M12 C > Résistance et Déformation des matériaux

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Pascale Sauvé
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1 M12 C > Résistance et Déformation des matériaux Nicolas REMY D apres le chapitre 4 du livre de Pierre Lavigne - Approche scientifique des structures - EAG:Grenoble, ome 1, pp La traction et la compression (seules) 2- Le cisaillement simple 2- Le cisaillement simple (N = Mf = Mt = 0 et 0) - S Cisaillement d une tôle a b Ce que subit une section S, entre a et b, d un corbeau soumis à l effort tranchant 1

1- La traction et la compression (seules) 2- Le cisaillement simple 2- Le cisaillement simple (N = Mf =

2 2- Le cisaillement simple 2.1- Comportement général e J Comme pour les efforts normaux, On observe le même type de courbe lorsque on augmente les efforts tranchants. On peut tracer le déplacement relatif = J / e = f() Le matériau présente alors : - 1 zone de déformation élastique (OA) - 1 zone de déformation permanente (AR) O A R J e 2- Le cisaillement simple e J O A R J e. Dans la zone de déformation élastique (OA), on définit une contrainte de cisaillement : t = G. J / e G=cte. Cependant, la loi de HOOKE pour le cisaillement est différente de celle pour la traction / compression. Le cisaillement n est pas uniforme dans une section : d 1 d 2 d 3 d 1 ds 1 ds 2 d 2. On peut donc définir en chaque point de S une contrainte - de cisaillement ou - de glissement ou d t = => t - tangentielle ds moy = S 2

O A R J e. Dans la zone de déformation élastique (OA), on définit une contrainte de cisaillement : t = G. J / e G=cte.

3 2- Le cisaillement simple 2.2 Valeur du cisaillement dans les cas simples t varie en fonction de sa position dans S. On peut se souvenir qu en moyenne t moy = /S et que t max est donné par les règles suivantes : On définit la contrainte de cisaillement maximale et elle est donnée selon 3 cas courants (en fonction de la forme de la section de l élément de structure) : t max = 3/2 t moy t max = 4/3 t moy t max = t moy âme = / S âme 2- Le cisaillement simple 2.3 Inéquation d équarrissage On définit ainsi une contrainte admissible ou résistance admissible au cisaillement / glissement qui ne doit en aucun cas être dépassée en aucun point de l élément de structure : R ag Ceci nous permet de définir 1 inéquation d équarrissage : t max = k. / S R ag avec k = 3/2 ; k = 4/3 ; k=1 et S = S âme 3

de la forme de la section de l élément de structure) : t max = 3/2 t moy t max = 4/3 t moy t max = t moy âme = / S âme 2- Le cisaillement simple 2.

4 2- Le cisaillement simple 2.3 Inéquation d équarrissage R ag + Acier : R ag = 100 Mpa + Bois de charpente. Cisaillement transversal aux fibres R ag = 1,5 Mpa. Cisaillement longitudinal aux fibres R ag = 1,2 Mpa + Béton R ag 0 Pour le béton et la maçonnerie en générale, leur résistance au cisaillement très faible : il faut donc éviter de faire travailler ces éléments de structures au cisaillement! 2- Le cisaillement simple 2.4 Réciprocité des contraintes de cisaillement (loi de l élasticité plane) Si t transversal => t longitudinal P t S t S Colle Lamellé collé Béton armé On arme le béton pour le faire résister au cisaillement : - les armatures longitudinales pour les cisaillements transversaux - les cadres transversaux pour les cisaillements longitudinaux 4

travailler ces éléments de structures au cisaillement! 2- Le cisaillement simple 2.

5 POURE SIMPLE LINEAU COUVERURE 3.1 Introduction - considérations générales. On définit la flèche f comme la déformation maximale d un élément de structure soumis à une flexion simple (Mf). La flèche f est proportionnelle aux forces F exercées sur l élément cad proportionnelle à Mf dans chaque section.. Si F et h ne changent pas, la flèche f la plus grande se trouve sur l axe de symétrie car (Mf est maximal sur cet axe). POURE SIMPLE 5

(Mf). La flèche f est proportionnelle aux forces F exercées sur l élément cad proportionnelle à Mf dans

6 . Si F et la hauteur de l élément sont constantes, la flèche f est inversement proportionnel à la largeur b de l élément (pour un même matériau). h f 1. b 1 = f 2. b 2 = cte b1 b2. Si b =cte, on remarque que f. h 1 3 = f. h 2 3 = cte h 1 h 2 LA HAUEUR D UNE POURE A BEAUCOUP PLUS D IMPORANCE QUE SA LARGEUR D UN POIN DE VUE DES FLEXIONS SIMPLES LA HAUEUR D UNE POURE A BEAUCOUP PLUS D IMPORANCE QUE SA LARGEUR D UN POIN DE VUE DES FLEXIONS SIMPLES Autrement dit : b 1 b 2 b 1 + b 2 x.h Si non lamellé collé Et non riveté x. h 6

h 2 3 = cte h 1 h 2 LA HAUEUR D UNE POURE A BEAUCOUP PLUS D IMPORANCE QUE SA LARGEUR D UN POIN DE VUE DES FLEXIONS SIMPLES LA

7 3.2 Décomposition du phénomène Po Il existe un plan tel que la matière ne subit pas de déformations longitudinales. C est le plan neutre (axe neutre ou fibre neutre) Po On remarque :. Au dessus de Po, la matière subit un effort de compression (raccourcissement). Au dessous de Po, la matière subit un effort de traction (allongement) Ces deux efforts sont d autant plus forts que l on s éloigne de l axe neutre 3.2 Décomposition du phénomène On doit constater que les sollicitations de flexion provoquent :. Des contraintes normales n aux sections droites. Des contraintes de traction d un côté du plan neutre. Des contraintes de compression de l autre côté du plan neutre. Des contraintes de cisaillement longitudinales (et donc par réciprocité transversales) Comment connaître n et t en chaque point? 7

Au dessous de Po, la matière subit un effort de traction (allongement) Ces deux efforts sont d autant plus forts que l on s éloigne de l axe neutre 3.

8 3.3- Moment et Module d inertie - Contrainte normale. L axe neutre est défini par le centre de gravité de la section. On peut définir le Moment d inertie de la section / à l axe neutre [unité m 4 ] I S y 2 ds. et le Module d inertie en m 3 I v y v=y max v= distance à l axe neutre (S) Axe neutre 3.3- Moment et Module d inertie Ainsi, on peut montrer qu en 1 pt quelconque repéré par y dans une section de moment d inertie I et de module d inertie I/v, soumise à la flexion due à Mf, La contrainte normale est n = Mf / (I/y) et elle a donc pour valeur maximale Mf n max = Mf / (I/v) V=y max (V= distance max à l axe neutre ) v (S) y Axe neutre 8

et le Module d inertie en m 3 I v y v=y max v= distance à l axe neutre (S) Axe neutre 3.

9 3.3- Moment et Module d inertie. La répartition de la contrainte de cisaillement longitudinale et transversal est donnée par : L t = (. W ) / ( I. L) avec W = S y ds A.N. S y. La contrainte tangentielle est nulle sur les fibres les plus extérieures et maximales sur la fibre neutre.. C est pour cela, que pour qu un profilé en H on ne tient compte que de l âme pour calculer t max et t moyen o x t 3.3- Conséquences La conception cherche à placer la matière à la plus grande distance possible de l axe neutre en gardant au niveau de celui-ci le minimum pour résister à la contrainte tangentielle 1- une poutre de bois présente toujours une hauteur supérieure à sa largeur et peut même présenter une âme d épaisseur plus faible 9

. C est pour cela, que pour qu un profilé en H on ne tient compte que de l âme pour calculer t max et t moyen o x t 3.

10 3.3- Conséquences 2- Les profilés d acier présentent des ailes qui constituent l essentiel du moment d inertie (alors que l âme résiste au cisaillement ou sont creux, le métal central n ayant que très peu de rôle. 3- Les tôles ne sont pas utilisées sans ondulation ou plissage Conséquences 4- Un plancher n est pas posé avec de longues portées mais sur des solives permettant d avoir avec moins de bois plus d inertie, elles-même éventuellement supportées par des poutres de grandes hauteur. 10

3- Les tôles ne sont pas utilisées sans ondulation ou plissage. 3.

11 3.4- Mise en pratique Dans la pratique, I et I/v sont donnés. (cf documentation jointe). Par ex, pour les sections rectangulaires,. pour les profilés I = b. h 3 / 12 I/v = b. h 2 / 6 b h I = S. h 2 / 2 I/v = S.h h 3.4- Mise en pratique La sollicitation de flexion peut entraîner des concentrations de contraintes. On simplifie alors :. La contrainte normale maximale ne pas dépasser Ra (en traction comme en compression). La contrainte maximale tangentielle ne pas dépasser Rag. La flèche ne doit pas dépasser une valeur fixée (la déformation ne doit pas dépasser une certaine valeur) (en générale donnée par la Réglementation) par exemple, les déformations maximales du gros-œuvre sont fixées de telle sorte que le second-œuvre ne souffre pas 11

La contrainte normale maximale ne pas dépasser Ra (en traction comme en compression). La contrainte maximale tangentielle ne pas dépasser Rag.

12 Inéquations d équarrissage A- Résistances au contraintes n max = Mf / (I/v) Ra 3.4- Mise en pratique avec tmax : t max =. W0 / (I/L0) Rag (dans le cas général) t max = k. / S R ag avec k = 3/2 ; k = 4/3 ; k=1 et S = S âme (n max et t max se situant respectivement au niveau de Mf max et max pour une section constante) A- Déformation Flè che : f = (fonction connue de charge, E, I, l) 1/ N N = 150 pour console ou partie sans ciculation N = 200 éléments supportant une couverture N = 300 éléments supportant matériaux verriés, pannes, Exercice : Soit une panne de section constante sur appuis simples supportant une charge uniformément répartie p = 800 dan/m sur sa longueur l de 5m. Quelles dimensions lui donner selon qu elle est : * bois (Ra = 10MPa E = MPa Rag = 1,2 MPa) PANNE * Acier (Ra = 160MPa E = MPa Rag = 100 MPa) Données : Mf max = (p.l 2 ) / 8 au centre la poutre max = (p.l) / 2 aux appuis f = (5 p.l 4 ) / (384 E.I) Panne => f 1/300 Comment faire : Calculer Mfmax, max et f et appliquer les inéquations d équarrissage 12

charge, E, I, l) 1/ N N = 150 pour console ou partie sans ciculation N = 200 éléments supportant une couverture N = 300 éléments supportant matériaux verriés, pannes, Exercice : Soit une panne de

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