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1 Chapitre 2 : PGCD - Bézout - Gauss I. PGCD de deux entiers Activité 1 Soit a et b des entiers non nuls. On note D( a;b) l ensemble des diviseurs communs positifs de a et de b. Ainsi D( a;b) = D( a) D( b). 1. Définitions et propriétés Le plus grand événement de D a;b On le note pgcd( a;b). Remarques 1 divise a et b donc D a;b pgcd a;b Exemple D 30 ( ) est le plus grand commun diviseur de a et b. ( ) est un ensemble non vide. ( ) a et pgcd( a;b) b donc D( a;b) contient un nombre fini d éléments donc il admet un plus grand élément. ( ) = { 1;2;3;5;6;10;15;30} et D( 45) = 1;3;5;9;15;45 ( ) = 15. D où pgcd 30;45 Conséquence { }. ( ) = a pgcd( a;1) = a ( ) = pgcd a ; b pgcd a;0 pgcd a;b Propriété Soient k! *. pgcd ka;kb ( ) = k pgcd a;b ( ). ( ) Si b divise a, alors pgcd a;b ( ) = b. Définition On dit que les entiers a et b sont premiers entre eux ssi pgcd( a;b) = 1. Propriété pgcd a;b ( ) = d ssi ils existent deux entiers relatifs non nuls a' et b' tels que a = da' et b = db' avec a' et b' premiers entre eux. 1

2 Supposons que pgcd( a;b) = d. Alors il existe deux entiers a' et b' tels que a = da' et b = db'. On a donc pgcd( a;b) = d d pgcd( a';b' ) = d pgcd( a';b' ) = 1 Donc a' et b' premiers entre eux. Réciproquement, Supposons a' et b' premiers entre eux, cad pgcd a';b' Alors pgcd a;b ( ) = d pgcd( a';b' ) = d. 2. Algorithme d Euclide Propriété Soient a, b, q et r des entiers relatifs non nuls. Si a = bq + r alors pgcd a;b ( ) = pgcd( b;r ). ( ) = 1. soit d D( a;b) : d divise a et b donc toute combinaison linéaire de a et b en particulier a b q cad d divise r, donc d D( b;r ) ce qui implique que D( a;b) D( b;r ). soit d D( b;r ) b q + r cad d divise a, donc d D( a;b) ce qui implique que D( a;r) D( b;a). ( ) = D( b;r ) par suite pgcd( a;b) = pgcd( b;r ). Donc D a;b : d divise b et r donc toute combinaison linéaire de b et r en particulier Exercice 1 : Recherche de pgcd par l algorithme d Euclide Déterminer le PGCD de 4539 et On applique l'algorithme d'euclide : 4539 = = = ( ) = 89. Le dernier reste non nul est 36 donc pgcd 4539;1958 En effet, d'après la propriété précédente : ( ) = pgcd( 1958;623) = pgcd( 623;89) = pgcd( 89;0) = 89 pgcd 4539;1958 A l aide de la calculatrice on retrouve le résultat. 2

3 Exercice 2 Déterminer selon les valeurs de l entier n le pgcd de a = 2n +1et b = n 6. ( ) = pgcd 2n +1 2 n + 6 ( ) est 1 ou 13. pgcd 2n +1;n + 6 Donc pgcd a;b Conclusion : pgcd a;b ( ( );n 6) = pgcd 13;n 6 ( ) = 13 lorsque n 6 divise 13 cad n ( ) = 1 dans les autres cas. pgcd a;b Exercice 3 ( ). soit n Démontrer que pour tout entier naturel n > 1, n et n 2 1 sont premiers entre eux. 2. En déduire le pgcd de n 3 + n et n 4 1. ( ) = 1. ( ) et b = n 4 1= ( n 2 1) ( n 2 +1). ( ) = n tout diviseur de n et n 2 1 divise n n n a = n 3 + n = n n 2 +1 Or n et n 2 1 sont premiers entre eux, donc pgcd n 3 + n;n 4 1 II. Théorème de Bézout Activité 2 1. Identité de Bézout Si d = pgcd( a;b), alors il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = d». Soit E l'ensemble des entiers naturels non nuls de la forme ax + by où x et y sont des entiers relatifs. E est une partie non vide de!. En effet, en prenant u = 1et v = 0, on a a E. E étant une partie non vide de!, E admet un plus petit élément n. Par définition de E, il existe donc des entiers relatifs u et v tels que n = au + bv. Or d divise a et b, donc d divise n, d'où : d n. On montre que n divise a en écrivant la division euclidienne de a par n : a = nq + r avec 0 r < n et q entier relatif. Donc : r = a nq = a ( au + bv)q = a( 1 qu) + b( vq). Ainsi r est de la forme ax + by avec x et y entiers relatifs. De plus r < n, donc, par définition de n, r E. Alors nécessairement : r = 0 et donc n divise a. 3

4 On montre de même que n divise b. D'où, par définition de d, n d Finalement, on obtient : d = n = au + bv. Application Soient a = 155 et b = À l aide de l algorithme d Euclide, déterminer le pgcd( a;b). 2. En déduire un couple d entiers relatifs u;v = , = = a 2b, ( ) tel que pgcd( a;b) = au + bv. 65 = , 15 = = b 2( a 2b) = 2a + 5b, 25 = , 10 = = a 2b ( 2a + 5b) = 3a 7b, 15 = , 5 = = 2a + 5b ( 3a 7b) = 5a +12b, 10 = , d où155 ( 5) = 5. d où pgcd( 155;65) = Théorème de Bézout a et b sont deux entiers naturels. Dire que «a et b sont premiers entre eux» équivaut à dire «il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1». Application Montrer que a = 88 et b = 63 sont premiers entre eux et déterminer deux entiers relatifs tels que 88u + 63v = = , = = a b, 63 = , 13 = = b 2( a b) = 2a + 3b, 25 = 13+12, 12 = = a b ( 2a + 3b) = 3a 4b, 13 = 12 +1, 1= = 2a + 3b ( 3a 4b) = 5a + 7b, 12 =

5 Donc on a trouvé un couple d entiers relatifs ( 5;7 ) tels que 5a + 7b = 1. D après le théorème de Bézout, 88 et 63 sont donc premiers entre eux. Exercice 4 Soit n!. Montrer que 2n +1 et 3n + 2 sont premiers entre eux 3 2n +1 ( ) + 2 3n + 2 ( ) = 1. Exercice 5 Déterminer tous les couples d entiers naturels a 2 b 2 = 7695 tels que( a;b) et pgcd( a;b) = ;423 ( ) et 108;63 ( ). 3. Corollaire de Bézout L équation ax + by = c admet des solutions entières ssi c est un multiple du pgcd( a;b). Exemple L équation 4x + 9 y = 2 admet des solutions car pgcd 4;9 L équation 9x 15y = 2 n admet pas de solution car pgcd 9;15 multiple de 3. ( ) = 1 et 2 est multiple de 1. ( ) = 3 et 2 n est pas III. Théorème de Gauss 1. Le théorème Soit a, b et c trois entiers relatifs non nuls. Si a divise le produit bc et si a et b sont premiers entre eux alors a divise c. Si a divise le produit bc, alors il existe un entier k tel que : bc = ka. Si a et b sont premiers entre eux, d'après le théorème de Bézout, il existe deux entiers u et v tels que : au + bv = 1. En multipliant par c, on a : Or bc = ka, donc : cau + kav = c cad a cu + kv ( ) = c. Donc a divise c. 5

6 Exemple Trouver les solutions dans! 2 de l équation : 5( x 1) = 7 y. 5 divise 7 y, or pgcd 5;7 ( ) = 1, donc d après le théorème de Gauss 5 divise y. donc y = 5k. On a alors : 5 x 1 ( ) = 35k cad x = 7k Corollaire du théorème de Gauss Si un entier naturel n est divisible par deux entiers naturels a et b premiers entre eux, alors il est divisible par leur produit. Par hypothèse, n = aq et n = bq' avec q et q' deux entiers naturels. Donc aq = bq'. Puisque b divise aq et que a et b sont premiers entre eux, alors b divise q. donc q = bp cad n = abp, autrement dit le produit ab divise n. Exemple Soit n un entier naturel divisible par 3 et 7, alors il est divisible par 21 car pgcd 3;7 ( ) = 1. Plus généralement si n est divisible par 3, 7 et 11, alors il est divisible par 231 = ( ), car 3, 7 et 11 sont premiers entre eux deux à deux. Exercice 6 Dans un repère orthonormé, on donne les points A 3;28 1. Trouver une équation cartésienne de la droite ( AB). 2. Démontrer que l équation de la droite AB ( ) et B( 24;10). ( ) s écrit 2x = 3 26 y ( ). 3. En déduire les points du segment AB dont les coordonnées sont entières. Réponse!!" 1. AB 27; 18 ( ) vecteur directeur de ( AB) donc l équation est de la forme 18x + 27 y + c = 0. ( ) est un point de ( AB) donc c = 18 ( 3) = 702 et donc l équation est A 3;28 2x + 3y 78 = Evident divise 2x et 3 est premier avec 2 donc 3 divise x, cad x = 3k, k!. En remplaçant on a y = 26 2k, k!. On sait que 3 x 24, donc 1 k 8, (de même pour y). 6

7 On remplace ensuite k par les valeurs possibles pour trouver les 10 points du segment. Exercice 7 On considère l'équation ( E): 2x + 5y = 3 où x et y sont des entiers relatifs. 1. Montrer que E ( ) admet des solutions. ( ) en utilisant l'algorithme d'euclide. ( ).!! (, j ), on considère la droite ( D) ( ) l'ensemble des points M ( x; y) du plan tels que 2. Déterminer une solution particulière de E 3. Déterminer l'ensemble des solutions de E 4. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé O;i d'équation 2x + 5y = 3. On note C 10 x 10 et 0 y 20. Déterminer les points de la droite D sont des nombres entiers. ( ) appartenant à l'ensemble ( C) et dont les coordonnées Réponse 1. pgcd 2;5 ( ) = 1 et 3 est un multiple de 1, donc( E) admet des solutions. ( ) est une solution de l équation 2x + 5y = 1. Donc ( 6;3) est une ( ). 2. 1= donc 2;1 solution de E 2x + 5y = 3 3. On a 2( 6) divise 2 x + 6. ( ) ( 1) ( 2) donne : ( E '): 2( x + 6) + 5( y 3) = 0 cad 2( x + 6) = 5( y 3). = 3 ( ). Or pgcd( 5;2) = 1, donc 5 divise ( x + 6). Donc k! tel que x + 6 = 5k. ( ) on a y = 3 2k. ( ) + 5( 3 2k) =... = 3 En remplaçant dans E ' Réciproquement k Conclusion : S = {( 6 + 5k;3 2k),k! } x 10 donc k 10 cad 0,8 k 3,2. 0 y 20 donc 0 3 2k 20 cad 8,5 k 1,5. Soit k = 0 ou k = 1. Donc deux points appartiennent à C ( ) : ( 6;3) et 1;1 ( ). 7

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