affaires sera de y. 3 3 Das u souci d éviter l attete du cliet, le restaurateur décide d étudier plus précisémet l affluece de sa clietèle e foctio du temps, das l heure qui suit l ouverture. Pour ce faire, il compte toutes les miutes les commades eregistrées. Nous e parleros plus que de poitages ( er poitage = mi. après l ouverture, ème poitage=4 mi. après l ouverture, ) D après cette étude, il e déduit qu à partir de l ouverture du restaurat, l évolutio du ombre de plats commadés das u laps de temps de miutes peut être approimé comme suit : y = 0, 5 Avec y état le ombre de plats commadés das les miutes précédetes et le uméro du poitage (,,3, ) Comme vous pouvez le remarquer, ous avos redu cette foctio cotiue das u but de simplificatio de l aalyse. Coaissat maiteat parfaitemet l évolutio des commades, il décide de s itéresser au ombre de plats pouvat être préparés e cuisie. Il remarque que le ombre de plats préparés déped logiquemet du ombre de cuisiiers mais égalemet de la période à laquelle o se réfère. Il mèe ue étude sur la productio e cuisie e foctio du temps (même méthode de poitage toutes les miutes) et du ombre de cuisiiers. Il e déduit la foctio suivate : Z + + = = Avec Z état le ombre de plats préparés das les miutes précédetes, le ombre de cuisiers préset et le uméro du poitage (,,3, ) 3) A partir des iformatios précédetes, o peut coclure que : A. Au 5 ème poitage, au mois 4 plats ot été commadés das les 4 miutes qui précèdet. B. De l ouverture au 4 ème poitage, plus de 00 plats ot été commadés. C. Au 6 ème poitage, si 3 cuisiiers sot présets, 6 plats serot préparés das les miutes précédetes. D. De l ouverture au 6 ème poitage, si 3 cuisiiers sot présets, ils préparerot plus de 50 plats. 9

10 E. E supposat cuisiiers présets, ils e pourrot plus faire face à partir du poitage = + = + ( ) 4) A partir des iformatios précédetes, o peut coclure que : A. Si u seul cuisiier travaille, à partir du 5 ème poitage, il e pourra plus faire face au commades car das les miutes précédetes, le ombre de plats commadés sera supérieur au ombre de plats qu ils puisse préparer. B. Si cuisiiers travaillet, dès le ème poitage, ils e pourrot plus faire face au commades car das les miutes précédetes, le ombre de plats commadés sera supérieur au ombre de plats qu ils puisset préparer. C. E supposat cuisiiers présets, il e pourrot plus faire face à partir du poitage = + = + ( ) Lors de l ouverture du restaurat, tous les cuisiiers sot présets e cuisie mais u seul d etre eu est chargé de la préparatio des plats (car u seul suffit), les autres s affèret à d autres tâches. Dès que le premier ouvrier e peut plus faire face au commades, il sera épaulé par u secod qui délaissera sa tâches sa tâche pour se cosacrer égalemet à la préparatio des plats. O predra pour pricipe, que le secod cuisiier épaule le premier juste avat la saturatio de celui-ci, c est-à-dire au poitage qui précède le momet où il sera débordé. Quad ceu-ci e pourrot plus faire face au commades prises, u troisième les rejoidra (dès le poitage précédet le momet où les deu serot débordés et aisi de suite pour les cuisiiers suivats. Quad plusieurs cuisiiers travaillet esemble, ils effectuet chacu la même quatité de travail (e : si sot présets et 5 plats sot commadés, ils préparerot chacu,5 plats) A partir des iformatios précédetes, o peut coclure que : D. De l ouverture au 0 ème poitage, le premier cuisiier préset préparera u total de 3 plats. 0