Tempêtes : Etude des dépendances entre les branches Automobile et Incendie à l aide de la théorie des copulas Topic 1 Risk evaluation

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1 Tempêtes : Etude des dépedaces etre les braches Automobile et Icedie à l aide de la théorie des copulas Topic Risk evaluatio Belguise Olivier Charles Levi ACM Guy Carpeter 34 rue du Wacke 47/53 rue Raspail 67 Strasbourg Frace 9594 Levallois Perret Cedex Frace tel : 33 () tel : 33 () fax : 33 () fax : 33 () belguiol@acm.fr charles.levi@guycarp.com ABSTRACT This paper presets a model of the depedece structure of storm impact o both motor ad fire isurace usig copulas. The data are take from a Frech Isurace Compay. The paper applies some ew techiques, iveted by Gary Veter, which allow to select the more appropriate copula amog a set of copulas. A few fuctios are itroduced i order to highlight differet properties of the various copulas. As these fuctios ca also be approximated from the data, they are used to assess which copulas more closely capture features of the data. Thaks to this, we are able to demostrate that the depedece structure betwee motor ad fire isurace ca be described with the HRT copula (also called the Clayto survival copula ). This copula has low correlatio i the left tail but high correlatio i the right, ie for large losses. Firstly we estimate the copula parameter without ay assumptio o the parametric shape of the margial distributios. The same procedure as i the Klugma-Parsa paper Fittig bivariate loss distributios with copulas is also used. Parameters of the bivariate distributio (two for each margial ad oe for the copula) are also estimated with a MLE techique. Goodess of fit tests are performed. The mai differece with Klugma-Parsa paper is that our model is ot a groud-up model. The margials which are liked by the copula are oly defied above a certai amout i each lie of busiess. Thus we may achieve greater accuracy i the tail of the distributio. Parametric estimatio is used to derive some reisurace premiums. Keepig the same HRT depedece structure, we chage the depedece coefficiet to evaluate its impact o the premium of differet reisurace cotracts. Keywords:copulas,widstorms,reisurace page

2 INTRODUCTION La fi du ème siècle a été marquée par de ombreux évéemets climatiques de toute première importace. Les tempêtes de 99, dot tout le mode s accordait à l époque à dire qu il s agissait des tempêtes du siècle, e sot u premier exemple. Que dire alors de «Lothar» et de «Marti» surveus fi 999 et qui touchèret la Frace de plei fouet. «Tempête du milléaire» ou «évéemet exceptioel» furet les qualificatifs les plus souvet employés. Toujours est-il que ces évéemets ot ameé assureurs, et surtout réassureurs, à se pecher de maière plus approfodie sur ce type de phéomèe. Même s il est vrai que lorsque survieet des tempêtes, les bâtimets sot les pricipaux bies assurés edommagés, l assurace automobile costitue égalemet ue part o égligeable du motat total imputable aux tempêtes. Afi de coter certais cotrats de réassurace preat e compte l impact des tempêtes sur les braches «Automobile» et «Icedie-Tempête-Grêle-Neige», ue estimatio de la distributio cojoite de ces deux types de dommages s avère écessaire voire impérative. Il est évidet que ous e pouvos supposer l idépedace etre ces deux braches sous peie d aboutir à des résultats erroés. Jusqu à préset la plupart des techiques utilisées présetaiet certais icovéiets. Nous pouvos, à titre d exemple, citer l utilisatio de distributios bidimesioelles comme la Pareto bivariée. Mais das ce cas précis, les lois margiales serot écessairemet des lois de Pareto. L idéal serait doc de pouvoir créer des distributios multivariées et a fortiori bivariées e choisissat ous-mêmes os lois margiales. La théorie des copulas va ous permettre de répodre à toutes ces attetes. Le mot copula, dot la sigificatio e lati est littéralemet lie, a été employé pour la première fois e 959 par Abe Sklar dot le théorème costitue la clef de voûte de toute la théorie. De maière géérale les copulas sot des foctios qui vot costituer u véritable lie etre la distributio multivariée et les lois margiales. La première partie de cet article présetera la théorie des copulas das ses grades liges, otammet le théorème de Sklar, clarifiera la otio de dépedace. Pour des iformatios plus précises au sujet de ce cocept, le lecteur pourra se reporter à l article de Embrechts- McNeil-Strauma (999). Cette partie mettra égalemet e avat les copulas utilisées au cours de otre étude, et doera toutes les formules écessaires à l estimatio de paramètres par la méthode du maximum de vraisemblace. D autre part, des techiques ous permettat de choisir la copula susceptible de correspodre au mieux à ue certaie série de doées y serot égalemet exposées. Das la secode partie, ous utiliseros les copulas das le but d évaluer ue distributio bivariée des motats «automobile» et «icedie». page

3 Les doées qui servirot de base à otre étude ous ot été fouries par ue grade compagie d assurace fraçaise. La base de doées utilisée compred tous les siistres dus aux tempêtes sur ue période de as, à compter du er javier 99 jusqu au 3 décembre. Nous détermieros das u premier temps la ou les copulas que ous allos juger susceptibles de coveir grâce aux techiques exposées das la première partie. Nous détermieros esuite la ou les lois margiales permettat la meilleure adéquatio possible das les braches «Automobile» et «Icedie». Efi, ous estimeros les paramètres de otre distributio bivariée avec les lois margiales et les copulas reteues. Ces estimatios serot complétées par les tests usuels pour voir si otre adéquatio est acceptable. L ue des fialités de cette adéquatio à ue loi bivariée est l évaluatio de cotrats de réassurace par la méthode de Mote-Carlo. Les outils utilisés pour meer à bie cette étude ot été les logiciels SAS (modules Base, Stat) et Excel. Théorie des copulas L objet de cette partie est de doer des bases théoriques sommaires mais éamois écessaires à la boe compréhesio des copulas. Nous préseteros tout d abord le cocept de copula et ous doeros quelques exemples de celles-ci qui ous servirot par la suite. Nous aborderos efi la otio de dépedace, et ous préseteros des mesures de dépedace qui peuvet être exprimées à partir des copulas. Nous termieros e doat quelques exemples de foctios permettat d affier le choix d ue copula pour ue certaie série de doées.. Défiitio d ue copula et théorème de Sklar.. Défiitio d ue copula Ue copula est défiie comme état ue foctio de répartitio multivariée ayat des lois margiales uiformes sur [,]. Nous ous cocetreros das cet article sur le cas bidimesioel, même si ces défiitios peuvet être étedues à u ombre de dimesios plus élevé. C(u,v)=P(U u,v v) est doc ue foctio defiie de [,] vers [,] qui vérifie les trois propriétés suivates: C(u,v) est ue foctio croissate pour chacue de ses composates u et v C(u,)=u et C(,v)=v 3 Pour tout a a et b b, ous avos C(a,b )-C(a,b )-C(a,b )+C(a,b ).. Théorème de Sklar... Soit F ue foctio de distributio e dimesios ayat des margiales F,F Y page3

4 Alors il existe ue copula C telle que pour tout (x,y) [-, ] F( x, y ) = C( F ( x ), FY ( y )) De plus, si les lois margiales sot cotiues, alors cette copula est uique. Les copulas permettet doc la créatio de distributios bivariées ayat des lois margiales défiies. Si C est ue copula et F et F Y des lois margiales alors C(F (x),f Y (y)) est ue distributio bivariée. La copula pourrait doc se compredre comme état la foctio de répartitio bivariée des variables aléatoires F () et F Y (Y), qui sot,est il besoi de le rappeler, uiformémet réparties.... Le corollaire de ce théorème s éoce comme suit : Défiissos F,C, F,F Y comme précédemmet et otos F (-),F Y (-) les foctios quatiles respectives de F x et F Y Alors, pour tout vecteur (u,v) [,] ( ) ( ) C( u, v ) = F( F ( u), F ( v )). Notio de Survival Copula Y La otatio S(x) est très souvet employée pour décrire la foctio de survie P(>x). La foctio de survie cojoite S(x,y)=P(>x,Y>y) est pas -F(x,y) comme certais auraiet pu le peser (e fait il s agit de la probabilité P(>x ou Y>y)) mais S(x,y)=-F x (x)-f y (y)+f(x,y) Par aalogie, pour ue copula ous savos que C(u,v)=P(U<u,V<v), la foctio de survie est C s (u,v)=p(u>u,v>v)=-u-v+c(u,v). Comme C(F x (x),f y (y))=f(x,y), ous obteos C s (F x (x),f y (y))=s(x,y). C s est pas ue copula das la mesure où elle est pas ulle au poit (,), mais que e revache elle est égale à zéro e (,). Nous défiissos alors C f (u,v)=c s (-u,-v)=-(-u)-(-v)+c(-u,-v) =u+v-+c(-u,-v) Aisi C f (S x (x),s y (y))= C s (F x (x),f y (y))=s(x,y). La foctio C f est, quat à elle, ue Copula. Nous l appeleros doc flipped copula (o peut égalemet la retrouver sous le om de survival copula das la littérature), et, e appliquat celle-ci aux foctios de survie margiales, ous obteos alors la distributio de survie cojoite. Néamois, les flipped copula peuvet être appliquées aux foctios de distributios margiales, et avoir aisi des propriétés iverses à la copula origiale. U exemple sera préseté das la suite de cet article..3 Desité des copulas Nous savos que si elle existe, la desité f d ue foctio de distributio F est défiie comme suit: F( x, y ) f( x, y) = x y L expressio de le desité de la copula que ous oteros c ou C s exprime doc comme suit page4

5 (, v) C u c( u, v ) = u v La desité f de F s exprime alors f( x, y) = c( F ( x), FY ( y )) fx() x fy() y Cette formule predra toute so importace lorsque ous effectueros des estimatios paramétriques par la méthode du maximum de vraisemblace..4 Distributio coditioelle et Copulas Les distributios coditioelles peuvet égalemet s exprimer à l aide des copulas. Notos C (u,v) la dérivée de C(u,v) par rapport à u. (u,v) C C(u, v) = u Si la distributio joite de et Y est F(x,y)=C(F x (x),f y (y)) alors la distributio coditioelle de Y =x est doc F Y (y)=c (F x (x),f Y (y)). Nous verros ultérieuremet que si C est iversible, alors la simulatio de probabilités joites pourra être faite e utilisat cette propriété. Cette formule revêt doc égalemet ue importace capitale..5 Le coefficiet de corrélatio de Kedall et le cocept de Tail depedece Lorsque l o évoque la dépedace, le premier mot qui viet gééralemet à l esprit est celui de coefficiet de corrélatio liéaire. Ce coefficiet de corrélatio liéaire, égalemet cou sous le om de coefficiet de corrélatio de Pearso, est e effet le plus courammet utilisé. Ce coefficiet est tout à fait approprié lorsque ous étudios des distributios ormales ou de Studet multivariées, mais celui-ci perd de so itérêt si le modèle est différet. Malheureusemet, les distributios das le domaie de l assurace suivet très raremet de telles lois. Nous préseteros ici u autre coefficiet de corrélatio, à savoir le coefficiet de Kedall qui présete l avatage de demeurer ichagé sous l hypothèse d ue trasformatio strictemet croissate des variables aléatoires. Ue mesure de dépedace doit e fait ous permettre de ous faire ue idée de la structure de dépedace etre deux variables aléatoires, et ceci exprimé à l aide d u seul ombre. Nous examieros égalemet les otios de tail depedece ou de dépedace de queue, très importates das l étude des dépedaces etre les valeurs extrêmes et directemet associés aux copulas..5. Le coefficiet de corrélatio de Kedall Soit (,Y) u vecteur aléatoire et otos (,Y ) u vecteur e tout poit idetique. Le τ de Kedall est tout simplemet la probabilité de cocordace mois celle de discordace, à savoir τ(,y)=p((- )(Y-Y )>)-P((- )(Y-Y )<) page5

6 Ce coefficiet e déped doc que du rag de chaque observatio, c est pourquoi il est ivariat par trasformatio croissate des variables aléatoires, que celle-ci soit liéaire ou pas. Si (,Y) a pour copula C, alors ce coefficiet se détermie uiquemet e foctio de la copula par : τ(, Y) = 4 C(u, v)c(u, v)dudv = 4E C(U, [ V) ].5. Le cocept de Tail dépedece. Cette otio est très importate das l étude de la dépedace asymptotique etre deux variables aléatoires. Cela va ous permettre de voir le iveau de dépedace das les valeurs extrêmes (upper tail depedece) et das les valeurs petites (lower tail depedece). Nous aborderos ici que le premier cas de figure. L objet est doc l étude de la dépedace das la queue commue de la distributio bivariée. Preos doc deux variables aléatoires cotiues et Y ayat pour foctio de distributio respectives F x et F y. Le coefficiet d upper tail depedece de et Y est défii par ( Y > F ( u) > F ( u) ) C( u, u) u + λ = lim P u Y = lim u u si toutefois cette limite λ [,] existe. La quatité λ est ue foctio de la copula et est doc ivariate par trasformatio croissate. Si λ ],], il existe alors ue dépedace asymptotique. Si λ=, o dit qu il y a idépedace asymptotique. A titre d exemple, pour les copulas de Gumbel ou HRT que ous préseteros das les pages qui suivet, le coefficiet d upper tail depedece sera respectivemet de - /a et / a..6 Exemples de copulas Les pricipales propriétés des copulas ayat été défiies, ous pouvos désormais e préseter quelques exemples. L échatillo proposé e sera bie etedu pas exhaustif, mais ous tâcheros de préseter les Copulas les plus célèbres et celles qui présetet u itérêt das l étude des distributios de motat de siistres. Si l o fait abstractio des copulas triviales comme la copula d idépedace (C(u,v)=uv) la copula de dépedace totale positive (C(u,v)=mi(u,v)) ou égative (C(u,v)=max(u+v-,)), ous pouvos citer :.6. La copula Normale Cette copula fait partie de la famille des copulas elliptiques (de même que la Copula de Studet que ous e préseteros pas). La copula d ue distributio ormale bivariée (avec ρ comme coefficiet de correlatio) est défiie comme suit: Φ ( u) Φ (v) Ga t + t ρtt Cρ (u, v) = exp dt dt π ( ρ ) ( ρ ) avec, -<ρ< et φ la foctio de distributio de la loi ormale. page6

7 La desité s écrit alors ρ Φ c Ga = ρ ( u, v) exp ρ ( u) + ρ Φ ( v) ρφ ( u) Φ ( v) ρ Il est très facile de simuler ue paire de variable aléatoire (U,V) ayat pour distributio joite la Copula Normale. La première étape cosiste à simuler ue paire de variable aléatoire (,Y) ayat pour distributio la loi ormale bivariée N(,R). R état la matrice de corrélatio ayat ρ comme élémet o diagoal, et sur la diagoale. E preat esuite U=Φ() et V=Φ(Y), alors (U,V) aura pour distributio la copula Normale. Le coefficiet de correlatio de Kedall est τ=(/π)arcsi(ρ)..6. Les copulas archimédiees Il s agit d ue famille de copulas assez particulière, puisque les élémets de cette famille sot géérés à partir d ue foctio ϕ que l o appelle égalemet géérateur de la copula. Cette foctio ϕ est cotiue, strictemet décroissate de [,] vers [, ],telle que ϕ()= et covexe. Nous obteos ue copula e preat ϕ ( u, v) = ( ϕ() u + ϕ() v ) si ϕ( u) + ϕ( v) ϕ( ) Cϕ E fait, ce est que si lim ϕ()=+ t t + sio que C ϕ (u,v)> (sauf lorsque u ou v est égal à ). Simulatio de 8 paires ayat pour distributio la copula C ga 6et des lois margiales uiformes Nous e préseteros ici trois d etre elles, à savoir la copula de Frak, la copula de Gumbel et celle de Clayto..6.. La copula de Frak Preos at e ϕ( t) = l a e avec a. Nous obteos aisi la copula de Frak qui est doc défiie comme suit: page7

8 au av ( e )( e ) Ca (u, v) = l+ a a e Les cas limites sot doc les suivats: l id lim a Ca = C,lima Ca = C,lima Ca = C E défiissat g z =e -az - ous obteos: C(u, v) gug v + g v C( u, v) = = u gug v + g et fialemet + gu+ v c(u, v) = ag (gug v + g) Nous rappelos à ouveau que le calcul de la desité est très importat das la mesure où celle-ci va être utilisée ultérieuremet pour des estimatios de paramètres par la méthode du maximum de vraisemblace. La copula de Frak état la seule copula Archimédiee à respecter l équatio C(u,v)=C f (u,v) (cf.3), celle-ci risque de e pas être toujours appropriée à des applicatios das le domaie de l assurace. Pour simuler des paires (u,v) ayat comme distributio la Copula de Frak, ous pourros utiliser la distributio coditioelle. La démarche à suivre cosiste doc à simuler idépedammet u et p toutes deux issues de la loi uiforme sur [,]. Mais ici p sera compris comme ue réalisatio de la distributio coditioelle de V u. Comme cette distributio est plus i mois que C, v sera détermié e résolvat l équatio v=c - (p u). C état iversible, v se détermie alors aisi pg v = l+ a + gu ( p) V,9,8,7,6,5,4,3,, Echatillo de paires (u,v) distribuées avec ue copula de Frak (Tau=,5),,4,6,8 U Ue fois u et v simulés, ous pouvos simuler des réalisatios des variables et Y e iversat tout simplemet les distributios margiales, c est à dire e preat x=f - (u) et y=f Y - (v). Le coefficiet de corrélatio de Kedall que ous défiiros das la partie suivate, se défiit, pour la copula de Frak de la maière suivate: u page8

9 a 4 4 t τ(a) = + dt t a a e La derière partie de l expressio est égalemet coue sous le om de foctio de Debye..6.. La copula de Gumbel Preos comme géérateur a ϕ ( t) = ( l(t)) avec a>. Cette foctio satisfaisat à toutes les coditios du théorème sur les copulas archimédiees, ous pouvos géérer la copula de Gumbel e preat: a a a [( ) + ] l(u) ( l(v Ca (u, v) = exp )) Les cas limites suivat la valeur du paramètre sot doc: u id lim a Ca = C, Ca= = C La dérivée par rapport à la composate u s écrit: C (u,v)=c(u,v)[(-l u) a +(-l v) a ] -+/a (-l u) a- /u Et la desité c(u,v)=c(u,v)u - v - [(-l u) a +(- l v) a ] -+/a [(l u) (l v)] a- {+(a-)[(-l u) a +(-l v) a ] -/a } et τ(a)=-/a E revache, la distributio coditioelle C est pas iversible. Il existe éamois ue techique de simulatio propre aux copulas archimédiees. Défiissos tout d abord pour tout t [,] la foctio: ϕ(t) K (t) = t ' + ϕ (t ) Supposos qu u vecteur aléatoire (U,V) ait pour foctio de répartitio ue Copula archimédiee, alors cette foctio K sera tout simplemet la foctio de répartitio de la variable aléatoire C(U,V). Simulatio de paires (u,v) ayat pour distributio la copula de Gumbel(a=) V,9,8,7,6,5,4,3,,,,4,6,8 U La desité de la copula de Gumbel (a=) sur ue échelle logarithmique Das le cas de la Copula de Gumbel, cette foctio sera doc: page9

10 K(t) = t( l(t)) a La procédure à suivre pour simuler des paires (u,v) est doc Simuler idépedammet s et q suivat la loi uiforme U(,) Détermier t=k - c (q) Predre u=ϕ [-] (s ϕ(t)) et v=ϕ [-] ((-s) ϕ(t)) La détermiatio de t e peut se faire que par résolutio umérique de l équatio, et doc par ue méthode itérative La copula de Clayto Preos a ϕ() t = a( t / ) avec a>. Nous obteos aisi la copula de Clayto a a a Ca (u,v) = u v + Les cas limites suivat la valeur du paramètre sot doc: lim = C a id = C,lima La dérivée première par rapport à u s écrit: C ( ) / a a a [ / u, v u u v / ] a = + et aisi la desité s exprime: / a c u,v = ( + ) (uv) (u a et τ(a)=/(a+). a a a ( ) / v / + ) u Echatillo de paires (u,v) distribuées avec ue copula de Clayto (a=,5) V,9,8,7,6,5,4,3,,,,4,6,8 U La techique de simulatio utilisée est la même que pour la copula de Frak, sauf que das ce cas là v=[(pu +/a ) /(-a-) -u -/a +] -a. Il est visible sur cet échatillo qu il y a ue importate cocetratio de poits près de (,). Cette copula aurait doc tedace à corréler etre eux les petits siistres et pas du tout les gros. Cela va à l ecotre de ce que ous recherchos lorsque ous étudios des distributios de motats de siistres. page

11 L idée serait doc de défiir ue copula présetat des propriétés opposées. Nous avos défii das les pages précédetes la otio de survival Copula. Nous allos doc appliquer cette formule pour obteir la copula HRT heavy right tail..6.3 La copula HRT Cette copula est doc défiie comme état la survival copula de la copula de Clayto. Elle s écrit doc: ( ) ( / a / a u, v = u + v + ( u) + ( v) ) a Ca et par suite a a ( ) / a a C (u, v) = u + ( v) ( u) la desité état doc a a a c(u, v) = ( + ) ( u) + ( v) [( u)( v) ] a a et τ(a)=/(a+), comme pour la copula de Clayto. Echatillo de paires (u,v) distribuées avec ue copula HRT (a=.5) V,9,8,7,6,5,4,3,,,,4,6,8 U La desité de la copula HRT sur ue échelle logarithmique(a=.5) Comme pour la plupart des autres copulas présetées jusqu à préset, la distributio coditioelle C est iversible. Das ce cas précis, v est détermié à partir de u et p e preat : v=-[(-(-u) -/a + [(-p)(-u) +/a ] (-/(+a)) ] -a La copula HRT ayat été coçue das cette optique, la cocetratio de poits près de (,) est la plus importate. Avec cette structure de dépedace, les gros siistres aurot tedace à surveir esemble. Bie qu il s agisse d ue Survival Copula, elle peut être utilisée comme ue copula à part etière (Veter ). Comme le motret la simulatio effectuée et le graphique représetat la desité de cette copula, celle-ci présete ue desité de probabilité plus élevée aux abords des poits (,) et surtout (,). Cette copula pourrait doc évetuellemet coveir das le cadre d études de distributios de motats de siistres (avec dépedace pour les motats importats). page

12 .7 Le choix de la boe copula Au vu de toute la théorie exposée précédemmet, ous sommes e droit de ous demader quelle copula pourrait le mieux correspodre à ue certaie série de doées. Deux copulas ayat le même coefficiet de corrélatio de Kedall peuvet e effet avoir des comportemets tout à fait différets. Il suffit pour s e covaicre de jeter u bref coup d œil aux graphiques des simulatios présetés das la partie précédete. Nous allos doc das cette partie doer quelques méthodes ous permettat de faire le tri parmi les copulas afi de e choisir que celles qui pourraiet préseter des caractéristiques semblables à celles de otre série de doées. E fait, ous allos exposer plusieurs foctios, dot certaies ot été exposée par Gary Veter () et qui aurot des caractéristiques tout à fait différetes selo la copula choisie. Ces foctios pouvat égalemet être établies de faço empirique, uiquemet à partir du rag de chaque observatio, ue simple comparaiso graphique ous permettra de e reteir qu ue ou deux familles de copulas pour la poursuite de otre étude..7. La foctio K(z) Cette foctio, qui a déjà été évoquée das otre présetatio de la copula de Gumbel, est i plus i mois que la foctio de répartitio de la variable aléatoire C(U,V). Il a été démotré que pour ue copula de type archimédiee, cette foctio se défiissait comme suit : ϕ( z) K( z) = z ϕ ( z) Das le cadre des copulas archimédiees présetées auparavat cette foctio K(z) est doc la suivate Gumbel Frak (z) K a Clayto az e = z( l(z)) K a (z) = z + l a a a e ( ) a K / a (z) = z + az z Supposos maiteat que ous disposios d u échatillo d observatios (x,y ) (x,y ) issu d u vecteur aléatoire (,Y). Pour établir u estimateur o-paramétrique de la foctio K à partir de cet échatillo, la procédure à suivre cosiste à : Défiir la pseudo-observatio z i pour chaque i= ombre de paires { x j, y j} telles que x j < xi et y j < y zi = Défiir l estimateur o-paramétrique de K comme suit K (z) = { ombre de z z} i i page

13 Cette estimatio o-paramétrique de K pourra esuite être comparée graphiquemet aux versios paramétriques de K pour les différetes copulas archimédiees. Le paramètre «a» de la copula pourra être établi, par exemple à partir du coefficiet de Kedall empirique de l échatillo. E effet ous avos vu qu il existe ue relatio directe etre le coefficiet de Kedall et le paramètre de la copula. Il suffit doc simplemet de résoudre ue équatio pour détermier le paramètre de la copula, même si cette opératio peut se révéler u peu plus délicate das le cas de la copula de Frak par exemple. Ue autre méthode pour détermier ce paramètre pourra être celle du maximum de vraisemblace que ous utiliseros plus loi..7. La foctio J(z) ou de Tau cumulatif Cette foctio est basée sur le coefficiet du τ de Kedall dot ous rappelos ici la formule : τ = + 4 C(u, v)c(u, v)dudv L idée a esuite cosisté à défiir ue foctio de τ cumulatif e preat : J(z) = + 4 z z C(u, v)c(u, v)dudv C(z, z) Il est clair que J()= τ. O costate des différeces otables das le comportemet de la foctio J(z) pour les différetes copulas, la foctio J(z) peut démarrer avec ue faible corrélatio (HRT) ou ue corrélatio plus importate (Gumbel). Nous avos pas représeté la copula de Clayto das la mesure où J(z) est représetée très rapidemet par ue lige horizotale dot la valeur est bie etedu égale à τ. Ceci s explique aisémet das la mesure où la copula de Clayto possède u coefficiet de «right tail depedece» et doc la «dépedace est surtout cocetrée près du poit (,)». L itérêt de cette foctio réside là ecore das le fait qu ue versio empirique de celle-ci puisse être établie. Nous allos, comme pour la foctio K(z), doer la procédure pour établir la foctio J(z) de maière empirique. Cosidéros le même échatillo d observatios (x,y ) (x,y ). Notos rag x i le rag de la i-ème observatio das l esemble des valeurs x,,x. La procédure à suivre cosiste à Trasformer les doées (x i,y i ) e (u i,v i ) e preat (u i,v i )=({rag x i }/(+), {rag y i }/(+)) Défiir C(z,z) e preat ombre de paires C( z, z) = { u, v } telles que u < z j j j j < ce qui reviet à predre la foctio de répartitio empirique des doées trasformées e (). et v z page3

14 3 Défiir la pseudo-observatio z i pour chaque i= comme précédemmet ombre de paires z = i 4 Défiir esuite la quatité I( z) = 5 Nous défiissos esuite J(z) par Il e reste plus qu à comparer la versio «empirique» aisi obteue à la versio «paramétrique» de J(z) pour différetes copulas..7.3 La foctio M(z) Posos Comme E[V]=/, quelle que soit la copula choisie, la foctio M vérifiera M()=/. La différece etre les copulas se fera doc au iveau des petites valeurs de z et à l allure de la courbe au fur et à mesure que l o approche du poit z=. La procédure a suivre pour calculer cette foctio à partir des doées (x,y ) (x,y ) cosiste à : Défiir D(z) e preat Défiir N(z) suivat la formule 3 Soit M(z)=N(z)/D(z). { x, y } ( zi { ui < z et vi < z} ) i= 4I(z) J (z) = + C(z, z) M(z) = E D( z) ( V U < z) { ui < z} = i= = { ui< z} vi N ( z) i= = j telles que x < x et y Et comme D()=, o retrouve bie M()=/. j z u = v = Il est évidet M()=/ puisque ( + ) N() = i = = + + i= vc(u, v)dudv z j i j < y i page4

15 .7.4 Les foctios L(z) et R(z) ou Tail cocetratio fuctios Nous ous sommes déjà pechés précédemmet sur les cocepts de upper tail et lower tail depedece. Les foctios que ous allos préseter maiteat sot totalemet basées sur ces cocepts. Pour tout z apparteat à (,), ous défiissos L(z)=P(U<z,V<z)/z² et R(z)=P(U>z,V>z)/(-z)² Ces foctios mettet doc e valeur la cocetratio de probabilité aux abords des poits (,) et (,). Celles-ci peuvet doc se traduire très facilemet e termes de copulas, puisque: L(z)=C(z,z)/z² et R(z)=(-z+C(z,z))/(-z)². Nous avos expliqué précédemmet (lors de la présetatio de la foctio de tau cumulatif) commet calculer C(z,z) à partir des doées. Etablir la versio o-paramétrique de ces foctios e pose doc a priori aucu problème. Les graphiques de ces foctios sot présetés ci-dessous pour différetes valeurs du tau de Kedall. Nous savos que R()=L()=, doc ces foctios pourrot très facilemet être différeciées l ue de l autre. Ue costatatio s impose d emblée au vu de ces graphiques: plus le τ de Kedall est importat, plus les valeurs de ces foctios sot élevées aux abords des poits dits itéressats (à savoir pour L(z) et pour R(z)) Comme ous pouvios ous y attedre, les graphiques des copulas HRT et Clayto sot parfaitemet symétriques. La copula de Gumbel présete ue forte cocetratio das les deux queues, même si celle de droite est de loi la plus épaisse. Au fur et à mesure que la corrélatio dimiue, l importace relative de la queue à gauche décroît par rapport à celle de droite. La copula HRT présete ue cocetratio à droite aussi importate que la copula de Gumbel, mais à gauche celle-ci est quasimet ulle. La copula de Frak est, quat à elle, totalemet symétrique. Nous veos doc de passer e revue les différetes foctios qui servirot de prélimiaire à otre étude. Nous sommes maiteat e mesure d étudier le phéomèe des tempêtes e utilisat ces copulas. Adéquatio à ue loi bivariée grâce aux copulas. Présetatio des doées utilisées Nos doées sot issues des fichiers «siistres tempêtes idividuels» d ue grade compagie d assurace fraçaise vetilées etre les braches «Icedie» et «Automobile». Notre historique se base sur la période du er javier 99 au 3 décembre, soit ue période de as et compred des siistres majeurs comme la tempête du 3 février 99 et les deux tempêtes de fi décembre 999 (Lothar et Marti). Nous avos esuite procédé à u regroupemet des siistres idividuels par période de trois jours coformémet à la clause horaire e vigueur e matière de réassurace. page5

16 Nous avos efi réalisé ue actualisatio de ces motats de maière à les homogééiser. Nous avos pour ce faire teu compte, etre autres, de l iflatio, de l évolutio du ombre de polices du portefeuille et des variatios des motats des frachises. U idice d iflatio propre à chaque brache a été utilisé, à savoir l idice FFB pour la brache «Icedie» et u idice du coût de réparatio automobile pour la secode brache. Nous avos, sur la base de travaux iteres de C.Levi recostitué le motat des évéemets à iveau de frachise égal. E effet ue dimiutio ou ue augmetatio de la frachise a u impact tat au iveau de la fréquece que du coût moye des siistres idividuels. Il coveait doc d effectuer u réajustemet pour estimer le coût des tempêtes pour u iveau de frachise équivalet. Nos doées e sot doc e aucu cas cesurées, puisque ous disposos de l esemble des évéemets et du coût occasioé à la compagie.. Modèle utilisé. Le pricipal problème auquel ous ous sommes retrouvés cofrotés a été le ombre impressioat d évéemets «tempête» aisi recostitué. E fait, ous avos déombré plus de tempêtes, soit à peie mois que le ombre de périodes de 3 jours compris das ue période de as. La garatie tempête est doc très souvet touchée. Nous oteros (x i,y i ) les motats occasioés par ces tempêtes aux braches «Icedie» et «Automobile». x i correspodra doc au motat occasioé par la i ème tempête à la brache «Icedie» alors que y i représetera les dommages subis par la partie «Automobile». Nous oteros par la suite la brache icedie. Y la brache automobile. Il était pas raisoable de predre e compte la totalité de ces évéemets, certais de ces évéemets e résultat e fait que d u simple coup de vet tout à fait localisé et ayat de fait pas droit à l appellatio de tempête au ses météorologique du terme. C est pourquoi ous avos adopté le schéma de modélisatio suivat Modélisatio de Y Modélisatio de (,Y) grâce à la théorie des copulas. dy Modélisatio de dx dx et dy représetet des iveaux de sélectio. Nous avos e fait choisi de reteir les deux iveaux de sélectio suivats: Tempêtes dépassat le motat de Fracs e Auto et e icedie. (cas) Tempêtes dépassat 7 5 Fracs e Auto et 57 Fracs e icedie. (cas) page6

17 Nous préseteros das cet article que les résultats obteus pour le premier iveau de sélectio, c est à dire e coservat u ombre de doées importat. Mais la méthode à suivre demeure exactemet la même quel que soit le ombre de doées reteues. La démarche que ous avos suivie pour modéliser (,Y) a été la suivate : Idetificatio de la ou des copulas à utiliser. Détermiatio de la ou des lois margiales correspodat au phéomèe grâce à la méthode du maximum de vraisemblace. Vérificatio de la qualité de l ajustemet de ces lois grâce au test du Khi-Deux. Utilisatio cojoite des copulas et lois margiales reteues pour estimer les paramètres de otre distributio bivariée par la méthode du maximum de vraisemblace. Vérificatio de la qualité de l ajustemet. De plus ous avos égalemet effectué ue adéquatio de la loi margiale de lorsque Y est iférieur à dy, et vice-versa. Ces simples adéquatios état que d u itérêt relatif, ous e préseteros pas ces résultats..3 Idetificatio de la copula à utiliser Nous e reteos das u premier temps, que les tempêtes dot le motat a dépassé Fracs à la fois das la brache Auto et das la brache Icedie. Nous travailleros cepedat e milliers de fracs (KF). Le ombre de tempêtes répodat à ces coditios est de 736. A toutes fis utiles, le graphique représetat les motats das les deux braches est le suivat: Les 736 Tempêtes ayat u coût supérieur à Fracs das les deux braches. Auto e KF MR e KF Ce uage de poits motre de maière évidete qu il existe bie ue dépedace etre ces deux braches. Le τ de Kedall empirique est de,43. Le ρ de Pearso est de,877. Ces deux coefficiets sot sigificativemet différets de. Nous allos maiteat estimer le paramètre d associatio pour différetes copulas sas faire d hypothèses sur la forme paramétrique des lois margiales. Notos doc le ombre de os observatios (soit 736). La méthode cosiste doc à trasformer otre série de doées (x i,y i ) {i= } e (u i,v i ) e utilisat pour cela la foctio de répartitio empirique. page7

18 Il suffit, pour ce faire, de repérer le rag de chaque x i et y i das leurs braches respectives et de le diviser par (+). Copula Auto-Icedie Esuite, ous pouvos utiliser la méthode du maximum de vraisemblace (e fait,,4 U,6,8 CMLE :caoical maximum likelihood estimatio) pour estimer le paramètre de otre copula. Coformémet aux otatios adoptées das otre secode partie, ous oteros celui-ci «a». Doc, â = arg max i= l c ( u, v ; a) i V i,9,8,7,6,5,4,3,, où c représete la foctio de desité de la copula. Nous allos doc estimer le paramètre pour les copulas de Frak, Gumbel, Clayto, HRT, et efi la copula ormale. Ces ciq copulas ot été reteues essetiellemet pour des raisos de otoriété. Les foctios utilisées pour la desité sot celles qui ot été précédemmet exposées. Les résultats obteus par la méthode du maximum de vraisemblace sot doc les suivats : Gumbel Normale HRT Frak Clayto Paramètre,33,378,445,38 3,378 Log Vraisemblace 77,3 55,48 84,7 5,33 6,447 τ de Kedall,44,47,57,45,9 Comme pour ces ciq copulas la relatio etre le paramètre et le τ de Kedall est «bijective», ous avos égalemet metioé das le tableau la valeur de τ résultat de cette maximisatio. Par ailleurs, ous avos établi les versios o-paramétriques des foctios J(z), M(z), K(z), R(z) et L(z) exposées précédemmet. Nous pouvos les comparer aux versios paramétriques obteues e preat les paramètres trouvés ci-dessus. page8

19 ,9 La foctio K(z),4 La foctio J(z) ou de Tau cumulatif,8,3,7,,6,5,4,3, K(z) empirique K(z) frak K(z) Gumbel K(z) Clayto,,,3,4,5,6,7,8,9 J(z) empirique,,,,3,4,5,6,7,8,9 -, -, J(z) HRT J(z) Gumbel J(z) Frak,5,48,46 La foctio M(z) (Auto MR<z),44,4,4,38,36 M(z) empirique M(z) HRT M(z) Gumbel M(z) Frak M(z) Normale,34,3,3,,,3,4,5,6,7,8,9 La foctio L(z) La foctio R(z) Gumbel Frak Clayto HRT Empirique Gumbel Frak Clayto HRT Empirique,,,3,4,5,5,6,7,8,9,, page9

20 Au vu des graphes présetés et de la valeur de la foctio du logarithme de la vraisemblace à so maximum, il apparaît que deux copulas pourraiet effectivemet correspodre à os doées. La meilleure cadidate est sas coteste la copula HRT puisque c est elle qui maximise «le mieux»la foctio de vraisemblace, et se rapproche au plus près des différetes foctios idicatrices calculées. Il semble d ailleurs, au vu du graphique ommé «Copula Auto- Icedie» que la seule cocetratio visible de poits se trouve aux abords de (,), ce qui corrobore le fait que cette copula soit la plus appropriée. Nous allos éamois garder la copula de Gumbel, car au vu du graphe de K(z) il s agit de la meilleure copula Archimédiee, et e terme de vraisemblace elle se place e secode positio. La foctio R(z) ous motre bie que so comportemet «à droite» est similaire à celui de la copula HRT, même si «à gauche» elle e retrascrit pas tout à fait le comportemet exact du phéomèe observé. Ceci est dû au fait que la copula de Gumbel iduit égalemet ue dépedace etre les petites valeurs de u et de v, et explique sûremet pourquoi la courbe de J(z) passe légèremet au dessus de la courbe o-paramétrique..4 Détermiatio des lois margiales Comme ous avos pris e compte que les doées à partir d u certai seuil, il est écessaire d utiliser des lois troquées. Ue loi troquée à gauche au seuil dx est défiie de la maière suivate : Supposos que soit ue variable aléatoire cotiue ayat F x comme foctio de répartitio. Nous défiissos la variable aléatoire troquée T de foctio de répartitio F Tx e preat T x = si >dx, et T x est o défiie das le cas cotraire. La foctio de répartitio de T est doc la suivate : F (x) F (dx) FT ( x) = P( x > dx) = si x > dx F (dx) et sio. Pour ue loi doée, et e otat θ=(θ,θ,,θ ) le vecteur des paramètres de cette loi, la foctio de log-vraisemblace à maximiser est la suivate : f (xi; θ) l( θ) = l i= F (dx; θ) Nous avos grâce à u logiciel développé chez Guy Carpeter effectué cette opératio pour quatorze lois différetes. Les lois margiales testées furet les suivates : Lois à u paramètre : Expoetielle, Pareto simple, Geeralized Extreme value limit. Lois à deux paramètres : Gamma, Weibull, Gamma Iverse, Log Gamma, Iverse Weibull, Loglogistique, Paralogistique, Iverse Paralogistique, Log-Normale. Lois à trois paramètres : Burr, Iverse Burr. Le critère de sélectio du logiciel est appelé HQ, il est égal à la valeur absolue de la foctio de log-vraisemblace à so maximum à laquelle o rajoute le produit etre le ombre de paramètres et le logarithme du ombre de doées divisé par π. Ce critère, tout comme le critère SBIC ((-*log-vraisemblace)+ombre paramètres*l (ombre doées)), pallie la faiblesse du critère AIC((-*log-vraisemblace)+*(ombre paramètres)), qui ted à accepter u modèle avec u grad ombre de paramètres si l échatillo est large. page