1 Les différents transferts thermiques

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1 TR1 : Conduction thermique L étude thermodynamique des systèmes nous a instruit sur deux choses Le transfert thermiqueévers un système aura pour conséquence une variation d énergie pour ce système, cela se traduit notamment par É ÍPour une transformation isochore É ÀPour une transformation isobare Le second principe impose le sens du transfert thermique des zones de température les plus élevées vers les plus faibles. On n a pas contre aucune information sur la cinétique des échanges. Cette partie traitera de cette question. 1 Les différents transferts thermiques Conduction (ou diffusion) thermique Il s agit d un transport d énergie au travers d un milieu matériel solide ou fluide. A l échelle microscopique, l énergie est transmise par les chocs entre atomes ou molécules, les zones de températures élevées aynat une énergie plus importante vont la transmettre aux zones de températures plus faibles. Convection thermique Le transfert est alors du à un déplacement macroscopique de la matière. Cette convection sera naturelle si la matière est un gaz car le gradient de température entrainera ce phénomène de convection, mais on peut également créer la convection ( à l aide d un ventilateur par exemple) Rayonnement Nous recevons de l énergie du soleil, et pourtant le vide nous sépare. Il existe donc un transport d énergie à travers le vide, par l intermédiaire d un champ électromagnétique. On parlera alors d émission thermique ( par le soleil, une flamme...) Nous nous limiterons dans ce chapitre à l étude de la conduction thermique. 2 Modélisation de la conduction thermique 2.1 Flux thermique ÆÉ Øµ Ø Pour un transfert thermique à travers une surface et pendant une durée élémentaire Ø, le flux thermique est tel que

2 Ø È Øµ 2.2 Vecteur densité de courant thermique È Æ¾É Ø È Øµ ËÈ Ø Ø È Øµest Le vecteur tel ËÈenÔ, surface élémentaire pendant Ⱦ Ø È Øµ ËÈ Alors le flux thermique à travers une surface s écrit ص 2.3 Relation entre cause et conséquence : Loi de Fourier ËÈ Vecteur densité volumique de courant thermique que le transfert thermique à travers une la durée Øs écrit De manière empirique, on ressent que les phénomènes de transports vont être dans la direction du gradient de température d autant plus intense que l inhomogénéïté Ø È Øµ sera importante des zones les plus "chaudes" vers les moins "chaudes". On peut donc énoncer une loi empirique : Ø est La densité de courant thermique Ï Ñ ½ Ã Ö Ì È Øµµ ½donnée Exemple de valeur de, en S.I : Cuivre (399) ; Eau (0,597) ; Laine de verre (0,04) ; Air (0,03) par la loi de Fourier 1 avec la conductivité thermique, grandeur caractéristique milieu, exprimée en 3 Conduction unidimensionnelle 3.1 Bilan Thermique local On considère un milieu de capacité Ø È Øµ Ø Ü Øµ thermique massique ÙÜ à volume constant capacité à volume constant ÚÑavec Úpour Ñpour la grandeur massique On traite le cas pour lequel Ø Ü Øµ Ø Ü Ü Øµ Ü Ü Ü Choix du volume élémentaire Les critères de choix sont les suivants : A l intérieur de ce volume, tous les paramètres intensifs doivent être considérés comme uniformes. Ici : la température doit pouvoir être considérée comme identique en tout point Les vecteurs densité volumique de flux doivent être normaux aux surfaces délimitant le volume 1. Fourier : Scientifique de la fin du ÎÁÁÁÑ siècle, qui formula l équation de la chaleur et mis en place l outil mathématique de sa résolution (les séries de Fourier)

3 On choisira le volume élémentaire le plus grand possible vérifiant les conditions précédentes. Ici, le cylindre de sectionënormale à l axe et de hauteur Üvérifie ces conditions. Energie reçue et perdue pendant ØOn peut décomposer la surface entourant notre système en trois parties la base situé à l abscisseü. Il y rentre pendant Ø:Æɽ Ø Ü Øµ Ë Ùܵ Ø la base situé à l abscisseü Ü. Il y sort pendant Ø:Æɾ Ø Ü Ü Øµ ÙÜ Ë Ø :ÆÉ ¼ ÆÉ ÒØÖ Ø Ü Øµ Ø Ü Ü Øµµ Ë Ø ÆÉ ÜØ Æɽ Æɾ l enveloppe pour laquelle Ëest en tout point orthogonale au vecteur de courant Il existe donc pendant Øun transfert thermique vers le système étudié ÆÉ ÜØ d écrire Ø Ü Ü Øµ Ø Ü Øµ Ø Ü Øµ Ü Ü Ë Ø Ü Or un développement limité à l ordre 1 permet Üce qui amène à ÆÉÔ Å¾ÎÈΠŠص Å Ø Production d énergie pendant ØPendant cette durée, le milieu a pu produire de l énergie, notamment par effet Joule. On noteraèîla puissance volumique produite par le milieu (<0 s il s agit en fait d absorption par le milieu). AinsiÆÉÔ ÈΠŠص Ë Ü Ø L énergie élémentaire produite par le milieu pendant une durée Øs écrit Dans le cas étudié où on choisit un Ütrès petit, on peut considérer la puissance volumique uniforme dans le volume du système. Variation d énergie pour le système pendant Ø : Í Ì Ü Üµ Í Í Ü Ø Øµ Ì Üµ ÚÑ Ë Ü Í Ü Øµ ßÞ Ð Í Ü Øµ Ø Pendant cette durée Ø, on peut également dire que la variation d énergie interne dans le cylindre s écrit Soit avec un DL à l ordre 1 Ø. Í ÚÑ Ì Ü Øµ Ø Í ÆÉØÓØ Bilan énergétique ÚÑ Ì Ü Øµ Ë Ü Ü Ü Ë Ø ÈΠŠص Ë Ü Ø Or d après le premier principe, vu les hypothèses d étude Ø Ø Ü Øµ ÚÑ Ì Ü Øµ Ü ÈΠŠص Ø Ø Ü Øµ Ü ÈΠŠص La loi de la conservation locale de l énergie s écrit Ce qu il faut retenir : L équation obtenue correspond au cas particulier obtenu. Il faut retenir la méthode de réalisation d un bilan local d énergie.

4 conservation ÚÑ Ì Ü Øµ Ø Å Øµ Ö Ì Å Øµµ Ø Ø Ü Øµ Ü ÈΠŠص 3.2 Diffusion unidimentionnelle - Equation de la diffusion On rappelle que Ø Ø Ü Øµ La loi de Fourier La loi locale de ÚÑ Ì Ü Øµ SiÌ Ü Øµdésigne la température Ø ¾Ì Ü Øµ en tout pointå Ü Ý Þµde ܾ ÈΠŠص l espace, courant thermique ÙÜ,Ì Ü Øµvérifie l équation de la diffusion avec un vecteur à chaque instant et en tout point 4 Conductance thermique Nous verrons plus tard que l analogie peut être faite entre les phénomènes de conduction thermique et électrique. On va donc chercher à définir, en régime permanent, la notion de conductance thermique, analogue à la conductance électrique. On se place dans le cas d un phénomène de conduction pure unidimentionnelle d un barreau de longueuräde sectionëcalorifugé latéralement, dont les extrémités sont maintenues aux températureì etì 4.1 Définition On peut travailler par analogies : ÊØ Ì ÆÉ Ø Thermique Electrique Ì Ê Î Á Õ Ø ÁÎ Cause du phénomène gradient de température gradient de potentiel Caractéristique Résistance correspond pour la conduction thermique à la puissance Dans cette analogie, les flux de transfert thermique etáde courant n ont pas le même dimension. Il faudra donc veiller à se limiter à l analogie sur la définition des résistances. Les bilans de puissance en conduction thermique ne pourront pas être traités par ÊØ ½ analogie avec les puissances électriques... Ø Ì Ì Les résistance et conductance thermique en régime permanent unidimensionnel d un système maintenu entre deux températuresì etì est telle que

5 siìô ¾ etì ÜØ donnent Ø Ì Application Un mur de maison de surfaceë ¾ Ѿaune diffusivité ¼ ½Ï Ñ ½ Ã Ë Ì Ì Ä Ì ½et une épaisseur ¾¼Ñ. Calculer sa résistance thermique L équation de la chaleur et la loi de ÊØ Ä Ä Fourier, soit un flux à travers la section entière Ë ÊØ ¼ ½Ï à ½ La définition de la résistance thermique amène donc à 4.2 Associations de résistances thermiques Association série Ì En électricité, deux dipôles sont associés en série s ils sont traversés par la même intensité, donc par le même flux de charges On reprend donc cette définition Ì dans le cadre de ½ la conduction thermique ¾ Ì donc ÊØ ½ Ì Ä½ ľ ÊØ ¾ Ì Ø Ì Ì On est en régime permanent donc Ø (carë Ø ) Pour chacun des barreaux on a ÊØ ½ ÊØ ¾ Ì Ê Õ Ì Ì On cherche un modèle de cette association, traversé par le même flux et maintenu entre les mêmes températures extérieuresì etì, soit Ê Õ ÊØ ½ ÊØ ¾ Ì Ì Ì Ì Ì Or on peut écrire que Association série ÊØ Õµ ÊØ Deux systèmes sont associés en série s ils sont traversés par le même flux thermique. La résistance thermique de l ensemble est alors la somme des résistances thermiques de chaque élément associé

6 Association parallèle Deux systèmes sont associés en ÊØ Õµ ½ parallèle si ÊØ ½ leurs ectrémités sont aux mêmes températures. La résistance thermique de l ensemble vérifie alors la relation thermique Ú ÖÖ ½ ¾ËÁ Application ʽ Ö ¾ ½¼ ¾ËÁ Quelle est la résistance thermique d une fenètre de dimensionsä ½ Ñ Ð ¼Ñconstituée ʾ Ú ÖÖ Ë ½¼ d un simple Ú ÖÖ Ë ¾ vitrage ÖË ½¼ d épaisseur¾ ( ÑÑ) et de conductivité aè ξ ËÁ ËÁ icièø ̾ Par analogie électro-thermique, en déduire l avantage énergétique des double vitrages. È ÑÔРʽ È Ó٠Рʾ ¼ ¼½ En électricité, on Êdonc de la même manière Ê. Soumis aux mêmes différences de températures, on aura donc d un double vitrage avec des verres d épaisseur et une lame d air d épaisseur, de conductivité thermique D où l intérêt des double vitrages... 5 Diffusion tridimentionnelle Í Øµ ȾΠÚÑ Ì È Ø Øµ Ì È Øµ È È¾Î ÚÑ Ì È Øµ 5.1 Bilan énergétique ÆÉØÖ Ò ÖØ Å¾Ë Ø Å Øµ ËÅ Ø ÆÉØÖ Ò ÖØ È¾Î Ú Ø È Øµ È Ø ÆÉÔÖÓ Ù Ø È¾ÎÈÚ È Øµ È Ø Í ÆÉØÖ Ò ÖØ ÆÉÔÖÓ Ù Ø On effectue alors un bilan d énergie On reprend alors le bilan effectué dans le cas à une dimension On peut écrire la variation d énergie contenue dans un volumeî, entre les instantsøetø Ø: D autre part, les échanges thermiques se font à la surface entourant le volumeîø Ø È En utilisant le Théorème de Green-Ostrogradsky (le flux étant bien calculé vers l extérieur ici), on en déduit que De plus le milieux peut produire une énergie correspondant à un apport pour le système

7 ȾΠÚÑ Ì È Øµ Ø Ø È È¾Î Ú Ø È Øµ È Ø È¾ÎÈÚ È Øµ È Ø ÚÑ Ì È Øµ Ø Ú Ø È Øµ ÈÚ È Øµ Ø È Øµ Ø Ö Ì È Øµµ Ú Ø È Øµ ÈÚ È Øµ Ö µ ÚÑ Ì È Øµ Ø Ì È Øµ ÈÚ È Øµ Cette équation devant être vérifié pour tout volumeî, on en déduit la forme locale : ÚÑ Ì È Øµ 5.2 Équation de la diffusion donc Loi de Fourier : On a Bilan énergétique Or la définition du Laplacien scalaire permet d écrire Ú Pour une géométrie quelconque du système l équation de la diffusion thermique s écrit en un pointè: