Calcul Différentiel. I Fonctions différentiables 3

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1 Université de la Méditerranée Faculté des Sciences de Luminy Licence de Mathématiques, Semestre 5, année Calcul Différentiel Support du cours de Glenn Merlet 1, version du 6 octobre Remarques importantes : 1. Tous les énoncés de ce document sont exigibles à l examen, de même que les démonstrations des résultats, mêmes si elles ne sont pas detaillées ici. 2. Les exercices notés (!) sont élémentaires et portent sur les notions de base. Ils doivent absolument vous sembler faciles à la fin du chapitre. Sinon, vous ne maitrisez pas le cours! Table des matières I Fonctions différentiables 3 1 Outils de topologie Espaces vectoriels normés Applications linéaires continues Exercices Applications différentiables Définition - premiers exemples Propriétés élémentaires Cas E = R n, dérivées partielles Cas F = R p, applications composantes Exercices Inégalité de la moyenne Rappels : accroissements finis en dimension Le théorème de la moyenne Applications de classe C Applications de différentielle nulle Exercices Toute remarque ou question est la bienvenue à l adresse merlet@iml.univ-mrs.fr 1

2 4 Études locale de fonctions Différentielle seconde Différentielles d ordres supérieurs Une formule explicite pour D 2 f a La formule de Taylor-Young Points critiques - extrema libres Exercices Le théorème d inversion locale Homéomorphismes et difféomorphismes Le théorème d inversion locale Le théorème du point fixe Démonstration du théorème d inversion locale Exercices Théorème des fonctions implicites Énoncé du théorème Interprétation géométrique Démonstration du théorème Exercices Sous-variétés de R n - extrema liés Sous-variétés Submersions Espace tangent à une sous-variété Extrema liés, multiplicateurs de Lagrange Exercices II Équations différentielles 31 8 Généralités Définitions Raccordements des solutions, solutions prolongeables, solutions maximales Théorème de Cauchy-Lipschitz Méthodes d intégration Exercices Équations différentielles linéaires Premier ordre Cas des coefficients constants Atelier : l exponentielle de matrice

3 Première partie Fonctions différentiables 1 Outils de topologie 1.1 Espaces vectoriels normés Définition 1.1. Un espace vectoriel normé (e.v.n.) est un couple (E,. ) où E est un espace vectoriel sur R ou C et où. est une norme sur E i.e. une application. : E R + vérifiant : (N1) x E, x = 0 ssi x = 0 (N2) x E, λ R, λx = λ x (N3) x, y E, x + y x + y (homogénéité) (inégalité triangulaire) Exemples. Sur R n, on emploie souvent les normes suivantes : pour x = (x 1,..., x n ), x = sup( x 1,..., x n ) x 1 = x x n x 2 = x x 2 n Notations. Soit (E,. ) un evn, soit a E et soit r 0 un réel. On note B(a, r) = {x E / x a < r} la boule ouverte de centre a et de rayon r, B(a, r) = {x E / x a r} la boule fermée de centre a et de rayon r, S(a, r) = {x E / x a = r} la sphère de centre a et de rayon r. Définition 1.2. Soient E et F des e.v.n., A un sous-ensemble de E et f : A F une application. Soient a A et b F. On dit que f(x) tend vers b quand x tend vers a si ɛ > 0, η > 0, x A, ( x a < η f(x) b < ɛ) On écrit : lim x a f(x) = b. La fonction f est dite continue en a A si f(x) tend vers f(a) quand x tend vers a. On dit que f est continue si f est continue en tout point de A. 1.2 Applications linéaires continues En calcul différentiel, les applications linéaires continues sont particulièrement importantes, car le calcul différentiel consiste essentiellement à approximer des applications par des applications linéaires continues. Proposition 1.3. Soient E et F deux espaces vectoriels normés sur R ou C et soit f : E F une application linéaire. Les assertions suivantes sont équivalentes : (i) f est uniformément continue sur E (ii) f est continue sur E 3

4 (iii) f est continue en 0 (iv) f est bornée sur la boule fermée unité B(0, 1) (v) il existe M > 0 tel que pour tout x E, f(x) M x Notation. On note L(E, F ) l espace vectoriel des applications linéaires continues de E dans F muni de la norme induite (cf. Exercice 1.5) définie pour f L(E, F ) par : f = sup f(x) F x E 1 Remarque. f = sup x E =1 f(x) F = sup x E\{0} f(x) F x E. Si F est un espace de Banach, alors L(E, F ) aussi. Proposition 1.4. (cf. Exercice 1.5) Soient E, F et G trois e.v.n. et soient f L(E, F ) et g L(F, G). Alors g f L(E, G), et g f g f. Preuve. Exercice 1.5 Proposition 1.5. Toute application linéaire d un espace vectoriel normé de dimension finie dans un espace vectoriel normé quelconque est continue. Preuve. Exercice Exercices Exercice 1.1 (!). Soit E un R-evn, et h E. Montrer que les applications suivantes sont linéaires continues. S : E 2 E tq S(x, y) = x + y, C : E E 2 tq C(x) = (x, x) et α : R E tq α(t, x) = t.h + x Exercice 1.2. Donner un exemple d application linéaire non continue. Exercice 1.3. Soient E 1,..., E n et F des espaces vectoriels normés et soit φ : E 1 E n F une application n-linéaire. Démontrer l équivalence des assertions suivantes. (i) φ est continue sur le produit E 1 E n (ii) φ est continue en 0 (iii) φ est bornée sur le produit des boules unité des E i (iv) il existe C 0 tel que (x 1,..., x n ) E 1 E n, φ(x 1,..., x n ) C x 1 x n Exercice 1.4. Soient E et F des espaces vectoriels. Démontrer que si E est de dimension finie, alors toute application linéaire f : E F est automatiquement continue. Même question pour une application n-linéaire φ : E 1 E n F lorsque les E i sont tous de dimension finie. Exercice Soient E et F des espaces vectoriels normés. Montrer que l on définit la norme induite sur L(E, F ) vaut : f = f(x) sup x E\{0} x 4

5 2. Soient E, F et G des espaces vectoriels normés et soient g L(F, G) et f L(E, F ). Montrer que g f g f Exercice 1.6. On munit successivement R 2 des normes classiques : (x, y) 1 = x + y, (x, y) = max{ x, y }, (x, y) 2 = x 2 + y 2. Vérifier à la main que ces trois normes sont équivalentes. Soit φ une forme linéaire sur R 2 représentée dans la base canonique par la matrice (a b). Montrer que φ vaut successivement max{ a, b }, a + b et (x 2 + y 2 ) 5

6 2 Applications différentiables 2.1 Définition - premiers exemples Définition 2.1. Soient E et F des evn, soit U un ouvert de E et soit f : U F une application. Soit a U. On dit que f est différentiable au point a s il existe une application linéaire continue L L(E, F ) et une application ɛ : U F telles que 1. x U, f(x) = f(a) + L(x a) + x a ɛ(x) 2. lim x a ɛ(x) = 0 Proposition 2.2. Si une telle application L existe, alors elle est unique. On appelle L la différentielle de f au point a, et on la note Df a. Preuve. Cela découle de la proposition 2.3 et de l unicité de la limite. Formulations équivalentes : f(a + h) = f(a) + Df a (h) + h ɛ 1 (h) avec lim x a ɛ 1 (x) ou encore : f(a + h) = f(a) + Df a (h) + o(h) (1) où o(h) se lit petit o de h et désigne une fonction g telle que g(h) h Exemple 1. Fonctions dérivables Lorsque E = R, (1) s écrit : f(a + h) = f(a) + hdf a (1) + o(h), c est-à-dire : f(a + h) f(a) lim = Df a (1) h 0 h Ce qui équivaut à dire que f est dérivable en a et que f (a) = Df a (1). On a alors : h R, Df a (h) = h.f (a) tend vers 0. Exemple 2. Différentielle d une application constante. Soit f : U F une application constante : x U, f(x) = c où c F est une constante. Alors f est différentiable en tout point a de U et Df a = 0. Exemple 3. Différentielle d une application linéaire continue. Soit f : E F une application linéaire continue. Alors f est différentiable en tout point a de E et Df a = f. 2.2 Propriétés élémentaires Proposition 2.3 (Dérivées directionnelles). Soit U un ouvert non vide d un espace vectoriel normé E et soit f : U R une application différentiable en un point a U. Alors, pour tout h E, on a la convergence suivante : 1 lim t 0 + t (f(a + t.h) f(a)) = Df a(h). 6

7 Quand elle existe, la limite de l équation précédente est appelée la dérivée de f en a dans la direction h. Une fonction peut admettre des dérivées directionnelles en un point dans toutes les directions même si elle n est pas différentiable en ce point. (cf. Exercices 2.2 et 2.3.) Théorème 2.4 (Extrema locaux). Soit U un ouvert non vide d un espace vectoriel normé sur R, et soit f : U R une application différentiable en un point a U et admettant un extremum local en ce point a. Alors sa différentielle en ce point Df a est la fonction nulle. Proposition 2.5 (Continuité des applications différentiables). Soient E et F des espaces vectoriels normés, U un ouvert de E et f : U F une application différentiable en un point a de U. Alors f est continue en a. Théorème 2.6. Soient F et G des evn, et f : U F et g : V G des applications. Linéarité Si F = G et si f et g sont différentiables en a U V. Alors pour tous scalaires λ et µ, λ.f + µ.g est différentiable en a et D(λf + µg) a = λdf a + µdg a. Composition Si V est un ouvert de F tel que f(u) V et si f est différentiable en a U et g l est en f(a), alors g f est différentiable en a et vérifie D(g f) a = Dg f(a) Df a. 2.3 Cas E = R n, dérivées partielles Considérons une fonction numérique f : U R définie sur un ouvert U de R n. Soit a = (a 1,..., a n ) U. Fixons i {1,..., n}, et notons I i : R R n l injection I i (x) = (a 1,..., a i 1, x, a i+1,..., a n ) et U i = I 1 i (U). Si la fonction f I i : U i R, (f I i )(x) = f(a 1,..., a i 1, x, a i+1,..., a n ) est dérivable au point a i, on dit que f est dérivable en a par rapport à la i-ème variable. On note (f I i ) (a i ) = f x i (a) la dérivée, et on l appelle i-ème dérivée partielle de f au point a. Proposition 2.7. Si f : U F, U ouvert de R n est différentiable en a, alors f admet des dérivées partielles en a par rapport à toutes les variables, et h = (h 1,..., h n ), Df a (h) = h 1 f x 1 (a) h n f x n (a) Réciproque fausse : Une fonction peut admettre des dérivées partielles en a par rapport à toutes les variables en un point sans être différentiable en ce point (cf. Exercices 2.2 et 2.3). En revanche, la situation change quand les dérivées partielles sont continues. C est une des raisons pour lesquelles on introduira la notion d application de classe C 1 au prochain chapitre. 7

8 2.4 Cas F = R p, applications composantes Soit U un ouvert de l evn E et soit f : U R p une application. Pour tout x U, f(x) = (f 1 (x),..., f p (x)). Les f i : U R s appellent les applications composantes de f. On note f = (f 1,..., f p ). Proposition 2.8. Soit a U. f est différentiable au point a si et seulement si pour tout i = 1,..., p, f i est différentiable au point a, auquel cas, h E, Df a (h) = (Df 1 a(h),..., Df pa (h)) Définition 2.9. La matrice de l application linéaire Df a : R n R p dans les bases canoniques s appelle la matrice jacobienne de f. C est la matrice : f 1 f x 1 (a) 1 f x 2 (a)... 1 x n (a) ( ) f 2 f fi x 1 (a) 2 f x 2 (a)... 2 x n (a) Jf a = (a) = x j... f p f x 1 (a) p f x 2 (a)... p x n (a) 2.5 Exercices Exercice 2.1 (!). Redémontrer la proposition 2.3 à partir des applications dérivables connues et des règles de composition. Exercice 2.2 (!). Soit f : R 2 R définie par f(x, y) = x3 y si y 0 et f(x, 0) = 0 Calculez les dérivées partielles de f en (0, 0). Montrer qu il existe une application linéaire continue L telle que f(t.u) tend vers L(u) t pour tout u R 2 mais que f n est pas continue en 0. f est elle différentiable en (0, 0)? Exercice 2.3. Déduire du premier exercice de la section précédente une fonction f et une application linéaire L telle que f(t.u) tend vers L(u) pour tout u R 2 mais que L t n est pas continue en 0. Exercice ) Soient E 1, E 2 et F des espaces vectoriels normés et soit f : E 1 E 2 F une application bilinéaire continue. Démontrer que f est différentiable sur E 1 E 2 et déterminer sa différentielle. 2) Soient E, F et G trois R-espaces vectoriels normés de dimension finie. On considère l application f : L(F, G) L(E, F ) L(E, G) définie par : f(a, B) = AB(= A B) Démontrer que f est différentiable sur L(F, G) L(E, F ) et déterminer Df (A,B) pour tout (A, B) L(F, G) L(E, F ). 8

9 Exercice 2.5. Soit E un espace vectoriel normé. On considère l application f : L(E) L(E) définie par f(a) = A 2. Démontrer que f est différentiable sur L(E) et déterminer Df A pour tout A L(E). Exercice 2.6 (!). Soit f = (f 1, f 2, f 3 ) l application de R 3 dans R 3 définie par : f 1 (x, y, z) = x + y + z ; f 2 (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 ; f 3 (x, y, z) = x 3 + y 3 + z 3 On admet que f est différentiable partout. Calculer la matrice jacobienne de f au point (a, b, c). Exercice 2.7. (Coordonnées cylindriques) Calculer la matrice jacobienne de l application de R 3 dans R 3 définie par : (r, θ, z) (r cos θ, r sin θ, z) Exercice 2.8. E 1, E 2,..., E n et F des espaces vectoriels normés et soit f : E 1 E 2 E n F une application n-linéaire continue. Démontrer que f est différentiable sur E 1 E 2 E n et déterminer sa différentielle. 2) Soit E un espace vectoriel normé. On considère l application f n : L(E) L(E) définie par f(a) = A n. Démontrer que f n est différentiable sur L(E) et déterminer Df n (A) pour tout A L(E). 3) On pose E = R n. a) Démontrer que l application déterminant det : L(E) R est différentiable sur L(E) et calculer sa différentielle. b) Soit u Gl(E) et soit h L(E). Démontrer que D det(u).h = det(u)trace(u 1 h) Exercice 2.9. Considérons l application N : R n R définie par x = (x 1,..., x n ) R n, N(x) = n x i i=1 1) Soit a = (a 1,..., a n ) R n tel que i {1,..., n}, a i 0. Démontrer que N est différentiable au point a. 2) Soit a = (a 1,..., a n ) R n tel que i {1,..., n}, a i = 0. Fixons i 0 tel que a i0 = 0. Soit h = (h 1,..., h n ) R n défini par h i0 = 1 et h i = 0, i i 0. Pour t R, calculer N(a + th) N(a). En déduire que N n est pas différentiable au point a. 3) Calculer chaque dérivée partielle de N en précisant son ensemble de définition. Exercice Soit (E, <, >) un espace préhilbertien. 1) Déterminer l ouvert maximal sur lequel l application <, >: E E R est différentiable et déterminer sa différentielle. 2) Même question pour la norme n : E R associée au produit scalaire <, >. 9

10 3 Inégalité de la moyenne 3.1 Rappels : accroissements finis en dimension 1 Théorème 3.1 (des accroissements finis). ( c.f. L1 et L2) Soient a, b R, a < b. Soit f[a, b] R une application continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. Alors il existe c ]a, b[ tel que f(b) f(a) = (b a)f (c) Remarque. Ce théorème ne se généralise pas à une application f : [a, b] R n. Contre-exemple : f : [0, π 2 ] R2 définie par f(t) = (cos t, sin t). Nous allons généraliser son corollaire, dit inégalité des accroissements finis (IAF) : Théorème 3.2. (IAF) Soient a, b R, a < b. Soit f : [a, b] R une application continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. Supposons qu il existe une constante M 0 telle que t ]a, b[, f (t) M, alors f(b) f(a) M(b a) 3.2 Le théorème de la moyenne Proposition 3.3. (IAF) Soit F un R-evn, [a, b] un intervalle borné de R et une application continue de [a, b] dans F, dérivable sur ]a, b[ et telle qu il existe une constante M 0 telle que t ]a, b[, f (t) F M Alors f(b) f(a) F M(b a) Démonstration. Fixons ɛ > 0, et notons I ɛ l ensemble des points x [a, b] tels que f(x) f(a) (M + ɛ)(x a) + ɛ (2) I ɛ est non vide puisque a I ɛ. Soit c la borne supérieure de I ɛ. Pour tout n N, il existe x n I ɛ tel que c 1/n < x n c. En écrivant l inéquation (2) pour tout n et en faisant tendre n vers +, la continuité de f implique f(c) f(a) (M + ɛ)(c a) + ɛ (3) c est-à-dire c I ɛ. Nous allons montrer que c = b. On a : c > a. En effet, puisque f est continue en a, alors l application φ : x f(x) f(a) (M + ɛ)(x a) est aussi continue en a. Or φ(a) = 0, donc il existe η > 0 tel que x [a, a + η], φ(x) ɛ. D où [a, a + η] I ɛ et c a + η. Supposons que c < b. Alors, c ]a, b[, donc f est dérivable en c. Il existe donc un η > 0 tel que t ] η, +η[, f(c + t) f(c) f (c) < ɛ t 10

11 Pour un tel t ]0, η[, on a donc : ce qui donne, compte tenu de (3) : f(c + t) f(c) f (c) t + ɛt (M + ɛ)t f(c + t) f(a) (M + ɛ)(c + t a) + ɛ Conclusion : c + t I ɛ et donc c n est pas la borne sup de I ɛ. Contradiction. Donc b = c, et donc b I ɛ. On obtient donc f(b) f(a) F (M + ɛ)(b a) + ɛ Ceci étant vrai pour tout ɛ > 0, on conclut par passage à la limite ɛ 0. Théorème 3.4. (Le théorème de la moyenne) Soient E et F des espaces vectoriels normés, soit U un ouvert de E et soit f : U F une application diférentiable sur U. On suppose qu il existe une constante M 0 telle que pour tout a U, Df a M. Soient a et b deux points de U tels que le segment soit contenu dans U. Alors on a : [a, b] = {tb + (1 t)a; t [0, 1]} f(b) f(a) F M b a E Remarque. On voit ici le passage d une propriété locale à une propriété globale. Preuve. On applique la proposition 2.8 à la composée g = f α : [0, 1] F, où α : [0, 1] U désigne l application α(t) = tb + (1 t)a. Corollaire 3.5. Soient E et F des espaces vectoriels normés, soit U un ouvert convexe de E et soit f : U F une application diférentiable sur U. On suppose qu il existe une constante M 0 telle que pour tout a U, Df a M. Alors 3.3 Applications de classe C 1 a, b C, f(b) f(a) F M b a E Définition 3.6. Soient E et F des evn, soit U un ouvert de E et soit f : U F une application. On dit que f est de classe C 1 sur U si f est différentiable en tout point de U et si l application Df : U L(E, F ) définie par a Df a est continue sur U. Lorsque E = R, on retrouve la notion habituelle de classe C 1. Lorsque E = R n, il suffit de vérifier que les dérivées partielles sont continues, d après le théorème suivant. Théorème 3.7. f : U F, U ouvert de R n est de classe C 1 sur U, si et seulement si f admet des dérivées partielles par rapport à toutes les variables en tout point de U et si pour tout i {1,..., n}, la fonction f x i est continue sur U. 11

12 Démonstration. Le sens direct découle des règles de composition des applications différentiables d une part et continues d autre part, appliquées à f I i, où I i est l injection du paragraphe 2.3. Pour la réciproque, on montre par récurrence sur n que si f de R n dans F admet des dériées partielles continues, alors elle est différentiable et en tout point Df a (h) = n i=1 h i f x i (a). (4) Le cas n = 1 est trivial. Pour passer de n à n + 1, considérons une application f de R n+1 dans F admettant des dériées partielles continues. On note x = ( x, x n+1 ), avec x = (x 1,, x n ), les éléments de R n+1. Il faut estimer n+1 f δ(h) = f(a + h) f(a) h i (a) x i i=1 = f(ā + h, a n+1 + h n+1 ) f(ā + h, f a n+1 ) h n+1 (a) x i +f(ā + h, n f a n+1 ) f(ā, a n+1 ) h i (a) x i Applique le théorème de la moyenne au premier morceau et l hypothèse de récurrence au deuxième morceau, et on obtient δ(h) h n+1 sup f (x) f (a) x i x i + o( h) = o(h), x B(a, h ) ce qui conclut la récurrence. La continuité de Df est évidente d après (4). Pour montrer la différentiabilité en a, on a utilisé la continuité des dérivées partielles qu en a. On a donc aussi prouvé le résultat suivant. Proposition 3.8. Si f : U F, U ouvert de R n admet des dérivées partielles sur un voisinage de a et que ces dérivées partielles sont continues en a, alors f est différentiable en a. Lorsque E = R n et F = R p, la proposition 2.8 implique que f = (f 1,..., f p ) est de classe C 1 sur U si et seulement si seulement si ses applications composantes sont de classe C 1 sur U. 3.4 Applications de différentielle nulle Réciproque du théorème de différentiation des applications constantes : Définition 3.9. Un espace topologique X est dit connexe si pour tous les couples (U 1, U 2 ) d ouverts de X tels que U 1 U 2 = et U 1 U 2 = X, on a U 1 = ou U 2 =. 12 i=1

13 Proposition Soit X un connexe. Les seuls sous-ensembles de X à la fois ouverts et fermés de X sont X et. Théorème Soient E et F des R evn, soit U un ouvert connexe de E et soit f : U F une application différentiable sur U telle que x U, Df x = 0. Alors f est constante sur U. Démonstration. Fixons a U. Soit B = {x U /f(x) = f(a)}. B est non vide puisque a B. B = f 1 ({f(a)}), donc B est un fermé de U puisque f est continue. B est un ouvert de U. En effet, soit b B. Puisque U est un ouvert de E, il existe r > 0 tel que B(b, r) U. Appliquons le théorème de la moyenne sur le convexe B(b, r) : pour tout x B(b, r), on obtient : f(x) f(b) 0. x b, donc f(x) = f(b). D où B(b, r) B. Conclusion : B est non vide et à la fois ouvert et fermé dans U. Donc B = U puisque U est connexe. 3.5 Exercices Exercice 3.1 (!). Montrer que les applications polynomiales (i.e. dont toutes les applications composantes sont polynomiales) de R n dans R p sont C 1. Exercice 3.2. Soit E un espace vectoriel normé sur R et soit f : R 2 E une application de classe C 1 sur R 2. On suppose que f vérifie : (s, t) R 2, (m, n) Z 2, f(s + m, t + n) = f(s, t) ( ) a) Démontrer que Df : R 2 L(R 2, E) vérifie aussi la propriété ( ). b) Démontrer qu il existe M 0 tel que x R 2, y R 2, f(x) f(y) M x y Exercice 3.3 (!). Soient E et F espaces vectoriels normés, soit Ω un ouvert convexe de E et soit f : Ω F une application différentiable sur Ω. Démontrer que f est lipschitzienne sur Ω si et seulement si Df est bornée sur Ω. Exercice 3.4. Si A désigne une partie d un espace vectoriel normé, on désigne par δ(a) son diamètre. Soient E et F deux espaces vectoriels normés et soit (f n ) n 1 une suite d applications différentiables de E dans F telles que n 1, x E, Df n (x) x n Soit B une partie bornée de E. Que peut-on dire de lim n δ(f n (B))? Exercice 3.5. Soit E un espace vectoriel normé et soit g : E E une application différentiable vérifiant k ]0, 1[, x E, Dg(x) k 1) Montrer que f = Id E + g est injective. 2) Démontrer que l application réciproque de f est Lipschitzienne. 13

14 Exercice 3.6. Soit n 1 un entier et soit U un ouvert non vide et borné de R n. Soit f : U R une fonction continue sur U (U désignant, l adhérence de U dans R n ), différentiable sur U, telle que u U \ U, f(u) = 0. Démontrer qu il existe u U tel que Df(u) = 0. Ceci généralise un résultat bien connu. Lequel? Exercice 3.7 (!). Dire si les fonctions définies par les formules suivantes sont différentiables en (0, 0). f(x, y) = cos(3x + tan(y)) ; g(0, 0) = 0 et g(x, y) = x3 si (x, y) (0, 0) ; h(x, y) = y 2 +x 2 arcsin( x2 ) x 2 1 Exercice 3.8. Soient x 1, x n [0, 1] et P R[X 1,, X n ]. Montrer que la fonction de C([0, 1]) dans R qui envoie f sur P [f(x 1 ),, f(x n )] est différentiable en tout point. Exercice 3.9 (!). Soient f, g : R n R des applications différentiables (resp. C 1 ) en a et h : R 2 R différentiable (resp. C 1 ) en (f(a), g(a)). Montrer que x h (f(x), g(x)) est différentiable en a (resp. C 1 ). 14

15 4 Études locale de fonctions 4.1 Différentielle seconde Soient E et F des e.v.n., soit U un ouvert de E et soit f : U F une application différentiable sur U. On considère la différentielle Df : U L(E, F ) Définition 4.1. On dit que f est deux fois différentiable en a U si f est différentiable sur un voisinage de a et Df est différentiable en a. Dans ce cas, on note D 2 f a la différentielle de Df en a et on l appelle la différentielle seconde de f au point a. Si f est deux fois différentiable en tout point de U et si l application D 2 f : U L(E, L(E, F )) est continue sur U, on dit que f est de classe C 2 sur U. La différentielle seconde vue comme application bilinéaire Notons L 2 (E, F ) l espace vectoriel normé des applications bilinéaires continues de E E dans F. Alors on a un isomorphisme d espaces vectoriels Φ : L(E, L(E, F )) L 2 (E, F ) défini pour u L(E, L(E, F )) par Φ(u)(h, k) = [u(h)](k). Soit f : U F une application deux fois différentiable en a U. On regardera D 2 f a comme un élément de L 2 (E, F ) en l identifiant avec son image par Φ et on notera D 2 f a (h, k) pour (D 2 f a (h))(k). Théorème 4.2. (Théorème de Schwarz) Soit f : U F une application deux fois différentiable en a U. Alors, l application bilinéaire D 2 f a est symétrique, i.e. Démonstration. (h, k) E E, D 2 f a (h, k) = D 2 f a (k, h) 1. La fonction g est définie dans un voisinage de (0, 0) par g(x, y) = f(a + x.h + y.k) f(a + x.h) f(a + y.k) + f(a). Alors g est deux fois différentiable en (0, 0) et A := 2 g (0) = x y D2 f a (h, k) et B := 2 g (0) = y x D2 f a (k, h). En outre, on a g(0, y) = g(x, 0) = 0, donc g (x, 0) = x g y (0, y) = Fixons ɛ > 0. Par définition de A, il existe un voisinage convexe de (0, 0) (une boule centrée en ce point), sur lequel on a : ( ) g (x, y) y.a x = y 1 g g (x, y) (x, 0) A y x x ɛ y. D après l IAF, on a donc sur ce voisinage g(x, y) xy.a ɛ yx. De même on montre que g(x, y) yx.b ɛ xy, donc yx.b xy.a ɛ yx et enfin B A 2ɛ. En faisant tendre ɛ vers 0, on conclut la preuve. 15

16 4.2 Différentielles d ordres supérieurs On définit de la même façon par récurrence les notions de fonction n fois différentiable en a, sur U et de classe C n sur U : On note L n (E, F ) l e.v.n. des applications n-linéaires de E n dans F muni de la norme usuelle M = sup x (E\{0}) n M(x) F x 1 E... x n E On identifie L(E, L n (E, F ) avec L n+1 (E, F ) (écrire l isomorphisme!). On note D 1 f pour Df. Définition 4.3. Soit n 2. On dit que f est n fois différentiable en a U s il existe un ouvert U U contenant a sur lequel f est n 1 fois différentiable et si l application D n 1 fu L n 1 (E, F ) est différentiable en a, auquel cas on note D n f a L n (E, F ) la différentielle et on l appelle la différentielle n-ième de de f au point a. Si f est n fois différentiable en tout point de U et si l application D n f : U L n (E, F ) est continue sur U, on dit que f est de classe C n sur U. 4.3 Une formule explicite pour D 2 f a Rappel. Soit f : U R n F une application différentiable au point a U. Alors pour tout h = (h 1,..., h n ), Df a (h) = n i=1 f x i (a)h i Cette formule se généralise de la façon suivante : Soit F un e.v.n et soit f : U R n F une application deux fois différentiable en a U. Alors pour tous h = (h 1,..., h n ) et k = (k 1,..., k n ) dans R n, on a : ( La matrice H(f) = ) f x i x j D 2 f a (h, k) = n i=1 n j=1 2 f x i x j (a)h i k j de Df est appelée matrice hessienne de f. Lorsque f est deux fois différentiable sur U, alors le théorème de Schwarz implique : a U, i, j, c est à dire que H a (f) est symétrique et 2 f x i x j (a) = 2 f x j x i (a), D 2 f a (h, k) = hh a (f)k = n i=1 2 f (a)h x 2 i k i + i 1 i<j n 2 f x i x j (a)(h i k j + h j k i ) La forme quadratique q : R n F associée à la forme bilinéaire D 2 f a s exprime donc par : 16

17 h = (h 1,..., h n ) R n, q(h) = D 2 f a (h, h) = 4.4 La formule de Taylor-Young n i=1 2 f x 2 i (a)h 2 i i<j n 2 f x i x j (a)h i h j Théorème 4.4. Soient E et F des e.v.n, soit U un ouvert de E et soit f : U F une application n fois différentiable au point a U. Alors x U, f(x) = f(a) + 1 1! Df a(x a) + 1 2! D2 f a (x a, x a) n! Dn f a (x a,..., x a) + o((x a) n ) Remarque. Pour n = 1, c est la définition de la différentielle Df a. Pour n = 0, c est celle de la continuité en a. Preuve La démonstration se fait par récurrence sur n. La remarque assure l initilisation. Pour l hérédité, on appelle φ la différence f(a + h) n+1 k=0 applique l hypothèse de récurrence à Dφ et l IAF à φ. 4.5 Points critiques - extrema libres 1 k! Dk f a (h,..., h) puis on Définition 4.5. Soit E un e.v.n., soit U une ouvert de E et soit f : U R. On dit que f admet au point a U un minimum local (resp. maximum local) s il existe un ouvert U U contenant a tel que x U, f(x) f(a) (resp. f(x) f(a)). Si les inégalités sont strictes, on parle de minimum (resp. maximum) local strict. Définition 4.6. Un point a U tel que Df a = 0 s appelle un point critique de f. D après le théorème 2.4, les extrema locaux des fonctions réelles différentiables sont atteints en des points critiques. Les autres points critiques sont appelés points-selle. Le résultat suivant donne des conditions suffisantes pour distinguer les extrema et les points-selle. Théorème 4.7. Soit E un e.v.n. de dimension finie, U un ouvert de E et f : U R une application deux fois différentiable en a U. On suppose que a est un point critique de f. 1. Si la forme quadratique q : h E D 2 f a (h, h) est définie positive, alors f admet en a un minimum local strict. 2. Si la forme quadratique q est définie négative, alors f admet en a un maximum local strict. 3. S il existe h, k E tels que D 2 f a (h, h) > 0 et D 2 f a (k, k) < 0, alors a est un point-selle. Corollaire 4.8 (E = R 2, Lagrange, 1759). Soit U un ouvert de R 2 et soit f : U R une application deux fois différentiable en a U telle que Df a = 0. On pose : r = 2 f x 2, t = 2 f y 2, s = 2 f x y 17

18 1. Si rt s 2 > 0, alors f admet au point a un extremum local strict. Si r > 0, il s agit d un minimum ; Si r < 0, il s agit d un maximum. 2. Si rt s 2 < 0, alors f n admet pas d extremum local au point a. 4.6 Exercices Exercice 4.1 (!). Calculer la différentielle seconde d une application linéaire. Même question pour une application bilinéaire. Exercice 4.2 (!). Soit f : R 2 R l application définie par : (x, y) R 2, f(x, y) = (x 2 + y 2 ) 2 2x 2 + 2y 2 Déterminer les points critiques de f et leur nature (extrema, points-selle). Exercice 4.3. Soit f : R 2 R l application définie par : (x, y) R 2, f(x, y) = x 3 + y 3 3xy 1) Déterminer les points critiques de f et leur nature (extrema, points-selle). 2) En déduire une esquisse dans R 2 des lignes de niveau de l application f (i.e. les ensembles d équation f(x, y) = constante). Exercice 4.4. Soit f : R 2 R définie par f(x, y) = (x 2 + y 2 ) 2 8xy 1) Déterminer les points critiques de f et leur nature (extrema, points-selle) 2) En déduire une esquisse de la surface de R 3 d équation z = f(x, y) et l allure des lignes de niveau de f. 18

19 5 Le théorème d inversion locale Dans ce chapitre, les espaces vectoriels normés considérés sont de dimension finie. Nous allons généraliser le résultat suivant : Théorème 5.1. Soit f :]a, b[ R une application de classe C 1 sur ]a, b[ telle que en x 0 ]a, b[, f (x 0 ) 0. Alors il existe un intervalle ouvert I ]a, b[ contenant x 0 et un un intervalle ouvert de J tels que la restriction de f à I soit un difféomorphisme de I sur J. 5.1 Homéomorphismes et difféomorphismes Définition 5.2. Soient E, F et G des evn, U un ouvert de E, V un ouvert de F. Une application f : U V est un homéomorphisme si f est bijective et si f et f 1 sont continues. Une application f : U V est un difféomorphisme si f est bijective et si f et f 1 sont de classe C 1. Remarque. f difféomorphisme f homéomorphisme. Réciproque fausse : une application f : U V de classe C 1 peut admettre une fonction inverse f 1 continue sans être un difféomorphisme. Par exemple f : R R définie par f(x) = x 3 est bijective et C 1. Son inverse est f 1 (y) = x 1/3 qui est continue mais pas différentiable en 0. La proposition suivante donne une condition pour qu un homéomorphisme soit un difféomorphisme : Proposition 5.3. Soient E et F des evn, U E et V F des ouverts. Soit f : U V un homéomorphisme de classe C 1. Alors f est un difféomorphisme si et seulement si pour tout x U, la différentielle Df x est un isomorphisme de E sur F, auquel cas, on a : D(f 1 ) f(a) = (Df a ) 1 Remarque. Si en un point x U, la différentielle est un isomorphisme, alors en particulier dim E = dim F. Preuve. Si f est un difféo, alors en particulier f 1 est inversible et f 1 f = Id U et f f 1 = Id V. Donc pour tout a U et b = f(a), D(f 1 ) b Df a = Id E Ceci prouve que Df a est inversible d inverse D(f 1 ) b. et Df a D(f 1 ) b = Id F Soit a U. Supposons Df a inversible. Posons b = f(a), et A = Df a. a) Supposons que E = F et A est l identité. Montrons que f 1 est différentiable en b de différentielle l identité. Soit k F tel que b + k V. Posons γ(k) = f 1 (b + k) f 1 (b) = f 1 (b + k) a γ 1 (k) = f 1 (b + k) f 1 (b) k = γ(k) k 19

20 On doit montrer que γ 1 (k) lim k 0 k Exprimons la différentiabilité de f en a. Pour h E tel que a + h U, on a : = 0 f(a + h) = b + h + h ɛ(h) avec lim h 0 ɛ(h) = 0. Comme f 1 est continue, lim k 0 γ(k) = 0, donc on peut remplacer h par γ(k) dans la derniere équation, ce qui donne b + k = f(f 1 (b + k)) = f(a + γ(k)) = b + γ(k) + γ(k) ɛ(γ(k)) et donc k = γ(k) + γ(k) ɛ(γ(k)). γ(k) De là on déduit d une part γ 1 (k) = γ(k) ɛ(γ(k)) et d autre part lim k 0 = 1. k En combinant les deux on voit que γ 1 (k) lim k 0 k γ(k) = lim lim ɛ(γ(k)) = 0. k 0 k k 0 b) On obtient le cas général en appliquant le cas précédent à g = A 1 f c) D(f 1 ) : V L(F, E) est continue sur V. En effet, D(f 1 ) y = (Df f 1 (y)) 1, donc D(f 1 ) = Inv Df f 1 où Inv désigne l application Inv : Gl(E, F ) Gl(E, F ) définie par Inv(u) = u 1 dont les coordonnées sont des fractions rationnelles. Donc D(f 1 ) est continue comme composée d applications continues. 5.2 Le théorème d inversion locale Définition 5.4. Soient E et F des evn, U un ouvert de E. Une application f : U F est un difféomorphisme local en a s il existe un ouvert U 1 U contenant a et un ouvert V de F tel que f se restreigne en un difféomorphisme de U 1 sur V. Il résulte de la proposition 5.3 que si f est un difféomorphisme local en a, alors Df a est inversible. Le théorème suivant dit que la réciproque est vraie : Théorème 5.5. d inversion locale Soient E et F des evn, U un ouvert de E, et soit f : U F une application de classe C 1. Soit a U tel que Df a soit inversible. Alors f est un difféomorphisme local en a. La démonstration sera donnée plus loin. Application. Soit f : R 2 R 2 définie par f(x, y) = (x + y 4, y + x 3 y). Alors f est un difféomorphisme local en (0, 0) car sa matrice jacobienne ( ) 1 0 Jf (0,0) = 0 1 est inversible. Cela entraîne que si (a, b) est assez proche de f(0, 0) = (0, 0), alors le système d équations 20